Lista 4 - Função Contínua e Teorema do Confronto

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UNIRIO 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
Departamento de Matemática e Estatística 
Cálculo Diferencial. e Integral I 
Licenciatura em Matemática 
Profa. Cristiane de Mello 
LISTA DE EXERCÍCIOS 04 
1. Determine se a função f definida abaixo é continua em x = a indicado: 
(a) f(x) = { 
2x2 - 1, se x < -2 
3-x, se x 2 -2 
em .r, = -2. 
(b) f(x) = { 
x 2 - 4x + 1 
se x 2 1 2x - 1 
3:i: - 5, se x < 1 
em x = 1. 
(e) f(x) = { 
lx + 31 
se x > - 3 
x+3' 
5, se x S - 3 
em x = -3. 
{ 
x3 cos (} ) , se x -=J O 
(d) j(x) = , 
5, . se x =O 
em ::r. = O. 
2. Determine os valores de a e b para que a função f dada abaixo seja contínua: 
{ 
2x - 1, se x S -1 
(a) f(x) = x2 - 2ax + b, se -1 < x < 1 
4 - x, se x 2 1 
{ 
x 2 - 2 se x < -1 
(b)f(x) = ax+b'. se-l<x<2 
2x - 1, se x 2 2 
{ 
x
2 + 1 se x S - 2 
(e) f (x) = x2 - 2a:r ~ b, se -2 < .r, < 1 
x - 4, se x 2 1 
(d) f(x) = { 
x - a, se x < 1 
x 2 - 2x + 1, se 1 S x S 4 
3:1: + b, se x > 4 
1 
3. Verifique 8e cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando a :sua re:spo::;ta: 
(a) Se f: lR-+ lR é uma função contínua e lim f (x) = 3, então f (- 1) = 3. 
x~ - 1 + 
(b) Se f : lR-+ IR é uma função tal que lim f (x) = - 4 e f(2) = - 4, então fé contínua 
x ---;2 -
em x = 2. 
4. Considerando o, gráfico de -cada função f abaixo, verifique a continuidade de f em 
.x = a questionado, justificando sua resposta: 
(a) fé contínua em x = 2? fé contínua em x = 3? fé contínua em x = - 1? 
-3 -2 _, 
·1 
(b) f é contínua cm x =O? fé contínua em x = 1? f é contínua em x = 2? 
4 _ _ __ _ , 
-3 -2 -1 
-1 
5. Seja f : [ü, l ] -+ IR uma função contínua e suponha que O < f( x) < 1, para todo 
x E [O , l ]. Prove que existe e E [ü, 1] tal que f(c) =e. 
2 
6. Considere a função f ( x) = x3 + x2 - 12x. Determine se é possível utilizar o Teorema do 
~alor Intermediário para concluir que a função f admite uma raiz em cada um dos intervalos 
abaixo e justifique sua resposta. 
(a) [-5, -3] (b) [- 3, - 1] (e) [-1, l] (d) [l, 4] 
7. Prove que a ~quação 4x~ - 6x2 + 4x = 1 admite solução. 
8. Mostre que a função f(x ) = x5 + 3x - 2 tem uma raiz no intervalo (O, 1). 
9 . Mostre que a função f( x) = sen x - x + 1 tem uma raiz no intervalo (7r /2 , 7f ). 
1à. Prove que a função f(x ) = x3 - 4x + 2 admite 3 raízes reais e distintas. 
11. Prove que a equação sen x = '2x - 3 tem solução. 
12 . Seja J( x) = x3 - x + 3. Determine n E Z tal que f (c) = O, para algum e entre n e 
n + 1. 
13 . Sabendo que ln(3 + D < 1, 6, prove que a equação 2 sen x = ln( .r. + 3) tem solução. 
14. Se lim f (x) = L, prove que lim Jf (x)J = )L) . A recíproca é verdadeira? Justifique 
x-+a x-+a 
sua resposta. 
15. Sejam f e g funções definidas no mesmo conjunto A tais que lim f (x) =O e Jg(x)J :S 
x-+a 
M, para todo x E A, onde M > O. Prove que lim f (x) g(x) =O. 
x -+a 
16. Seja f uma função definida em lR tal que, para todo x E JR, .r. :f. 1, 
x2 - 1 
3x - x2 :S f (x):::; --
1 
. 
x-
Calcule lim f ( x). Justifique sua resposta. 
x-+l 
17 . Seja f definida em lR t al que, para todo x E JR, 
lf(x) - 3J :S 2 Jx - l J. 
Calcule lim f ( x). J ustifiquc sua resposta. 
x-+l 
f(x) 18 . Seja f definida em lR tal que, para todo x E JR, Jf(x)J < x4 . Calcule lim -· - . 
x -+0 :r 
Justifique sua resposta. 
BOM TRABALHO! 
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