semana 14ex

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14
Temas abordados : Integrac¸a˜o por partes; Volumes
Sec¸o˜es do livro: 8.1; 6.1; 6.2
1) Use integrac¸a˜o por partes para calcular as integrais abaixo.
(a)
∫
x cos
(x
2
)
dx (b)
∫
x2 ln(2x)dx (c)
∫
xe3xdx
(d)
∫
ln(5x)dx (e)
∫
x3e−xdx (f)
∫
4x sec2(2x)dx
(g)
∫
e2x sen(x)dx (h)
∫
x2 cos(x)dx (i)
∫
arccos(x)dx
2) Calcule as integrais abaixo usando, antes da integrac¸a˜o por partes, uma substituic¸a˜o
apropriada.
(a)
∫
x7 cos(x4)dx (b)
∫
e
√
xdx (c)
∫
x3ex
2
dx
3) Para uma func¸a˜o cont´ınua f : [a, b] → R o volume do so´lido de revoluc¸a˜o obtido pela
rotac¸a˜o do seu gra´fico em torno do eixo Ox e´ dado por V = ∫ b
a
pif(x)2dx. Calcule esse
volume no caso das func¸o˜es indicadas abaixo.
(a) f(x) = r, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0
(b) f(x) =
r
h
x, para x ∈ [0, h], onde h, r > 0.
(c) f(x) =
√
r2 − x2, para x ∈ [−r, r], onde r > 0.
(d) f(x) = x
√
sen x, para x ∈ [0, pi]
(e) f(x) =
√
arctan x, para x ∈ [0, 1]
4) Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es dos treˆs primeiros itens acima e responda qual o so´lido gerado
pela rotac¸a˜o indicada. Em seguida, confronte a resposta que voceˆ obteve acima com a
fo´rmula para o volume desse so´lido, que voceˆ provavelmente ja´ conhecia.
5) Seja a ≥ 0, f : [a, b] → [0,+∞) uma func¸a˜o cont´ınua e R a regia˜o compreendida entre
o gra´fico de f e o eixo Ox. Quando giramos a regia˜o R em torno do eixo Oy, obtemos
um so´lido de revoluc¸a˜o cujo volume e´ dado por V =
∫
b
a
2pixf(x)dx. Calcule esse volume
no caso das func¸o˜es indicadas abaixo.
(a) f(x) =
√
1 + x2, para x ∈ [0, 1]
(b) f(x) = ln(x), para x ∈ [1, e]
(c) f(x) = arctan x, para x ∈ [0, 1]
6) Apo´s identificar a te´cnica apropriada, determine o valor das integrais abaixo.
(a)
∫
xex
2
dx (b)
∫
arctan(x)dx (c)
∫
sen(ln x)dx
(d)
∫
x ln(x)dx (e)
∫
cos(1/x)
x2
dx (f)
∫
x
1 + x4
dx
(g)
∫
e−
√
xdx (h)
∫
xsen(2x)dx
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 2x sen
(
x
2
)
+ 4 cos
(
x
2
)
+K
(b) 1
3
x3 ln(2x)− 1
9
x3 +K
(c) 1
3
xe3x − 1
9
e3x +K
(d) x ln(5x)− x+K
(e) −e−x(x3 + 3x2 + 6x+ 6) +K
(f) 2x tan(2x) + ln(cos(2x)) +K
(g) −1
5
e2x cos(x) + 2
5
e2x sen(x) +K
(h) x2 sen(x)− 2 sen(x) + 2x cos(x) +K
(i) x arccos(x)−√1− x2 +K
2) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
4
cos(x4) + 1
4
x4 sen(x4) +K
(b) 2e
√
x(
√
x− 1) +K
(c) e
x
2
2
(x2 − 1) +K
3) (a) pir2h
(b) 1
3
pir2h
(c) 4
3
pir3
(d) pi3 − 4pi
(e) pi
2
4
− 1
2
pi ln(2)
4) Os so´lidos sa˜o, respectivamente: cilindro circular reto de altura h e raio da base r; cone
circular reto de altura h e raio da base r; esfera de raio r.
5) (a) 4
3
√
2pi − 2
3
pi
(b) pi
2
(e2 + 1)
(c) 1
2
pi2 − pi
6) Em todos os itens abaixo K ∈ R e´ uma constante de integrac¸a˜o.
(a) 1
2
ex
2
+K
(b) x arctan(x)− 1
2
ln(1 + x2) +K
(c) x
2
( sen(ln(x))− cos(ln(x))) +K
(d) x
2
2
ln(x)− x2
4
+K
(e) − sen( 1
x
) +K
(f) 1
2
arctan(x2) +K
(g) −2√xe−
√
x − 2e−
√
x +K
(h) 1
4
sen(2x)− 1
2
x cos(2x) +K
Lista de Exerc´ıcios – Semana 14 - Pa´gina 2 de 2