Calculo I - Otimização

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5) Otimização 
Ex 1) 
Uma caixa sem tampa e com uma base quadrada, deve ser construída de forma que seu volume será de 2.500m3. O 
material da base tem custo R$ 600,00 por m2 e o das laterais R$ 400,00. Encontre as dimensões da caixa de modo 
que o custo seja menor possível. 
Formulas 
Volume = Ab.h 
Volume = x2.y = 2.500m3 
Custo Total = Ct 
Ct = x2.600 + 4xy.400 
Não dá para derivar com duas variáveis 
Vamos isolar o y 
x2.y = 2.500m3 
Y = 
2.500m3
𝑥2
 
Substituir o Y na função 
Ct = x2.600 + 4x
2.500
𝑥2
.400 
Ct = x2.600 + 4
2.500
𝑥
.400 
Ct = x2.600 + 
4.2.500.400
𝑥
 
Ct = 600 x2 + 
4 000 000
𝑥
 
Agora vamos derivar 
Ct’ = 600.2x2-1 + 
−4 000 000
𝑥2
 exemplo de derivada Y= 
1
𝑥
 y’= 
−1
𝑥2
 
Ct’ = 1200x1 + 
−4 000 000
𝑥2
 
Ai está a derivada 
Vamos igualar a 0 
Ct’ = 1200x + 
−4 000 000
𝑥2
 =0 
Multiplicar cruzado 
1200x
1
 = 
4 000 000
𝑥2
 =0 
1200x3 = 4 000 000 
12x3=40 000 
X3= 
40 000
12
 
X3=3 333,333... 
X=√3 333,333. .
3 
Base X 
Altura Y 
X=14,9 
Para descobrir o Y vamos substituir o x na função. 
Y = 
2.500m3
𝑥2
 
Y = 
2.500
(14,9)2
 
Y= 
2.500
222,01
 
Y = 11,2 
Vamos fazer o cálculo do custo inserindo na função Ct as medias de X e Y 
Ct = x2.600 + 4xy.400 
Ct = (14,9)2.600 + 4(14,9).(11,2).400 
Ct = 222,01.600 + 4.(14,9).(11,2).400 
Ct = 133 206 + 267 008 
Ct = 400 214 
Custo Total R$ 400,214,00 
 
 
2) Um galpão de 800m2 deve ser construído em um terreno retangular. A prefeitura exige recuos de 2m na frente 1m 
nos fundos, 2,5m na lateral direita e 1,5m na esquerda. Encontre as dimensões do terreno para que o mesmo possa 
ser aproveitado da melhor forma possível. 
 
 
Vamos lá 
Área do galpão = X.Y=800m2 
Largura do Terreno = X + 1,5 + 2,5 
X + 4 
Comprimento do Terreno = Y + 2 + 1 
Y + 3 
Área do Terreno = (x+4)(y+3) 
At= (x+4)(y+3) 
Vamos isolar o x 
Ag = X.Y=800m2 
X=
800
𝑦
 
Onde tem x na função da área do terreno vamos inserir o valor para x 
At= (x+4)(y+3) 
1,5m 2,5m 
1m 
2m 
Galpão 
800m2 
X 
Y 
At= (
800
𝑦
+ 4)(y + 3) 
 
At= (
800
𝑦
+ 4)(y + 3) 
At= (
800𝑦
𝑦
+ 4y +
2400
𝑦
+ 12 
At= 800 +
2400
𝑦
+ 4y + 12 
Assim ficou a função da área do terreno 
Vamos derivar 
At= 800 +
2400
𝑦
+ 4y + 12 
At’= 0 +
−2400
𝑦2
+ 4 + 0 
At’= 
−2400
𝑦2
+ 4 
Agora vamos pegar a derivada e igualar a 0(zero) ai encontraremos o valor de Y 
 
−2400
𝑦2
+ 4 = 0 
−2400
𝑦2
+ 4 = 0 passa o 
−2400
𝑦2
 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 
4 =
2400
𝑦2
 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜 
4𝑦2 = 2400 
𝑦2 =
2400 
4
 
𝑦2 = 600 
y = √600 = 24,5 
Substituir o y na função de x X=
800
𝑦
 
X=
800
24,5
 
X= 32,65 
Comprimento do Terreno = Y + 2 + 1 
Comprimento do Terreno = 24,5 + 2 + 1 = 27,5 
Largura do Terreno = X + 1,5 + 2,5 
Largura do Terreno = 32,65 + 1,5 + 2,5 
 
 
 
 
 
 
3) Uma janela tem a forma de um retângulo em cima por um semicírculo. Encontre as dimensões de modo que o 
perímetro seja 3,2m e a área a maior possível. 
 
 
 
Perímetro = x + 2y + π
𝑥
2
 = 3,2 
Lembrando que o perímetro do semicírculo é π
𝑥
2
 
Área retângulo = base x altura = x.y 
Área semicírculo = π x raio = π.( 
𝑥
2
)2 
As =
π
𝑥2
4
2
 
As =
𝑥2π
8
 
 
Perímetro = x + 2y + π
𝑥
2
 = 3,2 
P = x + 2y + 3,14
𝑥
2
 = 3,2 
 2y = 3,2 - x – 1,57x 
 2y = 3,2 - 2,57x 
 y = 
3,2 − 2,57𝑥
2
 
 y = 1,6 - 1,28x 
A 
Área Total = x.y +
𝑥2π
8
 
At=x(1,6 - 1,28x) + 
3,14𝑥2
8
 
At=1,6x - 1,28x2 + 0,39x2 
Vamos derivar 
At’=1,6 - 1,28.2x2-1 + 0,39.2x2-1 
At’=1,6 – 2,56x1 + 0,78x1 
At’=1,6 – 2,56x + 0,78x 
Igualar a 0 (zero) 
1,6 – 2,56x + 0,78x = 0 
 - 1,78x = - 1,6 (-1) 
X 
𝑥
2
 
Y Y 
X = 
1,6
1,78
 
X = 0,89 
Vamos achar Y 
y = 1,6 - 1,28x 
y = 1,6 - 1,28.(0,89) 
y = 1,6 - 1,14 
y = 0,46 
 
4) Uma folha de papel contém 375 cm2 de matéria impressa com margens superior de 3,5 cm, inferior 2 
cm, lateral direita 2 cm e esquerda 2,5 
Determine quais devem ser as dimensões da folha para que haja o máximo de economia de papel.