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18 4. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Média Aritmética Simples ( _ x ) Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , temos : n x x n i i 1 _ . Exemplo : X = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 5 15 5 54321_ x 3 _ x . Média Aritmética Ponderada ( px _ ) Seja a seqüência numérica X = x1 , x2 , x3 , x4 , .... , xn , com pesos p1 , p2 , p4 , .... , pn , temos : i n i ii p p px x 1 _ . Exemplo : X = 1 , 2 , 3 , 4 10 28 10 12961 3331 3.43.33.21.1_ px P = 1 , 3 , 3 , 3 8,2 _ px . 4.1. Média Aritmética A média é a medida de tendência central mais conhecida e mais utilizada. Para obter a média aritmética, ou simplesmente a média de um conjunto de dados, você soma os valores de todos os dados e divide o total pelo número deles. Podemos calcular a média dos dados da população ou de uma amostra. A média aritmética da população é representada por (letra grega; lê-se mi), onde N representa o tamanho da população: ∑ . A média aritmética de uma amostra é representada por ̅ (lê-se x-traço ou x-barra). Como o tamanho da amostra é indicado por n, a fórmula para o cálculo da média é: ̅ ∑ . A maneira mais correta de escrever a fórmula da média aritmética é: ̅ ∑ Agora, exemplos de como se calcula a média aritmética de dados apresentados em tabelas de distribuição de freqüências. 1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, na tabela abaixo. Calcule a média. 19 Defeitos por Peça i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fi . Xi 1 0 6 2 1 4 3 2 5 4 3 1 Σ = total 16 = n Fonte: Desconhecida 2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. Calcule a meia. Idade de um Grupo i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Mi ou Xi * Fi . Mi 1 31 39 7 2 39 47 9 3 47 55 4 4 55 63 6 5 63 71 4 6 71 79 2 Σ = total 32 Fonte: Desconhecida 4.2. Mediana Mediana ( ) é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de dados ordenados. Então, para determinar a mediana, você precisa ordenar os dados. Para calcularmos a posição central devemos fazer . Se o número de dados é ímpar, a mediana é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. Se o número de dados é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores que ocupam a posição central dos dados ordenados. Exemplos: 5,0 – 5,5 – 7,0 – 8,0 – 8,5 Posição = = 3ª pos. 5,0 – 5,5 – 7,0 – 8,0 – 8,5 – 10,0 Posição = = ª pos. A mediana é uma medida separatriz que separa o conjunto de dados em dois: o que antecede e o que sucede a mediana. Para se calcular a mediana com dados organizados em classes nas tabelas de distribuição de freqüências, utilizamos a seguinte fórmula: ( ) ou ( ) Em que: 20 limite inferior da classe que contém a mediana; amplitude do intervalo de classe; frequência da classe que contém a mediana; número de dados; freqüência acumulada até a classe anterior à classe que contém a mediana. Exemplos: 1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, representadas na tabela abaixo. Calcule a mediana. Defeitos por Peça i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fa 1 0 6 6 2 1 4 10 3 2 5 15 4 3 1 16 Σ = total 16 = n --- Fonte: Desconhecida 2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. Calcule a mediana. Idade de um Grupo i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Fa 1 31 39 7 7 2 39 47 9 16 3 47 55 4 20 4 55 63 6 26 5 63 71 4 30 6 71 79 2 32 Σ = total 32 --- Fonte: Desconhecida 4.3. Moda Moda ( ) é o valor que ocorre com maior freqüência em um conjunto de dados. Mas como se determina a moda de dados organizados em classe. Quando os dados estão organizados em classes, podemos informar a classe modal e, se for preciso, a moda pode ser obtida pela fórmula: Em que: limite inferior da classe modal; amplitude do intervalo de classe; diferença entre as freq. abs. simples da classe modal e da classe anterior à modal; diferença entre as freq. abs simples da classe modal e da classe posterior à modal. Exemplos: 1) Seja X = número de defeitos por peça produzida em um lote de 16 peças, representadas na tabela abaixo. Determine a moda. 21 Defeitos por Peça i Xi = Nº Defeitos Fi = peças Fa 1 0 6 6 2 1 4 10 3 2 5 15 4 3 1 16 Σ = total 16 = n --- Fonte: Desconhecida 2) Seja X = idade, em anos, de um grupo de pessoas com 30 anos ou mais, na tabela abaixo. Determine a moda. Idade de um Grupo i Idades (Xi) Pessoas (Fi) Fa 1 31 39 7 7 2 39 47 9 16 3 47 55 4 20 4 55 63 6 26 5 63 71 4 30 6 71 79 2 32 Σ = total 32 --- Fonte: Desconhecida Quando os intervalos de classe são diferentes, a classe modal será a que apresentar maior densidade (quociente entre a freqüência e o intervalo de classe) e, consequentemente, maior densidade de freqüência relativa (quociente entre a freqüência relativa e o intervalo de classe). Como exemplo, observe a tabela abaixo. A classe “de 1 a 2 salários mínimos” apresenta a maior freqüência relativa, 27,6 e a maior densidade freqüência relativa, 27,6. Então, esta é a classe modal. Exercícios: 1) Calcule a média ( ), mediana (Md) e a moda (Mo) das tabelas de frequências abaixo: 22 a) Arrecadação Líquida da Previdência Social i Arrecadação fr fa fra 1 33 1 11,11 1 11,11 2 33,5 3 33,33 4 44,44 3 34 1 11,11 5 55,55 4 36 2 22,22 7 77,77 5 38 1 11,11 8 88,88 6 43 1 11,11 9 99,99 Σ 9 99,99 --- --- Fonte: Ministério da Previdência e Assistência Social b) Desempenho dos alunos da 2ª série do Ensino Fundamental i Desempenho fi fr (%) fa fra (%) 1 Inferior (I) 9 33,33 9 33,33 2 Médio (M) 14 51,85 23 85,18 3 Superior (S) 4 14,81 27 99,99 Σ 27 99,99 --- --- Fonte: Passeri/Unicamp c) Erros encontrados por página de uma monografia i Erros/página Páginas fr (%) fa fra (%) 1 0 10 33,33 10 33,33 2 1 8 26,67 18 60,00 3 2 7 23,33 25 83,33 4 3 3 10,00 28 93,33 5 4 2 6,67 30 100,00 Σ 30 100,00 --- --- Fonte: Desconhecida d) Alturas dos alunos da 7ª série do Colégio Analfa i Alturas (cm) Fi Fr (%) Fa FrA (%) 1 150 |-- 155 5 16,67 5 16,67 2 155 |-- 160 7 23,33 12 40,00 3 160 |-- 165 8 26,67 20 66,67 4 165 |-- 170 6 20,00 26 86,67 5 170 |--| 175 4 13,33 30 100,00 Σ 30 100,00 -- -- Fonte: Colégio Analfa e) Massa dos alunos de um curso de Engenharia i Massa (kg) fi Fr (%) fa Fra (%) 1 50 |-- 60 10 13,51 10 13,51 2 60 |-- 70 16 21,62 26 35,13 3 70 |-- 80 24 32,43 50 67,56 4 80 |-- 90 10 13,51 60 81,07 5 90 |-- 100 9 12,16 69 93,23 6 100 |-- 110 3 4,05 72 97,28 7 110 |-- 120 1 1,35 73 98,63 8 120 |-- 130 1 1.35 74 99,98Σ 74 99,98 -- -- Fonte: Desconhecida
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