CAMPOS & LEITE Mensuração florestal perguntas e respostas 2013 (capítulo 16 Avaliação de Modelos de Crescimento e Produção e capítulo 17 Desbaste)

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Capítulo
Avaliação de Modelos de 
Crescimento e Produção
Admite-se, quase sempre, que os dados empregados no 
ajustamento de modelos ou sistemas de equações simultâneas são 
isentos de erros; porém, nem sempre isso ocorre, uma vez que as 
observações ou medições podem conter erros que afetarão a 
eficiência desses. E também comum avaliar a eficiência de um 
modelo pela grandeza do erro-padrão, desconsiderando o efeito de 
erros contidos nos dados, por ser de quantificação difícil. Modelos 
devem ser avaliados antes de serem empregados, sendo a avaliação 
um processo que abrange ações do modelador e do usuário. Nesse 
processo são envolvidos aspectos de precisão, realismo biológico, 
flexibilidade e simplicidade, sobressaindo os critérios relacionados 
com a aplicação do modelo. Diante de tão diferentes aspectos, não é 
fácil definir um critério ou estatística que indique que um modelo é 
mesmo aceitável ou melhor que outro. Na avaliação de modelos, 
diferentes métodos utilizados podem proporcionar resultados 
semelhantes.
Independentemente do critério ou estatística utilizada, sempre 
que possível a avaliação deve ser feita com dados independentes, ou 
seja, os que não foram utilizados nos ajustamentos dos modelos.
Exemplo 16.1 - Tendência, precisão e exatidão
Explicar ou definir os termos tendência (bias), precisão e 
exatidão.
484 Campos e Leite
Considerações
Ao se avaliar um modelo qualquer, sempre estarão presentes 
referências a esses termos triviais em estatística. Daí a oportunidade 
em procurar defini-los melhor. O termo bias, comumente traduzido 
como tendência ou viés, é definido por erro de não amostragem, sendo 
um erro cometido sistematicamente desde a tomada de dados no 
campo até a aplicação do modelo. Segundo Freese (1962), o erro de 
tendência (bias) sempre está presente, sendo função do usuário 
identificar as suas causas para, então, minimizá-lo. Uma fonte de 
bias muito comum está relacionada com a seleção da amostra, 
quando esta não representa plenamente a população. Em análise de 
regressão diz-se que há inconsistência se as estimativas obtidas não 
estiverem de acordo com os parâmetros desta. Erros de tendência 
afetam a média, as estimativas de uma regressão, a variância, o erro- 
padrão e a probabilidade de discrepância entre valores observados e 
estimados.
Precisão, por sua vez, não tem qualquer relação com a 
ocorrência de tendência ou erro de não amostragem. O conceito de 
precisão de uma estimativa cobre a influência do erro-padrão, o qual 
está relacionado com a variância e com o número de observações, isto 
é, refere-se à dispersão dos elementos em relação à média. Assim, diz 
respeito diretamente ao erro de amostragem, medido pelo erro-pádrão, 
consequência de não medição de toda a população. Em inventário 
florestal ou em análise de regressão, a estatística erro-padrão é 
considerada isenta de erro de tendência ou erro de não amostragem, o 
que nem sempre acontece.
Exatidão (accuracy) refere-se ao grau de confiança da 
estimativa dos parâmetros de uma população, isto é, o grau de 
aproximação do valor estimado em relação ao verdadeiro valor. Diz- 
se, por exemplo, que, quando a estimativa da média é exata, ela é 
igual à média verdadeira, desde que não haja erro de não amostragem. 
Ao contrário, a inexatidão se verifica quando há erros de tendência e, 
ou, de amostragem. Causas frequentes de inexatidão em análise de 
regressão são: emprego de método de ajuste inadequado, erro humano 
de qualquer ordem e extrapolações além da amplitude dos dados 
utilizados no ajuste do modelo.
Avaliação de modelos de crescimento e produção 485
Exemplo 16.2 - Relação entre precisão, exatidão e tendenciosidade 
{bias)
Relacionar ilustrativamente os termos definidos no Exemplo 
16.1.
Considerações
Considerando a grande interação entre os termos definidos no 
Exemplo 16.1, a sinopse a seguir, organizada por Loetsch et al. 
(1973), é sugestiva:
Pequeno Erro 
de Tendência
Grande Erro 
de Tendência
Pequeno erro de Preciso e Preciso e
Amostragem Exato Inexato
Grande Erro de Impreciso e Impreciso e
Amostragem Inexato Inexato
Levando-se em conta que pode haver algum erro de amostragem 
e de tendência em um processo de modelagem, a sinopse comparativa 
entre os erros admite a ocorrência de um pequeno erro. Com 
frequência, os termos exatidão e precisão são interpretados como 
sinônimos, o que pode causar confusão ao interpretar os resultados, 
porque o usuário se refere somente à precisão havida, uma vez que 
esta pode ser medida admitindo-se não ter havido erro de tendência.
Exemplo 16.3 - Passos para avaliação de um modelo de cresci­
mento e produção
Quais são os principais passos para avaliar um modelo de 
crescimento e produção?
Considerações
Os modelos de crescimento e produção são primeiramente 
indicados para uso no processo de decisão, o que conduz para a 
importância em avaliá-los antes de sua aplicação e durante esta.
A avaliação de um modelo para decidir sobre sua aceitação para 
determinada população é parte importante no processo de modelagem 
486 Campos e Leite
do crescimento florestal. Nessa avaliação, os dados de parcelas 
permanentes empregados nos testes não deveríam ser os mesmos do 
ajustamento e sim os de uma outra população de mesma espécie e 
estrutura. Uma vez que esses dados nem sempre estão disponíveis, 
uma prática comum é separar em duas partes o conjunto de dados 
inicial, sendo uma para construção e outra para avaliação.
O processo de avaliação, segundo Vanclay (1994), deve ser 
contínuo, de modo a verificar ocorrência ou não de discrepâncias entre 
as estimativas do modelo e a verdadeira produção. Discrepâncias, a 
qualquer tempo, podem ser verificadas, seja por mudanças exercidas 
no regime de manejo, seja na qualidade do local, por exemplo. 
Depreende-se, então, que os dados para um contínuo monitoramento 
do modelo podem provir de inventário florestal contínuo ou ser 
coletados a qualquer tempo para esse fim.
É consenso não haver um nível de erro preestabelecido para a 
exatidão de um modelo de crescimento e produção. A confiança nos 
resultados deve estar mais ligada aos aspectos práticos do que a uma 
prova de hipótese. De acordo com Soares et al. (1995), a avaliação de 
modelos envolve vários passos, merecendo citação os aspectos seguintes:
- Examinar o modelo dos pontos de vista da teoria, da lógica e do 
realismo biológico.
- Caracterizar erros quanto a grandeza, natureza dos resíduos e 
contribuição dos componentes do modelo para o erro total. Isso pode 
ser feito visualmente (gráficos de dispersão) ou formalmente, por 
exemplo, calculando a média das diferenças absolutas.
- Realizar testes estatísticos para erro de viés, precisão e grau de 
ajustamento.
- Identificar quais componentes do modelo têm maior influência no 
erro de predição.
Essas análises não precisam ser sequenciais e podem envolver o 
traçado de gráficos e a obtenção de índices estatísticos.
Ao avaliar um modelo, devem-se tomar os devidos cuidados 
com as suas propriedades estatísticas. Sabe-se que modelos lineares 
apresentam propriedades desejáveis, como uma distribuição normal 
dos erros e a ausência de correlação entre eles. Isso se toma mais sério 
em se tratando de modelos não lineares e de sistemas de equações 
simultâneas. Nem todos os modelos não lineares são ajustados facil­
Avaliação de modelos de crescimento eprodução 487
mente, e muitas propriedades estatísticas podem não ser verificadas, 
caso não haja convergência correta no procedimento de ajuste. Já os 
sistemas simultâneos requerem procedimentos de mínimos quadrados 
em dois ou em três estágios, ou, em alguns casos, o método da 
máxima verossimilhança. Quando necessário, deve-se proceder à 
alguma correção para heterocedasticidade, ausência de normalidade e 
correlação serial. O modelo de Clutter (Capítulo 13), por exemplo, 
muitas vezes precisa ser ajustado, empregando-se procedimento de 
mínimos quadrados generalizados, com correção para 
heterocedasticidade e correlaçãoserial.
No ajuste de modelos não lineares, é preciso levar em conta 
que muitas análises estatísticas pertinentes aos modelos lineares 
não são totalmente válidas. Por exemplo, é prudente não interpretar 
a estatística F da análise de variância da regressão. Na avaliação de 
um modelo de crescimento e produção de natureza não linear, além 
da interpretação biológica ou estatística, é necessário analisar os 
sinais dos coeficientes do modelo. Em uma simples verificação 
podem-se detectar eventuais inconsistências ou erros de 
transcrição.
Exemplo 16.4 - Realismo biológico do modelo
Quais os principais cuidados ao avaliar o realismo biológico de 
um modelo de crescimento e produção?
Considerações
Ao avaliar um modelo de crescimento e produção, do ponto 
de vista do realismo biológico, deve-se ter cuidado especial com as 
variáveis idade, área basal, capacidade produtiva e outras eventual­
mente utilizadas nas relações funcionais. Isso significa que as 
estimativas geradas devem seguir uma tendência lógica esperada do 
ponto de vista biológico. Dependendo do procedimento de ajuste, 
poderão ocorrer inconsistências, como a redução da produção na 
idade de colheita com o aumento da capacidade produtiva, o que 
não é lógico do ponto de vista biológico. Algumas tendências são 
esperadas, como: menor idade de corte com o aumento da área 
basal inicial para uma mesma capacidade produtiva; maior idade de 
corte com a redução da área basal; maiores taxas de crescimento 
488 Compose Leite
em área basal e em volume em idades mais jovens; e tendência de 
estagnação da produção em área basal e volume após atingir as 
respectivas idades de máximo incremento médio anual. O modelo 
ajustado, ao ser aplicado, deve ser consistente com essas tendências 
de crescimento.
O emprego de um método de ajuste inadequado pode resultar 
em inconsistências sob o ponto de vista biológico, mesmo sendo as 
relações matemáticas definidas com base em pressuposições 
biológicas.
Exemplo 16.5 - Estatísticas usadas para avaliar modelos de 
crescimento e produção
Quais são as estatísticas inicialmente consideradas na avaliação 
de um modelo de crescimento e produção? Como interpretá-las?
Considerações
Muitos testes estatísticos são sugeridos na avaliação de 
modelos, porém o emprego de um único teste pode não ser suficiente 
para analisar o comportamento destes.
Sabe-se que em mensuração florestal é frequente o emprego de 
modelos de regressão de forma individual ou como parte de sistemas 
ou modelos de crescimento e produção. Em qualquer circunstância, a 
avaliação individualizada das equações é feita para garantir precisão 
das estimativas, utilizando-se estatísticas como o coeficiente de 
determinação, o erro-padrão residual e o coeficiente de variação. 
Cabe, inicialmente, inserir alguns comentários sobre essas estatísticas.
O coeficiente de determinação (Ã2) indica a proporção da soma 
de quadrados total que é explicada pela regressão, sendo uma medida 
do grau de ajustamento da regressão aos dados. Quando empregado 
para comparar modelos, é condição que as variáveis dependentes 
tenham uma mesma unidade. Esta estatística tem magnitude entre 0 e 
1, significando que, quando o coeficiente for igual a 1, todas as 
observações coincidirão com a curva da regressão e a soma de 
quadrados de resíduos será zero, o que seria o ideal.
Alguns textos empregam o termo índice de ajuste (FI), em 
substituição ao termo coeficiente de determinação (7?"), sendo:
Avaliação de modelos de crescimento e produção 489
O coeficiente de determinação ajustado é estimado utilizando-se 
estimativas de variância (QM), sendo:
—2 _ 1 QMResíduo
QMTotal
Esta última estatística pode ser utilizada para comparar equações 
ajustadas com um mesmo conjunto de dados ou com dados de conjuntos 
diferentes. As estimativas de QMres e QMtot são obtidas dividindo-se as 
somas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade.
No caso de modelos não lineares o coeficiente de determinação 
deve ser substituído pelo coeficiente de correlação Ryy entre valores 
observados (Fj) e valores estimados (É; ) da variável de interesse, 
sendo: 
em que Ym é a média das estimativas de Y, Y é a média 
aritmética de Y e n é o numero de observações.
É oportuno lembrar que o coeficiente de determinação, embora 
muito usado, é uma estatística pobre para avaliar modelo de 
crescimento e produção. Serve apenas como um indicador relativo do 
grau de ajustamento.
O erro-padrão residual = <jQM Res) mede a variação das 
observações quanto à curva da regressão. QM Res é a estimativa da 
variância residual. Então, se não houvesse qualquer desvio, a 
regressão indicaria que as estimativas coincidiríam com as observa­
ções. Esta estatística define o intervalo da dispersão das observações 
em relação à curva da regressão, segundo uma probabilidade prees- 
490 Campos e Leite
tabelecida (cr), o que é diferente do limite de confiança da regressão. 
O intervalo de dispersão é definido por + Syyta. Para « = 0,05, 
significa que, ao plotar as observações, 95% delas estarão dentro da 
amplitude delimitada ao longo da curva de regressão. Da mesma 
maneira que o coeficiente de determinação, esta estatística é válida 
para comparar modelos, desde que as variáveis dependentes tenham 
uma mesma unidade.
O coeficiente de variação (CV), outra medida de precisão 
utilizada em análise de regressão, permite fazer comparações entre 
modelos. Expressa o erro-padrão residual em percentagem da média, 
isto é, CV = 100SyX/Y. Para o caso da variável dependente 
transformada, o CV deve ser calculado com a variável na unidade 
original. O CV tem a vantagem de proporcionar uma informação 
relativa independente da grandeza da variável dependente. Por isso, é 
de mais fácil interpretação que o erro-padrão residual.
Há outras estatísticas para interpretar o grau de ajustamento de 
um modelo, mas a eficácia de qualquer uma delas na avaliação de um 
modelo fica comprometida sem verificação do comportamento dos 
desvios em relação à curva de regressão. Isso porque erros de 
tendência podem estar ocorrendo em alguma amplitude de classe de 
uma ou mais variável independente sem ser detectados pelas 
estatísticas que medem a precisão, o que é verificado pela análise 
gráfica de resíduos, além de outros aspectos.
Ao ajustar um modelo de crescimento e produção, é importante 
avaliar a magnitude dos intervalos de confiança e dos intervalos de 
predição para as variáveis de interesse. Além disso, a avaliação pode 
ser complementada ao estimar as estatísticas: viés (bias), raiz 
quadrada do erro médio (RQEM) e média das diferenças absolutas 
(AfDA), cujos estimadores são:
n
Bias = n ^(Yi ~Yt)
RQEM = 1007 1 n 1V (I) - 7)2
Avaliação de modelos de crescimento e produção 491
MDA =
n
i=l J
em que: y;, f, eY são, respectivamente, valor observado, valor 
estimado pelo modelo e média dos valores observados.
Essas estatísticas são interpretadas em termos relativos, em 
comparação com estudos semelhantes. Quanto menores as estimativas 
de bias, RQEMeMDA, mais confiável é o modelo ajustado.
As medidas de exatidão bias% e variância do erro, var(Yt - í^), 
podem ser categorizados conforme Islam et al., (2009), com a 
definição de quatro casos: a) baixo bias% e alta variância, baixo 
bias% e baixa variância, alto bias% e alta variância e alto bias% 
e baixa variância.
Exemplo 16.6 - Análise gráfica de resíduos
Como avaliar um modelo pela análise gráfica de resíduos?
Considerações
São muitas as maneiras de representar graficamente a 
distribuição dos resíduos (ou erros) de um modelo, a partir dos 
próprios dados do ajuste ou de dados independentes. A análise de 
resíduos pode ser utilizada para interpretar fatos, como: adequacidade 
do modelo para a relação sob análise, comportamento da variância, 
presença de dados discrepantes, normalidade dos erros, 
tendenciosidade nas estimativas e escolha da melhor equação ou 
modelo. Algumas maneiras de interpretação visual dos resíduos são 
apresentadas na Figura 16.1.Nos livros e softwares de estatística, os 
A
erros são usualmente estimados por . Aqui, para permitir
interpretação direta de sub ou superestimação, os erros são definidos 
A
por Yf-Yf e os erros percentuais por
492 Campos e Leite
a 
+
d%
»*
+
d%
e
d+
+
d% d%
f
YY
Figura 16.1 - Exemplos de gráficos com distribuições usuais dos 
desvios ou resíduos {d %").
A interpretação geral da Figura 16.1 é: a) subestimação para 
valores pequenos de X e possível presença de outliers (dados 
discrepantes); b) há tendência em toda a amplitude, começando por 
subestimação e passando para superestimação, indicando que os erros 
são correlacionados e, em consequência, há necessidade de mudança 
de método de ajuste do modelo; c) possível ocorrência de 
heterocedasticidade, o que desacredita os limites de confiança das 
estimativas, tendo como solução a troca de modelo ou transformação 
da variável dependente para logaritmo ou a justaposição de modelos, 
ou, ainda, ponderação de variáveis, ou aplicar algum procedimento 
adequado de correção. O efeito da ponderação é forçar um melhor 
ajustamento daquela parte da curva onde ocorre maior dispersão; d) 
indica estimativas de baixa precisão para qualquer valor de Y; e) 
indica um ajuste ideal; e f) indica que o modelo usado foi inadequado 
para os dados.
Em modelagem do crescimento e da produção, uma alternativa é 
a interpretação individual da distribuição dos resíduos para cada 
Avaliação de modelos de crescimento eprodução 493
variável independente do modelo, representadas, quase sempre, pelo 
índice de local, pela área basal e idade do povoamento, ou então pelos 
próprios valores observados de Y (produção).
A decisão de aceitar um modelo depende muito da grandeza do 
erro de tendência tolerável, e essa interpretação gráfica permite sua 
aceitação ou rejeição.
Exemplo 16.7 - Outras interpretações gráficas
Indicar outras alternativas de interpretação gráfica da qualidade 
do ajustamento de modelos de regressão.
Considerações
Outras interpretações eficientes, tanto para modelos simples 
quanto para os de múltiplas variáveis, são apresentadas na Figura 
16.2. Em a, num sistema de coordenadas são plotados os valores 
estimados contra os valores observados, ao longo de uma linha 
partindo da origem e formando um ângulo de 45s. Nesse caso, 
verifica-se como as estimativas do modelo, a partir de observações 
independentes (ou não), são distribuídas ao longo da linha de 
inclinação de 45B.
Em b, as observações são agrupadas em classes de resíduos, 
sendo elaborado um histograma. Esse tipo de análise é interessante, 
porque permite avaliar a precisão e, ao mesmo tempo, verificar se a 
pressuposição de normalidade foi atendida. Quanto mais fechada, em 
tomo de zero, estiver a distribuição, melhor o ajuste do modelo.
Quando o número de observações é grande, o gráfico a e todos os 
da Figura 16.1 devem ser evitados, devido ao risco de má interpretação, 
uma vez que ocorrerão diversos pontos sobrepostos no gráfico. Observe, 
por exemplo, a Figura 16.3. A distribuição dos resíduos em ±50% para o 
parâmetro b podería indicar tendência de subestimação para maiores 
valores e maior variância para pequenos valores desse parâmetro. Para o 
parâmetro y, a dispersão dos erros em ±50% podería levar a uma 
interpretação equivocada de correlação aproximadamente nula. Os dois 
histogramas apresentados são indispensáveis para que esses equívocos de 
interpretação do ajustamento sejam evitados.
494 Campos e Leite
Figura 16.2 - Comportamento dos valores estimados em função de 
observações independentes ou não.
Erro%
Casos
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50
-50
0 5 10 15 20 25 30 35
Parâmetro Y
Erro %
Figura 16.3 - Distribuição de resíduos para estimativas dos parâmetros 
de forma e de escala da função Weibull ajustada a dados 
de povoamentos de Tectona grandis.
Em a, além da interpretação visual, um teste estatístico 
complementar de verificação de tendenciosidade e de precisão pode ser
Avaliação de modelos de crescimento e produção 495
realizado: é o teste F, construído para avaliar a hipótese 
Ho ■' ÍA> Al = [o 1], segundo o modelo linear simples Jj = + + e
em que:
Yj= valor estimado pelo modelo de crescimento e produção;
Yi = valor observado;
fio e fi\ - parâmetros; e
e= erro aleatório, e ~ NID(0, cr2) •
A estatística deste teste é dada por:
F(H .
V 07 IQMRes
em que:
C = matriz identidade de ordem 2;
0=[o 1];
QM Re 5 = quadrado médio dos resíduos; e
ji = vetor de valores observados, isto é, vetor de valores da variável 
independente no modelo Y} = [fi + + e.
A hipótese testada é:
Ho: C’fi = 0 versus Ha: não Ho.
A não rejeição de Ho (F(H0) < Fa(2,n-2)) implica que os valores 
estimados e observados são estatisticamente coincidentes, perfazendo 
uma linha reta que passa pela origem (fio = 0), com declividade igual a 
45° (A = 1).
Cabe lembrar que esta estatística F(H0) pode se tomar 
inconsistente quando os valores estimados estiverem muito próximos 
496 Campos e Leite
dos observados, pelo fato de ter como denominador o quadrado médio 
do resíduo (QM Re.s), que nesse caso será muito reduzido.
Exemplo 16.8 - Outros testes para validação de modelos
Como aumentar a eficiência do teste F apresentado no 
Exemplo 16.7?
Considerações
Considerando que as comparações efetuadas pelo teste F 
(Exemplo 16.7) são influenciadas pela variância entre as variáveis sob 
comparação, Guimarães (1994) sugeriu um procedimento eficiente, 
que combina este teste com o erro percentual médio e com o 
coeficiente de correlação entre os valores observados e estimados. O 
método idealizado por esse autor consiste em aceitar como estimativas 
adequadas as condições assinaladas com # na Tabela 16.1.
Tabela 16.1 - Quadro de significância do teste de validação proposto 
por Guimarães (1994)
** significativo; ns = não significativo.
Caso Teste F Erro %
1# ns > a, < a2
2 ns > ax > a2
3# ns < a2
4 ns < «t > a2
5# ** > ax < a2
6 ** > cç > «2
7 ** < < a2
8 ** > ^2
Os valores de cti e devem ser definidos pelo usuário em função 
do problema ou tipo de modelo de crescimento e produção sob análise. 
Avaliação de modelos de crescimento e produção 497
Por exemplo, para os modelos em nível de povoamento, vistos no 
Capítulo 13, valores de qí = 90% e cr2 = 10% são usualmente admissíveis 
em nível de parcela. No caso de uma simples equação volumétrica, os 
valores de a\ e <z2 devem ser de, pelo menos, 95% e 10%, 
respectivamente. Por outro lado, no caso de um modelo hipsométrico, se 
estes valores forem considerados, dificilmente será encontrada situação 
ideal de estimação. Esse teste pode ser utilizado em qualquer tipo de 
análise envolvendo regressão, e o nível de significância a ser adotado para 
o teste F depende do problema estudado.
Conforme Guimarães (1994), a situação ideal de prognose é o caso 
1, mas os casos 3 e 5 podem ser considerados aceitáveis. O caso 2 pode 
ocorrer em função de uma intensidade de amostragem insuficiente (baixa) 
e, ou, de erros de não amostragem. Já no caso 5, a alta correlação (> ar) 
entre os valores observados e estimados implica redução na variância 
residual, tomando o teste F extremamente sensível para rejeitar a hipótese 
de nulidade. Portanto, mesmo com a significância do teste F, esta 
alternativa 5 pode ser considerada aceitável, confirmando o que foi 
mencionado ao apresentar o teste para Ho : c' (3 = 6, ou seja, este teste, 
isoladamente, pode não gerar resultados conclusivos.
Esse teste pode ser aplicado com dados independentes ou com 
os mesmos dados usados no ajuste. Em qualquer uma dessas 
situações, será sempre oportuno aplicar o teste para analisar o efeito 
individual das variáveis idade, área basal e índice de local.
Outra consideração importante refere-se ao tipo de modelo. Por 
exemplo, no caso de um modelo de distribuição de diâmetros, o teste 
deve ser aplicado por classe de dap. Isso porque, para uma ou outra 
classe de dap, o resultado pode ser indesejável, levando a um 
resultado global inaceitável.Contudo, do ponto de vista prático, o 
florestal pode aceitar o modelo, ainda que em uma ou outra classe as 
estimativas não sejam satisfatórias. É preciso ter bom senso, curiosi­
dade científica e muita prática.
Um procedimento eficiente, que elimina a subjetividade da 
decisão, foi proposto por Leite e Oliveira (2002). Esse procedimento, 
denominado teste L&O, consiste em uma regra decisória construída 
com base na estatística F proposta por Graybill (1976), na avaliação 
do erro médio e na análise do coeficiente de correlação linear entre 
valores estimados e valores observados. Conforme os autores, yi e yj 
498 Campos e Leite
são dois vetores de dados quantitativos, em que j indica um método, 
procedimento ou tratamento alternativo e 1, o tratamento-padrão. 
Aqui, Ij indica estimativas de produção obtidas pelo modelo de 
crescimento e produção e Fj demonstra a produção observada. Então:
'1 ill’
1 F12
’ yj =
jj2
1 V jjn_
A relação entre ji e jj pode ser expressa matricialmente por: y, 
= yifi+e
em que:
E =
^1
^2
A
En
Sob normalidade: 
F(H0) =
(l-my/yjd-fl)
2QMR
Fa (2, n - 2 g.l.),
1_____ , 6 =
0'
LA. 1
2*1
ZÉ?
e <2MReí= quadrado médio
dos resíduos da regressão linear simples: Yj = 0O + 00^. Assim, com 2 e 
n-2 graus de liberdade e um nível de significância a, esta estatística é 
usada para avaliar a hipótese Ho:0 =[0 1]. Se F(H0) > F« (2, n-2 g.l.), 
rejeita-se Ho; caso contrário, aceita-se Ho e = Y[ em nível a de 
significância.
Considerando que os erros = (Fj; - Fuj/Fn seguem uma 
distribuição normal, a hipótese Ho: ê = 0 vs. Ha: não Ho pode ser 
g _0 5
testada usando a estatística t, dada por í- =------ , sendo Se- = —*=,
Sê Jn
com n-1 g.l. Se te £ ta (n-1 g.l.), a hipótese é rejeitada. Caso 
contrário, se tê <ta (n-1), aceita-se Ho.
Avaliação de modelos de crescimento e produção 499
A regra de decisão proposta pelos autores consiste em utilizar os 
testes F e t descritos anteriormente, em conjunto com a análise da 
inequação rY Y >1-|<? |. Aceita-se a identidade entre Yj e Yt quando 
ocorre a situação 1 do Tabela 16.2.
Tabela 16.2 - Regra de decisão para validação de modelos
ns e * denotam, respectivamente, não significativo e significativo em nível a de probabilidade.
Situação F(Ho) te Vi Decisão
1 ns ns rYjY1 * CM ê |) YJ=Y}
2 ns ns (i-i I) Yj^Yx
3 ns * rYjYl > d-l^ 1) Yj^Y.
4 ns * rr.Y < (l-|e |) Y^YX
5 * ns rYY >(1-|F|) Yj^Yt
6 * ns rY Y < (1-| ê |)j i Y^Yi
7 * * rYjY1 Yj^
8 * * ^(l-l^l) Yj^Y.
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500 Campos e Leite
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Verlagsgesellschaft, 1973. v. 2,469 p.
SOARES, P. et al. Evaluation a growth model for forest management using 
continuous forest inventory data. Forest Ecology and Management, v. 71, p. 251- 
265,1995.
VANCLAY, J. K. Modelling forest growth and yield. Applications to mixed tropical 
forests. Wallingford, UK: CAB International, 1994. 312 p.
Capítulo
Desbaste
Desbaste é a remoção de uma proporção de árvores num povoa­
mento florestal, a fim de se conseguir mais espaço de crescimento 
para as árvores remanescentes, aumentando a produção de madeira 
utilizável durante o ciclo de corte do povoamento, além de garantir a 
produção contínua de madeira.
Após decidir pela realização de um desbaste, é preciso definir a 
idade do primeiro desbaste, o ciclo de desbastes subsequentes e sua 
intensidade (ou peso). Nessas decisões influem fortemente os objetivos 
do proprietário, o mercado e o custo de execução.
Por intensidade de desbaste é entendido aqui a área basal, ou o 
volume, ou o número de árvores, removidos do povoamento em cada 
intervenção de desbaste. Por ciclo de desbaste é entendido o intervalo 
de tempo entre os sucessivos desbastes.
A seguir, são exemplificados alguns questionamentos relacio­
nados com a realização de um desbaste, cabendo destacar o efeito 
geral deste na produção, o controle da intensidade e o método de 
decisão da idade do primeiro desbaste, entre outros.
Exemplo 17.1 - Justificação do desbaste
Por que desbastar?
Considerações
O suprimento de madeira de florestas nativas tem sido cada vez 
mais restrito, tanto pela escassez natural como por imperativo de 
502 Campos e Leite
legislação. Com isso, surge a estratégia de manejar plantações para a 
produção de árvores de maior porte, permitindo um suprimento regular de 
madeira para diversos usos. Entretanto, para essa implementação, é 
necessário rever e adaptar as práticas de manejo em uso e avaliar o 
potencial de mercado para outros usos da madeira. As práticas de manejo 
mais diretamente relacionadas com a produção de árvores de maior porte 
são o desbaste e a definição do espaçamento inicial. A desrama artificial, 
embora não esteja diretamente relacionada com o aumento do porte da 
árvore, justifica-se apenas em árvores remanescentes de porte comercial. 
Entretanto, em algumas situações, a desrama de 100% das árvores pode 
resultar em menor custo de algumas atividades florestais, como o 
inventário florestal, em razão da limpeza proporcionada na área. Em caso 
de espécies de grande valor comercial, como Tectona grandis, a desrama 
de 100% das árvores é justificável e viável.
A intensidade dos desbastes mais o ciclo destes têm efeito 
decisivo no valor e no desenvolvimento dos povoamentos. Alguns dos 
benefícios do desbaste são:
• Redução do tempo para produzir árvores de grande diâmetro e de 
tronco uniforme.
• Maior rendimento volumétrico no processamento da madeira, ao 
produzir troncos de qualidade desejada quanto à forma, sanidade e 
aspecto da madeira.
Exemplo 17.2 - Relação entre frequência e volume
Quais são as tendências gerais nas relações entre o volume por 
árvore e por área em confronto com o número de árvores por hectare?
Considerações
O crescimento da floresta plantada é afetado fortemente por 
dois fatores:
• Capacidade produtiva do lugar; e
• Composição do povoamento florestal, compreendendo:
• espécie ou clone;
• número de árvores por unidade de área e seu porte; e
• distribuição espacial das árvores.
Desbaste 503
Por sua vez, esses fatores estão sujeitos ao controle, via manejo 
florestal, para se obter o produto desejado. Então, a produção de 
madeira para serraria ou celulose, bem como para aglomerados e 
laminados, exige manejos diferentes, especialmente quanto ao número 
de árvores a permanecer por hectare. Portanto, na produção de árvores 
de maior porte, o controle da densidade por meio de práticas de 
desbaste é de grande importância, conforme pode ser observado nas 
Figuras 17.1 e 17.2. A Figura 17.1 também ilustra o efeito geral da 
frequência por hectare na produção em volume. Verifica-se que o 
volume por hectare aumenta com o número de árvores até certa 
densidade crítica, além da qual esse volume tende a diminuir, e essa 
densidade varia com a espécie e com a capacidade produtiva. O volume 
por árvore diminui com o aumento do número de árvores por hectare. 
O crescimento em diâmetro tem comportamento semelhante, conforme 
ilustrado na Figura 17.2, sugerindo que o diâmetro aumenta em maior 
espaçamento. A grandeza do diâmetropode ser controlada pelo 
espaçamento inicial e também por meio de desbastes, havendo número 
mínimo de árvores por unidade de área, abaixo do qual não ocorrerá 
nenhum efeito sobre o crescimento do diâmetro.
Número de árvores por hectare
A - Árvores isoladas
B - Árvores em 
grande espaçamento
C - Árvores em 
espaçamento 
intermediário
D - Árvores em 
pequeno 
espaçamento
Figura 17.1 - Tendência geral da relação entre número de árvores 
remanescentes, volume por unidade de área e volume 
individual, após Daniel et al. (1979).
504 Campos e Leite
Figura 17.2 - Tendência geral do crescimento do diâmetro em 
plantações com diferentes espaçamentos, após 
Clutter et al. (1983).
Exemplo 17.3 - Efeito do desbaste na produção
Qual é o efeito do desbaste na produção?
Considerações
A maior ou menor produção de um povoamento pode ser 
determinada pela definição, no tempo certo, do melhor espaço para 
as árvores crescerem. Quando a meta é produzir árvores para 
serraria, além da definição do espaçamento inicial, é preciso 
desbastar.
Para cada espécie e capacidade produtiva deve haver um espaço 
ótimo entre árvores, bem como adequado regime de desbastes que 
proporcione taxas de crescimento ideais. Contudo, não existe uma 
forma fácil de definir um regime ótimo de desbastes, porém uma boa 
aproximação pode ser conseguida a partir de observações feitas em 
parcelas permanentes com tratamentos dirigidos. Na Figura 17.3 é 
evidenciada a tendência geral de produção quanto à aplicação de 
desbastes periódicos. Valores da ordenada iguais a a e b equivalem à 
produção retirada em cortes de desbastes, enquanto c representa o 
corte final do povoamento remanescente.
Desbaste 505
Idade
Figura 17.3 - Relação entre as produções de um povoamento desbas- 
tado e de um povoamento não desbastado, após Clutter 
et al. (1983).
A tendência geral, indicada na Figura 17.3, leva à conclusão de 
que a produção bruta em povoamento não desbastado é 
aproximadamente igual à produção residual mais os desbastes, ou, 
ainda, a produção bruta é igual à líquida, uma vez que a mortalidade 
de árvores é praticamente zero. Ao incluir mortalidade e cortes 
intermediários (desbaste), pode-se encontrar uma tendência, conforme 
Figura 17.4, de a produção bruta ser igual à produção líquida mais a 
mortalidade.
Como conclusão, a maioria dos estudos de desbaste sustenta 
que os desbastes não afetam significativamente a produção bruta, 
exceto quando a densidade é reduzida muito severamente, 
tornando o lugar subutilizado, e também raramente resultam em 
aumento da produção bruta em volume. Assim, a decisão sobre a 
prática de manejo deve ser baseada em considerações econômicas, 
levando-se em conta a produção de árvores de maior valor 
individual.
506 Campos e Leite
Figura 17.4 - Representação da produção bruta, líquida e remanes­
cente em um povoamento desbastado quando ocorre a 
mortalidade.
Exemplo 17.4 - Decisão de desbaste e frequência
Quais são os fatores mais relacionados com a implementação do 
desbaste e com a sua frequência?
Considerações
Há sempre o que discutir quando se decide incluir o desbaste no 
plano de manejo de uma empresa, por ser uma decisão difícil. A 
implementação dessa prática depende de muitos componentes, como:
• Objetivos do manejo.
• Espaçamento inicial.
• Qualidade do local e topografia.
• Mão de obra e equipamentos.
• Mercado para diferentes produtos da madeira.
Uma decisão difícil, além da intensidade das intervenções, 
concerne à sua frequência e época de realização, isto é, o ciclo de 
desbaste. Isso exige estudos de mensuração baseados em parcelas 
permanentes, visto que, sem um controle efetivo do estoque de 
crescimento, corre-se o risco de provocar subutilização do potencial 
produtivo do lugar.
Desbaste 507
Dado o efeito interativo das variáveis envolvidas no desbaste, 
entende-se por que não existe coincidência entre programas de 
desbastes de organizações diferentes, sem considerar a preferência 
pessoal. Mesmo assim, algumas respostas gerais esperadas são comuns 
a diferentes desbastes. São exemplos:
• A época do primeiro desbaste depende muito do estoque inicial e do 
mercado.
• A idade em que um povoamento alcança a idade de corte depende 
do diâmetro médio atingido pelas árvores.
• O tempo para produzir árvores de grande diâmetro e tronco 
uniforme é reduzido.
• Maior diâmetro das árvores e localização estratégica dos 
povoamentos reduzem os custos de exploração e transporte.
• O tipo e a intensidade de desbastes sucessivos podem variar em um 
mesmo povoamento.
• O desbaste evita a perda de árvores que eventualmente morreríam 
por competição.
Exemplo 17.5 - Intensidade de desbastes
Como controlar a intensidade de desbaste?
Considerações
Por intensidade de desbaste entende-se a produção removida em 
cada intervenção. As seguintes alternativas podem ser usadas para 
expressar essa intensidade:
• Com base no número de árvores.
• Com base na área basal.
• Com base no volume.
Após a definição da época do desbaste, o controle da sua 
intensidade pelo número de árvores não é recomendado, uma vez que 
o resultado da intervenção depende do tipo de desbaste, isto é, se 
seletivo ou sistemático. Por exemplo, se as menores árvores são 
removidas, a densidade de copas das árvores remanescentes será 
muito mais pronunciada que se um mesmo número de árvores grandes 
for removido.
508 Campos e Leite
Então, a intensidade do desbaste é mais bem controlada ao 
estipular em cada intervenção uma quantidade em m3 do volume a ser 
removido, ou uma quantidade da área basal a ser removida (% ou m2).
Optando pela área basal, o corte é realizado, preferencialmente, 
a partir das árvores de menor dap, até atingir a área basal estipulada 
para ser removida, conforme Exemplo 17.7. De acordo com esse 
exemplo, o controle exato da área basal a ser removida é conseguido 
ao medir o dap das árvores marcadas para desbaste.
Uma aproximação do número de árvores a serem desbastadas 
pode ser obtida utilizando-se a expressão de Field et al. (1978):
Nt W
em que:
Nr e Br = número de árvores e área basal remanescentes após o 
desbaste (por ha); e
Nt e Bt = número de árvores e área basal totais antes do desbaste 
(por ha).
A diferença entre o Nr real (correspondente à Br estabelecida) e 
o Nr obtido pela expressão de Field (1978) depende do grau de 
ajustamento do modelo 17.1.
Para melhor entendimento, considere um povoamento contendo 
um número médio de 1.500 árvores por ha (Af), equivalente a uma 
área basal de 26 m2ha'1 (Bt). Sendo estipulado um desbaste com 
intensidade de 40% da área basal (0,40(26) = 15,60 m2ha_1), a partir 
dos menores diâmetros, qual é o número de árvores equivalente à área 
basal a ser removida? Admita que a expressão a seguir foi obtida a 
partir de parcelas permanentes do povoamento a ser desbastado:
/_ X 1,432261
Nr
Nt
Colocando Nr em evidência, tem-se que:
Nr = Nt
Desbaste 509
Portanto, o número de árvores remanescentes equivalente a Br é 
0,4811(1.500) = 722. Então, o número de árvores a serem desbastadas 
é 1.500-722 = 778 árvores.
O controle da intensidade via área basal pode ser feito a partir 
de uma área basal fixa a ser deixada após o desbaste, ou, então, em 
função da área basal na ocasião deste. Esta última alternativa deve ser 
preferida, uma vez que, neste caso, o corte ocorrerá de acordo com o 
potencial do povoamento, ou melhor, de acordo com a estrutura do 
povoamento em cada local ou talhão. Usualmente, a quantificação da 
área basal a ser removida nos desbastes é feita em valores percentuais.
Ao utilizar o controle via redução do volume, a equivalência 
entre volume e área basal pode ser feita utilizando-se uma equação de 
produção. Por exemplo, ao empregar a equação:
Ln (V2)= Po + Plh1 + Pi ^1 + >
a área basal equivalente é obtida por:
ÍLnV2 ~ A721 V3 1
= e- }
Uma aproximação do número equivalente de árvores pode ser 
obtida a partir dessa área basal equivalente, utilizando-se a expressão 
de Field et al. (1978), conforme demonstrado.É de se entender que, qualquer que seja a opção escolhida, o 
sucesso do controle da intensidade de corte depende muito de um 
completo levantamento do estoque a ser manejado.
Exemplo 17.6 - Tipos de desbaste
Quais são os tipos de desbaste?
Considerações
O desbaste pode ser seletivo ou sistemático. O seletivo é aquele 
em que as árvores são removidas, ou não, de acordo com a sua quali­
dade e envolve, quase sempre, a remoção inicial de árvores suprimidas 
e dominadas, causando a abertura do dossel, o que favorece o 
desenvolvimento das melhores árvores, uniformizando o povoamento. 
Desbaste sistemático é aquele em que as árvores são removidas de 
acordo com predeterminado sistema, não permitindo considerações 
510 Campos e Leite
sobre a qualidade destas. O sistema mais comum de desbaste 
sistemático consiste na remoção de uma fileira, em intervalos defini­
dos, segundo a intensidade. Por exemplo, a remoção de uma em cada 
duas fileiras causa redução de aproximadamente 50% das árvores.
O desbaste sistemático é usualmente mais barato e fácil de realizar, 
porém pode resultar em corte por falta ou excesso, isto é, remoção de 
árvores tecnicamente adequadas e manutenção de árvores tecnicamente 
inadequadas. Conforme Rollinson (1998), desbaste desse tipo somente 
deveria ser aplicado quando a diminuição de custos, em relação ao 
desbaste seletivo, for maior que a perda financeira de futuros retornos.
Uma alternativa que pode ser empregada com sucesso consiste 
em adotar um desbaste misto de sistemático e seletivo. Por exemplo, 
remoção de uma a cada sete (ou cinco) fileiras sistematicamente e des­
baste seletivo nas demais fileiras. Nesse caso, reúnem-se as vantagens 
principais dos dois tipos de desbaste, ou seja, redução de custo ao 
eliminar uma a cada sete (ou cinco) fileiras, facilitando a colheita 
mecanizada das árvores desbastadas, e possibilidade de eliminar os 
indivíduos inferiores por meio do desbaste seletivo em algumas fileiras.
Exemplo 17.7 - Controle via área basal
Como controlar a intensidade do desbaste de um povoamento 
florestal via área basal?
Considerações
Será considerado aqui o controle com base na área basal 
presente em diferentes talhões por ocasião do desbaste. Será 
considerado também um desbaste misto de sistemático e seletivo. 
O desbaste sistemático é realizado a cada sete fileiras, enquanto nas 
demais é adotado o desbaste seletivo, eliminando-se os piores 
indivíduos. A concepção deste desenho se deve ao fato de que o 
mesmo equipamento que corta e remove árvores, sistematicamente, 
de cada sete fileiras (ou linhas) também presta para cortar e remover 
as árvores marcadas seletivamente nas demais fileiras.
Considere como exemplo um desbaste de 50% da área basal 
em um talhão que contém 20 m2 de área basal total. Esta área basal 
de 20 m2 pode ser conhecida via inventário florestal. Para atingir os 
Desbaste 511
50% da área basal a ser desbastada (10 m2), inicialmente deve-se 
caminhar no talhão, medindo o diâmetro de todas as árvores de cada 
fileira a ser desbastada sistematicamente, obtendo, por exemplo, 3 m2 
de área basal. Em seguida, caminhando pelo talhão, as árvores 
inferiores (piores indivíduos) devem ser marcadas para desbaste e seus 
diâmetros medidos, sendo computada a correspondente área seccional. 
Essas áreas seccionais devem ser somadas à área basal de 3 m2, até 
que se obtenham40 m2 de área basal a ser desbastada (50%). Nos 
primeiros desbastes, a remoção de 50% da área basal deverá resultar 
em remoção de mais de 50% das árvores, uma vez que os piores 
indivíduos (árvores de menor dap) são cortados. Na Figura 17.5 foi 
ilustrado um desbaste misto que resultou na colheita de 53,6% das 
árvores. De. um total de 252 árvores antes do desbaste, foram 
removidas 42 sistematicamente e outras 93 por procedimento seletivo.
Durante a marcação das árvores para o corte, o operador deve 
caminhar pelo talhão quantas vezes for necessário, até atingir o 
percentual de área basal a ser desbastado. Uma forma eficiente de 
aplicar esta metodologia consiste em codificar um algoritmo em um 
coletor de dados (ou em uma calculadora manual), de maneira que, 
ao digitar os diâmetros das árvores marcadas para desbaste, o 
aplicativo já vai indicando o somatório das áreas secionais das 
árvores a serem colhidas.
A escolha da intensidade de desbaste depende da localização do 
povoamento, da disponibilidade de mercado e dos objetivos do 
proprietário. Alta intensidade de desbaste resulta num maior diâmetro 
das árvores remanescentes, enquanto as árvores removidas por 
desbaste terão menor valor. Isso leva a acreditar que maior intensidade 
seja mais desejável, embora uma redução da produção volumétrica 
deva também ser considerada.
512 Campos e Leite
Figura 17.5 - Esquema de um desbaste misto (seletivo e sistemático), 
que resultou na remoção de 63% do número inicial de 
árvores.
Exemplo 17.8 - Época de desbaste pelo método dos ingressos percentuais
O que é o método dos ingressos percentuais e como utilizá-lo na 
definição da época do desbaste?
Desbaste 513
Considerações
O Método dos Ingressos Percentuais (MIP) foi idealizado por 
Garcia (2000) para definir a época mais adequada para realizar o 
primeiro desbaste, bem como os subsequentes. Neste método é 
considerada a dinâmica de crescimento do povoamento com base no 
ingresso sucessivo de árvores em novas classes diamétricas. O termo 
ingresso é utilizado como referência às árvores que, ao longo do 
tempo, migram de uma classe para outra. Para quantificar os ingressos 
em idades superiores à última medição de um inventário florestal 
contínuo, ajusta-se um modelo de distribuição diamétrica. Conforme 
Garcia, o ingresso de árvores em novas classes de diâmetro corresponde 
ao ingresso a partir do diâmetro em que duas funções densidade de 
probabilidade (fdp) se igualam, sendo este denominado Diâmetro 
Diferenciador (DD), conforme ilustrado na Figura 17.6. Nessa figura,^//?/ 
efdp2 referem-se às distribuições nas idades I\ e Z2- Na Figura 17.7 são 
exemplificados os ingressos percentuais em sete idades sucessivas.
Figura 17.6 - Identificação do diâmetro diferenciador (DD) e do 
ingresso de árvores em novas classes de diâmetro.
514 Campos e Leite
Figura 17.7 - Exemplo de ingressos percentuais em idades sucessivas, 
em meses.
O MIP consiste em identificar a idade em que o ingresso de 
árvores em novas classes (ZP) é não significativo, sendo esse o 
momento de realizar o desbaste. Para estudar essa significância, pode- 
se utilizar um modelo exponencial justaposto a um modelo linear 
simples, sendo a não significância identificada pelo momento da 
justaposição. Considere como exemplo o modelo expolinear 
(GOUDRIAAN, 1994), cuja relação funcional é:
ZP = -Ln[l + ^(wro)]+^
Z? J
em que:
IP - ingresso percentual de árvores;
I = idade do povoamento;
a = parâmetro que indica o crescimento máximo absoluto do ingresso 
percentual de árvores na fase linear da curva;
= parâmetro que indica o crescimento máximo relativo do ingresso 
percentual de árvores na fase exponencial da curva;
ITD - parâmetro que indica o momento da mudança da fase linear 
para a fase exponencial da curva, correspondendo à idade 
técnica do desbaste ou do corte final; e
5= erro aleatório.
Desbaste 515
Considere a equação de ingresso obtida para povoamentos de 
eucalipto localizados no nordeste do Estado da Bahia (NOGUEIRA, 
1999):
IP =-0,017714 + e-0,686673(7-68,95471)] /?2 = Q 922
-0,686673
Este exemplo serviu para ilustrar a Figura 17.8, na qual se pode 
observar que a idade técnica para realização do desbaste é de 
68,95771 - 69 meses, ou aproximadamente seis anos.
Ingresso
0,00 d---- 1—i----- 1-------- 1------1----- 1----- r—i------ 1—i----- 1
40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84
Idade (meses)
Figura 17.8 - Curvas de ingresso percentual indicando a idade em que 
há mudança no comportamento das taxas de ingresso, 
isto é, quando ocorre DD.
516 Campos e Leite
A fase linear da curva indica que está ocorrendoingresso 
significativo de árvores em sucessivas classes de diâmetro (até os 69 
meses no exemplo em foco). Na fase exponential da curva, o ingresso de 
árvores já não é mais significativo, o que ocorre, neste exemplo, a partir 
dos 69 meses. A escala desta parte da curva foi ampliada na Figura 17.8 
para evidenciar o comportamento exponential. O parâmetro ITD é o 
indicador da idade em que acontece a mudança de uma fase linear para 
uma fase exponential, sendo, portanto, o momento de realizar o desbaste.
A metodologia usada para definir o momento ideal de realizar o 
primeiro desbaste é também utilizada para determinar o momento 
ótimo de execução dos desbastes sucessivos, isto é, serve para definir 
o ciclo de desbaste (intervalo em anos entre desbastes sucessivos). 
Após o primeiro desbaste, as árvores retomam o crescimento e, 
enquanto houver árvores ingressando em novas classes de diâmetros, 
não há necessidade de desbaste. Quando esse ingresso não for mais 
significativo, é o indicativo do momento ideal para realizar o segundo 
desbaste e, assim, sucessivamente até o corte final.
Em resumo, os principais passos para decidir sobre o momento 
de realizar o desbaste, qualquer que seja sua intensidade, utilizando-se 
o MIP, são:
• Obter dados de distribuição diamétrica de um conjunto representa­
tivo de parcelas permanentes, com três ou mais medições.
• Determinar o ingresso percentual por parcela utilizando esses dados 
observados.
• Ajustar um modelo de distribuição diamétrica, conforme exemplos 
no Capítulo 14, e estimar distribuições para algumas idades além 
daquela observada na última medição das parcelas permanentes.
• Para cada par de idades sucessivas, determinar o ingresso percentual 
igualando as respectivas funções estimadas (fdpi efdpz).
• Ajustar um modelo expolinear e encontrar a idade ótima de 
realização do desbaste.
Muitas vezes, a idade de estagnação do ingresso percentual 
poderá ser coincidente com a de estagnação do diâmetro médio (q), ou 
da área basal (5) por hectare. Assim, uma alternativa simples para 
definir uma aproximação da idade de aplicação do desbaste consiste 
em determinar a idade de estagnação de q ou B por meio de regressão.
Desbaste 517
Exemplo 17.9 - Simulação de desbastes utilizando o modelo de 
Clutter
Como utilizar o modelo de Clutter para simular desbastes?
Considerações
A simulação de intensidades de desbastes pode ser feita 
empregando-se modelos em nível de povoamento ou via modelos de 
distribuição diamétrica. Na primeira categoria, é comum o emprego 
dos modelos de Clutter e de Buckman, descritos no Capítulo 13. 
Considere o modelo de Clutter a seguir:
Ln V2 = 1,5829 -16,264— + 0,0165385! + l,2065L«B2
^2
LnB2 = LnBl + 3539^1 - - 0,0093756^1 -
B. = -11,21003 + 1,12133355 - 0,009666952
em que:
Zj e Z2 = idades atual e futura;
Bx e B2 = área basal atual e futura, m3ha_1;
área basal na idade inicial de 36 meses, em m3ha_1;
V2 = produção futura, m3ha_1;
Ln = logaritmo neperiano; e
5 = índice de local.
Como exemplo, considere um índice de local de 30,0 m e as 
seguintes alternativas de desbaste:
a) Redução de 40% da área basal aos 60 meses e de 25% aos 84 meses 
e um corte final aos 120 meses.
b) Redução de 50% da área basal aos 60 meses e de 35% aos 84 meses 
e um corte final aos 120 meses.
c) Redução de 60% da área basal aos 60 meses e de 45% aos 84 meses 
e um corte final aos 120 meses.
518 Campos e Leite
Solução
A área basal inicial aos 36 meses é:
= - 11,21003 + 1,1213335(30) - 0,0096669(302) = 13,73 m2ha1
De posse desta área basal inicial, o passo seguinte consiste em 
obter a área basal na idade futura I2 de 60 meses, isto é:
Lnl3,7336+3539| 1 - —1-0,009375611 - — |30
B2=e 60 60' 60 ' = 17,72 mW
Então, com os desbastes de 40, 50 e 60% da área basal aos 60 
meses, tem-se:
a) 10,63 m2ha4 remanescente e 7,09 m2ha1 desbastado.
b) 8,86m2ha’1 remanescentee 8,86m2ha' desbastado.
c) 7,09 m2ha_1 remanescente e 10,63 m2ha_1 desbastado.
Estas áreas basais remanescentes, projetadas para a idade de 84 
meses, resultam em:
£«10,63— +3,53911 - —1-0,009375611 - — 00
a) B2=e 84 S4' 842 = 13,72 mW
Z.n8,86—+ 3539Í1 - —l-0,0093756fl - —130
b) B2 = e 84 84 84 = 12,05 m2ha'
Ln7,09—+3^39Í1 - —l-0,009375óíl - —130
c) 52=e 84 842 ' 842 = 10,28 m2ha*
Simulando os desbastes de 25, 35 e 45% dessas áreas basais aos 
84 meses, obtém-se, respectivamente:
a) 10,29 m2ha_1 remanescente e 3,43 m2ha' desbastado.
b) 7,83 nfha'1 remanescente e 4,22 m2ha’’ desbastado.
c) 5,65 m2ha ' remanescente e 4,63 m2ha ’ desbastado.
Projetando as áreas basais remanescentes aos 84 meses para as 
idades seguintes (96,108 e 120 meses), obtêm-se os resultados indicados 
Desbaste 519
na Tabela 17.1. Nesta tabela foram incluídas também as estimativas de 
volumes desbastado e remanescente. Por exemplo, o volume remanes­
cente aos 120 meses, para a alternativa “a”, foi assim obtido:
1,5829-16,264—+0,016538Si+l,2065Ln(13,60) . ,
V2 = e 120 = 162,76 m3ha1
Sendo o modelo de característica invariante, as estimativas 
podem ser obtidas projetando anualmente a área basal, até a idade de 
interesse, ou, então, projetando-se diretamente de uma idade I\ 
qualquer para uma idade futura Z2.
Se o interesse for desbastar uma percentagem do volume 
remanescente, é necessário definir a área basal a ser desbastada 
usando-se a equação que projeta o volume V2. Por exemplo, havendo 
interesse em desbastar 40% do volume aos 60 meses, deve-se obter 
V2 (volume projetado para a idade Z2 = 60 meses) e calcular 0,60 V2 
O volume resultante deve ser substituído na expressão de V2 para se 
obter a área basal remanescente aos 60 meses. Efetuando os cálculos 
tem-se:
1,5829-16,264—+0,016538(30)+l, 2065Ln(l 7,72)
V2=e 60 = 195,643 m3ha‘
0,60(195,643) = 117,3858, que é o volume remanescente aos 
60 meses. Substituindo na equação anterior, obtém-se:
1,5829-16,264—+0,016538(30)+l,2065Ln(B2)
117,3858 = 6 60
Isolando fy
B2 = g(i»(117,3858)-l,5829+16,264/60-0,016538(30))/l,2065 = 116034 m2ha 1 
que é a área basal remanescente aos 60 meses, após o desbaste de 40% 
do volume.
520 Campos e Leite
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Desbaste 521
Exemplo 17.10 - Simulação de desbastes utilizando modelo de 
distribuição de diâmetros
Como simular desbastes utilizando um modelo de projeção da 
distribuição de diâmetros?
Considerações
Alguns modelos de distribuição de diâmetro permitem fazer 
predições da distribuição (Exemplo 14.11), enquanto outros se prestam 
para fazer projeções (Exemplo 14.15). No segundo caso, um sistema de 
equações é utilizado para projetar a estrutura futura a partir de uma 
estrutura atual conhecida. Modelo com essa segunda característicaé 
mais apropriado quando o propósito é simular efeito de desbastes.
A projeção da distribuição diamétrica de um povoamento após a 
realização de um desbaste deve ser feita a partir da distribuição de 
diâmetros remanescentes desse desbaste. Isso evidencia a limitação dos 
modelos de predição da distribuição de diâmetros, uma vez que nesses 
modelos os parâmetros da função de distribuição não são empregados 
como variáveis independentes. Sendo de projeção, as estimativas dos 
parâmetros da distribuição numa idade í+1 são relacionadas estatistica­
mente com as estimativas observadas na idade anterior i.
Sabe-se que a decisão sobre a quantidade de árvores a serem 
colhidas em um desbaste (intensidade de desbaste) pode basear-se na 
frequência ou na área basal. No primeiro caso é estabelecido um percen­
tual de árvores a serem removidas em cada ocasião, enquanto no segun­
do, quando o controle é feito pela área basal, o número de árvores a ser 
colhido depende da estrutura do povoamento (distribuição de diâmetros).
Aplicação
Utilizando o modelo de projeção de distribuição de diâmetros a 
seguir, ajustado para povoamentos de clones de eucalipto submetidos 
a desbaste seletivo, simule desbastes, com intensidades de 30% do 
número de árvores sobreviventes aos 5 e aos 10 anos, com corte final 
aos 15 anos, começando das árvores de menor dap. Considere como 
input a distribuição de diâmetros observada por hectare aos 28 meses 
(Tabela 17.2), uma altura dominante média de 9,1 m, um diâmetro 
mínimo de 2,0 cm, um diâmetro máximo de 13,0 cm e uma idade- 
índice de 84 meses. O modelo ajustado foi:
522 Campos e Leite
f-(-0,006786 í/j*’862014 -/f,862014 j'j
dmin2 = dminy e^ ''
f-(m,9299)f/0,001853 ^0,001853^
Lny2 = Lnyi ''
dmax2 = + 2,040634^1 -
fi2 = + 1’042851^1 - ^dmax2
A f-^.sisofz?’000016 -z^OOOOlô^
Antes do desbaste, n2 = "
e após o desbaste, N2 = M 
em que:
li e I2 = idade atual e futura, em meses;
/i e yí = parâmetros de forma da função Weibull nas idades li e I2, 
A e A = parâmetros de escala da função Weibull nas idades A e I2, 
dmaxi e dmax2 = diâmetros máximo nas idades I\ e I2, em cm; 
dminy e dmin2 = diâmetros mínimo nas idades li e I2, em cm; e 
NieNi= números de árvores por ha nas idades li e 12.
Tabela 17.2 - Distribuição de diâmetros observada aos 28 meses em 
uma plantação de eucalipto
Classe r. , 
de dap ’ 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,5 11,5 12,5 Total
n/ha 3 5 10 25 69 301 499 407 130 28 11 1.488
Observe que o sistema não considera mortalidade após o 
desbaste, o que satisfaz um dos objetivos deste tratamento silvicultural, 
que é minimizar a chance de ocorrência de mortalidade natural das árvores.
Também fazem parte do modelo as seguintes equações:
LnHd = 3,523560 - 24,53514011
Desbaste 523
H = -45,082731 - 0,053019 I + 0,757315 5 + 8,514866 Ln(ldap )
-2,4662171 —
V = 0,000087 dap1551523 H 1 125578 e
em que:
Hd = altura dominante, em m;
I = idade, em meses;
H = altura total da árvore, em m;
dap = diâmetro a 1,30 m de altura, em cm;
S = índice de local pelo método da curva-guia, considerando uma 
idade-índice de 84 meses;
V = volume comercial com e sem casca por árvore, em m ;
Tx = variável binária, sendo Tx = 0 para volume com casca e Tx = 1 
para volume sem casca; e
d = diâmetro mínimo comercial.
A função de distribuição Weibull de dois parâmetros é:
-ÍM
F(x)=l-e^ p ' ,(a < X < °°\a = dmin
em que:
P = parâmetro de escala;
y= parâmetro de forma; e
X = centro da classe de diâmetro.
Solução
Ajustando a função Weibull aos dados observados (Tabela 
17.2), pelo método da máxima verossimilhança, obtém-se p2^ = 
= 9,1739 e = 7,3237.
Aplicando o modelo de distribuição de diâmetros para as idades 
1} = 28 e I2 = 60, sendo dminj = 2,5, dmaxi = 13,0, N} = 
= 1488, pÁ = 9,1739 e n = 7,3237, tem-se:
h dmin2 dmax2 02 r2 n2
60 2,2 16,1 13,2085 5,4638 1483
524 Campos e Leite
, , ,5,4638
J I
Aplicando a função r(dop) = 1-e U^ossJ para jap de 4,5 a 
16,5 cm, obtém-se o resultado ilustrado pela Figura 17.9. Nessa 
Figura, a função Weibull foi aplicada para classes de dap de 4,5 a 
16,5 cm, obtendo-se uma proporção acumulada de árvores de 0,9811. 
A diferença 1- 0,9811 foi distribuída nas classes de 2,5 a 16,5 
(acréscimo de 0,0013 em cada classe), resultando em frequência 
acumulada igual a 1. Estes acréscimos foram necessários para 
completar o número total de árvores projetado para 60 meses, N2 = Afa) 
=1483.
Cabe ressaltar que esta extrapolação pode ser evitada ao empregar 
funções densidade de probabilidade com truncamento à esquerda e à 
direita. As distribuições de diâmetro total, desbastada e remanescente 
aos 60 meses são apresentadas na Figura 17.9. A função Weibull foi 
então ajustada aos dados remanescentes nesta idade, sendo obtidos: 
Âo = 14,065 ey60 = 9,1674
dap (cm)
Figura 17.9 - Distribuições de diâmetros total, desbastada e remanescente 
aos 60 meses, considerando-se um desbaste de 30% das 
árvores.
Substituindo os diâmetros mínimo e máximo remanescentes aos
60 meses, de 10,0 cm (classe 10,5) e 16,1 cm (classe 16,5) juntamente 
Desbaste 525
com Pao = 14,065 e y6o = 9,1674, no modelo de distribuição de 
diâmetros, obteve-se:
Í-(-0,006786)[ 1200’862014 -600’862014
dminnQ = 10 e = 12,1 cm
= Ln(9,1674) e' 
' 120
^-(111,9299 ^120°’°°1853 -60°’°°1853
= 6,7984
dmaxl20 =16,1^^-^ + 2,040634^1-^^14,065 = 22,4cm
fí.2O = 14.065Í + 1,042851Í1 - — |22,4 = 18,7
120 1120 J 120 J
As estimativas de A20 = 18,7 e X120 = 6,7984 foram então 
utilizadas para estimar a distribuição de diâmetros aos 120 meses 
(Figura 17.10). Nessa mesma figura foi representado o desbaste de 
30% dos indivíduos e a distribuição remanescente. Ajustando 
novamente a função Weibull à distribuição remanescente, obteve-se 
#20 = 19,8276* y120 =11,7010 (Figura 17.10 e Tabela 17.3).
dap (cm)
Figura 17.10 - Distribuição de diâmetros total, desbastada e remanescente 
aos 120 meses, considerando-se um desbaste de 30% das 
árvores.
526 Campos e Leite
Tabela 17.3 - Estimativas obtidas por meio do modelo de distribuição de 
diâmetros e do ajuste da função Weibull a dados remanes­
centes dos desbastes realizados aos 60 e 120 meses
h I2 dmini dmin2 dmaxj dmaxt A A ri Yz n, n2
28 60 2,0 2,2 13 16,1 9,1739 13,2085 7,3237 5,4638 1488 1483
60 120 10,0 12,1 16,1 22,4 14,065 18,7000 9,1674 6,7984 1038 1038
120 180 16,0 19,1 22,4 28,4 19,827 23,0917 11,7010 9,5785 727 727
Substituindo os diâmetros mínimo e máximo remanescentes aos
120 meses, de 16 e 22,4 cm, juntamente com Z?i2o = 19,827 e y120 =
11,701, no modelo de distribuição de diâmetros, obteve-se:
í-(-0,006786 /18200,862014 -1200’862014 11
dmin^Q = 16 e = 19,1 cm
C-(111,9299 )fl80°’°°1853 -1200’001853 'll 
= „Z.n(ll,701 A <
' 180 c = 9,5785
= 22,4| —1 + 2,04063411 - —119,827 = 28,4 cm
1180) l 180J
+1,042851 í 1 - —|28,4 = 13,0917 
l 180 J
Substituindo as estimativas de /7)8O = 13,0917 e y180 = 9,5785 na 
função Weibull, estimou-se a distribuição remanescente aos 180 
meses (Tabela 17.4).
Empregando as equações de altura e de volume, 
elaboraram-se Tabelas 17.6 a 17.7. As equações utilizadas foram: 
H= - 45,082731 - 0,0530191 + 0,757315 S + 8,514866 Ln (Idap)
-2,466217 J —
V = 0,000087 dap11551523 H1 125578 e
1+0,224175(d)’
Admitiu-se um índice de local de 16,3 m, obtido pelo método da 
curva-guia, a partir da altura dominante média de 9,1 m observada aos 
28 meses, utilizando a equação LnHd = 3,523560 - 24,535140 Tl e 
Desbaste 527
uma idade-índice de 84 meses. Na estimação do volume total por 
árvore, foi considerado um diâmetro mínimo d = 2,0 cm.
Conforme observado nas Tabelas 17.4, 17.5 e 17.6, percenta­
gens de desbastes de 30% do número de árvores aos 60 e 120 meses 
corresponderam a 16% e 20% da área basal remanescente e a 15% e 
20% do volume. Maiores diferenças entre percentagens de desbaste 
aos 60 meses ocorreram devido à maior frequência de árvores de 
pequeno porte aos 60 meses e ao tipo de desbaste aplicado. Em idades 
mais avançadas, as diferenças tendem a diminuir.
Tabela 17.4 - Frequências totalpor hectare, desbastada e remanescente 
(nt, nd e nr), nas idades de 28, 60, 120 e 180 meses, 
considerando desbaste de 30% do número de árvores 
remanescentes aos 60 e aos 120 meses de idade
dap «728 «760 «6?60 ««60 «7120 nd[2o nr i2o
2,5 3 2 2
3,5 5,0 3,6 3,6
4,5 10,0 7,0 7,0
5,5 25,0 14,3 14,3
6,5 69,0 27,6 27,6
7,5 301,0 49,2 49,2
8,5 499,0 80,7 80,7
9,5 407,0 121,5 121,5
10,5 130,0 167,2 138,9 28,4
11,5 28,0 207,9 207,9
12,5 11,0 229,4 229,4 40,5 40,5
13,5 219,6 219,6 57,4 57,4
14,5 177,1 177,1 78,5 78,5
15,5 116,1 116,1 102,2 102,2
16,5 59,6 59,6 125,0 32,3 92,7
17,5 141,4 141,4
18,5 145,4 145,4
19,5 132,8 132,8
20,5 105,1 105,1
Continua...
528 Campos e Leite
Tabela 17.4 - Cont.
dap ní28 nt6Q ndgo nr^a «Í120 ndi2o nrno nt\so
21,5 70,4 70,4 108,8
22,5 39,3 39,3 120,4
23,5 117,0
24,5 95,9
25,5 63,7
26,5 34,4
27,5 17,4
28,5 11,6
Total 1488 1483 445 1038 1038 311 727 727
% de desbaste 30 30
Tabela 17.5 - Áreas basais (m2ha_1) total, desbastada e remanescente 
(Bt, Bd e Br), nas idades de 28, 60, 120 e 180 meses, 
admitindo desbaste de 30% do número de árvores 
remanescentes aos 60 e aos 120 meses de idade
dap BÍ28 Btffí Bd(£ Br60 B?120 Bdi2o Br !2o Bíi8o
2,5 0,0015 0,0011 0,0011
3,5 0,0048 0,0035 0,0035
4,5 0,0159 0,0112 0,0112
5,5 0,0594 0,0340 0,0340
6,5 0,2290 0,0915 0,0915
7,5 1,3298 0,2172 0,2172
8,5 2,8316 0,4577 0,4577
9,5 2,8849 0,8615 0,8615
10,5 1,1257 1,4482 1,2025 0,2457
11,5 0,2908 2,1589 2,1589
12,5 0,1350 2,8148 2,8148 0,4972 0,4972
13,5 3,1433 3,1433 0,8221 0,8221
14,5 2,9244 2,9244 1,2967 1,2967
15,5 2,1913 2,1913 1,9287 1,9287
Continua...
Desbaste 529
Tabela 17.5 - Cont.
dap Bt2% Btfa Bd(ü Brèo Bt 120 Bd\2t> Br120 -fit 180
16,5 1,2746 1,2746 2,6728 0,6910 1,9819
17,5 3,4018 3,4018
18,5 3,9071 3,9071
19,5 3,9647 3,9647 2,0473
20,5 3,4692 3,4692 2,9463
21,5 2,5547 2,5547 3,9487
22,5 1,5642 1,5642 4,7883
23,5 5,0758
24,5 4,5196
25,5 3,2549
26,5 1,8956
27,5 1,0355
28,5 0,7400
Total 8,91 17,63 2,88 14,75 26,08 5,24 20,84 30,25
% de
desbaste 16 20
Tabela 17.6 - Volume com casca (m3ha_1) total, desbastado e rema­
nescente (Vt, Vd e Vr), nas idades de 28, 60, 120 e 180 
meses, considerando desbaste de 30% do número de 
árvores remanescentes aos 60 e aos 120 meses de idade
dap Vt2i Vtffí Vdffí Vr60 Vt 120 Vdi2o ^120 Víiso
2,5 0,0006 0,0019 0,0019
3,5 0,0099 0,0155 0,0155
4,5 0,0550 0,0698 0,0698
5,5 0,2677 0,2513 0,2513
6,5 1,2094 0,7488 0,7488
7,5 7,8003 1,8965 1,8965
8,5 17,8768 4,1773 4,1773
9,5 19,2200 8,1119 8,1119
10,5 7,8101 13,9466 11,5805 2,3661
11,5 2,0820 21,1372 21,1372
12,5 0,9904 27,8956 27,8956 5,6710 5,6710
Continua...
530 Campos e Leite
Tabela 17.6 - Cont.
dap VÍ28 PíóO Vdôo V7-60 17120 Pdno F7120 17180
13,5 31,4308 31,4308 9,4225 9,4225
14,5 29,4330 29,4330 14,9051 14,9051
15,5 22,1583 22,1583 22,2033 22,2033
16,5 12,9302 12,9302 30,7811 7,9571 22,8239
17,5 39,1566 39,1566
18,5 44,9205 44,9205
19,5 45,5063 45,5063 23,7651
20,5 39,7346 39,7346 34,1226
21,5 29,1887 29,1887 45,6120
22,5 17,8233 17,8233 55,1526
23,5 58,2864
24,5 51,7330
25,5 37,1328
26,5 21,5506
27,5 11,7313
28,5 8,3534
Total 57,32 174,20 26,85 147,35 299,31 60,16 239,15 347,44
% de desbaste 15 20
Tabela 17.7 - Produção total, desbastada e remanescente aos 28, 60, 
120 e 180 meses, considerando desbaste de 30% do 
número de árvores aos 60 e aos 120 meses de idade
Idade Número de Arvores/ha Produção (m2ha_I) Produção (m3ha ’)
(meses) Total Desb. Rem. Total Desb. Rem. Total Desb. Rem.
28 1488 0 1488 8,91 57,32
60 1483 445 1038 17,63 2,88 14,75 174,20 26,85 147,35
120 1038 311 727 26,08 5,24 20,84 299,31 60,16 239,15
180 727 0 727 30,25 30,25 347,44 0,00 347,44
As produções total, desbastada e remanescente aos 28, 60, 120 e
180 meses foram ilustradas na Figura 17.11. A produção líquida aos 
180 meses é: V, = 347,44 + 26,85 + 60,16 = 434,45 nfha1 e o 
Desbaste 531
crescimento líquido esperado entre 28 e 180 meses, Ci = 434,45 - 
57,32 = 377,13 m3ha_1.
Idade (meses)
Figura 17.11 - Produções total, desbastada e remanescente aos 28, 60, 
120 e 180 meses, admitindo desbastes de 30% do 
número de árvores remanescentes aos 60 e 120 meses.
Referências
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	Capítulo 16 - Avaliação de Modelos de Crescimento e Produção
	Capítulo 17 - Desbaste