Aula 02 Erros e representação numérica

Prévia do material em texto

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas
Campus Maceió, Engenharia Civil
Cálculo Numérico
Alexandre Cunha Machado
Rodrigo Mero Sarmento da Silva
Erros e representação numérica
Alexandre Cunha Machado
Erros numéricos
Representando uma alternativa a inexistência
ou a dificuldade de obtenção de uma solução
analítica, o cálculo numérico nos apresenta
um conjunto de ferramentas para obtenção
de soluções aproximadas. Em sua essência,
tais resultados implicam na ocorrência de um
erro. Mas o que é um erro?
Erros numéricos
er·ro |ê|
(derivação regressiva de errar ou do latim erros, -
oris, .ação de vaguear, indecisão, ignorância, ilusão, engano)
substantivo masculino
1. .Ato ou efeito de errar.
2. Aquilo que resulta de uma má compreensão ou de análise deficiente de um .fa
to ou de um assunto. = ENGANO, .INCORREÇÃO, .INEXATIDÃO
3. O que está imperfeito ou mal feito. = DEFEITO, FALHA, IMPERFEIÇÃO, SOLECIS
MO
4. Diferença entre o valor real e o valor calculado ou .registrado por observação.
5. Desvio em relação a uma norma (ex.: erro ortográfico).
6. Afastamento do que é considerado o bom caminho ou a boa conduta. = DESVI
O, FALHA
7. Atitude ou comportamento considerado reprovável do ponto de vista moral. =
FALHA, PECADO
"erro", in Dicionário Priberam da Língua Portuguesa [em linha], 2008-
2013, https://www.priberam.pt/dlpo/erro [consultado em 21-02-2017].
Tipos de erros
• Erro de Modelagem; 
• Erro de Dados;
• Erro de Truncagem;
• Erro de Representação 
numérica (Conversão de base 
ou arredondamento)
Não relacionadas 
às técnicas de 
cálculo numérico
Erro de Modelagem
Na engenharia é preciso representar
matematicamente (modelar) fenômenos
físicos/químicos reais afim de conseguir
solucioná-los. Nem sempre essa
representação é correta e, nesse caso, o erro é
do modelo. Esse é o tipo de erro mais difícil
de ser detectado, pois o usuário cria uma
ferramenta, que pode estar fazendo os
cálculos corretos, mas com uma “fórmula
errada”!
Erro de Modelagem
Ex: Determinar a altura de uma torre
utilizando uma esfera metálica e a
equação do movimento
uniformemente variado.
2
00 tg2
1tvSS 
Equação que governa o problema:
onde: 
Erro de Modelagem
• Erros de Modelagem
• Desprezou-se:
• Resistência do ar;
• Velocidade do vento;
• Forma do objeto, etc.
Esses erros estão associados, em geral, à simplificação
do modelo matemático adotado (imposição de
idealizações).
A equação pode ser resolvida analiticamente ou
numericamente e, mesmo que tudo seja feito
corretamente, haverá um erro.
Fatores que não são
considerados na fórmula da
função horária do espaço
Erro de Dados
No uso de um modelo matemático, o
engenheiro terá que coletar dados referentes
ao fenômeno físico, que quer solucionar, para
utilizar em seus cálculos. É possível que esses
dados não sejam precisos;
Erro de Dados
Os erros de modelagem e na obtenção de
dados não são relacionados ao cálculo
numérico propriamente dito, por serem
originados antes da utilização das
ferramentas que estamos estudando.
Erro de resolução
Os erros de resolução estão associados a
alguns fatores:
• Forma como os dados são 
representados/armazenados;
• Operações numéricas efetuadas;
• Erro de truncamento (troca de uma 
série infinita por uma série finita).
Erro de Truncamento
Algumas funções, que podem vir a descrever
problemas de engenharia, são aproximadas
por séries
O grau de aproximação de um resultado
pode estar relacionado a quantidade de
termos utilizados.
Erro de Truncamento
O erro de truncamento também pode estar
associado a limitação de casas decimais de um
número.
0110100011110001110000,0
Estudaremos esse tipo de problema mais a frente
Representação Numérica
Como o ser humano representa números?
Representação Numérica
Como um computador representa e grava
números em sua memória?
Representação Numérica
Na era digital, os computadores foram criados
com a capacidade de gravar informações em
meios magnéticos, como um discos rígidos,
representado na figura abaixo.
A gravação de dados
é feita por processos
eletromagnéticos
Um computador normalmente opera no sistema 
ou base binária (zeros e uns).
Qual a base utilizada em nosso dia-a-dia?
Base decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Exemplos:
(100110)2 = (38)10
(11001)2 = (25)10
http://www.calculadoraonline.com.br/conversao-bases
Representação Numérica
Outras bases numéricas
• Decimal
• Hexadecimal
• Octal
Base Binária
No sistema binário, os números são representados apenas
pelos algarismos 1 e 0. Sua criação é atribuída ao cientista e
engenheiro alemão Gottfried Wilhelm Leibniz. Um
computador usa a base binária para armazenar vários tipos
de informação, como números, letras, textos e até dados
gráficos.
Representação Numérica
Representação de um número real
Exemplo:
Como seria a representação do número 39,28 em uma 
base decimal?
Como seria a representação do número 100,01 em uma 
base binária?
)10810(2)10910(328,39 2101  
10(39,28)28,39 
)212(0)20202(1100,01 21012  
2)01,100(01,100 
• Interação entre usuário e computador:
Dados de entrada
sistema decimal
Operações no
sistema binário
Dados de saída
sistema decimal
Usuário UsuárioComputador
Como fazer a conversão entre os sistemas ou bases?
Representação Numérica
Conversão entre bases numéricas
• Binária para Decimal
• Decimal para Binária
• Na conversão de um número escrito em base decimal 
para uma base binária são utilizados: 
• Método das divisões sucessivas para a parte inteira;
• Método das multiplicações sucessivas para conversão da 
parte fracionária do número em questão.
10
0123
2 (13)104821202121(1101) 
10
01234
2 (25)2120202121(11001) 
• Decimal para Binária
• Método das divisões sucessivas (parte inteira)
• Divide-se o número (inteiro) por 2;
• Divide-se por 2, o quociente da divisão anterior;
• Repete-se o processo até que o último quociente seja igual a 1.
O número binário é então formado pela concatenação do
último quociente com os restos das divisões, lidos em sentido
inverso.
Conversão entre bases numéricas
Conversão entre bases numéricas
• Decimal para Binária
• Exemplo: converter o número (13)10 (?)2
210 (?)(13) 
Quociente Resto
13/2 6 1
6/2 3 0
3/2 1 1
210 )1101()13( 
Resultado:
• Decimal para Binária
• Método das multiplicações sucessivas (parte
fracionária)
• Multiplica-se o número (parte fracionária) por 2;
• Do resultado, a parte inteira será o primeiro dígito
do número na base binária e a parte fracionária é
novamente multiplicada por 2;
• O processo é repetido até que a parte fracionária
do último produto seja igual a zero.
Conversão entre bases numéricas
Conversão entre bases numéricas
• Decimal para Binária
• Exemplo: converter o número (0,375)10 (?)2
210 (?)(0,375) 
210 (0,011)(0,375) 
Resultado:
• Decimal para Binária
• Exemplo: converter o número (13,375)10 (?)2
210 (?)5)37,13(  Quociente Resto
13/2 6 1
6/2 3 0
3/2 1 1
Converte-se inicialmente a parte inteira:
... em seguida a parte fracionária:
210 1)1(1101,05)37(13, Resultado:
Conversão entre bases numéricas
Conversão entre bases numéricas
• Atenção: Nem todo número real na base decimal possui uma 
representação finita na base binária. Tente fazer a conversão de 
(0,11)10 (?)2. Esta situação ilustra bem o caso de erro de 
arredondamento nos dados.
• Um computador que opera no sistema binário irá armazenar uma 
aproximação para (0.11)10
• Supondo um computador que trabalhe com 6 dígitos: (0,11)10 seria
armazenado (0,000111)2 e este número representaexatamente
(0,109375)10
• Esse “erro” poderia se acumular num somatório e o resultado poderia ser
diferente, dependendo
210 )100011110101110001100110100011110001110000,0()11,0( 



30000
1i
0,11S
Esse resultado poderia ser 3300 ou 3299,99691 a
depender da quantidade de dígitos que o
computador que realiza o cálculo trabalha
Base Octal
• Base Octal
• Sistema de numeração na base 8, formado pelo resto das
divisões sucessivas de um número na base decimal pelo
quociente 8.
• As informações são expressas em algarismos decimais de 0 a
7.
• Esse sistema seria uma alternativa mais compacta ao sistema
binário
Conversão entre bases numéricas
• Octal para Decimal
• Decimal para Octal
6273484651283868281)163(1 01238 
Base Hexadecimal
Sistema de numeração na
base 16, formada com a
mesma metodologia da
base octal, exceto pelo fato
de que são usados pelos
algarismos de 0 a 9 e ainda
as letras A, B, C, D e F, sendo
A equivalente a 10, B a 11 e
assim por diante.
• Hexadecimal para Decimal
• Decimal para Hexadecimal
Base Hexadecimal
http://www.multicalculadora.com.br/
Na internet, existem vários sites que fazem conversão
entre bases numéricas diferentes
Representação no formato Ponto Flutuante
É uma forma de representação numérica mais utilizada por
computadores, na qual o número é dividido em três
partes:
• Sinal
• Parte fracionária
• Expoente
Operações de Ponto Flutuante
Exemplos:
Escrever os números reais -5.172, 5391.3 e 0.0003 que
estão na base β =10 em notação de um sistema de
aritmética de ponto flutuante
114321 100.517210)10210710110(55.172  
4454321 1053913.010)103101109103105(3.5391  
331 103.010)103(0003.0  
Número na base 
decimal
Representação em
ponto flutuante
Mantissa Base Expoente
-5,172 -0,5172 x 101 0,5172 10 1
5391,3 0,53913 x 104 0,53913 10 4
0,0003 0,3 x 10-3 0,3 10 -3
Operações de Ponto Flutuante
• Exemplos:
• Considerando agora que estamos diante de uma máquina 
que utilize apenas três dígitos significativos e que tenha 
como limite inferior e superior para o expoente, 
respectivamente, -2 e 2, como seriam representados nesta 
máquina os números do exemplo anterior?
Temos então para esta máquina t = 3, I = -2 e S = 2. Desta forma 
-2 ≤ e ≤ 2. Sendo assim temos:
110517.0172.5 
4100.5395391.3 
3103.00003.0 
(e = 4 não pode ser representado nesta máquina – overflow)
(e = -3 não pode ser representado nesta máquina – underflow)
• Um erro de overflow ocorre quando o número é muito grande 
para ser representado, já um erro de underflow ocorre na 
condição contrária, ou seja, quando um número é pequeno 
demais para ser representado.
Operações de Ponto Flutuante
Operações de Ponto Flutuante
• Algumas linguagens de programação permitem a
declaração de variáveis em precisão dupla:
• Variável representada no sistema de aritmética de ponto
flutuante com aproximadamente o dobro de dígitos
disponíveis na mantissa;
• Em contrapartida, o tempo de execução aumenta de forma
significativa.
Operações de Ponto Flutuante
• Aplicação
• Considerando uma máquina com capacidade para armazenar
um número com quatro dígitos significativos, com limites
inferior e superior para o expoente de -15 e 15,
respectivamente. Como é representado o número (25)10 neste
sistema? Qual o menor e o maior número, em valor absoluto,
representados nesta máquina?
Respostas:
0,2500 x 102
Menor: 0,1000 x 10-15
Maior: 0,9999 x 1015
Erros Numéricos
• Na aplicação de Métodos Numéricos para resolver um 
problema, trabalhamos com aproximações. Assim, 
precisamos estabelecer maneiras de delimitar os erros.
• Erro Absoluto: diferença entre o valor exato de um 
número x e seu valor aproximado :x
xxEAx 
Em geral, apenas é conhecido, e o que se faz é assumir um
limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro
absoluto.
x
Erros Numéricos
• Exemplos
• Sabendo-se que tomaremos para um valor 
dentro deste intervalo e teremos, então,
• Seja x representado por de forma que 
podemos dizer que 
• Seja y representado por de forma que , 
podemos dizer que
 3,14;3,15π  π
0,01ππEAπ 
9,2112x  0,1EAx 
13)(2112,8;21x
5,3y  0,1EAy 
(5,2;5,4)y
Os valores para os erros absolutos nos dois últimos exemplos foram idênticos. Os
valores de x e y foram representados com a mesma precisão?
Erros Numéricos
• Erro Relativo
• Erro Relativo Exato: erro absoluto dividido pelo valor exato:
• Erro Relativo Aproximado: erro absoluto dividido pelo valor 
aproximado:
x
xx
x
EAERe xx

x
xx
x
EAERa xx

Em geral, conhecemos apenas um valor aproximado e um limitante superior
para o erro absoluto.
Erros Numéricos
• Exemplos
• Nos dois últimos exemplos queríamos saber se os valores 
de x e y foram representados com a mesma precisão.
• Calculando os erros relativos:
5x
x 10x4,72112,9
0,1
x
EAERa 
0,02
5,3
0,1
y
EA
ERa yy 
O número x é representado com maior precisão do que y.
Concluindo: o erro absoluto não é suficiente para descrever a precisão de um
cálculo. Daí a maior utilização do conceito de erro relativo.
Erros Numéricos
• Erro Relativo Percentual
• É o erro relativo em termos percentuais:
• Exemplos - calculando os erros relativos percentuais para:
100ERe(%)EPe xx  100ERa(%)EPa xx 
0,0047%10104,7(%)EPa10x4,7ERa 25x
5
x  
2%100,02(%)EPa0,02ERa 2yy 
Arredondamento x Truncamento
• Arredondamento 
• Substituição de um número x por um número de
máquina mais próximo.
• Exemplo: dado o número x = 2,71828..., determinar usando
arredondamento um número aproximado com duas casas
decimais.
• Truncamento
• Acontece quando os dígitos de um número simplesmente são
descartados.
• Exemplo: no exemplo anterior, truncar o número em
quatro casas decimais.
2,72 x:Solução 
1822,7 x:Solução 
Arredondamento x Truncamento
• Aplicação
• Dar a representação dos números a seguir em um sistema 
de aritmética de ponto flutuante de três dígitos para β = 
10, I = -4 e S = 4.
x
1.25
10.053
-238.15
1.2152...
0.000007
718235.82
Representação por Arredondamento Representação por Truncamento
0.125 x 101 0.125 x 101
0.101 x 102 0.100 x 102
-0.238 x 103 -0.238 x 103
0.122 x 101 0.121 x 101
0.700 x 10-5  e < -4 (underflow) 0.700 x 10-5 e < -4 (underflow)
0.718 x 106 e > 4 (overflow) 0.718 x 106 e > 4 (overflow)
Arredondamento x Truncamento
• Considerações
• No arredondamento os erros cometidos são
menores que no truncamento, no entanto, o
arredondamento requer um maior tempo de
execução, e por esta razão o truncamento é mais
utilizado.
• A demonstração de que no arredondamento
incorremos em erros menores que no
truncamento pode ser encontrada no livro de
Cálculo Numérico das autoras Márcia Ruggiero e
Vera Lopes.
Propagação de erros
• Dada uma sequência de operações como:
é importante conhecer como os erros se propagam 
nas operações matemáticas realizadas.
• Para o exemplo abaixo considere: sistema de aritmética 
de ponto flutuante de quatro dígitos e base 10.
• Dados e , obter: 
2
w
zyx 



 
4
1 100.937x 
0
2 1027120.x 
  112 xxx 
 112 xxx 
Propagação de erros
• A adição em aritmética de ponto flutuante requer o
alinhamento dos pontos decimais dos dois números:
• A mantissa do número de menor expoente deve ser
deslocada para direita de um número de casas decimais
igual a diferença dos doisexpoentes
4
1 100.937x  42 1000000.x 
    44112 10937.010937.00000.0xxx 
    4112 10937.0937.0xxx 
  0000.0xxx 112 
Propagação de erros
• A adição em aritmética de ponto flutuante requer o 
alinhamento dos pontos decimais dos dois números:
    42112 10937.0937.0xxxx 
  0112 101272.0xxx 
Propagação de erros
• Considerações:
• A causa da diferença nas operações foi um arredondamento
que foi feito na adição x2 + x1 no primeiro caso, cujo
resultado tem oito dígitos. Como a máquina só armazena 4
dígitos, os menos significativos foram desprezados.
• Ao se utilizar uma máquina de calcular deve-se está atento a
essas particularidades causadas pelo erro de
arredondamento, não só na adição, mas também nas
demais operações.