CAMPOS & LEITE Mensuração florestal perguntas e respostas 2017 (capítulo 12 Dados para Modelagem de Crescimento e Produção e capítulo 13 Modelos de Crescimento e Produção em Nível de Povoamento incomp

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Dados para Modelagem de 
Crescimento e Produção
Uma vez compreendida a importância dos modelos de 
crescimento e produção para planejamento e manejo florestal, bem 
como a diversidade de tipos e vantagens destes, é preciso entender 
melhor a natureza dos dados necessários para sua construção e das 
várias fontes desses dados. Tão importante quanto definir o modelo 
adequado para uma situação particular é conhecer as características dos 
dados imprescindíveis para sua construção, além do modo de realizar a 
amostragem e suas consequências na eficiência do modelo.
Exemplo 12.1 - Tipos de modelo
Como classificar os modelos de produção para efeito de coleta 
de dados para o seu ajustamento?
Considerações
A fim de garantir maior eficiência na coleta de dados para o 
ajustamento de modelos, é importante definir claramente o tipo de 
modelo mais apropriado para uma situação particular. Entretanto, a 
escolha do modelo para atendimento dos objetivos do manejo depende 
dos dados, disponíveis.
Antes de apresentar os tipos de modelo, é preciso estabelecer a 
diferença entre os modelos empírico e mecanístico. O modelo empírico 
Dados para modelagem de crescimento e produção 357
consiste em polinômios ou outros tipos de relações funcionais 
estabelecidas de maneira empírica. Já o modelo mecanístico é cons­
truído com base em pressuposições e, ou, conhecimentos biológicos 
(CLUTTER et al., 1983) ou com base em processos de crescimento 
(VANCLAY, 1994).
Alguns modelos exprimem condições correntes, enquanto outros 
mostram condições correntes e futuras (modelos de crescimento e 
produção). Os primeiros, denominados modelos de produção, resultam 
em tabelas do tipo normal ou empíricas. Os modelos de crescimento e 
produção, de acordo com o nível de detalhe desejado, podem ser 
classificados como os do tipo povoamento total, de árvores individuais 
e de distribuição de diâmetros. Esses modelos não respondem muito 
bem a detalhes do processo de crescimento da floresta (causas), mas são 
empregados com sucesso para predizer a produção de madeira, que é 
um dos elementos essenciais do manejo propriamente dito.
Modelos de processos ajudam no entendimento da dinâmica 
do crescimento, mas não- são empregados com sucesso para 
predizer a produção de madeira (efeitos), que é o campo do manejo 
florestal. Utilizam como inputs dados de luminosidade, 
temperatura e níveis de nutrientes, entre outros. Embora sejam 
classificados como modelos processuais, alguns, como o modelo 
3PG (LANDSBERG; WARING, 1997), são parcialmente empíricos, 
uma vez que uma regressão é utilizada para estimação do diâmetro 
médio, sendo este utilizado para obter a biomassa da parte lenhosa. 
Geralmente essa biomassa (Y), é estimada utilizando o modelo 
K = ad^ + £.
A grande diversidade de alternativas para a modelagem da 
dinâmica dos povoamentos florestais explica as diferentes 
classificações dos modelos de crescimento. Uma classificação com 
enfoque em planejamento e alternativas de manejo de floresta 
equiânea foi organizada na Figura 12.1.
Devido à difícil modelagem de povoamentos inequiâneos, 
seu manejo baseia-se usualmente em dados de parcelas 
permanentes.
358 Campos e Leite
Figura 12.1 - Tipos de modelos quanto à sua estrutura e aplicação.
Exemplo 12.2 - Fontes de dados para modelagem de crescimento e 
produção
Quais são as fontes de dados para construir modelos de 
crescimento e da produção florestal (MCP)?
Considerações
Enquanto em inventários florestais o primeiro objetivo é estimar 
a média, em estudos de crescimento e produção o objetivo é estimar 
coeficientes de regressão. Em consequência, há diferenciação na coleta 
de dados. São quatro as fontes de dados, conforme a seguir 
especificadas:
a) Parcelas permanentes (PPs)
As parcelas permanentes constituem a fonte de dados mais 
eficiente para a construção de modelos de crescimento e produção, não 
requerendo frequência muito grande. A eficiência estatística deve-se à 
Dados para modelagem de crescimento e produção 359
propriedade de detectar mudanças ocorridas de maneira exata. No 
entanto, se as parcelas permanentes não forem representativas da 
população em foco, a estimativa do crescimento pode ser tendenciosa, 
embora com alta precisão. Daí a importância de se efetuarem testes de 
aplicação ou validação dos modelos.
As PPs podem ser de duas naturezas:
- oriundas de inventário florestal contínuo (IFC); e
- estabelecidas unicamente na obtenção de dados para monitorar 
mudanças na população-objeto.
Em IFC, o crescimento é monitorado pela remedição de uma rede 
de parcelas permanentes estabelecidas aleatoriamente em diferentes 
tipos de povoamento florestais. Essa rede tem a vantagem estatística de 
reduzir a variância, de uma mesma parcela, em sucessivas medições. 
Esse tipo de amostragem permite captar mudanças naturais havidas nos 
povoamentos.
No segundo caso, a amostragem é constituída de parcelas 
permanentes que receberam ou que irão receber algum tratamento 
silvicultural. Essas parcelas podem ser estabelecidas aleatoriamente no 
povoamento, ou, então, agrupadas em parcelas experimentais (research 
installations). Podem consistir também em parcelas estabelecidas de 
modo seletivo com finalidade específica de gerar dados para modelagem, 
independentemente da aplicação de tratamentos. Dados de parcelas que 
receberam algum tratamento silvicultural, como desbaste ou adubação, 
permitem avaliar mudanças artificiais impostas.
Ainda, no segundo caso, se não existir aplicação de tratamentos, as 
parcelas, em número menor em relação ao IFC, são instaladas após uma 
classificação detalhada da capacidade produtiva e mapeamento incluindo 
características edáficas, climáticas e fisiográficas (estratificação). Essas 
parcelas têm, também, áreas maiores em relação às do IFC.
Duas desvantagens do uso de dados de inventário florestal para 
modelagem do crescimento são: amostragem inadequada, por 
representar a condição mais frequente (capacidade produtiva interme­
diária); e possibilidade de ausência ou frequência inadequada de parcelas 
em condições extremas (capacidades produtivas alta e baixa).
As parcelas permanentes nunca serão substituídas por outras 
fontes de dados, uma vez que permitem fazer comparações 
estatisticamente satisfatórias da produção entre as parcelas e dentro 
360 Campos e Leite
delas, o que é importante na verificação da adequacidade de modelos. 
Elas também proporcionam dados consistentes e adequados, 
concernente às variáveis mortalidade, dinâmica de copa e dinâmica de 
povoamento (VANCLAY, 1994).
O período de remedições deve abranger um tempo suficiente para 
captar efeitos anômalos de mudanças climáticas. A garantia de dados 
que cubram os extremos da variação é importante, mesmo que não 
venham a ser utilizados na prática, uma vez que são essenciais para 
definir a superfície resposta para modelos de crescimento.
b) Parcelas temporárias (PTs)
Parcelas dessa ordem são estatisticamente pouco eficientes para 
fins de estudos de modelagem, por não detectarem exatamente as 
diferenças de crescimento, uma vez que as mesmas parcelas não são 
medidas em cada ocasião. Não servem, consequentemente, para avaliar 
o efeito de tratamentos específicos. Elas se referem às parcelas medidas 
em inventários florestais convencionais, ou então são medidas 
unicamente para o conhecimento de volumes presentes. 
Conceitualmente, são usadas em estimações não dependentes do tempo. 
Um conjunto de parcelas temporárias medidas em diferentes idades 
pode ser utilizado apenas para ajuste de uma curva de crescimento 
empírica e aproximada. Nesse caso é assumido um mesmo padrão de 
crescimento independente do local.
c) Delineamentos experimentais (DE)
Ocasionalmente, dados de DE podem vir a ser utilizados em 
estudos de crescimento e produção. São dados de propriedades limita­
das para esse fim, pois, geralmente, um DE é estabelecido com 
finalidade puramente silvicultural, não atendendo a propósitos da 
mensuração propriamente dita.
As limitaçõesocorrem, quase sempre, pelas seguintes razões: a 
área das parcelas é pequena; algumas variáveis importantes na 
modelagem por vezes não são medidas, como a altura dominante; o efeito 
da variação do índice de local geralmente é excluído, uma vez que o 
experimento é estabelecido em áreas homogêneas; e a frequência, isto é, 
o número de casos, geralmente é menor que o desejado na análise de 
regressão, pois, conceitualmente, experimentos em DE são submetidos a 
Dados para modelagem de crescimento e produção 361
análises de variância. Além disso, no caso de eucalipto, os experimentos 
geralmente não cobrem a diversidade de materiais genéticos encontrada 
comercialmente em diferentes condições de ambiente.
Dentre os DE, os modelos de blocos ao acaso, no esquema de 
parcelas subdivididas no tempo, são os mais empregados para fins 
silviculturais. Compreende-se, portanto, que essa fonte de dados 
permite encontrar diferenças significativas entre tratamentos, o que não 
coincide com os objetivos dos estudos de crescimento e produção, 
embora em alguns casos seja possível construir curvas de crescimento.
d) Análise parcial do tronco (APT)
Constitui uma alternativa quando não há dados de PP, sendo 
caracterizada por limitações, como: a informação é limitada, por não 
garantir a medição da mortalidade; não contabiliza o efeito de alguns 
tratamentos silviculturais, como a desrama artificial; e praticamente só 
se aplica em coníferas, uma vez que, na maioria das espécies de 
folhosas, são encontradas anormalidades na formação dos anéis de 
crescimento. Uma das exceções entre as folhosas é a espécie Tectona 
grandis, que tem a vantagem de propiciar dados num curtíssimo espaço 
de tempo.
Quando a medição dos anéis é feita no dap, o procedimento é 
denominado análise parcial do tronco (APT), e é chamado análise 
completa do tronco (ACT), quando a medição é realizada em diferentes 
alturas ao longo deste (CARRON, 1968).
Enquanto a APT é utilizada no estudo do crescimento em 
volume, área basal ou diâmetro, a ACT é empregada no estudo do 
crescimento em altura, ou, mais precisamente, no estabelecimento de 
curvas para classificação da capacidade produtiva de locais. No 
primeiro procedimento, emprega-se um trado para extração das 
amostras e, no segundo, são retiradas seções a intervalos definidos ao 
longo do tronco, visando a definição dos anéis. Meyer (1952) consi­
derou que a frequência de árvores-amostra podería ser estabelecida 
arbitrariamente, sem considerar a precisão preestabelecida. Considerou 
ainda que as principais fontes de erros na APT são: o grau de variação 
dos diâmetros, o número de árvores tradadas por parcela e o erro de 
amostragem decorrente da distribuição das parcelas na população. Ele 
demonstrou que, havendo grande erro de amostragem, o aumento do 
362 Campos e Leite
número de árvores para APT pouco significa em ganho de precisão na 
determinação do crescimento.
Exemplo 12.3 - Amostragem para estudos de crescimento e produção
Conhecidas as fontes de dados para estudos de crescimento e 
produção, como proceder à amostragem?
Considerações
A qualidade da prognose da produção é função das propriedades 
da amostra e das propriedades das equações de predição ou de projeção. 
A amostragem deve estar condicionada ao tipo de modelo a ser ajustado 
e ao objetivo pretendido. Como usualmente é empregada a análise de 
regressão, cabe destacar os tópicos a seguir:
a) Frequência
Deve ser adequada à análise de regressão; estimativas mais 
confiáveis são obtidas com maior intensidade de amostragem. No 
entanto, não é usual definir o número de parcelas no ajuste de regressão 
a partir de critérios estatísticos. A eficiência do modelo ajustado vai 
depender, principalmente, da localização das parcelas e do número de 
períodos de medição, no caso de PP.
b) Heterogeneidade das características medidas
Devem ser priorizados, com maior intensidade de amostragem, 
os dados de características mais heterogêneas.
c) Casualização, sistematização ou seletividade
O emprego de um ou mais desses critérios na alocação de 
parcelas no campo, ou para obter dados de um cadastro de inventário 
florestal contínuo (IFC), por exemplo, vai depender do tipo de modelo 
definido no Exemplo 12.1 (MP e MCP). Cabe reportar que uma amos­
tragem inteiramente casualizada, sem prévia estratificação, é ineficiente 
para construir modelos do tipo MCP, porque, assim, valores médios 
serão amostrados mais intensivamente. Essa amostragem deve resultar 
em eficiência quando se pretende obter uma simples curva ou função 
Dados para modelagem de crescimento e produção 363
de produção representativa da população (modelos do tipo MP). Neste 
caso, amostragem sistemática também resultará em dados adequados 
quanto maior for a homogeneidade da população, pois a situação média 
é a procurada.
Uma alternativa de amostragem para modelagem do crescimento 
e da produção é delimitar partes da população-objeto e alocar as 
parcelas de modo casual ou sistemático sobre essas partes. Essa escolha 
de partes da população a amostrar para, assim, garantir repre- 
sentatividade da “situação-objeto” proporcionará melhor estimativa dos 
coeficientes de regressão e predição próximo aos dados extremos.
Outra alternativa mais eficiente de amostragem para modelos do 
tipo MCP é a seleção deliberada de parcelas em um banco de dados de 
IFC ou a localização, também deliberada, das parcelas no campo. Este 
procedimento é mais eficiente por garantir representatividade não 
somente das condições médias, mas também das extremas.
A amostragem seletiva contraria os princípios estatísticos quando 
é destinada a inventários florestais, pois os limites de confiança são 
tendenciosos, além da média. Esse inconveniente estatístico não 
invalida o emprego do princípio de seletividade na amostragem para 
construção de modelos de crescimento e produção. É desejável garantir 
uma frequência equivalente para cada condição de sítio.
Pode ser considerada também a alternativa de empregar 
procedimentos de busca inteligentes para definir qual o subconjunto de 
parcelas de um banco de dados de IFC resultará em maior exatidão e 
eficiência estatística ao ajustar modelos de crescimento e produção. Um 
exemplo desse tipo de aplicação é o sistema Select, idealizado por 
Binoti (2012). Esse sistema foi desenvolvido empregando-se a 
linguagem de programação Java, e o ambiente de desenvolvimento foi 
a IDE (Integrated Development Environment) Netbeans 7.1, e a JDK 
7.3 (Java Development Kit ). O sistema utiliza a biblioteca Michael 
Thomas Flanagan's Java Scientific Library para a obtenção dos 
parâmetros (disponível em http://www.ee.ucl.ac.uk/~mflanaga/java/ 
acesso 27/03/2012). Técnicas de pesquisa operacional são utilizadas na 
escolha de parcelas para o ajuste de modelos de predição, ou de 
projeção, que gerem o melhor resultado e ajuste aos dados. O software 
pode ser baixado gratuitamente em http://neuroforest.ucoz.com.
http://www.ee.ucl.ac.uk/%7Emflanaga/java/
http://neuroforest.ucoz.com
364 Campos e Leite
Exemplo 12.4 - Parcelas experimentais ou instalações
Como realizar um exemplo de delineamento de amostragem com 
parcelas experimentais (ou instalações) tendo como objetivo um estudo 
do efeito de desbastes?
Considerações
Conforme definido no Exemplo 12.2, as parcelas experimentais 
constituem fonte de dados quando o objetivo for analisar o efeito de 
diferentes tratamentos silviculturais e depois interpretá-los utilizando 
algum modelo de crescimento e produção.
Para melhor compreender essa conceituação de delineamento de 
amostragem e evitar confundi-lo com delineamentos experimentais dos 
livros de estatística experimental, é apresentado um exemplo a seguir. 
O objetivo proposto é analisar o efeito de diferentes intensidades de 
desbaste. Na Figura 12.2 é mostrada uma instalação composta de dois 
blocos com 10 parcelas. Foram quatro os tratamentos, representados por 
diferentes intensidades de desbaste, mais a testemunha, sendo duas as 
repetições.2 1 5 3 4
5 3 2 4 1
Bloco 2
1 4 2 3 5
4 3 5 1 2
Figura 12.2 - Exemplo de uma instalação ou de um conjunto de parcelas 
experimentais com os números dos tratamentos definidos 
por sorteio.
Dados para modelagem de crescimento e produção 365
Um mínimo de três locais, nas condições de produtividade boa, 
média e ruim, para os padrões da população em foco, deve ser 
amostrado, com as parcelas dispostas em blocos, conforme 
Figura 12.2. A repetição dos blocos e dos tratamentos dentro destes é 
necessária para garantir representatividade da condição do lugar e 
aumentar o número de casos, o que é positivo na análise de regressão.
Para compreensão dos procedimentos e garantia de continuidade 
dos tratamentos e medições, é necessário redigir um manual com a 
descrição minuciosa de todas as tarefas, como: número, intensidade e 
época de aplicar cada tratamento; procedimentos de marcação e de 
manutenção das parcelas permanentes nas instalações; área útil das 
parcelas; número de fileiras nas bordaduras; e características a serem 
medidas anualmente, entre outras. No caso de experimentos de 
desbaste, é mais indicada a descrição do procedimento a ser seguido 
para decidir quando aplicar os cortes parciais e não a definição empírica 
de épocas de aplicação desses. Cabe ressaltar que, em estudos de 
desbastes, a área útil de cada parcela deve ser suficientemente grande 
para garantir representatividade, por exemplo, em tomo de 2.500 m2 
para eucalipto, pinus ou teca. Para justificar essa afirmação observe que 
no exemplo de simulação de desbastes (Exemplo 17.10), resultaram 727 
árvores remanescentes, por hectare, aos 15 anos de idade (180 meses, 
Tabela 17.4), o que equivale a 182 árvores numa parcela de 2.500 m2.
Exemplo 12.5 - Tamanho, forma e demarcação de parcelas
Qual é a forma e o tamanho mais usual de parcelas para estudos 
de crescimento e produção? Como demarcar a parcela?
Considerações
A forma retangular de parcelas é a mais indicada, principalmente 
quando ocorre sub-bosque, pois favorece o controle de seus limites e 
das árvores a serem medidas, além de ser mais fácil de demarcar. 
Todavia, forma circular e forma quadrada de parcelas eventualmente 
são também empregadas. Pode-se dizer que, enquanto a forma pode 
influenciar o custo de instalação, o tamanho da parcela, além do custo, 
influencia a precisão. Embora esses aspectos tenham mais importância 
em trabalhos de inventário florestal, por exigir grande frequência, isso 
366 Campos e Leite
não ocorre plenamente quando o objetivo é estabelecer parcelas 
permanentes para a condução de estudos de crescimento e produção.
Existe um consenso de que a finalidade do estudo tem influência 
no tamanho da parcela. Parcelas com finalidade de prognose exigem área 
maior que parcelas de inventários florestais. Para exemplificar, em 
estudos do efeito dos desbastes, a área e a forma da parcela estão 
relacionadas diretamente com a intensidade dos desbastes periódicos 
programados e, também, com a rotação a ser adotada. No caso de 
povoamentos equiâneos submetidos a desbaste, dependendo do tipo de 
desbaste, parcelas circulares podem ser extremamente tendenciosas, por 
não representarem fielmente as práticas silviculturais aplicadas ao 
restante da área. Por exemplo, o desbaste sistemático a cada cinco fileiras 
e desbaste seletivo nas demais fileiras, dependendo do tamanho da 
parcela circular, resulta em manejos diferentes nas parcelas em relação 
ao restante do povoamento.
Além da finalidade, também a condição da população exerce 
influência na área da parcela, e, assim, populações heterogêneas exigem 
parcelas maiores que as homogêneas. Isso leva à conceituação geral de 
que povoamentos abertos e com grandes árvores exigem parcelas 
maiores, ao contrário de povoamentos densos e com árvores menores. 
Áreas de parcelas entre 500 e 1.000 m2 são frequentes em estudos de 
crescimento e produção conduzidos em povoamentos equiâneos; 
contudo, dependendo dos tratamentos a serem aplicados, podem chegar 
a mais de 2.000 m2. Em povoamentos inequiâneos, a área das parcelas 
geralmente é maior que em povoamentos equiâneos, podendo atingir 
até 1 ha.
Em povoamentos equiâneos submetidos a desbaste, as parcelas 
permanentes devem ter pelo menos cerca de 1.000 m2, para que seja 
possível caracterizar corretamente a distribuição de diâmetros do 
povoamento. Em parcelas menores, após aplicação de desbastes, o 
número de árvores remanescentes pode se tomar pequeno demais para 
caracterizar algum tipo de distribuição de diâmetros, o que é condição, 
por exemplo, para modelagem por classe de diâmetro. Em alguns casos 
pode ser necessário aumentar a área da parcela gradativamente, após a 
aplicação do desbaste, mantendo-se o mesmo centro.
Dados para modelagem de crescimento e produção 367
Em análise parcial do tronco, a área das parcelas contendo as 
árvores-amostra para tradagem pode variar de 300 a 500 m2 usualmente, 
dependendo de maior ou menor densidade do talhão, de modo a garantir 
número mínimo de árvores por parcela. Em cada parcela, um mínimo de 
oito árvores são tradadas a 1,30 m, sempre a partir de uma mesma direção 
e perpendicular ao eixo do tronco.
Na demarcação de parcelas em povoamentos com espaçamentos 
definidos devem-se tomar certos cuidados para não incorrer em erros 
de tendência, superestimando ou subestimando o número correto de 
árvores na sua área. Para melhor entendimento, considere uma parcela 
retangular, em terreno plano, com 15 m na sua menor dimensão e com 
630 m2 de área. O espaçamento entre árvores é de 3 x 3 m. Então, a 
dimensão maior da parcela terá 42 m, sendo garantida uma área de 9 m2 
por planta, dentro da parcela, com 70 árvores no total, se não houver 
mortalidade ou falhas de plantio.
Situação ideal assim não é frequente, não sendo possível garantir 
uma mesma área para a totalidade das árvores da parcela, 
principalmente por irregularidade no espaçamento, ou por haver 
inclinação no terreno. Para minimizar esse inconveniente, as linhas 
divisórias, na maior dimensão, devem ser demarcadas no ponto médio 
entre linhas (ou fileiras). Na menor dimensão, pelo menos uma das 
linhas divisórias deve ser marcada no ponto médio entre fileiras (ou 
linhas), já que a quarta linha-limite será marcada em função da área 
preestabelecida para a parcela.
Exemplo 12.6 - Correção do efeito da inclinação do terreno
Como e por que corrigir o efeito da inclinação do terreno durante 
a locação das parcelas?
Considerações
Áreas de parcelas de inventários florestais ou para estudos de 
dinâmica do crescimento são sempre referidas num plano horizontal. 
Isso implica que, quando estabelecidas em área com terreno inclinado, 
é necessário efetuar a correção da área, o que é feito ao ampliar as 
dimensões da parcela.
368 Campos e Leite
Parcelas de qualquer forma, quando estabelecidas em terreno 
inclinado, resultam em área menor que a área original, quando 
projetadas para o plano horizontal. Uma parcela de forma circular, 
quando estabelecida nesse terreno, resulta em forma elíptica com área 
subestimada, quando projetada para a horizontal. Essa redução de área, 
ou distância, ao rebater à inclinação para plano, é proporcional ao fator 
cos (ct), em que tzé o declive, em graus. Mais especificamente, a área 
que uma parcela deve ter num terreno inclinado é igual à razão entre 
sua área no plano e o cosseno do ângulo de inclinação do terreno, ou 
seja:
, ... Área no plano nn
Area no declive =----------- ------- »
cos (<z)
Área no plano = Área no terreno inclinado x cos (a)
Ou, ainda,
Distância no terreno inclinado = Distância no plano
cos (a)
ou
Distância no plano = distância no terreno inclinado x cos (cr)
Dessa forma, uma parcela circular ou retangular de 600 m2 em 
um terreno com inclinação de 20° terá, no plano, uma área de 563,81 m2, 
ou seja:
Área plano = 600 Cos(20°) = 563,81 m2
Ao computar o volume de uma parcela em área inclinada, a 
transformação para hectare deve ser feita com referência a um terreno 
plano.No exemplo, se fosse observado um volume de 8 m3 na parcela, 
o volume por hectare seria 8(10.000)/563,51 = 141,89 m3/ha.
Em um inventário florestal é mais prático fixar as mesmas 
dimensões para todas as parcelas (exemplo: 20 m x 30 m). Essas 
parcelas são demarcadas no campo e o volume por hectare (E7ha), 
para cada parcela, é obtido por:
E/ha = Volume na parcela x 10000/Área no plano, sendo
Área no plano = Área no terreno inclinado x cos(or)
Dados para modelagem de crescimento e produção 369
Referências
BINOTI, D. H. B. Sistemas computacionais aplicados ao manejo florestal. 2012. 
113 f. Tese (Doutorado em Ciência Florestal) - Universidade Federal de Viçosa, 
Viçosa, MG, 2012.
CARRON, L.T. An outline of forest mensuration with special reference to 
Australia. Camberra: Australia National University, 1968. 222 p.
CLUTTER, J. L. Timber management: a quantitative approach. New York: John 
Willey & Sons, 1983.333 p.
LANDSBERG, J.J.; WARING, R. H. A generalized model of forest productivity using 
simplified concepts of radiation-use efficiency, carbon balance and partitioning. Forest 
Ecology and Management, v. 95, p. 209-228,1997.
MEYER, H. A. Accuracy of forest growth determination based on the 
measurement of increment cores. Pensylvania: Agric. Exp. Stn., 1952.27 p. (Bulletin, 
547).
VANCLAY, J. K. Modelling forest growth and yield. Applications to mixed tropical 
forests. Wallingford, UK: CAB International, 1994. 312 p.
Capítulo
Modelos de Crescimento e 
Produção em Nível de 
Povoamento
Modelos de crescimento e produção em nível povoamento, às 
vezes denominados modelos do tipo povoamento total, não explicam 
diretamente a variação do tamanho das árvores dentro do povoamento. 
Eles estimam o crescimento e, ou, a produção a partir de atributos em 
nível de povoamento, como idade, área basal e índice de local. Têm 
como melhor representantes os modelos de densidade variável, além 
dos modelos (ou tabelas de produção) dos tipos empírico e normal.
Modelos do tipo normal são os mais antigos e se aplicavam a 
povoamentos completamente estocados (ou normais), sendo V = /(7). 
Modelos do tipo empírico são estáticos, não envolvendo projeção da 
densidade, sendo obtidos a partir de relações do tipo V =f(I,S,B); eles 
dão informação de um povoamento em condições específicas de 
manejo, não permitindo qualquer variação no tratamento, exceto aquele 
já contido nos dados do ajuste do modelo.
Por último, modelos do tipo densidade variável incluem a variável 
densidade como uma parte dinâmica do sistema de equações, sendo úteis 
quando o output pretendido é o volume, ou massa, por unidade de área, em 
especial para povoamentos submetidos a desbaste. Sua construção envolve 
relações do tipo V2 h, S (ou Hd), B\, B2) ou V2 h, S (ou Hd),
kesya
Destacar
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 371
N\, M), estimando a produção para diferentes níveis de área basal ou 
frequência remanescente. Eles têm como características: estimação da taxa 
de crescimento dentro do sistema de equações; capacidade de representar 
melhor as relações causa-efeito entre a densidade e a produção; e emprego 
de conceitos de derivação e integração.
A escolha do tipo de modelo depende do objetivo e dos dados 
disponíveis, estando relacionada, também, com a abordagem de 
modelagem escolhida. São duas abordagens alternativas: estratificação 
máxima da floresta e emprego de relações simples, do tipo V=flJ) e 
estratificação mínima e emprego de modelos com maior número de 
variáveis, como V=fiI,S) e V=fiI,S,B). Independente da abordagem 
escolhida, a projeção deve ser preferida em relação à predição.
Neste capítulo são apresentados exemplos de uso de modelos em 
nível de povoamento, nos quais foram utilizadas as notações da Tabela 
13.1. Devido às suas particularidades, os modelos de distribuição 
diamétrica serão tratados no Capítulo 14 e os modelos de árvores 
individuais, no Capítulo 15.
Tabela 13.1 - Notações utilizadas para exprimir as variáveis usuais em 
modelos de crescimento e produção
dap = diâmetro a 1,3 m de altura
H = altura total de uma árvore 
l'an = volume de árvore individual 
di = diâmetro na classe i
I = idade
I\ = idade atual ou corrente
h = idade futura
B = área basal
Bi = área basal inicial
5i = área basal atual ou corrente
Ki = volume atual ou corrente
Vi - volume futuro
N = número de árvores por hectare
Ai = número de árvores/ha atual ou corrente
N2 = número de árvores/ha futuro
Adi = número de árvores na classe de dap i
W\ = produção em massa/ha na idade i
ICA W = incremento corrente anual em massa/ha
IMA W = incremento médio anual em massa
IMA V = incremento médio anual em volume
Continua...
372 Campos e Leite
Tabela 13.1 - Cont.
Bi= área basal futura ICAB = incremento corrente anual em área basal
Y = produção em uma idade qual- Yi e Y2 = produção nas idades h e I2, em m3 ou
quer, em m3 ou toneladas por hectare toneladas por hectare
Hd = altura dominante q = diâmetro médio
S = índice de local Dd = taxa de incremento em diâmetro
Vi = volume na idade i F(di) = distribuição acumulada
fldi) = função densidade de probabilidade (fdp)
Exemplo 13.1 - Relações funcionais utilizadas em modelos em nível de 
povoamento
Quais são as principais relações funcionais utilizadas em estudos 
de crescimento e produção em nível de povoamento?
Considerações
Modelos em nível de povoamento diferem-se em relação às 
variáveis independentes. Sendo Ya variável dependente, eles podem ser 
assim subdivididos:
a) K = /(/);
b) Y = f(I,S);e
c) Y = f(I,SouHd,B,N<Mq).
As principais relações funcionais utilizadas em estudos de 
crescimento e produção referem-se, principalmente, aos modelos de 
Schumacher (1939) Buckman (1962), Clutter (1963) (Tabela 13.2), e as 
funções: Logística, Gompertz e Richards (modelos 4, 5 e 9 da Tabela 
13.3). Também foi relacionado aqui um modelo contendo as variáveis 
idade e índice de local. Outras relações funcionais que, a critério dos 
autores, merecem menção foram também mencionadas na Tabela 13.3.
A equação de produção em volume do modelo de Clutter 
apresentado na Tabela 13.2 é uma simplificação obtida por Clutter 
(1963), conforme Exemplo 13.7, a partir de: 
Ln Y= /3Q + LnBY&r' + ^SLnBY&Sr' + p^LnBYs.
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 373
ea. =parâmetrosaseremestimadosg=erroaleatório
Tabela 13.2 - Principais modelos utilizados em nível de povoamento
Relação Funcional Modelo
Modelo de Schumacher
Y = e J + e
Y = + f
l+Ae * Modelo Logístico
Y = Poee +E Modelo Gompertz
Y =--------- +/ n n r \ 1/ Modelo Richards
Lnl^=^ +/^ /12 +f^LnE^ +Ln£
Modelo de Clutter
Lnfy y-l + í%l 1-y-1 + aJ 1-y-15+Iwí-
Y=^+j3l(BHd)+£
Modelo de Buckman
LnICAB= fa+faS + foy + faBi+e
Modelo em função
y=:g / s £ de /e S
374
C
am
pos e Leite
Tabela 13.3 - Alguns modelos e correspondentes expressões de taxa de crescimento, produtividade média e idade 
técnica de colheita
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Continua...
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ento g produção em
 povoam
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375
L.
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376
C
am
pos e Leite
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I
tf tf 
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Qcú 
-O2On
Tx = 0 para volume total e Tx = 1 para volume comercial; ,, a , f i e / = parâmetros.
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ii(N
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 377
Exemplo 13.2 - Escolha do modelo
Como escolher um modelo de crescimento e produção em nível 
de povoamento?
Resposta
A escolha de uma das relações funcionais contidas no Exemplo 
13.1 depende do tipo de informação pretendida, do nível de 
detalhamento necessário, das características do povoamento e do tipo 
de dados disponíveis.
Relações funcionais do tipo devem ser evitadas em áreas
extensas e heterogêneas, devido à possibilidade de ocorrerem diferentes 
tendências de crescimento. Esse tipode modelo pode ser usado em 
compartimentos homogêneos, com tendência de crescimento bem 
definida, onde não houver variações significativas de densidade e 
capacidade produtiva. Além disso, a produção futura (r2) deve ser 
obtida por meio de projeção, empregando índice de consistência (IcV), 
que consiste na razão entre produções estimada e observada (e V[) 
numa idade atual ). Ao empregar o índice de consistência, a 
produção futura é estimada considerando-se a produção atual 
observada. Assim, ao empregar os modelos de Schumacher, Logístico 
e Gompertz, têm-se os seguintes índices:
Â>
IcV = -Y = ------------ , IcV =
Ei Ei
e IcV=^-----------
Ei
9
sendo a produção futura obtida respectivamente por:
Â>
1 + /?,
IcV
A aplicação dessas relações funcionais resulta em consistência nas 
projeções, de modo que a produção estimada para uma idade atual é igual 
à produção observada nessa idade, ou seja, os modelos passam a ser de 
projeção em lugar de predição. Assim, ao invés de uma única curva média 
de crescimento obtém-se um feixe de curvas de crescimento.
378 Campos e Leite
Relações funcionais do tipo Y = f(I,S) podem resultar em esti­
mativas consistentes, permitindo avaliar o efeito da capacidade 
produtiva, desde que existam curvas de índices de local também 
consistentes. Nesse caso, idades técnicas de colheita diferentes são 
obtidas para cada índice ou classe de local. Contudo, a simples consi­
deração dessas duas variáveis independentes não garante consistência 
na definição da idade de colheita, conforme Exemplo 13.6. Aplicações 
eficientes de modelos V=f(I,S) também devem ser feitas empregando- 
se índices de consistência. Por exemplo, para o modelo v 's ',
a produção futura é assim obtida:
IcV = ^-----------
Embora importantes, em alguns casos, dependendo do input 
utilizado, o emprego dos índices de consistência podem resultar em bias 
ou inexatidão na prognose. Se um volume atual estiver viesado, o 
emprego do índice de consistência pode resultar em maior erro na 
prognose quando comparado à predição ou projeção feita pela curva 
média de crescimento, o que exige atenção do usuário do modelo. É 
importante validar o modelo pelas duas alternativas para decidir sobre 
o emprego do índice. Outro fato é que mesmo para os modelos mais 
simples, do tipo V = fiF), quanto maior o número de medições das 
parcelas, maior a consistência na modelagem do crescimento.
O índice de local pode ser incluído por meio de modificadores 
dos parâmetros do modelo V =f(I). No modelo logístico, por exemplo, 
Po pode ser substituído por an + (XiS. Esta ou outra relação funcional 
pode ser empregada em substituição aos parâmetros Po, pi e P2 desse 
modelo, resultando em curvas polimórficas de crescimento. O emprego 
desta abordagem requer estudo prévio das relações entre os parâmetros 
do modelo escolhido, V =f(I), e o índice de local. É um procedimento 
semelhante àquele do Exemplo 10.10.
Por último, relações funcionais do tipo Y =f(I, S ou Hd, q, B ou 
N), com a densidade expressa pela área basal, ou pelo diâmetro médio, 
ou pela frequência podem ser aplicadas em áreas relativamente mais 
heterogêneas. Nesse caso, o crescimento, a produção e a idade técnica 
de colheita são diferenciados por índice de local e densidade inicial. 
Essas relações funcionais permitem modelar 0 crescimento e a 
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 379
produção em plantações submetidas a desbaste, ou seja, permitem 
simular o efeito de diferentes regimes de desbaste.
Mais uma vez, a simples consideração dessas três variáveis não 
garante consistência quanto aos seus efeitos. É necessário que o 
conjunto de relações funcionais seja compatível e consistente e que os 
dados sejam apropriados para ajuste do modelo. Deve ser evitado, por 
exemplo, o uso do procedimento de seleção de equações passo a passo 
(stepwisé) para gerar equações de produção, havendo risco de resultar 
equações sem nenhum significado biológico.
Numa empresa florestal, muitas vezes a definição do modelo é 
consequência do tipo de dados disponíveis. Situação comum é: 
existência de dados que permitem o ajuste de modelos Y =f(I, S ou Hd, 
q.BouN) apenas para uma parte da floresta (alguns estratos); existência 
de dados que permitem o ajuste de modelos do tipo Y=f(I,S) para alguns 
outros estratos; e, para os demais estratos, a existência de dados que 
limitam o ajuste a modelos simplificados, Y=f(I). Ainda, para alguns 
estratos não é possível ajustar nenhum tipo de modelo. Este fato resulta 
na necessidade de se usarem diferentes modelos e abordagens de 
prognose para uma mesma floresta ou empresa.
Ao escolher o modelo de Clutter, o usuário deve avaliar o ganho 
ou perda de exatidão ao empregar uma área basal inicial consistente 
com o volume atual, conforme Exemplo 13.8.
Exemplo 13.3 - Modelo mais difundido no Brasil
Qual modelo de crescimento e produção do tipo povoamento 
total foi o mais difundido nas empresas florestais brasileiras? Quais as 
suas características?
Resposta
Foi o modelo de Clutter, na forma citada no Exemplo 13.1, isto é: 
Ln (Y2) = A [y j + A A + P^nB2 + Lne
Ln (B2) = LnB} j + a0 ^1 -j + at ^1 --^5,4- Lne
380 Campos e Leite
Neste modelo, a produção é expressa em função das idades atual 
e futura (7) e I2), do índice de local na idade atual (S,) e das 
densidades atual e futura (5i e Bi).
Substituindo B2 na primeira relação funcional, obtém-se: 
Ln (V2) = p0+A + P2A + AA"A +Â +A [1 - 5,
em que: =(Z0A e A = «1Ã
Este é um modelo do tipo povoamento total, de densidade 
variável, compatível, explícito e consistente. E do tipo povoamento 
total, porque a variável estimada é o volume por unidade de área, 
independentemente da classe de tamanho da árvore. É do tipo densidade 
variável porque permite estimar a produção para diferentes níveis de 
área basal inicial (Bi ou B,). Tem característica compatível, pois a 
equação de crescimento quando integrada fornece a equação de 
produção, e a derivada desta resulta na equação de crescimento. Trata- 
se de um modelo explícito, porque a produção em volume é calculada 
diretamente. E consistente, pois as estimativas podem ser obtidas 
projetando-se a área basal ano a ano, ou diretamente de um para 
qualquer outro ano, com intervalos irregulares e, ainda, porque, ao 
estimar a produção em área basal para uma mesma idade, resulta em 
valores idênticos àqueles observados. A consistência em relação ao 
volume é conseguida se o modelo for aplicado usando como input uma 
área basal compatível com V\ (Bic) ao invés de Bt, conforme Exemplo 
13.8.
Dependendo dos dados utilizados, o termo (1 - h / Iz)S] pode ser 
modificado ou mesmo eliminado. Isto ocorrerá quando 0 efeito da 
capacidade produtiva sobre a área basal for não significativo ou 
inconsistente (íZ, negativo). Nesse caso, Sj, neste termo, poderá ser 
substituído por LnBi, (LnBi)1 ou Hdi, desde que haja contribuição 
estatística. Outra particularidade é que 0 coeficiente fh, em fli/h, deverá 
ser negativo, para que haja consistência nas estimativas. Nesse caso, um 
valor positivo de fii pode ser indicativo de que a relação funcional 
utilizada não é adequada para os dados utilizados. Por último, se I2-I1 
kesya
Destacar
kesya
Destacar
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 381
for constante em todo o banco de dados, o ajuste do modelo toma-se 
impossível pelo método de mínimos quadrados em dois ou três estágios. 
Nesse caso, a recomendação é modificar um único número, h ou h, de 
uma parcela qualquer; por exemplo, alterando um número 36 para 36,1 
meses. Outros detalhes sobre 0 ajuste e uso do modelo de Clutter 
constam em exemplos subsequentes.
O emprego desse modelo requer dados de parcelas permanentes 
com um mínimo de duas medições, e, quanto maior o número de 
medições, maior será a exatidão na prognose. Porém, muitas vezes 
existem nos bancos de dados de modelagem parcelas com apenas uma 
medição, uma vez que a cada ano novos povoamentos são inventariados 
numa primeira ocasião.Para ajuste de modelos de densidade variável, como 0 de Clutter 
e Buckman, todas as parcelas com apenas uma medição são excluídas 
da modelagem. No caso de clones de eucalipto, parcelas com uma única 
medição podem ser aquelas de maior interesse, por serem geralmente 
provenientes de plantios mais recentes, com clones melhores. Uma 
alternativa que pode resultar em consistência e exatidão é a seguinte:
• Estimar uma equação para predição da área basal e outra para 
volume. Por exemplo:
B = Â (i+Â^7) (a)e
S + 03LnB(b)
• Aplicar a equação b com os inputs atuais, idade, índice de local e 
volume, e obter uma área basal (Bc) compatível com esses inputs.
• Aplicar a equação de predição da área basal (a) para a idade atual e 
calcular o índice de consistência dado por:
equação (a).
é a área basal estimada na idade atual (z) com a
382 Campos e Leite
• Estimar a área basal para a idade futura empregando:
À
Substituir a idade futura (Z?), o índice de local e a área basal 52 na 
equação de produção (equação b) e obter o volume (r2):
fí I 1 I z? c à ____
Diferentes modelos podem ser empregados ao utilizar esta 
alternativa. Cabe ao modelador encontrar as melhores relações 
funcionais e validar o modelo ajustado.
No caso de povoamentos submetidos a desbaste, se for desejado 
simular um desbaste em uma idade Id, a área basal pós-desbaste (ft) 
pode ser estimada empregando um índice de consistência definido por:
Br
Exemplo 13.4 - Idade técnica de colheita
Como determinar a idade técnica de colheita a partir de uma 
equação de produção?
Considerações
A idade técnica de colheita é aquela em que o incremento médio 
é máximo, e, nesta idade, este incremento é igual ao incremento 
corrente, ou seja, IM = IC.
Dada uma equação de produção, três alternativas podem ser 
utilizadas para determinar a idade técnica de colheita. Uma primeira 
consiste em deduzir a expressão do incremento médio, dividindo a 
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 383
produção pela idade, e derivar essa expressão em relação à idade. Ao 
igualar essa derivada a zero e isolar a idade, obtém-se a idade técnica 
de colheita.
Uma segunda alternativa consiste em igualar as expressões do 
incremento médio e do incremento corrente (primeira derivada da 
equação de produção) e isolar a idade, que corresponde à idade técnica 
de colheita.
Uma terceira alternativa é pelo método de substituição, que consiste 
em estimar a produção em idades sequenciais, por exemplo, mês a mês, 
obter os respectivos incrementos médios e identificar a idade em que ocorre 
a inversão de sinal na relação IM} i = idade. Nessa situação, quando 
houver inversão, é identificada a idade técnica de colheita. Para 
entendimento, esses três casos são exemplificados a seguir.
Solução
T — \
Considere inicialmente o modelo V = fi(í . e, que também 
pode ser assim escrito: V = ea(> £ , sendo tz0 = Ln(3f} e 
ax =Ln(3x. Considerando a primeira alternativa, tem-se:
IM - VI~* l = /“'e"»*'1' . Assim, a primeira derivada do IM em relação 
à idade / é
dl ~ I2
dI^L = I-2eaQ+axri
dl
Fazendo dIM/dl = 0 tem-se - CC}I~l -1 = 0 e I = -ax=-Ln/3x , 
que é a idade técnica de colheita (ITC).
Para ter certeza de que existe um ponto de máximo de IM em
I = -Ln(3x , é necessário provar que d2IM / dl2 < 0. Ao derivar,
obtêm-se Ot0CXlIx3ea'>+a'1 + aQI~2ea°+a 1 . Sendo /3t) > 0, fd\ > 0
e I > 0, conclui-se que cPlM / dl2 < 0, comprovando a existência de um 
ponto (idade) de máximo de IM em I = -Ln(3x .
dIM _ Ilea°+a'r'(-ax)r2 _e^+a'riIo
384 Campos e Leite
TT4.-1- j 1 TZ 6,02255-62,7189/_lUtilizando, por exemplo, a equaçao v = e e a
segunda alternativa de determinação da ITC, obtém-se dV/dl = V/I, ou 
ea°+“i/ (—O!})I~2 = ea“+a,! Z_1. Simplificando, — (XxI 2 =I~X e, 
portanto, I - ITC - -ax = 62,7 meses ou ainda ITC = -Ln(3\, conforme 
obtido pela primeira alternativa.
A terceira alternativa é aplicar a equação de produção para 
diferentes idades sequenciais. Por exemplo, para 60 meses, 
jz _ g6,02255-62,7189(60) = 145,07 m3ha-i Aplicando esta equação para 
idades de 60 a 65 meses e computando as diferenças IM\ - IM\.\, tem-se:
I V IM IMí-IMm
60 145,07 2,4179 -
61 147,58 2,4193 +0,0015
62 150,05 2,4201 +0,0008
63 152,48 2,4203 +0,0001
64 154,90 2,4200 -0,0005
65 157,20 2,4190 -0,0010
Observe que IMí - IMi-\ > 0 para I <= 63 meses e IMi - IM\.\ < 0 
para I > 63. Portanto, pela terceira alternativa, ITC = 63 meses, sendo 
este um valor aproximado.
Ao incluir o índice de local no modelo anterior, tem-se:
T = e 1 £q, pela segunda alternativa de determinação da idade 
técnica de colheita, obtém-se:
Fazendo IC = IM, tem-se:
=/o+A®z-‘
de colheita.
=> I = ITC ~ ~^-= idade técnica
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 385
Exemplo 13.5 - Outros modelos de produção considerando-se só a 
idade
Quais são as principais relações funcionais utilizadas para estimar a 
produção levando-se em conta apenas a idade do povoamento?
Considerações
Um primeiro exemplo é o modelo denominado Chapman- 
Richards, empregado inicialmente para modelar o crescimento florestal, 
em estudos reportados por Tumbull (1963) e Pienaar e Tumbull (1973).
O modelo estatístico foi derivado de considerações biológicas e 
tem se mostrado muito flexível para propósitos florestais. Este é um 
modelo mecanístico, ou seja, resultante de pressuposições sobre o 
crescimento, em geral.
No modelo de Chapman-Richards, supõe-se que a velocidade de 
crescimento anabólico, representada pela expressão
dY
— - o.Yfi -yY proporcional ao tamanho do organismo, sendo Y o 
dl
tamanho do organismo, I a idade ou tempo e a, f},y os parâmetros do 
modelo, com as condições a > 0, y > o e o < p < 1.
Resolvendo este modelo de incremento com a condição inicial Y 
= 0 quando I = Io, obtém-se função de produção também denominada 
Chapman-Richards (C-R), assim escrita:
em que 0 = e (p = y(\-p)
O modelo de C-R, muito utilizado para prognosticar crescimento de 
povoamentos florestais, também é empregado com frequência no 
desenvolvimento de curvas de índices de local e estimar o crescimento de 
árvores individuais, em diâmetro (dap) e em altura (H).
Outro exemplo de relação funcional para estimar a produção 
considerando-se apenas em função da idade é a função monomolecular. 
Conforme Drapper e Smith (1981), admitindo que a taxa de crescimento
386 Campos e Leite
em um tempo Zé diretamente proporcional à quantidade de crescimento, 
sendo a a produção máxima e Y a produção acumulada no tempo I, tem- 
se:
(13.1)
Ao integrar a expressão 13.1, obtém-se a função de crescimento 
monomolecular. Considerando i = 1, 2 n, tem-se o modelo: 
Yt = a (1 —fi e ~kI‘ )+£, , com E (é J = 0 e V (e .) = of
Conforme Drapper e Smith (1981), ao considerar a taxa de 
crescimento como proporcional ao produto do tamanho presente e à 
quantidade de crescimento futuro, ou seja:
dY _kY(a-Y)
dl a
com k > 0, e integrando dY/dl, obtém-se a função
denominada logística ou autocatalítica,
kY(a-Y)_ a 
a ~l+/3e-tí
Considerando z = 1,2...,», tem-se o modelo:
= 1—~kI + £' ’ também denominado modelo logístico (modelo 
mecanístico).
Nesse modelo, para I = 0, Y = e quando I tende para
infinito, Ytende para a, que é o valor assintótico. Tem-se, ainda, que 
d2Y k( x i/ 1Z
—p = ff0C~2Y) é positiva para Y < y^a e negativa para Y> yya, 
sendo o ponto de inflexão em Z = (Lnj3)i k.
Uma vez que a taxa de crescimento é expressa por: 
f = 03.2)
a integral de (13.2) fornece a função denominadafunção Gompertz, sendo:
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 387
Y = ae Pe , com ponto de inflexão em / - Ln@ . Se a idade I é zero,
k
Y = ae ^ .
Do mesmo modo, fazendo i = 1,2,..., n , obtém-se o modelo de 
regressão não linear, usado para estimar o crescimento e a produção.
Essas funções podem ser ajustadas por procedimentos de regressão 
não linear, via processos iterativos. Entretanto, como alternativa, o valor 
assintótico pode ser prefixado por proj eção gráfica, o que permite converter 
algumas funçõesem equações lineares (modelos aproximados). Por 
exemplo, as seguintes aproximações podem ser utilizadas: 
Ln = P + al, para a função Gompertz 
= p + yj, para a função logística
Além das funções descritas, outras também podem ser utilizadas 
com o objetivo de estimar crescimento e produção, como as de Weibull, 
Korf, Hossfeld, Exponencial e MMF (Tabela 13.4).
Tabela 13.4 - Outros exemplos de relações funcionais
Relação Funcional
-í-f
Y = ^e~p^ + £ 
y = /A(A+/A &-’)+£
 +ifl
Modelo
Weibull
Korf
Hossfeld
Exponencial
MMF
As funções Weibull e MMF, juntamente com as funções 
Logística, Gompertz e Richards, são do tipo sigmoide.
388 Campos e Leite
Embora pouco difundida em mensuração florestal, a função 
MMF (MORGAN et al., 1975) tem propriedades desejáveis em estudos 
de crescimento e produção e parâmetros biologicamente interpretáveis. 
Com esta função, ao fazer dY I dl = Y /1, sendo dY/ dl a taxa de 
crescimento e Y /1 a produtividade média, tem-se:
ITC=2"^ {-p2 (px + px p3 +p0- PM ±
± ^P\P2 Pq + P2 (P\ + P\Pi + Po~ PiPo)1
que é a idade em que o IM é máximo, ou seja, a idade técnica de corte. 
Esta mesma idade é encontrada ao isolar I em d(Y / /) / dl, conforme 
visto no Exemplo 13.4. Comprova-se, ainda, que a segunda derivada da 
função MMF é negativa. Assim, as relações entre crescimento e 
produção descritas na Figura 11.2 do Exemplo 11.5 podem ser 
comprovadas com a função MMF.
A produção futura pode ser expressa também em função de 
idades atual e futura (h e I2), conforme Exemplo 13.3.
Exemplo 13.6 - Modelos que resultam em inconsistência na idade 
técnica de colheita
Qual dos modelos a seguir resulta em inconsistência na expressão 
da idade técnica de colheita?
Ml 7 -s
1) Y = e
Po+Pi
2) Y = e +£
( sy
73) Y = e
Solução
O incremento corrente anual é obtido ao derivar os modelos em 
relação à idade. Então, para cada um dos modelos, tem-se:
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 389
Modelo 1:
dY A>+A íyVft s
dl
Modelo 2:
Modelo 3:
dY /VAÍy]
— = e v 7 
dl
Igualando os incrementos correntes (/C) aos incrementos 
médios (IM), tem-se:
Modelo 1:
ITC = -px
Modelo 2:
Modelo 3:
ITC = -p{S
Os três modelos estimam a produção para diferentes índices de 
local, porém apenas os modelos 2 e 3 resultam em rotações diferentes 
para cada S. Ao empregar o modelo 2, quanto maior a capacidade 
produtiva, menor a rotação. Por outro lado, no modelo 3, maior 
capacidade produtiva resulta em maior rotação. A expressão 
ITC = -/JjS-1 (modelo 2) é biologicamente mais consistente, pois, para 
um mesmo número inicial de árvores e arranjo espacial, maior 
capacidade produtiva resulta em menor idade de corte.
390 Campos e Leite
Exemplo 13.7 - Origem do modelo de Clutter
Qual é a fundamentação teórica em que se baseia o modelo de 
crescimento e produção proposto por Clutter?
Resposta
De acordo com Clutter et al. (1983), os primeiros trabalhos 
envolvendo logaritmo da produção em função do inverso da idade 
foram originalmente sugeridos por McKiney et al. (1937) e Schumacher 
(1939). Ainda de acordo com estes autores, o primeiro modelo de 
densidade variável foi estabelecido por McKiney e Chaiken (1939). 
Esses trabalhos foram baseados em dados de parcelas temporárias. Com 
o passar dos anos, o uso de parcelas permanentes passou a ser frequente.
Citando trabalho inicial de McKiney e Chaiken de 1939 e 
empregando dados de Pinus taeda, Clutter (1963) propôs o seguinte 
modelo para estimar produção em volume:
LnY = + p}S + p2 LnB+03I~} + PpSLnB+/35Sr' + fi^LnB+e
em que:
I = idade;
B = área basal por ha; e
S = índice de local.
O ajuste desse modelo aos dados de Pinus taeda resultou na 
função básica de produção:
LnY = + pxS + p2 I~x + P-iLnB + e (13.3)
A derivada dessa função informa sobre a taxa relativa de 
crescimento volumétrico, ou:
dY/dl
Y
Esta forma da função mostra que a taxa relativa de crescimento 
volumétrico depende da idade do povoamento e da taxa relativa de 
crescimento em área basal; daí a necessidade de predição do 
crescimento em área basal.
Em trabalho desenvolvido por Schumacher e Coile (1960), 
citados por CLUTTER (1963), sugeriu-se a função:
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 391
LnB =a0 +a}S + a2I 1 +a-iLn(Bi)I l+a4I 's
em que 5, é a área basal numa idade inicial, definida pelos autores 
como 20 anos, para estimar as área basal da espécie enfocada.
Diferenciando a função anterior em relação à idade, tem-se:
JD
- = Z_1 B (ot0 + axS -LnB} (13.4)
dl
Ao integrar esta expressão entre as idades A e h quaisquer, obtém-se: 
LnB2 = ~LnBx +a0^l-^-^ + a1^l-y-js1 (13.5)
As expressões 13.3 e 13.5 constituem um sistema de equações 
consistente para prognosticar:
- volume corrente;
- volume futuro;
- taxa de crescimento volumétrico;
- área basal futura; e
- taxa de crescimento em área basal.
Utilizando um modelo de área basal diferente, ter-se-ão como 
resultado relações funcionais diferentes de 13.5. A função de produção 
13.3 foi obtida para dados de Pinuspatula, em 1963, e por muitos anos 
foi usada em conjunto com a expressão 13.5, sendo o sistema de 
equações denominado modelo de Clutter. Entretanto, é importante 
lembrar que muitas vezes o modelo completo 
LnY=po+ [3}S + LnB + ^3/~' + fi4SLnB + [LSr[ + (d^r'LnB + e pode 
ser mais eficiente. Da mesma forma, em alguns casos outros modelos 
para estimar área basal podem ser necessários, em substituição ao 
modelo sugerido por Schumacher e Coile (1960), que é 
Ln (B) = a0 + cqS + a2I_1 + a3Ln(Bi)l~1 + a4I'{S .
Exemplos de relações funcionais que podem ser avaliadas ao 
empregar o modelo de Clutter, para Y = Vz (ALCÂNTARA, 2012):
LnV2 =Pq + + AA + + P^S\LnB2 +£
LnV2 = Pq + 21 "f 4" LnB2 + £
392 Campos e Leite
Ln V2 — 0q + P]12^ + 02 ^*1 ■*" 02 LnB 2 + 00S0nB 2 + £ 
LnV2 = 0o + 002 1 + ^3ëfi2 + A4/2 + £
•Í<W^2 = 00 + 002 1 "*■ 002 '^*1 "*■ 002 1LT1B2 + £ 
LnV2 = 0q+ 002 1 + 002 *^1 + 00>0hB2 + £ 
LnV 2 = 0 o + 0\12^ + 02 LnB 2 + 0(, S ] LnB 2 + £ 
LnV2 = 0q+ 1 + 05^2 iLnB2 + 06SxLnB2 + £
LnV2 — 0q + 002 1 + 0(>S\LnB 2 + £
LnV2 — 0q + 02$\ + 0^LnB2 + 002 ^1 + £ 
Ln V2 = 0q + 02 + 002}0 + 00 2^ LnB 2 + £
LnV2 = 0o + 02$\ + 002 I'S'l + 002 1 LnB2 + £
Ln V2 = 0O+ 00021 + 0sS0nB2 + 00\ + £
LnV2 = 0Ü+ 002lSx + 05S0nB2 + 00nB20l + £
LnV2 = 0o + 002^1 + 05S0nB2 + £
Ln V2= 0o + 03LnB2 + 002 + £
Ln V2= 0o + 002 St + 002LnBi + £
LnV2 = 0o + 02SX + 00nB2 + 002\LnB2 + £
Ln V2= 0o + 02S\ + 05S0nB2 + 000LnB2 + £
Ln V2= 0o + 02Sl + 000LnB2 + £
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 393
LnV2 — /3q + P2LnB2 + PP2+ PP2 LnB2 + £
LnV2 = Po + P^S^LnB2 + PP2 '^í + PP2 ^LnB2 + £
LnV2 = Po+ P2LnB2 + pfI2'LnB2 + p5S{LnB2 + £
LnV2= Pq + Pp2 lLnB2 + P^S^LnB2 + £
Ln V2 = Po + Pp21 + PoPi + P3LnB2 + £
Conforme Alcântara (2012), alternativas que podem ser 
empregadas para estimar a área basal (B2) são:
1) LnB2 = Z,zíZ?1(Z1Z24) + a0(l-Z1Z2“1)+aJl-Z1Z“1)s'1 +£
2) LnB2 = LnBx (IXI2X) + cr0 (1 - IJ2l)+ a} (1 - I{I21 )fídl + £
3) LnHd, = LnHdy)+ a2(1 -I{I2)+£
LnB2 = LnBt (IJ2') + a0 (1 - IxI2r)+ tz, (1 - Z/”1 )ZZ<Z2 + £
4) LnBt = Yq + //“' + y2S + £
A A
A512 = Bi2 — Bix, obtida a partir da equação do item 4
A A
B. = B, + A5, 2, Bi = área basal estimada na idade i.
5) LnB = cr0 + cr/-1 + cr2S + £
Esta quinta alternativa permite a inclusão de dados de parcelas com 
apenas uma medição. Isto é interessante em certos casos, uma vez que, 
no caso de plantios de eucalipto, ás vezes o percentual de parcelas com 
uma medição é relativamente alto, podendo chegar a 40% ou mais. O 
procedimento requerido nesta quinta alternativa é:
a) Ajuste do modelo LnBt = /0 + YP~' + X2S + £
b) Ajuste do modelo LnV\ = Y3 + Yp^ + Ys$ + Y^LnB + E ,
sendo Vt a produção (m3ha ') na idade i.
394 Campos e Leite
c) Estimar uma área basal compatível (5/c) com o volume (E/) 
numa idade atual (I):
A A A A
51C = exp (Ln Vx - y3 - /41~l -y5S)/ yb
d) Estimar um índice de consistência para a área basal por:
ICB = exp(/0+ Zf1 + y2 S)/Bic
e) Aplicar a equação da áreabasal para a idade de interesse, h, e 
obter a produção futura em área basal por:
B2 = exp(y0 + /Z2 + y2S)/IcB
f) Aplicar a equação obtida em b para a idade de interesse (I2) e 
obter a produção futura:
A A A A
v2 = exp(r3+ y4 iz + r5 +/6 ^2)
O modelo do item a desta quinta alternativa pode ser substituído 
por outro, se houver maior exatidão. É sempre oportuno lembrar que 0 
dado adequado para modelagem é aquele obtido de parcelas 
permanentes.
Exemplo 13.8 - Como aplicar um modelo
Como aplicar modelos de crescimento e produção?
Considerações
Os modelos podem ser aplicados diretamente a partir de sua 
forma tabular ou de gráficos. Com a maior flexibilização dos modelos 
e com as facilidades computacionais, surgiram duas formas de aplicação 
mais atuais por simulação e por otimização. A primeira emprega um 
software que gera tabelas ou gráficos para cada povoamento em 
particular, pois, considerando a diversidade de situações, pode se tomar 
inviável gerar tabelas para cada uma delas. Na segunda, é empregado um 
programa específico para 0 planejamento florestal, o qual, ao incorporar 
as estimativas oriundas do modelo, proporciona resultados para 
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 395
diferentes restrições de ordem silvicultural, de colheita e econômica. A 
otimização busca maximizar (ou minimizar) uma função por meio de 
uma combinação de níveis de atividades.
O emprego de um modelo sob qualquer dessas formas requer 
dados da população em foco. Para isso, com frequência são 
utilizados dados disponíveis de inventários florestais, sendo as 
estimativas do modelo por hectare expandidas para todo o 
povoamento. Na seleção das parcelas a serem utilizadas na aplicação 
de um modelo, uma boa alternativa é estratificar a população 
segundo algum critério de ordem silvicultural, por exemplo, 
espaçamento, capacidade produtiva, material genético, região e 
regime de corte. Com a estratificação, além de obter estimativas para 
cada estrato, é possível determinar a prognose ponderada para a 
população, o que resulta em um número mais confiável.
Em situações reais, nem sempre existem parcelas em todos os 
talhões. Ainda, para idades muito jovens, muitas vezes não há 
informações disponíveis de inventário. Ao gerar um modelo de 
crescimento e produção, está implícito que, para propósito de 
manejo, esse modelo será aplicado a toda a floresta, implicando a 
necessidade de estimar a produção para toda a área reflorestada. Por 
vezes, é preciso também obter as expectativas para áreas disponíveis 
e ainda não reflorestadas.
Essas situações resultam em algumas dúvidas sobre o efetivo uso 
de modelos de crescimento e produção. Quando existem dados de 
inventário numa idade qualquer, as projeções podem ser feitas 
diretamente aplicando o modelo e gerando prognoses ponderadas para 
áreas dos estratos ou, de modo mais eficiente, para áreas dos talhões 
onde existem parcelas de inventário. Contudo, quando não há parcelas 
permanentes, a prognose exige algumas premissas. Assim, é possível 
utilizar o centro da classe de local do talhão como o índice de local 
médio deste obtendo-se a área basal, numa idade corrente, usando uma 
regressão Si = flS), ajustada previamente com dados de parcelas 
existentes. Está implícito que algumas medições de altura de árvores 
dominantes seriam feitas no talhão onde não existe parcela permanente, 
para estimar o índice de local. O feixe de curvas de índices de local a 
ser utilizado seria aquele disponível para a área onde se encontra o 
referido talhão.
396 Campos e Leite
Outra situação é quando uma área está disponível para plantio e se 
deseja prever os estoques de crescimento e de colheita. Uma possibilidade 
é admitir a semelhança dessa área a uma outra, na qual havería dados 
suficientes para se fazer uma prognose. Em algumas empresas, as 
expectativas de produtividade para essa área em diferentes idades são 
geradas por equipes multidisciplinares, considerando-se o material 
genético a ser plantado, o tipo de solo, o clima e as práticas silviculturais a 
serem empregadas. Noutros, são empregadas técnicas de inteligência 
artificial, como redes neurais artificiais, conforme Exemplo 13.22.
Aplicação
Um resumo dos resultados obtidos de um inventário realizado em 
um povoamento de eucalipto em 2004 é relacionado na Tabela 13.5. 0 
objetivo é estimar a produção por ha de cada estrato e do povoamento em 
2005, utilizando o modelo de Clutter, cujo sistema de equações é:
g - + gl,608335-0,043987 <72; j-(l,128026 )_1 + gl,608335 -0,043987 (I) ^1.128026)'‘
y _ el.270448-38,54366/;'+0,0301865,+l,223803£»S2
Tabela 13.5 - Dados obtidos de um inventário realizado em um 
povoamento de eucalipto em 2004
Continua...
Estrato Talhão Área (ha) Parcela
Hd
(m)
Área Basal 
(m2ha 1)
Idade 
(Meses)
1 1 45,60 1 26,1 36,20 62
2 30,4 32,02 62
3 26,5 35,30 62
2 65,00 4 30,3 33,33 73
5 30,1 34,23 73
6 26,3 36,87 73
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 397
Tabela 13.5 - Cont.
Estrato Talhão Área (ha) Parcela
Hd
(m)
Área Basal
(m2ha 1)
Idade
(Meses)
2 3 84,00 - - - -
4 68,00 7 26,9 36,18 88
8 30,6 34,02 88
9 29,3 26,25 88
5 75,00 10 24,3 35,11 64
11 32,6 30,20 64
12 28,8 30,37 64
13 25,6 39,43 64
14 33,3 34,14 64
As áreas basais médias de cada talhão em 2004 foram:
Staihão í = (36,20 + 32,02 + 35,3O)/3 = 34,51 mW1
Btaihao 2 = (33,33 + 34,23 + 36,84)/3 = 34,80 m2ha4
Btaihão4 = (36,18 + 34,02 + 26,25)/3 = 32,15 mW
Btaihão 5 = (35,11 + 30,20 + 30,37 + 39,43 + 34,14)/5 = 33,85 mW
As alturas dominantes médias de cada talhão em 2004 foram:
^taihão i = (26,1 + 30,0 + 26,5)/3 = 27,7 m
7/í/talhão 2 = (30,3 + 30,1 + 26,3 )/3 = 28,9 m 
7Wtaihão4 = (26,9 + 30,6 + 29,3)/3 = 28,9 m
Hd taihão 5 = (24,3 + 32,6 + 28,8 + 25,6 + 33,3)/5 = 28,9 m
Com as estimativas de altura dominante média de cada talhão e 
correspondentes idades, utilizando a expressão do índice de local, obtém- 
se. ótaihão i 30,0 m, íStaihão 2 28,7 m, «Staihão 4 26,7 m, e iStaihão 5 30,8 m.
A área basal e o volume projetados para 2005, para o talhão 1, são: 
Zn(34,50)( — |+3,842906| 1-—|
B2=e l74j 1 74J =36,24 m2ha4
1,270448-38,54366—+0,030186(30,0)+l,223803Z»(36,24) 
^2005 = e 14
= 423,70 m3ha’
398 Campos e Leite
As áreas basais e os volumes esperados por ha em 2005, para 
todos os talhões, estão relacionados na Tabela 13.6.
Tabela 13.6 - Estimativas observadas em 2004 e projetadas para 2005
Talhão
Área 
(ha)
B B 
(m2ha‘I) 
em 2005
V 
(rrPha1) 
em 2005
Hd
em 2004
(m2ha_1) 
em 2004
S
em 2004
Idade
em 2005
1 45,60 27.7 34.51 30,0 74 36.24 423.70
2 65,00 28.9 34.81 28.7 85 36.28 436.41
3 84,00
4 68,00 28.9 32.15 26.7 100 33.62 400.15
5 75,00 28.9 33.85 30.8 76 35.61 430.51
As estimativas de produção para os estratos 1 e 2, em 2005, são:
VZM5(estrato 1) ~
(423,70)(45,60) + (436,41)(65,00)
45,60 + 65,00
=431,17 m3ha_1.
^2005(estrato 2) - (400,15)(68,00) + (430,51)(75,00) 
68,00 + 75,00
= 416,07 m3ha_1.
A estimativa de produção, em 2005, ponderada para a população, 
é:
V2005=^20X110’60) + <423-16X143-00)=422,66 mW.
110,60 + 143,00
Observe que as estimativas de produção por estrato e para o 
povoamento são ponderadas para as respectivas áreas dos talhões e 
estratos. O talhão 3 do estrato 2 não foi projetado, por não existirem 
dados de parcelas de inventário no mesmo, podendo a expectativa 
produção ser obtida conforme considerações neste exemplo.
Quando o volume atual for conhecido, a área basal futura (ft) 
pode ser projetada a partir de uma área basal compatível com esse 
volume. Esta área é obtida empregando-se a equação de produção em 
volume, utilizando os inputs h, Vie Si. Assim:
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 399
Ln K2 = 1,270448- 38,54366— + 0,030186 ) +1,223 803£.mS2
^2
LnV2 -1,270448+38,54366—-0,030186(5]) = 1,223803ã«S2 
^2
Para a idade atual,
InK]-1,270448+38,54366—-0,030186(5]) = l,223803ÄBc
A
( i )
Ln K] -1,270448+38,54366---- 0,030186( 5',)
I\
1,223803
B —ec
B2
Zn(Bc)(yL^+3,842906^1-y-
Quandoo objetivo for aplicar modelos de crescimento e 
produção visando determinar a produtividade média em uma idade 
definida, em anos, Ix, o seguinte procedimento deve ser seguido: a) 
projetar, para a idade x, a produção de todos os talhões com idade atual 
menor que Ix -0,25 (3 meses); b) para o intervalo /x-0,25 <= idade atual 
<= Ix +0,25 considerar a produção atual como produção na idade Ix; c) 
para idade atual maior que Ix +0,25 buscar a produção observada 
quando a idade se encontrava entre Ix -0,25 e Ix +0,25. A produtividade 
média para a idade Ix será igual à média ponderada dessas produções 
dividida pela idade Ix. Outra opção é atualizar (projetar) a produção 
independente do número de meses.
Quando o usuário quer projetar a produção de um conjunto de 
talhões para anos subsequentes, pode ser necessário fixar uma data para 
projeção anual (por exemplo, 31 de dezembro), porque as parcelas 
permanentes são mensuradas ao longo de alguns meses do ano. 
Dependendo da abordagem utilizada no planejamento florestal 
hierárquico, de longo prazo, isso pode ser necessário.
O emprego da área basal compatível com Vi garante consistência 
em relação ao volume, porém qualquer viés nos inputs pode resultar em 
inexatidão. Por isso, além de consistir os dados antes de fazer a 
projeção, o usuário deve avaliar o benefício do emprego do índice e, se 
400 Campos e Leite
for o caso, para alguns compartimentos, usar o próprio B\ observado 
como input para obter Bi e V2.
Exemplo 13.9 - Aplicando 0 modelo de Clutter
As estimativas de parâmetros contidas na Tabela 13.7 foram obtidas 
do ajustamento do modelo a seguir, empregando a idade em meses. 
Considerando que a área basal numa idade inicial de 24 meses (B24) pode 
ser expressa pela equação apresentada a seguir, exemplificar, por meio de 
gráficos e tabela, algumas aplicações do modelo em povoamento não 
desbastado, para índices de local 20,26 e 32 m.
B24 =-l 1,21003+1,12133355-0,0096669S2
Modelo: Ln (V2) = /3q+ PxI2l + Pi *^1 + Pj,LnB2 + Lnc 
Ln (B2) = LnB\ + «o
1-4-
l ^27
+ íXj
(
1—L S}+Lne'1V2 J
em que:
/] e /2 = idade atual e futura, respectivamente;
Kj e V2 — volumes nas idades I\ e I2 , respectivamente;
= índice de local na idade atual I{; e
Bx = área basal atual.
Tabela 13.7 - Coeficientes do modelo de crescimento e produção e 
respectivas estatísticas
Variáveis    ou a0 ou Of] R2 CV
LnVi 1,58290 -16,2640 0,016538 1,2065000 0,97 1,24
LnBi 0 1 3,539000’ -0,0093756" 0,99 5,48
* Estimativa de 00; ** estimativa de ou.
Solução
A Figura 13.1 e a Tabela 13.9, tabela de produção, obtidas a partir 
das equações fornecidas, permitem interpretações importantes para 
efeito de manejo florestal, sobressaindo 0 efeito do melhor índice de 
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 401
local na antecipação da idade técnica de colheita. Interpretações 
complementares podem ser entendidas na Tabela 13.8, mostrando 
diferentes idades de corte, de acordo com a capacidade produtiva. 
Observar que a produção de 146,06 m3ha_l na classe II não pode ser 
comparada diretamente à produção de 143,34 m3ha’ da classe III, uma 
vez que as idades de corte são diferentes.
Idade (meses)
Figura 13.1 - Curvas de produção e de incremento para três índices de 
local.
402 Campos e Leite
As idades de colheita indicadas na Tabela 13.8 foram obtidas 
observando a coluna do IMMna Tabela 13.9. As idades em meses, em 
que os IMMs são exatamente iguais aos ICMs, são 32, 41 e 56 para as 
classes I, II e III, respectivamente.
Além da indicação da idade de colheita, o emprego deste modelo 
também permite avaliar fatores de produção na condução de um plano 
de manejo. São exemplos: efeito de tratamentos silviculturais; definição 
da época de proceder a cortes para um contínuo abastecimento e 
garantia de produção sustentável; decisão sobre reforma ou condução 
de brotação; e efeitos da adubação pós-desbaste.
Tabela 13.8 - Idade técnica de colheita e produção por hectare para 
diferentes índices de local
Classe de 
Produtividade
B\ aos 24 Meses 
(m2ha'')
I TC 
(Meses)
Produção
(m3ha 1)
I (S = 32) 14,77 32 151,00
II (S = 26) 11,41 41 146,06
III (S= 20) 7,35 56 143,34
Modelos de crescimento e produção em nivel de povoamento 403
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1.
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2.
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1.
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4.
27
 
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0.
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3.
34
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1.
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20
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2,
25
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9.
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2.
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1.
17
 
22
.2
5 
29
4.
63
 
3.
06
91
 
1.
03
404 Campos e Leite
Exemplo 13.10 - Modelo de Clutter com desbastes
Exemplificar, por meio de gráficos e tabela, aplicações do 
modelo de Clutter para simular crescimento de uma plantação não 
desbastada, com as seguintes condições:
a) Empregar o modelo do Exemplo 13.9.
b) Considerar um índice de local de 20 m.
c) Considerar a área basal inicial aos 24 meses de 7,35 m2, calculada no 
Exemplo 13.9.
d) Considerar um desbaste de 50% da área basal na idade de máximo 
IMA em m3ha_1.
Considerações
A tendência das curvas de crescimento de uma plantação, após a 
realização de desbaste, pode variar com determinadas características do 
povoamento original e com a intensidade de desbaste realizado. Para 
simular desbaste numa plantação não desbastada, admitem-se as 
mesmas tendências de crescimento antes do desbaste e após. Nesse 
caso, as relações funcionais apresentadas no Exemplo 13.9 podem ser 
utilizadas. Para simular desbaste em plantações originalmente 
desbastadas, recomenda-se inserir uma expressão de desbaste no 
modelo original (Exemplo 13.12).
Solução
Resolvendo as equações com os inputs estabelecidos, obtêm-se 
os resultados indicados na Tabela 13.10 e Figura 13.2.
A idade técnica do primeiro desbaste ocorreu aos 56 meses. Um 
desbaste nesta idade, com redução de 50% da área basal, resultou em 
uma idade técnica para o segundo desbaste (ou corte final) de 102 meses 
(Figura 13.2).
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 405
Tabela 13.10 - Tabela de produção de densidade variável para índice de 
local 20, área basal inicial aos 24 meses de 7,35 m2 e 
desbaste de 50% da área basal na idade de máximo IMM
Valores entre parênteses indicam as quantidades desbastadas.
Idade Área Basal Volume IMM IMM
(meses) (m2ha 1) (mW) Remanescente
24 7,35 38,191,59 1,59
34 10,95 75,44 2,22 2,22
36 11,55 82,61 2,29 2,29
41 12,90 99,71 2,43 2,43
48 14,48 121,50 2,53 2,53
56 15,96 (7,98) 143,34 (81,24) 2,56 1,11
60 8,69 70,17 1,17
72 10,59 93,25 1,30
84 12,20 114,26 1,36
96 13,57 133,06 1,39
102 14,18 141,67 1,39
406 Campos e Leite
Idade (meses)
Figura 13.2 - Curvas de produção e de incrementos anuais (ICMqIMM) 
para índice de local 20, área basal inicial aos 24 meses de 
7,35 m2 e desbaste de 50% da área basal na idade de 
máximo IMM.
Exemplo 13.11 - Intensidade ótima de desbaste
Admitindo-se a idade definida para o primeiro desbaste, para um 
índice de local 20, conforme Exemplo 13.10, como determinar a 
intensidade ótima de desbaste, do ponto de vista econômico, e a idade 
do segundo desbaste?
Considerações
Estudos de custo em práticas de manejo florestal são conduzidos 
com frequência, independentemente de estudos de crescimento e 
produção; porém, uma combinação entre informações de custo e do 
crescimento florestal constitui boa opção para análise financeira em 
decisões de manejo.
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 407
No Exemplo 13.10, para um índice de local 20, a idade definida 
para o primeiro desbaste foi de 56 meses, com base na maximização do 
incremento médio mensal. Ainda nesse Exemplo foi simulada uma 
redução de 50% da área basal aos 56 meses, resultando em uma idade de 
102 meses para o próximo desbaste, ou corte final (Figura 13.2). A 
Adoção de outras intensidades de desbaste aos 56 meses resultará em 
idades distintas para o segundo desbaste. Assim, com propósito de 
ilustração, aqui é apresentada uma solução com a adoção de uma 
intensidade ótima de desbaste, admitindo-se que: 
custo de plantio = R$2.500,00/ha; 
custo de condução = R$12,00/ha;
custo da colheita no primeiro desbaste = R$15,00/m3; 
custo da colheita no segundo desbaste = R$12,00/m3; 
custo da colheita no corte final = R$10,00/m3; 
preço da madeira do primeiro desbaste = R$40,00/m3; 
preço da madeira do segundo desbaste = R$70,00/m3; 
preço da madeira da colheita final = R$200,00/m3; e 
taxa de juros = 12% a.a. e taxa de inflação é igual a zero.
Uma alternativa para encontrar a intensidade ótima de desbaste na idade 
definida consiste em calcular o Benefício Periódico Equivalente (BPE) para 
diferentes intensidades, adotando-se a que resultar em maior BPE..
Efetuando os cálculos para desbastes entre 20% e 80% da área 
basal remanescente na idade de máxima produtividade (IMA), 
encontram-se os resultados da Figura 13.3. Os resultados dessa figura 
foram obtidos por meio de um simulador de desbastes, Thinning 3.1 
(sistema freeware que pode ser solicitado diretamente aos autores). 
Com os inputs fornecidos, definiu-se um peso de desbaste de 20% na 
primeira e na segunda ocasião (56 e 71 meses), com o corte final aos 90 
meses. Neste exemplo, o desbaste é economicamente inviável, uma vez 
que o manejo sem desbaste, com o corte na idade de máximo IMA (56 
meses), resulta em BPE de R$305,03 ha, que é superior ao BPE máximo 
encontrado na simulação (R$171,58/ha). Considerando o desbaste 
indicado na Figura 13.2, de 50% da área basal aos 56 meses, obtém-se o 
resultado da Figura 13.4, com um BPE de R$134,63/ha.
Como ilustração, foram mantidos no exemplo de saída do sistema 
Thinning o Valor Presente Líquido (VPL), a Taxa Interna de Retomo 
(TIR) e a Razão Receita/Custo (R/C).
408 Campos e Leite
Figura 13.3 - Regime ótimo de desbaste obtido com o simulador de 
desbastes Thinning 3.1.
Figura 13.4 - Resultado da avaliação econômica de um desbaste de 50% 
da área basal remanescente aos 56 meses e corte raso aos 
90 meses, obtido com o simulador Thinning 3.1.
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 409
Exemplo 13.12 - Projeção de crescimento em plantação desbastada
Como expressar tendências de crescimento de povoamentos 
desbastados e não desbastados utilizando-se um mesmo modelo?
Considerações
De acordo com o Exemplo 13.10, a diferença de taxa de 
crescimento em área basal entre povoamento desbastado e não 
desbastado, para uma mesma capacidade produtiva e número de árvores 
inicial, depende da idade de realização do desbaste e de sua intensidade. 
Uma alternativa para predição da área basal, que contempla tendências 
de crescimento de plantações desbastadas e não desbastadas, conforme 
Pienaar e Shiver (1986), é o emprego do seguinte modelo geral:
LnB = PO + PJ-1 + P2LnN + faLnHd + p^LnN + fi^LnHd + + £
em que:
NdeNr = número de árvores desbastadas e remanescentes após o último 
desbaste; e
Id = idade de realização do último desbaste e as demais variáveis 
conforme definido em outros exemplos.
O termo A*7* modifica a área basal de uma plantação não 
NrI
desbastada, de determinada idade, número de árvores por hectare e 
altura dominante média, de forma a predizer a área basal para uma 
compatível plantação desbastada.
Fazendo I = Iiq simplificando, o modelo anterior pode ser assim 
escrito:
sÁ Nd'd\
= e^+P^ N^^riHd^rle J + e
Para h > h,
B ( N“'d NdC\
B2 = 51eA('/2’1_'Hd;h~p>1''e N'1' ' + e
410 Campos e Leite
O sistema de equações que compõe o modelo de Pienaar e Shiver 
(1986) é, portanto:
. , , , , , «.( NdId NdId\B2 = N-h- Ĵ + e
LnV2 = /3q + /3\ / /2 + B2B\ "*■ P^LnB 2 + £
Como as variáveis Hch. e N2 são também estimadas, as seguintes 
funções são acrescentadas no sistema anterior:
Hd2 = f(Il,I2,Hdl)
N2=f(I1,I2,Nl)
Exemplos de modelos são:
K-q
Hd2 = /Wie-/(/2-7i) e N2= Nxe 11'
Quando os desbastes são realizados antes do início da 
competição, admite-se a não ocorrência de mortalidade, e a função 
N2 = f{Ix,I2,Nx) é desnecessária, implicando simplificação do 
sistema:
„ ( Nrllj )B2 = 51/1(í2^Hd^p^Hd^^e ' + £
LnV2 = /I2 + @2SX + PyLtiB2 + e
Hd2= f (I\,I2, Hd})
Para controlar a intensidade do desbaste pela área basal, 
utilizando-se o sistema de equações de Pienaar e Shiver (1986), pode 
z ,/3 
ser empregada a função de Field et al. (1978), 2L = ML , que permite
transformar a relação entre áreas basais desbastada e remanescente, 
em frequências desbastada e remanescente, , ou transformar a
Br' ' Nr
relação entre L em L, sendo Nt = Nr + Nd e Bt = Br + Bd (Figura
Nt Bt b
13.5), e r, d e r indicam, respectivamente, total, desbastado e 
Modelos de crescimento e produção em nível de povoamento 411
remanescente. A expressão de Field et al. (1978) se aplica no caso de 
desbastes seletivos. Quando o desbaste é sistemático, com eliminação 
de fileiras inteiras ou de árvores em distâncias fixas uma das outras, é 
esperada uma equivalência entre Bd e Nd.
Outra alternativa para predição e projeção de crescimento de 
plantação submetida a desbaste é acrescentar o termo N-dId - Nd—d ou 
ArZ2 NrI\
BI BI
-4-4-—4_d_ na equação de área basal do modelo de Clutter (1963), 
BrZ2 S,./,
resultando no seguinte sistema:
Lw (y2 ) = fio + fidl^ + Z^2 *^1 + fi^,ljnB2 + Lne
L.M.U3. [l-Ajs, em
que S] = índice de local na idade A.
Aplicação
Para demonstrar possíveis vantagens da inclusão de termos que 
expressem mudanças mais fidedignas na tendência da curva de 
crescimento em plantação desbastada, foram empregados dados 
oriundos do experimento de desbaste estabelecido pelos autores, em 
1992, em plantações do híbrido Eucalyptus urophylla vs. Eucalyptus 
grandis, em áreas da companhia Copener Florestal Ltda., atualmente 
Bahia Pulp, na região nordeste da Bahia, com as seguintes 
características geográficas e climáticas:
Município LatitudeMédia (°)
Longitude
Média (°)
Altitude
Média (m)
Precipitação Média
Anual (mm)
Entre Rios 11° 52' 38° 32' 285 900
Inhambupe 12° 03' 38° 28' 290 1.100
Esplanada 11° 47' 37° 55' 150 1.200
412 Campos e Leite
O experimento foi constituído de três instalações (installations), 
abrangendo locais de capacidades produtivas extremas e intermediárias, 
composto de quatro tratamentos distribuídos em seis blocos, sendo dois 
em cada instalação. Cada bloco continha duas repetições, totalizando 
48 parcelas, com área útil de 2.600 m2 cada uma. O espaçamento inicial