3 - Lista - Integrais Duplas

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Cálculo e Geometria Anaĺıtica II - 2020
Lista 3 - Integrais Duplas
Integrais duplas em coordenadas cartesianas
1. Considere o sólido S limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e os planos y+ z = 3 e z = 0. Expresse
(sem calcular! ) o volume de S com uma integral dupla iterada nas ordens e dx dy e dy dx.
2. Considere a região plana R delimitada pela parábola de equação
y = x2 − 4 e a reta de equação y = −2x− 1.
(a) Esboce a região R no plano xy.
(b) Escreva (sem calcular! ) a integral dupla
∫∫
R
f(x, y) dA como integral dupla iterada nas
ordens dx dy e dy dx.
3. Considere a integral I =
∫∫
R
2x sen(y2) dA =
∫ 2
0
∫ 4
x2
2x sen(y2) dy dx.
(a) Esboce a região R no plano xy.
(b) Escreva I como integral dupla iterada na ordem dx dy.
(c) Calcule o valor de I (sugestão use a ordem dx dy).
4. O valor médio de uma função f(x, y) em uma região R é definido como
fmed =
1
A(R)
∫∫
R
f(x, y)dA
onde A(R) é a área da região R.
Calcule o valor médio
da função f(x, y) = xy2
no retângulo R = [0, 2]× [0, 1].
5. (a) Considere a região plana R situada no primeiro quadrante que é limitada pela parábola de
equação y = x2, pelo eixo x e pelas retas de equações x = 1 e x = 2. Escreva (sem calcular! )
a integral dupla
∫∫
R
f(x, y) dA como integral dupla iterada nas ordens dx dy e dy dx.
(b) Expresse
∫ 2
0
∫ 4
2x
f(x, y) dy dx como uma integral dupla iterada com a ordem de integração
invertida.
(c) Considere a região plana T delimitada pelo eixo y e pelas retas de equações y = 1, y = 3 e
y = x. Calcule o valor da integral dupla I =
∫∫
T
xy2 dA.
6. Considere a integral dupla iterada I =
∫ 1
0
∫ 1
x
2ey
2
dydx. Escreva I como integral dupla iterada
na ordem dxdy e calcule o valor de I.
1
7. Considere a integral dupla iterada
I =
∫ 9
0
∫ 3
√
x
sen(πy3) dy dx.
(a) Esboce a região R do plano definida pela integral I.
(b) Escreva I como integral dupla iterada na ordem dx dy
I =
∫ �
�
∫ �
�
sen(πy3) dx dy
e calcule o seu valor.
8. A figura abaixo apresenta um esboço (fora de escala) das parábolas de equações x − y2 = 0 e
3x = 18 + y2 e das retas de equações x − 3y = 0, x + 3y = 18, x = 0, x = 9 e y = 0. Também
estão indicadas as regiões R e T que se tocam no ponto P = (9, 3).
(a) Escreva
∫∫
T
f(x, y) dA como integral dupla iterada nas ordens dx dy e dy dx.
(b) Na figura dada, indique a região D que satisfaz
I =
∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ 3
0
∫ 3y
y2
f(x, y) dx dy
e escreva I como integral dupla iterada na ordem dy dx.
(c) Calcule a integral
∫∫
R
1
3y e
(x−6)2 dA. (Sugestão: use dy dx.)
9. Considere I =
∫∫
R
x dA, onde R é a região limitada por x = ln(y), x = 0 e y = e.
(a) Esboce a região R do plano definida pela integral I.
(b) Calcule I.
10. Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado
pelos planos x = 0, y = 0 e z = 0, e pelas superf́ıcies ciĺındricas x2 + y2 = 4 e x2 + z2 = 4.
Integrais duplas em coordenadas polares
11. Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio a.
12. Considere a integral dupla iterada I =
∫ 2
0
∫√4−x2
0
y
√
x2 + y2 dydx. Escreva I como integral
dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.
13. Considere o sólido S delimitado inferiormente pelo plano z = 0, superiormente pelo paraboloide
z = 9− x2 − y2 e lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 4.
2
(a) Escreva o volume do sólido S como integral dupla em coordenadas retangulares.
(b) Escreva o volume do sólido S como integral dupla em coordenadas ciĺındricas e calcule seu
valor.
14. Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro x2 + y2 = 1, inferiormente pelo
plano z = 0 e superiormente pela superf́ıcie esférica x2 + y2 + z2 = 9.
15. Calcule a integral
∫ 1
0
∫ √1−y2
0
cos(x2 + y2)dxdy.
16. Calcule
∫ √2
0
∫ √4−y2
y
1
1 + x2 + y2
dxdy
17. Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano z = 0;
limitado por cima pelo cone z =
√
x2 + y2;
e limitado lateralmente pelo cilindro (x− 1)2 + y2 = 1.
(a) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas retangulares dydx
(b) Escreva o volume do sólido como uma integral dupla em coordenadas polares
(c) Calcule o volume do sólido
3
Soluções
1.
∫ 1
−1
∫ √1−x2
−
√
1−x2
(3− y)dydx =
∫ 1
−1
∫ √1−y2
−
√
1−y2
(3− y)dxdy
2. (a) .
(b)
∫ 5
−3
∫ −y−1
2
−
√
y+4
f(x, y)dxdy +
∫ −3
−4
∫ √y+4
−
√
y+4
f(x, y)dxdy =
∫ 1
−3
∫ −2x−1
x2−4
f(x, y)dydx
3. (a) .
(b)
∫ 4
0
∫ √y
0
2xsen(y2)dxdy
(c) 1−cos(16)2 ≈ 0, 9788.
4. A(R) = 2, portanto fmed =
1
2
∫∫
R
xy2 dA =
1
2
∫ 1
0
∫ 2
0
xy2 dx dy =
1
3
.
5. (a)
∫ 2
1
∫ x2
0
f(x, y)dydx =
∫ 1
0
∫ 2
1
f(x, y)dxdy +
∫ 4
1
∫ 2
√
y
f(x, y)dxdy
(b)
∫ 4
0
∫ y/2
0
f(x, y)dxdy
(c)
∫ 3
1
∫ y
0
xy2dxdy = 24, 2
4
6. I =
∫ 1
0
∫ 1
x
2ey
2
dydx =
∫ 1
0
∫ y
0
2ey
2
dxdy = e− 1.
7. (a) .
(b) I =
∫ 3
0
∫ y2
0
sen(πy3) dx dy =
2
3π
8. (a)
∫∫
T
f(x, y)dA =
∫ 9
0
∫ 6−x/3√
x
f(x, y) dy dx =
∫ 3
0
∫ y2
0
f(x, y) dx dy +
∫ 6
3
∫ 18−3y
0
f(x, y) dx dy
(b) .
I =
∫ 9
0
∫√x
x/3
f(x, y) dy dx
(c)
∫∫
R
ye(x−6)
2
3
dA =
∫ 9
6
∫ √3x−18
0
ye(x−6)
2
3
dy dx =
e9 − 1
4
≈ 2025.52
9. (a) .
(b)
∫ 1
0
∫ e
ex
xdydx =
e− 2
2
10. .
Clique aqui para uma figura interativa.
∫ 2
0
∫√4−x2
0
√
4− x2 dydx = 163
5
https://www.geogebra.org/m/akdfyg6s
11. V = 2
∫ 2π
0
∫ a
0
√
a2 − r2 r dr dθ = 4πa
3
3
12. I =
∫ 2
0
∫ √4−x2
0
y
√
x2 + y2 dydx =
∫ π
2
0
∫ 2
0
r3 sen(θ) drdθ = 4
13. (a)
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−
√
4−x2
(9− x2 − y2)dydx
(b)
∫ 2π
0
∫ 2
0
(9− r2)rdrdθ = 28π
14. V =
∫ 2π
0
∫ 1
0
√
9− r2rdrdθ = 2π
3
(
27− 16
√
2
)
15.
∫ π/2
0
∫ 1
0
cos(r2)rdrdθ =
π
4
sen(1).
16.
∫ π
4
0
∫ 2
0
r
1 + r2
drdθ =
π
8
ln(5)
17. (a)
∫ 2
0
∫ √2x−x2
−
√
2x−x2
√
x2 + y2 dy dx
(b)
∫ π/2
−π/2
∫ 2 cos θ
0
r2 dr dθ
(c)
32
9
6