Lista de Exercícios de Matrizes

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Lista de Exercícios 1 
 
1) Sejam 
3 3( )ijA a 
 a matriz definida por ,
,
ij
i j se i j
a
i j se i j
 
 
 
, p o produto dos elementos da 
diagonal principal de A e s o produto dos elementos da diagonal secundária de A. Calcule p-s. 
 
2) Uma matriz é chamada idempotente quando 2A A . Verifique se 
2 2 4
1 3 4
1 2 3
A
  
  
 
   
 é 
idempotente. 
 
3) Dizemos que uma matriz quadrada é ortogonal se 
. tA A I
. Verifique se 
cos
cos
sen
A
sen
 
 
 
  
 
 é 
uma matriz ortogonal. 
 
4) Complete com o tipo de matriz: 
a) A soma de duas matrizes diagonais é uma matriz ____________. 
b) A soma de duas matrizes triangulares inferior é uma matriz _________________. 
c) O produto de duas matrizes triangulares inferior é uma matriz _____________________. 
 
5) Dadas as matrizes 
1
1 1
a b
A
a
 
   
 e 
1 1 0
0 1 0
B
 
  
 
 tais que 
3 4
.
2 1
tA B
 
   
. Encontre os 
valores de a e b. 
 
6) Seja 
2 3( )ijC c 
 a soma das matrizes 
0 1 2
3 4 5
A
 
  
 
 e 
6 7 8
9 10 11
B
 
  
 
. Encontre a matriz 
X
 
tal que 
3 2X A B C  
. 
 
7) Considere as matrizes 
4 7( )ijA a 
, tal que 
ija i j 
, e 
7 9( )ijB b 
, tal que 
ijb i
. Determine o 
elemento 
23c
 da matriz 
C AB
, sem escrever as matrizes A, B e C. 
 
8) Dizemos que uma matriz é simétrica quando tA A . Se 2
2 1 1
0 1
3 1
A x y
x y
 
  
 
  
 é simétrica, 
encontre o valor de x+y. 
 
9) Dizemos que uma matriz é antissimétrica quando tA A  . Sabendo que a matriz 
5
2 2 89
3 89 0
x y y
A z w
z w
  
 
  
   
 é antissimétrica, determine os valores de 
x
, 
y
,
z
 e 
w
. 
 
10) Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando a Regra de Sarrus: 
a) 
1 2 3
4 3 0
1 7 13
A
 
 
  
 
 
 b) 
2 7 3
1 5 0
0 2 1
B
 
 
  
 
 
 
 
 
11) Calcule o determinante das matrizes abaixo utilizando o Teorema de Laplace: 
a) 
1 2 1 1
2 1 4 3
4 3 2 5
3 0 0 2
A
 
 
 
 
 
 
 b) 
3 2 1 4 2
0 2 0 0 0
0 4 0 2 1
5 5 0 1 4
0 1 0 1 2
B
 
 
 
 
 
 
  
 c) 
2 1 3 2
3 0 1 2
1 1 4 3
2 2 1 1
C
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Argumente ou apresente um 
contraexemplo para justificar sua resposta. 
a) 
det( ) det( )AB BA
 
b) 
det(2 ) 2det( )A A
 
c) Se 
A
 é uma matriz escalar da forma 
nkI
, então 
det( ) nA k
. 
d) Se a matriz 
A
 é não-singular, então sua inversa 1A também é. 
e) Se a matriz 
A
 é inversível, então sua transposta tA também é. 
f) Se as matrizes 
A
 e 
B
 são não-singulares e de mesma ordem, então o produto 
AB
 é uma matriz 
não-singular. 
g) Se A e B são matrizes que comutam, então 
2 2( )( )A B A B A B   
. 
h) Se A é uma matriz quadrada, então 
2det( ) det( ).det( )tA A A
. 
i) Seja 
( )ij n nA a 
 tal que 
0iia 
, para todo 
1,2, ,i n
, então 
det( ) 0A 
. 
 
13) Sendo 
3 3( )ijB b 
, onde 
1,
2 ,
3 ,
ij
se i j
b ij se i j
j se i j


  
 
. Calcule 
det( )tB
. 
 
14) Através de operações elementares sobre linhas, calcule o determinante de cada uma das 
matrizes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Para cada matriz abaixo: 
 I) encontre a forma escalonada; 
 II) encontre a forma escalonada reduzida; 
 III) determine o posto; 
 IV) diga se a matriz é inversível. 
 
 
 
16) Calcular o valor de 
k
 para que a matriz 
2 3
6
A
k
 
  
 
 não tenha inversa. 
 
17) Encontre os valores de x para os quais a matriz: 
a) 
 
tem inversa. b) 
 
não tem inversa. 
 
18) Em que condições a matriz diagonal 
11
22
00 ...
0...0
0
...0 0 nn
a
a
A
a
 
 
 
 
 
 
 possui inversa? Calcule 1A . 
 
19) Dada a matriz 
2 3 0
2 6 0
2 0 4
B
 
 
 
  
, calcule 
det( )B
 e 
1det( )B
. 
 
20) Através de operações elementares sobre linhas, para cada matriz a seguir, calcule o 
determinente, determine o posto, verifique se é equivalente a identidade e, em caso afirmativo, 
calcule a inversa. 
 
 
21) Encontre, se possível, a inversa de cada matriz abaixo pelo método de operações elementares. 
 
 
 
 
Respostas 
1) 64 
2) A é idempotente 
3) A é ortogonal 
4) a) diagonal b) triangular inferior c) triangular inferior 
5) a=7, b=4 
6) 
30 38 46
54 62 70
X
 
  
 
 
7) 
23 84c  
 
8) 1 
9) 
2x 
, 
2y  
, 
5z 
 e 
10w 
 
10) a) 
det( ) 236A  
 b) 
det( ) 11B  
 
11) a) 
det( ) 176A 
 b) 
det( ) 50B 
 c) 
det( ) 55C  
 
12) V: a, c, d, e, f, g, h F: b, i 
13)
det( ) 139B 
 
14) 
 
 
15) 
 
 
16) 
9k 
 
17) a) 
5x 
 b) x=1 e x=-9 
18) Se 
0iia 
 para todo 
1,...,i n
, então a matriz A possui inversa. 1A é a matriz diagonal cujos 
elementos da diagonal principal são da forma 
1
iia
 para todo 
1,...,i n
. 
19) 
det( ) 24B 
 e 
1 1det( )
24
B 
 
20) 
 
21)