Resolução de um sistema massa mola revisado

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Resolução de um sistema massa-mola com três graus de liberdade, a fim de se encontrar os valores de deslocamento. Para tanto, utilizar um vetor forçante que varie com o tempo para posteriormente se plotar um gráfico do posicionamento das massas de acordo com o tempo. Tal sistema poderá “representar” de forma simplificada ½ de veículo. Ressalta-se que não há a consideração de fatores dinâmicos por se fazer necessário o uso de métodos de integração, algo não ministrado nesse nível de curso. Posteriormente determinar as frequências naturais assim como os modos de vibração do sistema analisado a partir do encontro dos valores obtidos dos auto valores e auto vetores.
Para iniciar os exercícios, é necessário lembrar alguns conceitos básicos:
Um sistema massa-mola trata-se de um corpo de massa m preso á extremidade de uma mola cuja outra extremidade se encontra fixada em outro corpo ou a um ponto fixo (uma parede por exemplo). Quando não há forças atuando sobre o corpo, o sistema encontra-se em equilíbrio. A partir do momento em que se aplica uma força ao corpo, o comprimento da mola sofre uma variação e a mola reage com uma força denominada força elástica, cujo módulo é dado pela Lei de Hooke:
F = -kx
	Apesar da simplificação, esse tipo de sistema pode ser usado para representar a suspensão de um carro, etc. Nesse caso, não iremos considerar o amortecimento, já que é um sistema simples sem considerar o atrito.
É necessário, também, saber o que são graus de liberdade. São, literalmente, a liberdade que o objeto tem de se mover em um plano ou espaço. Por exemplo, se considerado num plano, o objeto pode se mover apenas no eixo x, eixo y e rotacionar no eixo z, caracterizando três graus de liberdade. Sendo que em um espaço, o objeto pode se mover nos três eixos, além de rotacionar em cada um deles, caracterizando 6 graus de liberdade.
Outro conceito importante é o de frequência natural. Está relacionada a um sistema com vibração livre, ou seja, sem atrito, diferentemente da natural amortecida, em que há atrito, seja com ar, fluídos em geral, etc. Nesse exercício, será trabalhada a frequência natural.
Também importantes, vem os conceitos de autovalores e autovetores. Esses conceitos podem ser entendidos a partir de dois gráficos. A ideia básica é bem simples, como pode ver nos gráficos a seguir. Ao ampliar a imagem apenas na horizontal, acaba resultando num retângulo. Dessa forma, o vetor v2 passou a ser v2’, que não tem a mesma direção do vetor original v2. Ou seja, o vetor v2’ não é igual ao v2 multiplicado por um escalar.
Já o vetor v1’ tem a mesma direção de v1 e, sendo assim, é igual a v1 multiplicado por um escalar. Portanto, v1 se torna um autovetor dessa transformação, e que esse escalar é um autovalor relacionado.
	Por último, mas não menos importante, deve-se saber como montar a matriz de rigidez de um sistema. Para fim de exemplo, usaremos uma matriz 2x2, mas que segue o mesmo princípio de uma 3x3.
	Primeiramente, devemos fazer o diagrama de forças em cada objeto, após, coloca-las em uma equação. Lembrando que:
F = m * a
F = -k * x
Equação de forças para m1:
Equação de forças para m2:
	Agora, formamos um sistema linear homogêneo de equações diferenciais, já que vamos admitir F1(t) e F2(t) como sendo iguais a 0.
	Como a teoria de sistemas de equações diferenciais garante que para um sistema homogêneo uma solução não trivial é encontrada quando o determinante da matriz formada pelos coeficientes de tal sistema é nulo, chegamos a matriz (sem levar em consideração a massa):
	Esse mesmo método pode ser usado para achar a matriz 3x3, mas, para ser resolvida, será necessário o uso do software Matlab.