Lista 3

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo 3
Mudanc¸a de Coordenadas na Integral
Dupla (1)
Prof. Leonardo Silvares
1. Calcule
∫∫
D
y dx dy, onde D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2 ≥ 2x, y ≤ x, y ≥ 0}.
2. Use uma integral dupla em coordenadas polares para calcular a a´rea da regia˜o interior a` circunfereˆncia
x2 + y2 = 4 e a` direita da reta x = 1.
3. Calcule a integral iterada convertendo para coordenadas polares
(a) I =
∫ √2
0
∫ √4−y2
y
1√
1 + x2 + y2
dx dy
(b) I =
∫ 1
0
∫ √y
y
√
x2 + y2 dx dy
(c) I =
∫ 2
0
∫ √1−(x−1)2
0
x + y
x2 + y2
dy dx
4. Calcule o volume do so´lido no primeiro octante limitado acima pelo plano z = y e limitado lateral-
mente pelos planos coordenados e pelo cilindro x2 + y2 = 2y.
5. Use coordenadas polares para calcular as seguintes integrais duplas:
(a)
∫∫
D
√
x2 + y2 dx dy, sendo D o disco de centro na origem e raio 2.
(b)
∫∫
D
(x2 + y2)2 dx dy, sendo D e´ regia˜o a dada por x2 + y2 ≤ 4, com x ≥ 0.
(c)
∫∫
D
ln(x2 + y2)
x2 + y2
dx dy, sendo D : 1 ≤ x2 + y2 ≤ e2, com y ≥ 0.
(d)
∫ a
−a
∫ √s2−x2
0
e−x
2−y2 dx dy
(e)
∫∫
D
1√
x2 + y2
dx dy, sendo D : 1 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ x.
(f)
∫∫
D
(x + y) dx dy, sendo D : x2 + y2 − 2y ≤ 0.
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6. Calcule a a´rea da regia˜o no primeiro quadrante, fora da circunfereˆncia x2 + y2 = 4 e dentro da
circunfereˆncia x2 + y2 = 4x.
7. Seja dada a integral dupla∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y) dy dx +
∫ √2
1
∫ √2−x2
0
f(x, y) dy dx.
(a) Esboce a regia˜o D.
(b) Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma so´ integral na qual a ordem de
integrac¸a˜o esteja invertida.
(c) Calcule a integral dupla para a func¸a˜o f(x, y) = ln(1 + x2 + y2).
8. Passe para coordenadas polares e calcule
(a)
∫ 1
0
∫ 1+√1−y2
1−
√
1−y2
xy dx dy
(b)
∫ a
0
∫ √a2−x2
0
√
a2 − x2 − y2 dy dx, onde a > 0.
9. A base de um so´lido e´ a rega˜o do plano xy delimitada pelo disco x2 + y2 ≤ a2, com a > 0, e a parte
superior e´ a superf´ıcie do paraboloide az = x2 + y2. Calcule o volume do so´lido.
10. Achar o volume do so´lido limitado superiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = 4, inferiormente pelo
plano xy e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 1.
11. Determine o volume do so´lido W limitado pelo paraboloide z = 4− x2 − y2 e pelo plano xy.
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