resolucao lista vetores

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1 Vetores
1. Sendo os vetores ~A, ~B e ~C tais que
~A = ax iˆ+ ay jˆ→ |~A| = 7.0
~B = bx iˆ+ by jˆ→ |~A| = 5.0
~C = cx iˆ+ cy jˆ→ |~A| = 10.0
(a) Soma dos vetores:
~B
~A
~C
α
(b) ~A+ ~B = ~C
~C = (ax iˆ+ ay jˆ) + (bx iˆ+ by jˆ)
= (ax + bx︸ ︷︷ ︸
cx
)iˆ+ (ay + by︸ ︷︷ ︸
cy
) jˆ
|~C| =
√
c2x + c2y =
√
(ax + bx)2 + (ay + by)2
=
√
a2x + 2axbx + b2x + a2y + 2ayby + b2y
=
√√√√(a2x + a2y)︸ ︷︷ ︸
|~A|2
+ (b2x + b
2
y)︸ ︷︷ ︸
|~B|2
+2 (axbx + ayby)︸ ︷︷ ︸
~A·~B
|~C|2 = |~A|2 + |~B|2 + 2~A · ~B → ~A · ~B = |~C|
2 − |~A|2 − |~B|2
2
1
~A · ~B = |~A||~B| cos α
cos α =
~A · ~B
|~A||~B| → α = cos
−1
(
~A · ~B
|~A||~B|
)
α = cos−1
(
|~C|2 − |~A|2 − |~B|2
2|~A||~B|
)
→ α = 68.2◦
2. Sejam os vetores ~A, ~B, ~C e ~D tais que
~A = (3.4)︸︷︷︸
ax
iˆ+ (4.7)︸︷︷︸
ay
jˆ+ (6.1)︸︷︷︸
az
kˆ
~B = (−7.7)︸ ︷︷ ︸
bx
iˆ+ (3.2)︸︷︷︸
by
jˆ+ (2.4)︸︷︷︸
bz
kˆ
~C = (5.4)︸︷︷︸
cx
iˆ+ (−9.7)︸ ︷︷ ︸
cy
jˆ+ (3.0)︸︷︷︸
cz
kˆ
~D = dx iˆ+ dy jˆ+ dzkˆ
(a) ~D+ 2~A− 3~C+ 4~B = 0
~D = 3~C− 2~A− 4~B
= (3cx iˆ+ 3cy jˆ+ 3czkˆ) + (−2ax iˆ− 2ay jˆ− 2azkˆ) + (−4bx iˆ− 4by jˆ− 4bzkˆ)
(dx iˆ+ dy jˆ+ dzkˆ) = (3cx − 2ax − 4bx)iˆ+ (3cy − 2ay − 4by) jˆ+ (3cr − 2az − 4bz)kˆ

dx = 3cx − 2ax − 4bx
dy = 3cy − 2ay − 4by
dz = 3cz − 2az − 4bz
⇒
dx = 40.2
dy = −49.5
dz = −12.8
~D = (40.2)iˆ+ (−49.5) jˆ+ (−12.8)kˆ
2
(b) Vetor unitário na direção de ~D: ~d
~d =
~D
|~D| → |
~D| =
√
d2x + d2y + d2z
~d =
(40.2)iˆ+ (−49.5) jˆ+ (−12.8)kˆ√
d2x + d2y + d2z
~d = (0.62)iˆ+ (−0.76) jˆ+ (−0.19)kˆ
3. Não, a única maneira de combinar dois vetores e a resultante ser nula é se o módulo
deles for igual, pois um terá que ser o oposto do outro.
4. Para que um vetor seja paralelo a outro, o ângulo entre eles tem que ser de 0 ou 180◦.
Sendo assim,
~V = vx iˆ+ vy jˆ
~W = wx iˆ+ wy jˆ
~V · ~W = |~V||~W| cos α
cos α =
(vxwx + vywy)√
(v2x + v2y)(w2x + w2y)
α = 1 ou α = −1
vxwx + vywy =
√
(v2x + v2y)(w2x + w2y)
ou
vxwx + vywy = −
√
(v2x + v2y)(w2x + w2y)
3
5. Sejam os vetores ~F, ~v e ~B tais que
~F = fx iˆ+ fy jˆ+ fzkˆ
~v = vx iˆ+ vy jˆ+ vzkˆ
~B = bx iˆ+ by jˆ+ bzkˆ
~F = q(~v× ~B)
~v× ~B =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
iˆ jˆ kˆ
vx vy vz
bx by bz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (vybz − vzby)iˆ+ (vzbx − vxbz) jˆ+ (vxby − vybx)kˆ

fx = q(vybz − vzby) (1)
fy = q(vzbx − vxbz) (2)
fz = q(vxby − vybx) = qbx(vx − vy) (3)
Da equação (3) nós tiramos o bx,
bx =
fz
q(vx − vy)
Então da equação (1) ou (2) nós tiramos o bz. Escolhendo a equação (2),
fy = q(vzbx − vxbz)
= qvzbx − qvxbz
qvxbz = qvzbx − fy
4
bz =
vzbx
vx
− fy
qvx
=
vz
vx
[
fz
q(vx − vy)
]
− fy
qvx
=
vz fz − fy(vx − vy)
qvx(vx − vy)
bz =
vz fz − fy(vx − vy)
qvx(vx − vy)
~B = (−3.0)iˆ+ (−3.0) jˆ+ (−4.0)kˆ
6. Diagrama de vetores na partícula,
~Sx
~Sy ~S
~Dx
~Dy
~D
~P
θ
θ
~S = ~Sx + ~Sy
= |~Sx|iˆ+ |~Sy| jˆ = (|~S| cos θ)iˆ+ (|~S| sin θ) jˆ
~D = ~Dx + ~Dy
= | ~Dx|iˆ+ | ~Dy| jˆ = (−|~D| cos θ)iˆ+ (−|~D| sin θ) jˆ
~P = (−|~P|) jˆ
5
Em y:
~Sy + ~Dy + ~P = 0
(|~S| sin θ) jˆ+ (−|~D| sin θ) jˆ+ (−|~P|) jˆ = 0
|~S| sin θ = |~D| sin θ + |~P|
Em x:
~Dx + ~Sx = 0
(−|~D| cos θ)iˆ+ (|~S| cos θ)iˆ = 0 → |~D| = |~S|
7. Sejam os vetores ~B, ~C e ~V tais que
~B = bx iˆ+ by jˆ
~C = cx iˆ+ cy jˆ → |~C|2 = c2x + c2y
~V = ~B+ ~C
vx iˆ+ vy jˆ = (bx + cx)iˆ+ (by + cy) jˆ → |~V|2 = (bx + cx)2 + (by + cy)2
|~V| = |~C| → |~V|2 = |~C|2
c2x + c
2
y = (bx + cx)
2 + (by + cy)2
S
Sc
2
x + AA
c2y = b
2
x + 2bxcx + SSc
2
x + b
2
y + 2bycy + AAc
2
y
b2x + 2bxcx + b
2
y + 2bycy = 0
(b2x + b
2
y)︸ ︷︷ ︸
|~B|2
+2 (bxcx + bycy)︸ ︷︷ ︸
~B·~C
= 0
6
|~B|2 + 2 ~B · ~C︸︷︷︸
|~B||~C| cos θ
= 0
|~B|2 + 2|~B||~C| cos θ = 0 → |~B|(|~B|+ 2|~C| cos θ) = 0
|~B| = 0 ou |~B|+ 2|~C| cos θ = 0
~B =~0 ou
|~B| = −2|~C| cos θ
|~B|2 = 4|~C|2 cos2 θ
b2x + b
2
y = 4(c
2
x + c
2
y) cos
2 θ
= 4c2x cos
2 θ︸ ︷︷ ︸
(2cx cos θ)2
+ 4c2y cos
2 θ︸ ︷︷ ︸
(2cy cos θ)2
bx = 2cx cos θ
by = 2cy cos θ
⇒ ~B = (2cx cos θ)iˆ+ (2cy cos θ) jˆ
2 Unidades de medidas
1. Conversão de kilometros para microns:
(a)
1HHkm
(
103ZZm
1HHkm
)(
106µm
1ZZm
)
= 109µm
1km = 1× 103m = 1× 103 × (106 × 10−6)m︸ ︷︷ ︸
µm
= 1× 109µm
(b) Fração de micron em centímetro:
1HHµm
(
10−6ZZm
1HHµm
)(
102cm
1ZZm
)
= 10−4cm = 1
104
cm =
1
10.000
cm
7
2. Taxa de crescimento da planta:
(
3.7ZZm
14HHHdias
)(
1HHdia
24AAh
)(
1AAh
60HHHmin
)(
1HHHmin
60As
)(
106µm
1ZZm
)
= 3.0 µm/s
3. mT = 5.98× 1024kg
m¯a = 40 u (1 átomo)
(5.98× 1024@@kg)
(
1Zu
1.660× 10−27@@kg
)(
1 átomo
40Zu
)
= 9.0× 1049 átomos
4. Força gravitacional: F = (Gm1m2)/r2
F[N] = F
[
kg ·m
s2
]
F =
Gm1m2
r2
→ G = Fr
2
m1m2
=
(
@@kg ·m
s2
)(
m2
kgA2
)
G
[
m3
kg · s2
]
5. Função de decaimento: N(t) = N0e−λt
N(t)
N0
= e−λt → ln
(
N(t)
N0
)
︸ ︷︷ ︸
não tem
unidade
= −λt → −λt[s]︸ ︷︷ ︸
não pode ter
unidade
→ λ = 1
s
λ =
1
t
8
6. Função da massa em relação ao tempo: m = 5.00t0.8 − 3.00t+ 20.00, onde m[g] e t[s].
(a) Esboçar o gráfico da função m(t):
2 4 6 8 10
21
22
23
24
t(s)
m(g)
(b) Para encontrar o tempo onde a curva é máxima, deriva-se em relação a t e iguala a
zero:
dm
dt
= 5.00(0.8t−0.2)− 3.00 = 0
4.00t−0.2 − 3.00 = 0
t = 0.2
√
4.00
3.00
→ t = 4.2139 s
(c) m(4.2139) = 23.16 g
(d) m(2.00 s) = 22.70 g
taxa =
(
22.70AAg
2.00As
)(
1 kg
1000AAg
)(
60As
1 min
)
= 0.68 kg/min (aumentando)
(e) m(5.00 s) = 23.12 g
taxa =
(
23.12AAg
5.00As
)(
1 kg
1000AAg
)(
60As
1 min
)
= 0.28 kg/min (diminuindo)
9