Lista 6 - derivada implícita e taxa de variação

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UNlRIO
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Departamento de Matemática e Estatística
Cálculo Diferencial e Integral I
Licenciatura em Matemática
Profa, Cristiane de Mello
LISTA DE EXERCíCIOS 06
1. Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida iurplicitainente por cada UlJJa
das seguintes equações, expresse -r
d
dy
em termos de x e y:
x
(u) x2y - 2y = 4
(c) y5 + 4y = x
(e) x3 - 2xy4 + X = -1- y
(b) y3 - xy2 = 5x + 3
(d) 7y + 2senx = xy
(f) xy3 - cos X = O
2. Se' y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente por cada uma das equações
abaixo, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P indicado:
(u) y2 - 4xy + x2 = 1 e P = (1,4)
(b) xy2-4xy=6 e p= (-2,1)
(c)2x2y-xy+y3=-lO e P=(l,-2)
(d)xy+5y2=-3x-1 e P=(-3,-1)
3. Sejam a, (3 E ]Rc Y = f(;E) uma função derivável definida implicitamente pela equação
3x2 - 2(3y + axy = 1.
Sabendo que 2 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (- J. i),
determine a e fJ.·
4. Um ponto move-se ao longo da curva y - x3 + 4x = 1de tal modo que sua abscissa .r
varia a uma velocidade constante de 3 em/s. Quando x = 2, qual é a velocidade da ordenada
y?
5. Um cubo se expande de tal maneira que seu lado varia a uma razão de 1 em/rum.
Determine a taxa de variação de seu volume no instante em que seu lado mede 3 em de
comprimento .
. 6. Sabendo que a população inicial de uma colônia de bactérias é de 2000 bactérias e que,
depois de um tempo de t horas, a população de bactérias aumentou 50 t2, determine:
1
(a) Quantas horas serão necessárias para. que a.população da. colônia de bactérias tieja de
22000 bactérias;
(b) A taxa média de crescimento da população de bactérias no intervalo [1,4];
(c) A taxa de crescimento da população de bactérias depois de passadas 6 horas.
7. Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de
80 km/h. Um segundo trem deixa a estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Determine a taxa na qual estão tie separando os dois trens 2 horas e 30 minutos
depois do segundo trem deixar a estação.
8. Uma partícula está percorrendo a curva definida por
dx .- = 2 no instante em que a partícula passa o ponto
dt
instante.
x3 - 2:t/ = 6. Sabemos que
dy
(2, -1). Determine - neste exato
dt
9. Um retângulo está sendo expandido de tal forma que seu comprimento é sempre o
dobro de sua altura. Sabendo que a taxa de expansão do perímetro do retângulo é 3 em.j
min, determine a taxa de variação de sua área quando esta é de 24 cm2.
10. Um balão metereológico é lançado do solo a uma distância de 400m de um observador
fixo no solo. Sabendo que o balão sobe verticalmente à razão de 3 m/seg, determine a taxa
de variação em relação ao tempo, da distância entre o balão e o observador, quando a altura
do balão é de 300m.
11. Uma piscina está sendo drenada para que seja feito um reparo. Se o seu volume de
água inicial era 90000 litros e depois de um tempo de t horas este volume diminuiu 2500 t2
Iitros, determinar:
(a) o tempo necessário para o esvaziamento da piscina;
(b) a taxa média de escoamento no intervalo [2,5];
(c) a taxa de escoamento depois de 2 horas do início do processo.
12. O raio de uma esfera. está mudando a uma taxa de (1+ r2)-I cm/rnin. Determine a
taxa de variação do volume ela esfera quando T = 3 em.
13. Uma escada ele 10 rn de comprimento está apoiada sobre uma parede. Se a base
da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade constante de 1 m/o, com que
velocidade o topo da escada está escorregando para baixo na parede quando a base da
escada está a 6 m da parede?
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