Apostila Medidas e erros

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Instituto Federal de Brasília – IFB 
Campus Taguatinga 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE MEDIDAS E ERROS 
 
Mecânica 1 Experimental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Jonathan Teixeira 
 
 
 
 
 
Licenciatura em Fïsica 
 
2º/2015 
Mecânica 1 Experimental – MEDIDAS E ERROS 
	
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Sumário 
 
Capítulo 1 - Conceitos sobre medidas e erros ................................................................ 3	
  
1.1 - O que é medir? ................................................................................................ 3	
  
1.2 - Classificação dos erros. ................................................................................... 4	
  
Capítulo 2 - Algarismos Significativos .......................................................................... 5	
  
2.1 - Algarismo duvidoso ........................................................................................ 5	
  
2.2 - Regras de arredondamento .............................................................................. 6	
  
Capítulo 3 - Operações com algarismos significativos .................................................. 7	
  
3.1 - Adição e Subtração ......................................................................................... 7	
  
3.2 - Multiplicação e divisão ................................................................................... 7	
  
Capítulo 4 - Incerteza instrumental ................................................................................ 9	
  
4.1 - Paquímetro ...................................................................................................... 9	
  
4.2 - Micrômetro ................................................................................................... 13	
  
4.3 - Fórmula geral da propagação de erros .......................................................... 17	
  
4.4 - Cálculo do erro experimental absoluto ......................................................... 18	
  
4.4.1-	
   Cálculo do erro aleatório ΔXAleatório ......................................................... 18	
  
Capítulo 5 - Gráficos .................................................................................................... 22	
  
5.1 - Papel milimetrado ......................................................................................... 23	
  
5.2 - Parte Prática .................................................................................................. 23	
  
5.3 - Papel monolog e log-log ............................................................................... 27	
  
Capítulo 6 - Referências bibliográficas ........................................................................ 30	
  
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Capítulo 1 - Conceitos sobre medidas e erros 
 
Toda operação de medida exige do experimentador habilidade no manuseio de 
instrumentos de medida e a capacidade de efetuar corretamente a leitura destes instrumentos. 
Não basta, por exemplo, determinar o comprimento de uma barra através de uma régua, é 
preciso saber expressar essa medida com o número correto de algarismos significativos e avaliar 
corretamente a sua incerteza. Desta forma, outra pessoa poderá entender o valor dado à 
grandeza e também qual o intervalo de confiança da medida, o que poderá permiti-la reproduzir 
os resultados ou mesmo receber uma encomenda que poderá executar. 
Há grandezas que nem sempre podem ser obtidas diretamente, como área, volume, 
densidade, etc. Neste caso, a incerteza final da grandeza depende da incerteza de cada medida 
realizada para obtê-la, dessa forma propagando a incerteza. 
Pretendemos aqui discutir alguns conceitos e procedimentos básicos para que se possa 
expressar corretamente as medidas e resultados de experiências, assim como analisá-los com um 
mínimo de correção e rigor tanto do ponto de vista numérico como conceitual. 
 
1.1 - O que é medir? 
 
Medir é comparar uma quantidade de uma determinada grandeza (comprimento, tempo, 
massa, etc.) com uma outra quantidade da mesma grandeza, que é definida previamente como a 
unidade. Esta comparação se realiza utilizando um instrumento de medida. Por mais cuidadosa 
que possa ser uma medição e por mais preciso que possa ser o instrumento de medida utilizado, 
não é possível realizar uma medida exata. Sempre existe uma incerteza na definição do 
resultado. Por esta razão, o resultado da medida de uma quantidade m (qualquer) deve sempre 
estar acompanhado de uma estimativa da incerteza correspondente. Isto se formula por 
 𝑚 = 𝑀   ± ∆𝑀 (1) 
 
onde m é o resultado da medida, M é o valor medido e ∆M uma quantidade positiva, que é 
chamada incerteza da medida e que determina o número de dígitos (algarismos) utilizados para 
formular este resultado (a incerteza é expressa por um número com um único algarismo 
significativo). Compete ao experimentador avaliar a incerteza para cada medição. A expressão 
(1) nos diz que qualquer dos valores compreendido entre M + ∆M e M − ∆M é aceitável para a 
medida de m e que o experimento em questão não permite preferência por nenhum deles. 
 
 
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Exemplo 1. O resultado da medida do volume de um sólido deve ser escrito como V = (2,37 ± 
0,04) cm3 e não como V = (2,3652168 ± 0,04) cm3, pois a incerteza de 0,04 cm3 indica que não 
se tem nenhuma certeza sobre os algarismos que se seguem ao 6. 
 
 
1.2 - Classificação dos erros. 
 
Por mais criteriosa que seja uma medição e por mais preciso que seja o instrumento, não 
é possível realizar uma medida exata. Em outras palavras, existe sempre uma incerteza quando 
se compara uma medida de uma dada grandeza física com sua unidade. De acordo com sua 
natureza, os erros são classificados, como: sistemático, grosseiros e acidentais: 
Ø Os erros sistemáticos são provocados por fontes associadas a instrumentação ou ao método 
de medida utilizado, e, em princípio, podem ser eliminados ou compensados. Esses erros 
fazem com que as medidas estejam sistematicamente acima ou abaixo do valor verdadeiro. 
Como exemplo de erros sistemáticos, pode-se citar a utilização de uma régua graduada 
numa temperatura de 30ºC , mas que foi calibrada a 20ºC . A dilatação de sua escala 
resultará num erro sistemático em todas as medidas. 
Ø Os erros grosseiros ocorrem devido a imperícia ou distração do operador. Como exemplos 
pode ser citados, uma escolha errada de escalas, erros de cálculo, etc. Esses erros podem ser 
reduzidos por meio da repetição cuidadosa das medições. 
Ø Os erros acidentais ocorrem devido a causas diversas e imprevisíveis, difíceis de serem 
eliminadas. Esses erros podem ter várias origens, tais como em relação aos próprios 
instrumentos de medida, onde pequenas flutuações das condições ambientais (temperatura, 
pressão, umidade, etc.) afetam os resultados experimentais, ou em fatores associados ao 
operador sujeitos as variações, tais como, visão e audição. Pode-se dizer que uma medida 
terá exatidão quando os erros sistemáticos forem desprezíveis e uma medida terá precisão 
quando esse for o caso para os erros acidentais. 
Ø O erro aleatório, como o nome sugere, é produto das variações nas medições que não 
seguem uma tendência fixa, mas que podem ser analisadas estatisticamente pelo cálculo de 
sua dispersão. 
A dispersão de um conjunto de leituras de um instrumento do qual desejamos determinar o 
erro aleatório é estimada a partir de seu desvio padrão, cuja definição matemática é dada por: 𝜎 = !!!! !!!! (2) 
onde n é o número de medidas, 𝑥! é o i-ésimo valor medido e 𝑥 a média dos valores. 
Desconsiderando a existência de erros grosseirose erros acidentais, o erro experimental 
será dado pela soma do erro aleatório com o erro instrumental. Mais detalhes sobre o erro 
instrumental será dado no capítulo 4. 
 
 
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Capítulo 2 - Algarismos Significativos 
 
2.1 - Algarismo duvidoso 
 
 A medida de uma grandeza física é sempre aproximada, por mais experiente que seja o 
operador e por mais preciso que seja o aparelho utilizado. Esta limitação reflete-se no número 
de algarismos que se pode utilizar para representar uma 
medida. O procedimento padrão é a utilização de algarismos 
que se tem certeza de estarem corretos, admitindo-se 
geralmente o uso de apenas um algarismo duvidoso. Esses 
algarismos são denominados de algarismos significativos 
(AS) e a sua quantidade estará diretamente relacionada à 
precisão da medida. 
 
Exemplo. A barra AB da figura é medida com duas réguas, uma centimetrada e outra 
milimetrada. Pela figura (a) pode-se dizer que o comprimento AB é 8,3cm. Observe que o 
algarismo 8 é exato, enquanto que o algarismo 3 que foi avaliado é o duvidoso. Na figura (b) a 
medida de AB é 82,6mm ou 8,26cm. Aqui 8 e 2 são exatos e o 6, que foi avaliado, é o duvidoso. 
 
Durante um processo de medida experimental, é importante ficar atento as seguintes 
regras associadas aos algarismos significativos: 
 
1- Zeros à esquerda do primeiro algarismo significativo diferente de zero não são algarismos 
significativos. Por exemplo, tanto 25,3 cm como 0,253 m tem a mesma medida e tem 3 
algarismos significativos. Similarmente, pode-se dizer que 2 = 0,2 x10 = 0,02 x102 todos têm 1 
algarismo significativo, 32 = 3,2 x10 = 0,32 x102 todos têm 2 algarismos significativos, e 
0,000531 = 0,531x10-3 =5,31x10-4 todos têm 3 algarismos significativos. 
 
2- Zeros à direita de um algarismo significativo são também significativos. Por exemplo, 25,3 
cm e 25,30 cm são medidas diferentes. A primeira tem 3 algarismos significativos e a segunda, 
de maior precisão, tem 4 algarismos significativos. 
 
3- Zero situado entre algarismos significativos é também significativos. Por exemplo, 25,3 cm 
tem 3 algarismos significativos e 2,053 m tem 4 algarismos significativos. 
 
 
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2.2 - Regras de arredondamento 
 
Durante o cálculo de grandezas cujo o valor é medido indiretamente, nossos cálculos 
podem nos levar a dúvidas como no exemplo abaixo: 
 
Exemplo. Se mediu os lados de um retângulo obtendo-se L1 = 12,3 mm e L2 = 2,4 mm, a área 
será A=L1×L2 =29,52mm2. O resultado final tem 4AS? Bem, L1 tem 3 AS e L2 tem 2 AS. Se o 
resultado final for escrito com 3 AS (como L1) então facilmente arredondaríamos para A = 29,5 
mm2, mas se queremos o resultado escrito com 2 AS (como L2) o resultado é A =29mm2 ou 
A=30mm2? 
 
Adotaremos o critério NBR 5891, da ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), para 
as aproximações: 
 
a) O último algarismo de um número deve sempre ser mantido caso o algarismo descartado seja 
inferior a cinco (Exemplo: 423,0012 = 423,001 ). 
b) O último algarismo de um número deve sempre ser acrescido de uma unidade caso o 
algarismo descartado seja superior a cinco (Exemplo: 245,6 = 246 ). 
c) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado existirem 
quaisquer outros algarismos diferentes de zero, o último algarismo retido será acrescido de uma 
unidade (Exemplo: 2,0502 = 2,1). 
d) No caso do algarismo descartado ser igual a cinco, se após o cinco descartado só existirem 
zeros ou não existir outro algarismo, o último algarismo retido será acrescido de uma unidade 
somente se for impar (Exemplos: 4,3500 = 4,4 ; 1,25 = 1,2 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 - Operações com algarismos significativos 
 
Para executar operações matemáticas com algarismos significativos, deve-se primeiro 
transformar todas as parcelas para a mesma unidade e seguir as regras abaixo: 
 
3.1 - Adição e Subtração 
 
Para as operações de adição ou subtração, devemos primeiramente arredondar os 
valores dos algarismos significativos a fim de deixá-los com o mesmo número de casas 
decimais. Abaixo temos um exemplo básico para a soma de cinco medidas de comprimento, 
feitas por instrumentos diferentes: L1 = 12,34 m, L2 = 0,057340 m, L3 = 0,00345 m, L4 = 
3,42210 m e L5 = 0,98m. Dessa forma, podemos escrever a operação acima da seguinte 
maneira: 
 
L1 = 12,34 ⇒ 12,34 continua como está 
L2 = 0,057340 ⇒ 0,06 o algarismo 5 foi acrescido de uma unidade pois 7 > 5. 
L3 = 0,00345 ⇒ 0,00 foi mantido o 0 pois 3 < 5. 
L4 = 3,42210 ⇒ 3,42 foi mantido o 2 pois 2 < 5. 
L5 = 0,98 ⇒ 0,98 continua como está 
LT = 16,80289 ≠ 16,80 (resultado certo) 
 
3.2 - Multiplicação e divisão 
 
Para as operações de multiplicação e divisão realizamos as operações normalmente, 
sendo que o resultado final deve ser escrito com o mesmo número de algarismos significativos 
ao do fator que possui a menor quantidade de algarismos significativos. Vejamos um exemplo 
básico: o cálculo da medida da área da face de uma porta, que tem a forma retangular, medindo 
2,083 m de comprimento e 0,817 m de largura, 
 
A = (2,083).(0,817) = 1,701811 m2. 
 
O resultado obtido na multiplicação acima deve ser arredondado para ficar com três 
algarismos significativos, que correspondem ao número de algarismos significativos do fator 
0,817 m. Por isso, devemos arredondar o resultado, dando como resposta 1,70 m2. Caso se 
esteja utilizando uma equação, os números puros não podem ser levados em conta como 
referência para a determinação dos algarismos significativos. Por exemplo, a área de um 
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triângulo é dada por 𝐴 = !.!! , em que b é a medida da base e h é a altura relativa àquela base. 
Para um triângulo de base 2,36 cm e altura 11,45 cm, o cálculo da área será: 
 𝐴 = 2,36  𝑐𝑚  . 11,45  𝑐𝑚2 = 13,511  𝑐𝑚! 
 
O resultado será escrito S = 13,5 cm2 (de modo que tenha apenas três algarismos 
significativos, como o fator 2,36 cm), pois o número 2, no denominador, não serviu de 
parâmetro para a determinação do número de algarismos significativos da resposta. Ele pertence 
à equação, não é resultado de medição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 4 - Incerteza instrumental 
 
 Para determinarmos a incerteza de uma medida devemos considerar os fatores que 
influem na sua avaliação: a habilidade do experimentador, as condições em que a medida foi 
realizada, o próprio objeto a ser medido e, fundamentalmente, o instrumento utilizado. 
Entretanto, devemos expressar a incerteza de uma medida em termos que sejam compreensíveis 
a outras pessoas e para isso utilizaremos o seguinte critério: 
 
• Se o instrumento não permitir a avaliação do algarismo duvidoso, este será considerado como 
sendo o último algarismo obtido no instrumento e, neste caso, a incerteza estimada (erro 
associado à medida) será a menor divisão da escala do instrumento. 
 
Exemplo: Nos instrumentos digitais (com mostrador numérico) normalmente o erro é igual a 
menor variação da medida. No caso de uma balança digital que marca 460,42 g temos ∆m = 
0,01g então a massa medida, corrigindo o valor indicado, seria: m= (460,42 ± 0,01) g (5 AS) 
 
• Se o instrumento permitir a avaliação do algarismoduvidoso, a incerteza estimada será a 
metade da menor divisão da escala do instrumento. 
 
Exemplo: Utilizando uma régua cuja menor divisão foi um centímetro, avaliamos o 
comprimento AB em 8,3 cm. Como o experimentador pode avaliar o algarismo 3, a incerteza da 
medida será: ∆(AB) = 1cm / 2 = 0,5 cm (metade da menor divisão da escala do instrumento). 
Consequentemente, devemos expressar o valor da medida do comprimento AB como sendo: AB 
= (8,3 ± 0,5) cm (2 AS). 
 
Exemplo: Utilizando uma régua cuja menor divisão foi um milímetro, avaliamos o 
comprimento AB em 82,6 mm. Como o algarismo 6 pode ser avaliado, a incerteza da medida 
será: ∆(AB) = 1mm /2 = 0,5 mm (metade da menor divisão da escala do instrumento). 
Portanto, devemos expressar o valor da medida do comprimento AB como sendo: AB = (82,6 ± 
0,5) mm (3 AS). 
 
 
4.1 - Paquímetro 
 
A medição de grandezas dimensionais (comprimento, altura, espessura, profundidade, 
etc.) é essencial para compreensão de diversos fenômenos físicos. Para realizar essa medição 
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utiliza-se diversos instrumentos tais como, réguas, paquímetros, micrômetros, traçadores de 
altura, projetores de perfil, relógio comparadores, etc. Cada instrumento possui características 
próprias que permitem medir todo tipo de característica dimensional de um elemento, ou seja, 
para cada medição há um instrumento mais adequado à ser utilizado. Dentre os instrumentos 
citados os que possuem maior versatilidade na utilização são a régua, o paquímetro e o 
micrômetro. Além de se diferenciarem quanto a aplicação e a construção a característica que vai 
diferenciar esses instrumentos é a resolução. Essa característica é definida como a “menor 
variação da grandeza medida que causa uma variação perceptível na indicação correspondente” 
(VIM, 2012), neste ponto é importante diferenciar resolução de precisão, enquanto a primeira é 
uma característica construtiva a segunda é um característica de desempenho do instrumento. Por 
exemplo, a figura 1 mostra duas réguas graduadas em milímetros e com resoluções diferentes. 
 
Figura 1 – (A) Régua com resolução de 1 mm; (B) Régua com resolução de 0,5 mm. 
 
Considerando as réguas apresentadas na figura 1 é comum ouvir que a régua B é mais 
precisa que a régua A, entretanto esse entendimento é errado, uma vez que a precisão está 
relacionado com a dispersão dos resultados de medição e não com a capacidade de perceber 
uma grandeza. Para determinar a precisão das réguas seria necessário realizar medidas 
consecutivas de uma mesma grandeza e a partir dos resultados a escala mais precisa será aquela 
que apresentar menor dispersão (desvio). A definição da resolução é importante uma vez que é 
uma das características metrológicas que direcionam a classificação e seleção de instrumentos 
de medição. 
Foi impulsionado pela necessidade em se medir com uma melhor resolução que no 
século XVI o matemático português Pedro Nunes desenvolveu um dispositivo para efetuar 
medições de minutos de graus, permitindo um melhor planejamento das navegações. Esse 
dispositivo era composto basicamente de uma escala composta (uma fixa e uma móvel). A 
escala móvel era adaptada a um astrolábio (escala fixa), em homenagem ao matemático 
português esse componente móvel foi nomeado de Nônio. A partir do trabalho de Pedro Nunes, 
um francês matemático e construtor de instrumentos de medição, Pierre Vernier, no século XVII 
aplicou o conceito de escala composta e construiu um instrumento para medição de dimensões 
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externas que ficou conhecido como paquímetro, a escala móvel do paquímetro é chamada 
também de “Vernier” em sua homenagem. 
Atualmente existem diversos tipos de paquímetros, por exemplo, universal, de 
profundidade, para engrenagens, para medir distância entre centros, etc. Dentre esses diversos 
tipos os paquímetros podem ser encontrados marcados em milímetros e/ou em polegadas e são 
classificados de acordo com sua resolução. As resoluções mais utilizadas tanto na indústria 
como na academia são: 0,1 mm; 0,05 mm – 1/128”; 0,02 mm – 0,001” e 0,01 mm – 0,0005”. 
Por sua versatilidade e aplicabilidade o paquímetro mais utilizado é do tipo universal com dupla 
marcação (milímetro e polegada), as partes principais são a escala fixa, que determina a parte 
inteira da indicação da medição, e a escala móvel, que determina, de acordo com a resolução, a 
parte decimal da indicação da medição. A figura 2 apresenta as partes de um paquímetro 
universal. 
 
 
Figura 2 - Paquímetro Universal 
 
Além da marcação em dois sistemas de unidades o que dá o nome de universal a esse 
tipo de paquímetro é sua aplicabilidade em medições de dimensões externas (bicos), internas 
(orelhas), de profundidade (haste) e de ressalto (batente). Em relação a resolução a mais 
utilizada é a de A na figura 3. Esta mostra as quatro aplicações de um paquímetro universal com 
resolução de 0,05 mm – 1/128”, que é a mais utilizada. 
 
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Figura 3 - Aplicações de um paquímetro universal. 
 
A leitura da indicação de um paquímetro é realizada em duas etapas. Na primeira é 
realizada a leitura da escala fixa para determinar a parte inteira da indicação, em seguida busca-
se na escala móvel qual traço coincide com algum traço da escala fixa, o traço coincidente será a 
parte fracionária da indicação. Aqui apresenta-se a exemplos de leitura de um paquímetro com 
resolução de 0,05 mm, isto é cada traço da escala móvel representa um incremento de 0,05 mm. 
A figura 4 apresenta o resultado de uma medição. 
 
Figura 4 - Exemplo de leitura de um paquímetro com resolução de 0,05 mm. Traço coincidente marcado de vermelho. 
 
No exemplo da figura 4 a escala fixa indica 11 mm e o traço coincidente da escala 
móvel é o traço que representa 0,20 mm. Dessa forma, a indicação da medição será de 11,20 
mm. 
O paquímetro com resolução de 0,05 mm vem também com marcações na parte superior 
em polegadas cuja a resolução é de 1/128”. A leitura é realizada da mesma forma que na escala 
em milímetro a diferença que a indicação é dada na forma fracionária. A figura 5 apresenta um 
exemplo dessa leitura. 
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Figura 5 - Exemplo de leitura de um paquímetro com resolução de 1/128”. Traço coincidente marcado de vermelho. 
 
No exemplo da figura 5 cada traço da escala fixa representa 1/16”, com isso a indicação 
dessa escala será de 3/16”. Cada traço da escala móvel representa 1/128”, no exemplo o traço 
coincidente é o que representa 4/128”. Dessa forma, a indicação da medição será a soma dessas 
duas indicações, ou seja, 4/128” que simplificada chega-se ao resultado da medição de 7/32”. 
 
4.2 - Micrômetro 
 
No século XVII outros instrumentos de medição também foram criados com resoluções 
cada vez menores. Um astrônomo e matemático inglês, William Gascoigne, apresentou o 
desenvolvimento de um instrumento de medição baseado no deslocamento linear de uma haste 
(figura 8a) que é o princípio de medição do micrômetro. Mas foi no século XIX que o francês 
Jean-Laurent Palmer aplicou este conceito para pequenas distâncias e construiu um dispositivo 
que levou seu “Palmer” (figura 8b), esse dispositivo é o que hoje conhecemos como 
micrômetro. 
(a) (b) 
Figura 8 - (a) Dispositivo de William Gascoigne e (b) Réplica do dispositivo patenteado por Palmer. 
 
O micrômetro é um instrumento metrológico capaz de aferir as dimensões lineares de 
um objeto (tais como espessura, altura, largura,profundidade, diâmetro etc.) com precisão da 
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ordem de micrometros, que são a milionésima parte do metro. Esse instrumento tem vasta 
aplicação na indústria mecânica e em diversos contextos de medição e ensaios não-destrutivos, 
medindo toda a espécie de objetos. 
Com o micrômetro pode-se ter medidas lineares, sendo normalmente usado quando a 
medição exige uma precisão acima da possibilitada com um paquímetro. O princípio de 
medição do micrômetro baseia-se no deslocamento axial de um parafuso micrométrico com 
passo de alta precisão dentro de uma rosca ajustável. Em outras palavras, o seu mecanismo 
consiste no sistema porca-parafuso, no qual, o parafuso avança ou retrocede na porca na medida 
em que o parafuso é girado em um sentido ou noutro em relação à porca. A circunferência de 
rosca (tambor) é dividida em 50 partes iguais, possibilitando leituras de 0,01mm a 0,001mm. 
O princípio de funcionamento do micrômetro é semelhando a um sistema parafuso-
porca, onde há uma porca fixa e um parafuso móvel, cada volta completa do parafuso representa 
um deslocamento linear igual ao passo da rosca do parafuso. Dessa forma, realizando a divisão 
adequada do elemento que gira o parafuso, é possível obter resoluções, em milímetros, de 0,01 
mm e 0,001 mm. Atualmente no mercado há micrômetros com a resolução de um décimo de 
milésimo de milímetro (0,0001 mm). Diferentemente do paquímetro que sofre com deformações 
durante a medição, o micrômetro possui um formato e elementos que garantem a rigidez 
necessária para se obter essas resoluções. A figura 9 apresenta uma desenho esquemático de um 
micrômetro. 
 
Figura 9 - Micrômetro e suas partes. 
 
Devido ao tamanho do tambor, a amplitude de medição de um micrômetro é geralmente 
de 25 mm ou 1”, ou seja, para medir dimensões maiores é necessário deslocar o zero e 
consequentemente a faixa nominal de indicação. Por isso é comum que os micrômetros sejam 
encontrados em jogos compostos por mais de um micrômetro. O primeiro dispositivo de um 
jogo de micrômetros é aquele que possui um faixa nominal de indicação de 0 – 25 mm, esse é o 
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micrômetro mais comum e foi apresentado na figura 9. Tendo como referência a amplitude de 
medição o próximo micrômetro do jogo teria faixa nominal de 
indicação de 25 – 50 mm, o próximo de 50 – 75 mm e assim 
sucessivamente. Para micrômetros em polegada os jogos são 
compostos por micrômetros de faixa nominal de 0 – 1”; 1 – 2”; 
2 – 3”, etc. A figura 10 mostra uma imagem de um jogo de 
micrômetros, com uma amplitude de medição de 150 mm, 
composto 6 micrômetros com faixas nominais de indicação de 
0 – 25 mm; 25 – 50 mm; 50 – 75 mm; 75 – 100 mm; 100 – 125 
mm e 125 – 150 mm. Figura 10 - Jogo de micrômetros 
Existem diversos tipos de micrômetros indicados para as mais diversas aplicações, tais 
como, medição de passo de engrenagem, medição de roscas, de profundidade, de medições 
internas, de medição de peças de faces impares, etc. 
A leitura da indicação do micrômetro é feita em etapas, semelhante ao procedimento do 
paquímetro, realizando-se a leitura da escala fixa e da marcação do tambor que coincidiu com a 
marca central. A figura 11 apresenta um exemplo de leitura de um micrômetro com resolução de 
0,01 mm. 
 
Figura 11 - Exemplo de leitura de um micrômetro com resolução de 0,01 mm. 
 
No exemplo da figura 12 cada traço da escala fixa representa 0,5 mm, com isso a 
indicação dessa escala será de 6,50 mm. Cada traço do tambor representa 0,01 mm no exemplo 
o traço coincidente é o que representa 0,21 mm. Dessa forma, a indicação da medição será a 
soma dessas duas indicações, ou seja, 6,71 mm. 
Na figura 12 apresenta-se um micrômetro com resolução de 0,001 mm, a diferença e 
que neste caso há um nônio gravado no corpo da escala fixa. 
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Figura 12 - Exemplo de leitura de um micrômetro com resolução de 0,001 mm. Com uma ampliação da 
escala. 
 
No exemplo da figura 12 cada traço da escala fixa representa 0,5 mm com isso a 
indicação dessa escala será de 2,500 mm. Cada traço do tambor representa 0,01 mm, no 
exemplo o traço imediatamente após a marca central representa 0,180 mm. O traço do nônio que 
coincide com o traço tambor é o que representa 0,005 mm. Dessa forma, a indicação da medição 
será a soma dessas três indicações, ou seja, 2,685 mm. Esse mesmo procedimento se aplica aos 
micrômetros em polegada com a diferença de que a escala fixa é dividida de forma que cada 
traço representa 0,025”. 
Ao utilizar um instrumento para a medição de uma peça podemos nos deparar com o 
problema de saber, por exemplo, a área ou volume de uma peça. Essas grandezas não podem ser 
medidas diretamente, desta forma, precisa-se utilizar os dados lineares (comprimento, altura e 
espessura) para calcular a área ou volume da peça. Dessa forma é necessário saber como 
propagamos os erros medidos. A próxima seção mostrará esse procedimento. 
 
 
 
 
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4.3 - Fórmula geral da propagação de erros 
 
Considere certa grandeza física 𝑓 que seja função de outras grandezas físicas 𝑥! , 𝑥!, 𝑥!,…, ou seja, 𝑓  𝑥! , 𝑥!, 𝑥!,… . Se os erros experimentais associados às grandezas são 
dados, respectivamente, por ∆𝑥!,∆𝑥!,∆𝑥!,…, então, para encontrar o erro ∆f de f, basta calcular: 
 ∆𝑓 = 𝜕𝑓𝜕𝑥1 ∆𝑥! + 𝜕𝑓𝜕𝑥2 ∆𝑥! + 𝜕𝑓𝜕𝑥3 ∆𝑥! +⋯ (3) 
 
onde !"!!! é a derivada parcial, ou seja, a derivada de f em relação à 𝑥! considerando somente este 
valor de x como variável. As barras verticais representam o módulo da derivada parcial. 
 
 
Como um exemplo, considere certa partícula de massa 𝑚 = 2,1 ± 0,5 𝑘𝑔   e velocidade 𝑣 = 10,3 ± 0,1  𝑚/𝑠. Qual o erro associado à sua energia cinética ( 𝐾 = !!!! )? 
Resposta: aplicando a eq. (3), temos: 𝜕𝐾𝜕𝑚 = 𝜕𝜕𝑚 !!!! = !!! 𝜕𝑚𝜕𝑚 = !!! 
Por outro lado, 𝜕𝐾𝜕𝑣 = 𝜕𝜕𝑣 !!!! = !! 𝜕𝑣2𝜕𝑣 = !! 2𝑣 = 𝑚𝑣 . Como 𝜕𝐾𝜕𝑚 = 𝜕𝐾𝜕𝑚 = !!! e 𝜕𝐾𝜕𝑣 = 𝜕𝐾𝜕𝑣 =𝑚𝑣 , então, ∆𝐾 = 𝜕𝐾𝜕𝑚 ∆𝑚 + 𝜕𝐾𝜕𝑣 ∆𝑣 . Assim, ∆𝐾 = !!! ∆𝑚 +𝑚𝑣  ∆𝑣 . Substituindo os valores 
numéricos:∆𝐾 = (!",!)!! ∙ 0,5 + 2,1 ∙ 10,3 ∙ 0,1 ≅ 29. 
 
A partir da equação 3, o aluno poderá obter as seguintes regras de propagação de erros, onde c e 
n são constantes quaisquer. 
• Adição: 𝑧   ±  Δz   =   (𝑥   ±  Δ𝑥)  +  (𝑦   ±  Δ𝑦)  =   (𝑥   +  𝑦)  ±  (Δ𝑥   +  Δ𝑦)   
• Subtração: 𝑧   ±  Δz   =   (𝑥   ±  Δ𝑥)  −  (𝑦   ±  Δ𝑦)  =   (𝑥   −  𝑦)  ±  (Δ𝑥   +  Δ𝑦) 
• Multiplicação por uma constante: 𝑧   ±  Δ  𝑧   =  𝑐  (𝑥   ±  Δ  𝑥)  =  𝑐𝑥   ±  𝑐Δ𝑥 
• Potência: 𝑧   ±  Δ  𝑧   =   (𝑥   ±  Δ  𝑥)!  =  𝑥!  ±  𝑛𝑥!!!Δ𝑥 
• Multiplicação: 𝑧   ±  Δ𝑧   =   (𝑥   ±  Δ𝑥). (𝑦   ±  Δ𝑦)  =   (𝑥. 𝑦)  ±  (𝑥Δ𝑦   +  𝑦Δ𝑥) * 
• Divisão: z ± Δ z = (!  ±  !!)(!  ±  !!) = !! ± !!! (𝑥Δ𝑦 +  yΔ𝑥) * 
onde todos os termos posteriores ao sinal ± são tomados em valor absoluto, ou seja, todos os 
termos pertencentes ao erro são positivos e sempre se somam. 
Obs*: Tanto a multiplicação quanto a divisão a propagação do erro pode ser calculado por 
 
∆𝑧𝑧 = ∆𝑥𝑥 + ∆𝑦𝑦 
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4.4 - Cálculo do erro experimental absoluto 
 
Foi dito anteriormente que ao relatar um resultado experimental, além da melhor 
estimativa, devemos também relatar a margem de confiabilidade deste valor. Como decidir, em 
meio a tantostipos diferentes de erros, qual a margem de confiabilidade? Para responder à 
pergunta acima, devemos levar em consideração a natureza de cada tipo de erro. 
Como regra geral, parte-se do pressuposto de que o experimentalista fez todos os 
esforços para eliminar os vários tipos de falhas ou erros sistemáticos. Assumindo que os erros 
grosseiros e os erros sistemáticos foram eliminados, o Erro Experimental Absoluto será dado 
pela soma dos erros Instrumental e Aleatório, ou seja: 
ΔX = ΔXInstrumental + ΔXAleatório (4) 
ΔX é chamado de erro absoluto porque sua determinação independe do valor da grandeza X. 
Existem situações em que um dos tipos de erro predomina. Nestes casos, é usual assumir como 
erro absoluto o erro predominante. O erro instrumental foi visto na seção anterior, agora 
veremos como encontrar o erro aleatório. 
 
4.4.1- Cálculo do erro aleatório ΔXAleatório 
 
No erro de natureza aleatória, existe uma possibilidade igual de se errar para mais ou para 
menos. Por exemplo, ao realizar uma série de medidas de tempo obteve-se os resultados 1,55s; 
1,58s; 1,60s; 1,63s; 1,61s; 1,56s; 1,59s; 1,60s; 1,62s; 1,60s. Observando que o menor valor 
medido é 1,55s, e o maior valor medido é 1,63, estima-se que o valor mais provável é 1,59s e a 
variação máxima é em torno de 0,04s. Esta, além de ser uma forma grosseira de estimar o erro 
associado à grandeza, é uma superestimativa, já que em uma série de medidas obtém-se um 
número maior de resultados em torno do valor mais provável, como no nosso exemplo, que 
temos três resultados iguais a 1,60s e apenas um resultado igual a 1,55s. Uma estimativa melhor 
para o erro aleatório deve basear-se no conceito que o erro aleatório é uma medida da dispersão 
dos resultados em torno do valor mais provável. 
Devido a sua imprevisibilidade, é impossível determinar o valor verdadeiro do erro 
aleatório. Mas, é possível fazer uma estimativa deste erro utilizando um tratamento estatístico. 
Para que a análise estatística faça algum sentido, o número de medidas não deve ser inferior 
a dez, e determina-se o erro aleatório calculando: 
a) A melhor estimativa da grandeza como a média aritmética das diversas medidas. Efetuando-
se N medidas de uma grandeza, obtendo-se os valores, x1, x2, x3,....xN, o valor mais provável 
da grandeza é 
𝑥 = 1𝑁 𝑥!!!!!          (5) 
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No exemplo acima, x = 1,594s. 
b) O desvio padrão para medidas (σ) que indica a tendência das medidas de se distribuírem em 
torno do seu valor mais provável é dado por: 
𝜎 = (𝑋! − 𝑋)!(𝑁 − 1)            (6) 
A ideia existente na expressão acima é a seguinte: a diferença (𝑥! − 𝑥) fornece uma 
medida de quanto o valor de cada medida xi se afasta do valor 𝑥. O efeito cumulativo 
destas diferenças é obtido tomando-se a soma dos quadrados das diferenças, isto é, (𝑥! − 𝑥)!!!!! . Apenas o valor absoluto do desvio é mportante, por tal motivo, considera-
se a soma dos quadrados que é uma soma de termos positivos. Em seguida, determina-se a 
média desses desvios quadráticos. Como existem apenas (N-1) desvios independents então 
o denominador será N-1. Para servir como medida do desvio na grandeza x, é necessário 
que a expressão de 𝜎 tenha a dimensão de x, por isso é tomada a raiz quadrada. 
O desvio padrão é uma estimativa da precisão do instrumento, ou seja, fornece a 
idéia de qual é a diferença entre o valor obtido numa observação particular e o valor médio. 
Ele estabelece um intervalo de valores [ x – σ, x + σ ] tal que a probabilidade de uma 
observação cair nesse intervalo é 68%. O desvio padrão para medidas não varia com o 
número de dados, é uma medida da precisão do instrumento e só depende deste. No 
exemplo acima, σ = 0,025s. É fácil verificar que a margem de erros deixa de fora quatro 
valores da tabela, os dois maiores e os dois menores. Isto significa que a nossa faixa x ± σ, 
engloba 60% dos resultados obtidos, e este resultado é bem razoável para um conjunto de 
apenas dez valores. 
c) Desvio padrão da média 𝝈𝒎 – Utilizando o princípio de que a média tende ao valor 
verdadeiro quando o número de medidas efetuadas tende a ∞, precisamos estimar quanto o 
valor médio dado pela fórmula (5) se aproxima do valor verdadeiro, ou seja, precisamos 
estimar uma precisão para a média. Como na prática não podemos obter um número infinito 
de medidas, vamos supor que temos M conjuntos cada um com um número finito de N 
medidas. Obtém-se para cada conjunto uma média m. Calcula-se a média das médias e o 
desvio padrão da média. A média das médias tende ao valor verdadeiro se o número total de 
dados MN, tender ao infinito. O desvio padrão da média, 𝜎!, indicará a tendência do 
conjunto de M médias m se distribuírem em torno do seu valor médio, portanto dará uma 
avaliação da precisão da média. Pode-se estimar a precisão da média a partir de um 
conjunto de N medidas fazendo-se o cálculo do desvio padrão da média através da 
expressão: 
 
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𝜎! = 𝜎𝑁 = (𝑋! − 𝑋)!𝑁(𝑁 − 1)                  (7) 
 
Diferente do desvio padrão (σ), o desvio padrão da média (𝜎!) varia com o número de 
medidas. É interessante notar que o desvio padrão da média decresce na razão inversa da 
raiz quadrada do número de medidas realizadas, sendo assim, a precisão da média aumenta 
com 𝑁. No exemplo acima, referente à medida de tempo, tem-se 𝜎! = 0,0079. A partir 
das definições anteriores, o erro aleatório pode ser estimado através da expressão 
ΔX = k.  𝜎! 
na qual o coeficiente k, pode assumir diferentes valores dependendo do número de medidas 
e da confiabilidade desejada. Por simplicidade será adotado k como sendo 1. Neste caso, o 
erro aleatório será numericamente igual ao desvio padrão da média. 
 
No exemplo acima, considerando que as medidas foram obtidas com erro instrumental de 
0,01s e erro aleatório 0,008s, o erro experimental é 0,02s e o resultado da medida deve ser 
expresso como 1,59 ± 0,02 seg. O erro experimental representa 1% do valor medido, portanto a 
medida foi feita com boa precisão. 
Observações : 
1. O erro em uma medida define a posição do algarismo duvidoso, portanto a melhor estimativa 
e o erro devem ter o mesmo número de casas decimais. Exemplo: devemos escrever v = 
181,1 ± 0,1 cm/s e não v = 181,07 ± 0,1 cm/s. 
2. A melhor estimativa da medida deve ser escrita com apenas um algarismo duvidoso, e o erro 
define a posição desse algarismo. Assim sendo, qualquer erro, com exceção do erro 
percentual, deve ser expresso com apenas um algarismo significativo. Exemplo: devemos 
escrever x = 4,35 ± 0,03 cm e não x = 4,35 ± 0,025 cm. Mas, esta não é uma regra geral. É 
perfeitamente plausível que em um instrumento com menor divisão de escala 0,5; o erro 
instrumental seja avaliado como 0,25 (a divisão por dois leva a um dígito adicional), 
portanto com dois dígitos. 
3. No cálculo de erro aleatório, teoricamente seria possível apresentar o resultado do erro com 
todos os dígitos, até o limite do dígito correspondente à precisão do instrumento, mas 
tratando-se de trabalho experimental visando obter o melhor resultado, o experimentalista 
não estaria fazendo o melhor uso do equipamento à disposição, já que o erro aleatório pode 
ser reduzido até atingir valor comparável com a precisão do instrumento, através do 
aumento do número de medidas. Exemplo: erro instrumental 0,005cm; erro aleatório 
0,037cm. O erro absoluto seria 0,042cm. O resultado da medida seria escrito como 4,343 ± 
0,042cm. A melhor estimativa e o erro têm o mesmo número de casas decimais, no entanto 
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o erroescrito como 0,042 indica que os dígitos 4 e 5 da medida são duvidosos. É mais 
apropriado então escrever: 4,34 ± 0,04 cm. 
4. A melhor estimativa e a incerteza devem sempre ter a mesma dimensão ( e de preferência a 
mesma unidade). Exemplo: g = 9,37 ± 0,05 m/s2 ou (9,37 ± 0,05) x 102 cm/s ou 937 ± 5 
cm/s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 5 - Gráficos 
 
Se f é uma função com domínio D, seu gráfico consiste dos pontos no plano cartesiano 
cujas coordenadas são pares de entrada/saída para f. Na notação de conjunto, o gráfico é: 
{(x , f(x)) / x ∈ D} 
Os gráficos estão entre as principais maneiras de se apresentar e analisar dados em ciência e 
tecnologia. Eles devem ser claros e conter um título, eixos, escalas, unidades e barras de erro. A 
lista abaixo é de utilidade para que o iniciante não se esqueça de alguns quesitos necessários 
para que o gráfico seja bem interpretado e efetivamente útil. 
 
1. Desenhe os eixos claramente: a variável dependente deve estar sempre no eixo vertical (y) e 
a variável independente no eixo horizontal (x). 
2. Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores 
intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2, e não de 7,7 em 7,7). 
3. Se possível cada um dos eixos deve começar em zero. 
4. Marque abaixo do eixo horizontal e ao lado do eixo vertical o nome da variável ali 
representada e, entre parênteses, as unidades usadas. 
5. Escreva, na parte superior da área do gráfico, o título do gráfico. Todo gráfico deve ter um 
título. 
6. Marque cada um dos pontos do gráfico cuidadosa e claramente, escolhendo para isto um 
símbolo adequado e de tamanho facilmente visível. 
7. Não esqueça de numerar e escrever uma legenda breve explicando de que se trata a figura e 
fornecendo a informação necessária para que o leitor a entenda. 
 
Um gráfico bem feito é talvez a melhor forma de apresentar os dados experimentais. Eles 
tem muitos parâmetros que devem ser escolhidos criteriosamente como a função a ser 
representada, as escalas dos eixos, o tamanho e o símbolo para os pontos experimentais. A 
função que você vai representar depende do tipo de informação que você quer transmitir e como 
se encaixa esta informação no argumento que você está seguindo para demonstrar algo. Por 
exemplo, se seus dados descrevem o movimento de queda livre de uma partícula, você pode 
representar x(t) se quer mostrar visualmente que o movimento é parabólico, mas se quiser 
determinar a aceleração da gravidade é mais conveniente representar x(t2) já que aceleração 
pode ser extraída da inclinação desta reta. O guia para as outras escolhas deve ser sempre o 
conceito de que um gráfico é uma ajuda visual para a sua argumentação e para que o leitor 
entenda rapidamente as evidências experimentais. 
 
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Gráfico de posição x tempo. 
 
 
5.1 - Papel milimetrado 
 
A importância da utilização de gráficos na análise de experiências em laboratório 
decorre do fato de nos permitir uma imediata visualização do comportamento de uma grandeza 
(variável dependente) em relação à outra (variável independente). Nos gráficos construídos em 
coordenadas cartesianas marca-se no eixo horizontal (abscissa) a variável independente e no 
eixo vertical (ordenada) a variável dependente. Em geral, os gráficos são traçados em papel 
apropriado para isso, tais como: papel milimetrado (escalas lineares), papel monolog ou semilog 
(uma escala linear e outra logarítmica) e papel dilog, ou log-log (escalas logarítmicas). 
 
 Papel milimetrado Papel monolog Papel dilog 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aparência dos papéis milimetrado, monolog e dilog. 
 
5.2 - Parte Prática 
 
 Suponha que um experimentador mediu a velocidade de um corpo em função do tempo 
e construiu a tabela abaixo: 
v(m/s) 1,08 1,50 1,64 1,96 2,34 2,66 3,11 3,48 3,66 3,84 4,27 
t(s) 0,033 0,067 0,100 0,133 0,167 0,200 0,233 0,267 0,300 0,333 0,367 
Valores medidos da velocidade versus o tempo de um corpo. 
 
 
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a) Escolha dos Eixos 
 
 A velocidade v foi medida em função de t. Logo teremos, v = f(t). Portanto, v é a 
variável dependente e t é a variável independente. De uma forma mais geral podemos escrever y 
= f(x), onde y = v e x = t. Assim marcaremos v no eixo y e t no eixo x. 
 
b) Posição do Papel 
 
 O papel não é quadrado. Vamos supor que as dimensões do papel são 25 cm x 30 cm. A 
tabela de dados experimentais definirá se o papel vai ficar na horizontal (deitado) ou na vertical 
(em pé). 
 Iremos trabalhar com notação científica (potências de 10). Inicialmente vamos calcular 
a variação de v e de t. 
 Dv = vf – vI = (427 - 108) . 10-2 m/s à Dv = 319 . 10-2 m/s 
 Dt = tf – tI = (367 - 33) . 10-3 s à Dt = 334 . 10-3 s 
 
Observe que a tabela não começou em t = 0 s, e sim em t = 0,033 s. Talvez seja possível 
reconstruir a tabela desde o início. A condição necessária (mas não suficiente) é que tenhamos 
nos nossos eixos os pontos t = 0 s e v = 0 m/s. Logo 
 Dv = vf – vI = (427 - 0) . 10-2 m/s à Dv = 427 . 10-2 m/s 
 Dt = tf – tI = (367 - 0) . 10-3 s à Dt = 367 . 10-3 s 
 
A maior variação foi da velocidade, logo os valores de v serão distribuídos na parte maior do 
papel, e a de t na menor. E o papel ficará na vertical (em pé). 
 
c) Construção da Escala 
 
 Vamos primeiro construir a escala para v. a variação de v foi de 427 . 10 –2 m/s. Então, 
temos que distribuir 427 m/s em 30 cm (a potência de 10 será indicada no eixo v). Precisamos 
fazer uma regra de 3 simples: 
 427 m/s à 30 cm 
 x m/s à 1 cm à 1 cm = 14,23 m/s 
 
 Se usarmos o bom senso não usaremos esta escala fracionária, mas se fizermos com que 
1 cm = 15 m/s, que é o valor inteiro imediatamente superior, os valores poderão ser marcados 
sem dificuldade no gráfico. 
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 Agora, iremos construir a escala para t. a variação de t foi de 367 . 10 –3 s. Então, temos 
que distribuir 367 s em 25 cm (a potência de 10 será indicada no eixo t). Também precisamos 
fazer uma regra de 3 simples: 
 367 s à 25 cm 
 x s à 1 cm à 1 cm = 14,68 s 
 
 Como no caso anterior, se usarmos o bom senso não escolheremos a escala fracionária. 
Que escala você usaria? Lembre-se de não escolher escalas fracionárias que terminam em 3, 7 e 
9 (por exemplo: 1,3; 2,7; 0,9), que dificultam sua construção. 
 
d) Construção do gráfico 
 
 Uma vez determinadas as escalas em ambos os eixos, marque os dados da tabela, faça a 
correspondência destes e trace a curva (gráfico) que melhor se adapta ao conjunto. 
 
e) Interpretação e Análise do Gráfico 
 
 Os pontos não deram exatamente uma reta, porém isso é perfeitamente explicável, 
simplesmente porque nenhuma medida é exata, ou seja, somos passiveis de erro. Mas essa 
distribuição nos sugere uma reta. Trace uma reta passando pelo maior número de pontos 
possível, tentando deixar mais ou menos a mesma quantidade de pontos em cima e em baixo da 
reta. A equação da reta é y = a x + b, onde y é a variável dependente, x é a variável 
independente, a é a inclinação da reta e b é o ponto onde a reta corta o eixo y. 
 A equação acima pode ser escrita como v = a t + v0, onde v0 é a velocidade quando t = 
0, que é encontrado prolongando-se a reta até cortar o eixo de v. Isso se chama extrapolação. 
Elasó pode ser feita quando trabalhamos com retas. 
 Uma informação importante é a rapidez com que a velocidade varia com o tempo, a isso 
damos o nome de aceleração (a = Dv / Dt). Pode-se calcular a como uma tangente (razão entre 
cateto oposto e adjacente) usando os valores da escala. Por exemplo, em nosso caso a = 9,65 
m/s2. Com isso você poderia sugerir o tipo de movimento que o experimentador estava 
estudando? 
Descrevemos a seguir um método rápido para estimar os parâmetros de uma reta, aconselhável 
quando não dispõe de um computador com software adequado para cálculos estatísticos. As 
únicas ferramentas necessárias são um lápis e régua (de preferência transparente). O método 
funciona melhor se as escalas do gráfico foram escolhidas decentemente, ou seja, com os pontos 
experimentais relativamente alinhados ao longo de uma diagonal. 
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Método gráfico para determinar os coeficientes da reta e seus desvios. As barras de erro são menores que 
o tamanho do símbolo de cada ponto experimental. 
 
 Para ilustrar o método vamos considerar os dados representados na Figura 4. Para 
simplificar as coisas nos limitaremos ao caso em que todos os pontos têm o mesmo peso. Siga 
os passos abaixo. 
1. Estime o centro de gravidade dos pontos ( x , y ). As retas vertical e horizontal que passam 
por este ponto divide o gráfico em quatro quadrantes. No exemplo da figura 4 os dados 
estão, aproximadamente, metade no quadrante 3 e metade no quadrante 2. 
2. Coloque a ponta do lápis no ponto ( x , y ) e apoie a régua no lápis. 
3. Gire a régua em torno do ponto ( x , y ) até que 50% dos pontos de cada quadrante estejam 
por cima, e 50% por baixo da régua. (Note que mais de uma reta satisfaz esta condição e 
você deve escolher uma média.) Trace a reta média. A equação desta reta será y = ax + b. 
4. Apoie novamente a régua no lápis e gire-a em torno do ponto ( x , y ) até deixar, 
aproximadamente, 16% dos pontos de cada quadrante abaixo e 84% acima da régua. A 
equação desta reta é y = y + amin (x - x ). A inclinação desta reta representa a inclinação 
mínima, amin , dentro de um desvio padrão. Prolongando esta reta até cortar o eixo x = 0, o 
ponto de interseção determina bmax. 
5. Agora gire a régua, sempre em torno do ponto ( x , y ), de modo de deixar aproximadamente 
16% dos pontos de cada quadrante acima e 84% abaixo. A equação desta reta é y = y + 
amax (x - x ). Esta reta determina a inclinação máxima, amax, e a sua prolongação até x = 0, 
bmin . 
Note que na região delimitada pelas retas de inclinação máxima e mínima ficam 
aproximadamente 68% dos pontos experimentais, que é consistente com o conceito de desvio 
padrão para uma distribuição normal. Se a sua apreciação foi correta, a reta média (item 3) deve 
ficar no meio das retas com inclinações mínima e máxima traçadas nos ítens 4 e 5. Para 
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determinar os valores de a e b, assim como os erros padrões nestes parâmetros utilize as 
equações: 
2
a - a a minmax= , 
2
b - b b minmax= , 
N2
|a - a| a minmax=Δ e 
N2
|b - b| b minmax=Δ . 
 
 O método é relativamente subjetivo, pois depende da sua apreciação mas, com um 
pouco de prática, você obterá excelentes resultados. Se os pontos têm pesos diferentes, siga o 
mesmo procedimento descrito, mas levando em consideração os pesos relativos de cada ponto. 
O peso de cada ponto deve ser aproximadamente proporcional à inversa da barra de erro. 
 
5.3 - Papel monolog e log-log 
 
Não devemos esperar que todos os fenômenos físicos sejam lineares, isto é, que o 
gráfico de uma variável em função de outra seja sempre uma reta, desde que sejam mantidas 
constantes as demais variáveis que possam intervir no fenômeno estudado. 
 Muitas funções matemáticas que regem fenômenos físicos são do tipo y = c xn ou ainda 
do tipo y = c enx. É evidente que outras funções mais complexas ou mais simples devem 
aparecer. Analisaremos primeiro as do tipo y = c xn. É claro que se um experimentador medir as 
variáveis x e y em um laboratório poderá traçar um gráfico y versus x, mas dependendo do valor 
de x, tal gráfico nos dará poucas informações. Façamos, no entanto, a aplicação do logaritmo a 
ambos os membros da expressão e teremos o seguinte: 
 log y = log(c xn) à log y = log c + n log x 
 
chamando: 
 log y = z 
 log c = b 
 log x = w, 
teremos a função: 
 z = b + n w 
 
 Essa equação nos diz que z é uma função linear de w. Logo seu gráfico será uma reta. É 
evidente que com uma calculadora científica se pode construir esse gráfico em um papel 
milimetrado comum fazendo um gráfico de z em função de w, para tirarmos as conclusões como 
foi visto para gráficos lineares. Porém podemos simplificar, se usarmos um papel apropriado, o 
dilog, que já está em escala logarítmica. Então poderemos traçar gráficos de z versus w que são 
na verdade gráficos de log x versus log y. Como o gráfico é uma reta, pode-se tirar sua 
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inclinação (n), que na função inicial é o expoente de x e o valor de c cujo logaritmo pode ser 
visto no ponto onde a reta corta o eixo z, ou log y. 
 
4. Tarefa de construção e análise de gráficos 
 
a) y = c xn: 
 
 A tabela a seguir foi obtida por um experimentador que mediu a velocidade do som, a 0o 
C, em diversas fases, tendo encontrado os seguintes valores da velocidade em função do peso 
molecular de cada gás: 
 
 
Gás Peso Molecular (PM) em g Vsom a 0oC em m/s 
H2 2 1.266,00 
CH4 16 431,0 
NH3 17 414,0 
CO 28 336,0 
NO 30 324,0 
O2 32 316,0 
CO2 44 261,0 
NO2 46 257,0 
CS2 75 184,0 
Velocidade do som no ar, v, em função dos pesos moleculares, PM. 
 
 A tabela permite ver que a velocidade do som decresce quando o peso molecular cresce. 
Mas de que forma? A análise pura e simples da tabela não permite chegar a nenhuma outra 
conclusão. Faça a seguinte tarefa: 
1. Fazer o gráfico em papel milimetrado de v versus PM 
2. Verificar que mesmo com o gráfico fica difícil achar uma relação matemática entre v e PM. 
3. Trace o gráfico log v versus log PM (ou simplesmente v versus PM, no papel dilog). Antes 
de faze-lo analise cuidadosamente a folha de papel . Observe que na origem aparece o 1, 
pois log 1 é zero. Nos outros pontos você terá log 2, log 3, etc. Pode-se ter outras potências 
de 10. 
4. A partir do gráfico traçado determine: v = c PMn, que é o mesmo que log v = log c + n log 
PM 
 
b) y = c enx: 
 
 Analisaremos agora o tipo de função y = c enx, também muito comum em física. 
Tomemos o ln (logaritmo neperiano ou natural) dos dois membros da equação acima e teremos: 
 ln y = ln c + n x 
Mecânica 1 Experimental – MEDIDAS E ERROS 
	
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 Neste caso para traçar uma reta, devemos traçar o gráfico de ln y versus x. Podemos usar 
o mesmo artifício de calcular o ln y e marcar seus valores contra os correspondentes de x em um 
papel milimetrado comum. Porém, é mais fácil usar o papel monolog, onde uma das escalas já é 
logarítmica e a outra é linear. Outro experimento é a medição da corrente elétrica de um 
capacitor em um circuito RC a cada intervalo de tempo. O resultado da medição é apresentado 
na tabela a seguir: 
 
t(s) 20,0 40,0 60,0 80,0 110,0 140,0 160,0 180,0 200,0 ± 0,5 
i(µA) 42,0 33,0 27,0 22,0 16,0 11,0 9,0 7,0 6,0 ± 0,5 
Valores da corrente elétrica i em função do tempo t. 
 
1. Faça a seguinte tarefa: 
2. Faça o gráfico da tabela 2 (i versus t) usando o papel milimetrado 
3. A partir do gráfico procure determinar qual a relação funcional entre i e t, ouseja, determine 
i = f(t). E como você vai pode perceber é difícil encontrar esta relação usando este gráfico. 
4. Faça o gráfico de ln i versus t (ou simplesmente, i versus t no papel monolog). 
5. Com esse gráfico, suponha que i = c enx, determine o valor de c e de n, e escreva a equação 
que melhor satisfaz o dados da tabela 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 6 - Referências bibliográficas 
 
 
1. Cruz, C.H.B., Fragnito, H.L., Costa, I.F. e Mello, B.A., “Guia para Física Experimental - 
Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros”, IFGW, Unicamp, 1997. 
2. Damo, H.S., “Física Experimental I – Mecânica, Rotações, Calor e Fluidos”, EDUCS, RS, 
1985. 
3. Professores do Grupo de Física Experimental do DFTE/UFRN, “Roteiro para Aula 
Experimental – Física Experimental I”, Departamento de Física Teórica e Experimental, UFRN. 
4. Christopher G. Deacon, Error Analysis in the Introductory Physics Laboratory, The Physics 
Teacher, 368 . 30 (1992). 
5. G. L. Squires, Pratical Physics, Cambridge University Press, Third Edition (1994) 
6. Otaviano A. M. Helene, Vito R. Vanin, Tratamento Estatístico de Dados em Física 
 Experimental, Ed. Blucher , 1981.