U15 A42 Oscilacoes AplicacoesMHS

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AULA 42 ‐‐‐‐APLICAÇÕES DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
OBJETIVOS: 
— APLICAR A TEORIA DO MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES A PÊNDULOS 
 
42.1 ‐‐‐‐ PÊNDULO SIMPLES: 
O pêndulo simples é constituído por uma partícula de massa suspensa por uma 
corda inextensível de comprimento e de massa desprezível. Quando solta de uma 
posição que faz um ângulo com a vertical, sob ação da força da gravidade, a 
partícula oscila sob ação da força da gravidade no plano vertical, descrevendo um 
arco de círculo em torno da posição de equilíbrio que é a vertical. A Figura 42‐1 
mostra o pêndulo e as forças que atuam nele. 
 
 
Figura 42‐‐‐‐1111: O pêndulo simples 
 
A diferença entre a tensão na corda e a componente do peso da partícula na 
direção radial produz a força centrípeta necessária para que a partícula tenha 
movimento circular no plano vertical. A componente tangencial do peso da partícula 
obriga o pêndulo a sempre voltar para a posição de equilíbrio e faz o papel da força 
restauradora. Se medirmos o deslocamento angular , relativo à posição de 
equilíbrio, no sentido trigonométrico, a força restauradora terá sempre sentido 
oposto ao do aumento do ângulo ; assim, podemos escrever para ela: 
 
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Como a força restauradora não é proporcional ao ângulo , o movimento do 
pêndulo não é um movimento harmônico simples. Com efeito, a equação do 
movimento do pêndulo é: 
 
Esta equação diferencial não é linear e requer métodos especiais para ser resolvida. 
Entretanto, se o ângulo for pequeno, podemos escrever que (em 
radianos!). Logo, o deslocamento da partícula ao longo do arco é . Podemos 
dizer que: 
 
isto é, a força pode ser considerada como proporcional ao deslocamento e o 
movimento, como no harmônico simples. 
A tabela abaixo mostra vários valores de , e a diferença percentual entre 
esses valores: 
(graus) (radianos) Dif. (%) 
0 0.0000 0.0000 0.00 
5 0.0873 0.0872 0.11 
10 0.1745 0.1736 0.51 
15 0.2618 0.2588 1.14 
 
A equação do movimento do pêndulo fica, então, com essas aproximações: 
 
ou: 
 
ou, ainda, 
 
cuja solução é: 
 
em que é a amplitude do movimento. 
O período do pêndulo simples em movimento harmônico simples independe da 
massa dele. Com efeito, da definição de período: 
 (42.1) 
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Essa equação mostra também que o período independe da amplitude do movimento 
(desde que ela seja pequena!). Embora o movimento oscilatório do pêndulo 
diminua com o tempo por causa da ação de forças dissipativas, o período continua 
praticamente constante. Por isso, ele foi o primeiro mecanismo usado em relógios 
mecânicos. Em um relógio de pêndulo, a perda de energia é compensada por um 
mecanismo que foi inventado por Christian Huygens (1629 – 1695). 
Para grandes amplitudes, o período do pêndulo pode ser colocado na forma: 
 
o que mostra que o período depende da amplitude. 
 
Atividade 42.1: Procure na internet informações sobre C.Huygens e sobre o 
pêndulo isócrono, que é um pêndulo cujo período independe da amplitude de 
oscilação, qualquer que seja ela. 
 
42.2 ‐‐‐‐ O PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
O pêndulo de torção consiste em um disco suspenso por um fio inextensível e de 
massa desprezível e preso ao centro de massa do disco (Figura42‐2). Se o disco é 
girado de um ângulo a partir de sua posição de equilíbrio (indicada pela linha OP 
da figura), o fio é torcionado dando origem a um torque restaurador que tende a 
fazer o fio voltar à sua forma original. 
 
Figura 42‐‐‐‐2222: O pêndulo de torção 
Para pequenas torções, o torque restaurador é proporcional ao deslocamento 
angular do disco e podemos escrever: 
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em que é a constante de torção do fio, que depende das propriedades dele. 
Como: 
 
em que é o momento de inércia do disco relativo ao centro de massa, a segunda 
lei de Newton para a rotação nos dá: 
 
ou: 
 (42.2) 
que mostra que, para pequenas deformações do fio, o movimento do pêndulo é 
harmônico simples. 
A solução da equação acima é: 
 (42.3) 
sendo a ampitude do movimento e dado por: 
 (42.4) 
O período do pêndulo é: 
 
Em geral, o pêndulo pode ser qualquer corpo laminar, isto é, cuja espessura seja 
muito menor que as suas outras dimensões. 
 
Exemplo 42.1: Uma barra fina de massa 0,1 kg e comprimento m forma 
um pêndulo de torção. Ela é colocada para oscilar e verifica‐se que o período é de 
2,0 s. Substitui‐se, então, a barra por uma placa triangular equilátera, que é 
colocada para oscilar. Seu período é medido, dando como resultado 6.0 s. Calcule 
o momento de inércia da placa, relativamente ao eixo que coincide com o fio do 
pêndulo. 
 
Solução: O momento de inércia da barra, relativo a uma eixo perpendicular a ela 
e passando pelo seu centro de massa é: .Então: 
 
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Mas, da expressão do período, a relação entre o período da barra para o da placa 
triangular é: 
 
Então: 
 
 
42.3 ‐‐‐‐ O PÊNDULO FÍSICO 
 
O pêndulo físico consiste em um corpo posto para oscilar preso por de seus pontos, 
o qual chamamos de pivô, podendo se mover no plano vertical. A Figura 42‐3 
mostra um corpo rígido preso pelo ponto P, podendo girar sem atrito em torno de 
um eixo horizontal passando por P. 
 
 
Figura 42‐‐‐‐3333: O pêndulo físico 
Em equilíbrio, a linha OP que liga P ao centro de massa C do corpo é vertical. 
Quando o corpo é tirado dessa posição, PC faz com a vertical um ângulo e a força 
peso do corpo exerce sobre ele um torque relativo a P, que tende a tornar PC 
vertical. O torque é dado por: 
 
em que é o módulo do vetor . O sinal negativo indica que o torque se opõe ao 
deslocamento do corpo. O torque é proporcional a mas, para pequenos valores 
de , podemos escrever: 
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Então, tal como no pêndulo de torção, a equação de movimento de rotação para o 
corpo é: 
 
ou: 
 (42.5) 
O período de oscilação do pêndulo físico é: 
 
Para amplitudes grandes, o pêndulo físico continua a ter movimento harmônico, 
mas ele não é harmônico simples. 
A equação acima pode ser resolvida para o momento de inércia, dando: 
 
que permite obter o momento de inércia do corpo por medida do período de 
oscilação. 
Notemos que o pêndulo simples é um caso particular do físico. Com efeito, como 
toda a massa do pêndulo simples está concentrada na extremidade livre dele, o seu 
momento de inércia relativo ao ponto de suspensão é ; o centro de massa 
do pêndulo simples coincide com a massa . Então, . Assim, o período do 
pêndulo é: 
 
 
Atividade 42.2: Encontre o comprimento de um pêndulo simples cujo período 
seja o mesmo do pêndulo físico. 
 
 
Exemplo 42.2: Um disco homogêneo de raio é suspenso por um pivot (P) preso 
em sua borda. Ache o período de oscilação do disco para pequenas amplitudes e o 
centro de oscilação dele. 
 
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Figura 42‐‐‐‐4: O pêndulo físico formado por um disco 
 
Solução: O momento de inércia do disco, em relação a um eixo perpendicular ao 
seu plano e passando pelo seu centro (que também é seu centro de massa) é: 
 
Como o pivot está à distância do centro de massa, o teorema dos eixos paralelos 
nos dá que: 
 
O período é: 
 
O pêndulo simples que possui o mesmo período tem um comprimento: 
 
 
Atividade 42.3: Se aplicarmos o pivot no ponto O situado à distância do 
centro do disco, qual será o período de oscilação dele? 
 
A Atividade 42.3 ilustra uma propriedade geral do centro de oscilação O. Quando o 
pivô do pêndulo é colocado no seu centro de oscilação relativo a um ponto dado 
(por exemplo P), o período de oscilação não muda e este ponto(P) passa a ser o 
centro de oscilação relativo a O. 
 
 
 
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RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS 
Atividade 42.1 
Utilize o fórum de discussão para compartilhar os resultados de sua busca. 
Atividade 42.2 
Igualando os períodos dos pêndulos, temos: 
 
de onde tiramos: 
 
 
Essa atividade nos mostra que, no que se refere ao período do pêndulo físico, sua 
massa pode ser considerada como concentrada em um ponto Q cuja distância ao 
ponto de suspensão do pêndulo é . Esse ponto Q é denominado centro de 
oscilação do pêndulo físico. Sua localização depende do ponto de suspensão; para 
cada ponto O de suspensão, temos um centro de oscilação Q cuja posição obedece 
à equação acima. 
 
Atividade 42.3 
 
 Nesse caso, temos e: 
 
O período é: 
 
tal como no Exemplo 42.1. 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
 
E42.1 Um pêndulo simples tem comprimento L = 1.00 m e completa 100 
oscilações em 201 segundos em um certo local. Qual é o valor da aceleração da 
gravidade neste local?