Lista 07

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
DEPARTAMENTO DE ESTATI´STICA
Estat´ıstica Aplicada para Engenharia
Se´tima Lista de Exerc´ıcios
11/07/2013
1. Regressa˜o atrave´s da origem: Ocasionalmente um modelo no qual o intercepto e´
conhecido e igual a zero pode ser ajustado. Este modelo e´ dado por:
yi = β1xi + ei , i = 1, ..., n
A soma dos quadrados dos res´ıduos para este modelo assumindo os ei independentes
e com variaˆncia comum σ2, e´ SQRes =
∑
(yi − βˆxi)2. Mostre que o estimados de
mı´nimos quadrados de β1 e´ dado por βˆ1 =
∑
xiyi∑
x2i
. Mostre que βˆ1 e´ na˜o viesado e que
var(βˆ1) =
σ2∑
x21
. Qual a expressa˜o para σˆ2, e quantos graus de liberdade teˆm?
2. A tabela abaixo nos fornece a taxa de inflac¸a˜o no Brasil ao londo dos anos.
Ano x Inflac¸a˜o (y)
1961 -9 9
1963 -7 24
1965 -5 72
1967 -3 128
1969 -1 192
1971 1 277
1973 3 373
1975 5 613
1977 7 1236
1979 9 2639
(a) Note que na˜o existe uma relac¸a˜o linear entre as varia´veis. Ajuste o modelo yi =
β0e
β1xi�i, i = 1, ..., 10. (Dica: Defina y
∗
i = logyi, β
∗
0 = logβ0 e �
∗
i = log�i)
(b) Obtenha a tabela ANOVA e os intervalos de confianc¸a para β∗0 e β1.
(c) Obetenha o intervalo de confianc¸a para β0.
3. Considere o modelo linear Y = Xβ + e, onde X =

1 1
1 3
1 5
1 7
 e Y =

34
47
55
64

Calcule XTX, XTY , Y TY . Use o resultado:
A−1 =
(
a b
b c
)−1
=
1
ac− b2
(
c −b
−b a
)
e obtenha (XTX)−1, βˆ, Cov(βˆ), Yˆ e eˆ.
4. Num estudo de uma espe´cie de a´rvores pretende-se estabelecer relac¸o˜es entre
a altura dos troncos das a´rvores, o respectivo diaˆmetro a` altura do peito e o volume
desses troncos. Foram efectuadas medic¸o˜es destas varia´veis em n = 31 a´rvores, sendo
os resultados designados pelos nomes Altura (medida em pe´s), Diametro (medido em
polegadas) e Volume (medido em pe´s cu´bicos). Eis os valores de algumas estat´ısticas
descritivas elementares, bem como dos coeficientes de correlac¸a˜o entre as varia´veis:
(a) Foi inicialmente ajustado um modelo para prever os volumes dos troncos, a partir
das suas alturas e diaˆmetro, tendo sido obtidos os resultados a seguir indicados.
2
(b) Foi finalmente decidido experimentar um modelo em que as varia´veis Altura e
Volume trocam de papel em relac¸a˜o ao modelo inicial, ou seja, para saber se a
altura dos troncos pode ser descrita, de forma adequada, a partir de uma relac¸a˜o
linear com o Diaˆmetro e o Volume. Foram obtidos os seguintes resultados com este
modelo:
Discuta o resultado deste teste, tendo em conta o valor relativamente baixo do
Coeficiente de Determinac¸a˜o associado ao ajustamento. Como se pode explicar o
fato de esta nova relac¸a˜o entre as mesmas treˆs varia´veis utilizadas no modelo do
item anterior produzir uma muito pior qualidade do ajustamento?
5. Num estudo de mac¸a˜s Royal pretende-se relacionar o calibre das mac¸a˜s com o
seu peso. Com base em 1273 frutos de calibre (em mm) entre 53 e 79, para os quais
3
foi medido o peso (em g), ajustou-se um modelo de regressa˜o linear, tendo-se obtido os
resultados:
(a) Qual seria a ordenada na origem natural para esta recta de regressa˜o? Determine
um intervalo a 95% de confianc¸a para verificar se esse valor da ordenada na origem
e´ admiss´ıvel, face ao modelo ajustado.
(b) Um investigador que analisou os res´ıduos do modelo ajustado alega que existe algum
efeito de curvatura, e que seria prefer´ıvel modelar o peso atrave´s de um polino´mio
de segundo grau no calibre. O resultado desse ajustamento foi o seguinte.
Voceˆ considera que o investigador tem raza˜o? Justifique atrave´s de uma ana´lise
estat´ıstica adequada. Comente os seus resultados, tendo em vista tambe´m os valores
dos R2 de cada modelo.
6. Ajustando um modelo de regressa˜o no excel! Exemplo: A tabela que se segue
mostra o faturamento de uma empresa hipote´tica durante um per´ıodo de 18 meses.
O conjunto de dados gerou o seguinte diagrama de dispersa˜o.
Para fazer ana´lises mais detalhadas siga os passos abaixo.
4
1. Selecionar os intervalos x e y na planilha.
2. Selecionar o ca´lculo dos res´ıduos.
3. Selecionar a plotagem dos res´ıduos.
4. Selecionar a plotagem de probabilidade normal
5. Selecione ”Nova Planilha”e por fim, aperte ”OK”.
5
6
7
8
7. Utilize o excel nesse problema: Num estudo sobre framboesas realizado na Secc¸a˜o
de Horticultura do ISA foram analisados frutos de 14 plantas diferentes, no que respeita
a 6 diferentes varia´veis. As varia´veis observadas foram: (i) o diaˆmetro dos frutos (em
cm); (ii) a sua altura (em cm); (iii) o seu peso (em g); (iv) o seu teor de so´lidos solu´veis,
brix (em graus Brix); (v) o seu pH; (vi) o seu teor de ac¸u´car, exceptuando a sacarose
(em g/100ml). Os resultados me´dios de cada varia´vel, para as framboesas de cada planta
foram:
(a) Construa as nuvens de pontos correspondentes a cada poss´ıvel par de varia´veis.
Comente.
(b) Pretende-se modelar o teor de Brix a partir das restantes varia´veis observadas.
Escreva a equac¸a˜o do modelo de regressa˜o linear mu´ltipla com Brix como varia´vel
resposta e as restantes varia´veis como preditoras. Quantos paraˆmetros tem este
modelo?
(c) Determine o valor das estimativas dos paraˆmetros do modelo indicado no item
anterior.
(d) Discuta o significado da estimativa do paraˆmetro β0. Comente.
(e) Comente a qualidade do ajuste obtido e os resultados.
8. Um modelo foi constru´ıdo para prever o Lucro anual de uma empresa do setor
financeiro (em R$ Milho˜es) utilizando a taxa de Juros me´dia praticada no per´ıodo (em
9
%) e o valor total dos empre´stimos concedidos no ano (em R$ Bilho˜es). O resultado do
modelo de regressa˜o foi:
Com base nesses resultados responda:
(a) Espera-se que em 2009 os Juros me´dios sejam de 19% e que a empresa empreste R$
1,80 Bilho˜es. Se essa expectativa se confirmar, qual devera´ ser o lucro da empresa.
(b) Teste a hipo´tese de que βtaxadejuros = −3, 0
(c) Teste a hipo´tese de que βvalorempresatado = 50, 0
(d) Se a empresa abaixar as taxas de juros praticadas em 1% (de 19% para 18%) havera´
aumento de R$200 milho˜es nos empre´stimos concedidos. Na sua opinia˜o isto valera´
a pena?
9. Em func¸a˜o da correlac¸a˜o entre as varia´veis explicativas X1, X2 e X3 e a varia´vel
explicada Y e o resumo dos resultados do modelo (dados abaixo), quais varia´veis devem
ser retiradas do modelo, na˜o aceitando varia´veis com n´ıvel de significaˆncia inferior a 95%.
10. Pretende-se construir um modelo para prever a demanda por gasolina em
um munic´ıpio (Y). Para isso coletou-se os dados das varia´veis: X1 (sala´rio me´dio no
munic´ıpio), X2 (n´ıvel de desemprego no munic´ıpio), X3 (nu´mero de habitantes) e X4
(nu´mero de ve´ıculos). A partir das varia´veis criou-se a matriz de correlac¸a˜o dada abaixo:
Determine quais varia´veis explicativas fara˜o parte do modelo de previsa˜o de demanda.
10
11