Notas de Aula da Professora Denise Pinto

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PARTE 1
FUNC¸O˜ES VETORIAIS
1.1 Introduc¸a˜o
Em Ca´lculo 1, trabalhamos com func¸o˜es reais de uma varia´vel real, i.e. func¸o˜es da
forma
f : Dom(f) ⊆ R → R
x 7→ y = f(x).
Como exemplo de func¸o˜es reais de uma varia´vel real, podemos citar f(x) = x2, x ∈ R
e g(x) =
√
x, x ≥ 0.
Em Ca´lculo 2B trabalharemos com func¸o˜es mais gerais, que sa˜o as func¸o˜es vetoriais
de va´rias varia´veis reais, as quais esta˜o definidas na pro´xima sec¸a˜o.
1.2 Func¸o˜es Vetoriais
DEFINIC¸A˜O 1.2.1: Dado um conjunto Dom(F ) ⊆ Rn, uma func¸a˜o vetorial F de
n varia´veis reais e´ uma correspondeˆncia, F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm, que a cada ponto
X = (x1, x2, ..., xn) ∈ Dom(F ), associa um e apenas um Y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rm.
Como de costume, o conjunto Dom(F ) e´ chamado de domı´nio da func¸a˜o F .
No caso de func¸o˜es vetoriais F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm, temos que existem, e sa˜o
u´nicas, m func¸o˜es reais de n varia´veis reais, fi : Dom(F ) ⊆ Rn → R, i = 1, ..., n, tais
que para todo X ∈ Dom(F ),
F (X) = (f1(X), f2(X), ..., fm(X)).
Estas func¸o˜es sa˜o chamadas de func¸o˜es coordenadas de F ou func¸o˜es componentes de
F . Desta forma, representamos a func¸a˜o F como
F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm
X = (x1, x2, ..., xn) 7→ F (X) = (f1(X), f2(X), ..., fm(X)).
1
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 2
Como exemplo de func¸a˜o vetorial de uma varia´vel real podemos citar F (t) = (cos t , sen t),
t ∈ R e como exemplo de func¸a˜o vetorial de va´rias varia´veis reais, podemos citar
F (x, y) =
(√
x2 + y2 , xy , x+ y
)
, (x, y) ∈ R2.
Observac¸a˜o 1.2.1: Um ponto ou vetor X ∈ Rn pode ser representado tanto na hori-
zontal quanto na vertical. Isto e´, X = (x1, x2, ..., xn) ou X =

x1
x2
:
xn
.
Em relac¸a˜o ao domı´nio da func¸a˜o F temos um importante comenta´rio a fazer. Conti-
nuaremos aqui abusando da linguagem, tal como fizemos em Ca´lculo 1. Isto e´, quando
a func¸a˜o F for dada por sua expressa˜o e fizermos a pergunta: “qual e´ o domı´nio da
func¸a˜o F?” Estaremos de fato perguntando: “qual e´ o maior subconjunto de Rn no
qual F esta´ bem definida?”, ou seja, “qual e´ o maior subconjunto de Rn no qual todas
as m expresso˜es dadas por fi(X), i = 1, ...,m, esta˜o bem definidas?” Desta forma,
podemos ver que chamando de Di o maior subconjunto de Rn no qual a expressa˜o dada
por fi(X) esta´ bem definida, o domı´nio da func¸a˜o F e´ a intersec¸a˜o de todos os Di,
i = 1, ...,m, i.e. Dom(F ) =
⋂m
i=1Di. Confira os exemplos abaixo.
Exemplo 1.2.1: Determine e esboce o domı´nio da func¸a˜o
F (x, y) =
(
1√
y
,
1√−x
)
.
Soluc¸a˜o: Neste caso, temos que f1(x, y) =
1√
y
e
f2(x, y) =
1√−x . Portanto, D1 = {(x, y) ∈ R
2 | y > 0} e
D2 = {(x, y) ∈ R2 |x < 0}, de modo que
Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 < 1, y > 0 e x < 0}.
Na figura ao lado temos um esboc¸o de Dom(F ) (em
amarelo).
y
x
♥
Exemplo 1.2.2: Determine e esboce o domı´nio da func¸a˜o
F (x, y) =
(
1√
1− (x2 + y2) ,
x
y
,
y
x
)
.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 3
Soluc¸a˜o: Neste caso, temos que f1(x, y) =
1√
1− (x2 + y2) , f2(x, y) =
x
y
e f3(x, y) =
y
x
. Portanto,
D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2+y2 < 1}, D2 = {(x, y) ∈ R2 | y 6=
0} e D3 = {(x, y) ∈ R2 |x 6= 0}, de modo que
Dom(F ) = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 < 1, y 6= 0 e x 6= 0}.
Na figura ao lado temos um esboc¸o de Dom(F ) (em
verde).
1–1
y
x
♥
A seguir apresentamos os conceitos de imagem, gra´fico e conjunto de n´ıvel de func¸o˜es
vetoriais de va´rias varia´veis reais.
Dada a func¸a˜o F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm, definimos os seguintes conjuntos
• Imagem de F : Im(F ) = {F (X) ∈ Rm |X ∈ Dom(F )}.
• Gra´fico de F : G(F ) = {(X,F (X)) ∈ Rn+m |X ∈ Dom(F )}.
• Conjunto de Nı´vel K de F : dado K ∈ Im(F ),
CK(F ) = {X ∈ Dom(F ) |F (X) = K}.
Observac¸a˜o 1.2.2: Em Ca´lculo I, a visualizac¸a˜o dos gra´ficos ajudavam em muito a
compreensa˜o das func¸o˜es reais de uma varia´vel real, que eram nossa mate´ria prima.
Em tempo, lembre-se que dada uma func¸a˜o f : Dom(f) ⊆ R → R, seu gra´fico e´ o
subconjunto de R2 dado por G(f) = {(x, f(x)) ∈ R2 |x ∈ Dom(f)}. Aqui em Ca´lculo
2, a visualizac¸a˜o deste conjunto de pares ordenados (X,F (X)), X ∈ Dom(F ), que
constituem o gra´fico da func¸a˜o F , continuara˜o de grande valia para um melhor en-
tendimento das func¸o˜es. Entretanto, vale a pena ressaltar que tal visualizac¸a˜o apenas
sera´ poss´ıvel se n+m ≤ 3.
Observac¸a˜o 1.2.3: Em Ca´lculo I, na˜o fazia sentido esboc¸ar nem domı´nio, nem ima-
gem de func¸a˜o reais de uma varia´vel real, pois tais conjuntos seriam simplesmente
subconjuntos da reta. Aqui em Ca´lculo 2B, ale´m de esboc¸ar o domı´nio (nos casos
em que n ≥ 2, como nos Exemplos 1.2.1 e 1.2.2 anteriores), vamos ter interesse em
esboc¸ar imagens (nos casos em que m ≥ 2, como nos Exemplos 1.2.3 e 1.2.6 a seguir)
e conjuntos de n´ıvel (nos casos em que n ≥ 2, como no Exemplo 1.2.5 a seguir).
Agora faremos alguns exemplos utilizando os conceitos vistos anteriormente.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 4
Exemplo 1.2.3: Determine e esboce a imagem da func¸a˜o F (t) = (t, t2), t ≥ 0.
Soluc¸a˜o: Temos que a imagem de F e´ o conjunto
Im(F ) = {(t, t2) ∈ R2 | t ≥ 0}.
Observe que x = t e y = t2, de modo que a imagem
da func¸a˜o F e´ a parte da para´bola y = x2, com x ≥ 0
(figura ao lado).
y
x
♥
Exemplo 1.2.4: Determine e esboce o gra´fico da func¸a˜o f(x, y) =
√
x2 + y2, (x, y) ∈
R2.
Soluc¸a˜o: Temos que o gra´fico de f e´ o conjunto
G(f) = {(x, y,
√
x2 + y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Observe que z =
√
x2 + y2, de modo que o gra´fico da
func¸a˜o f e´ o semicone z =
√
x2 + y2, com z ≥ 0 (figura
ao lado).
x
y
z
♥
Exemplo 1.2.5: Determine e esboce o conjunto de n´ıvel (1,0) da func¸a˜o F (x, y, z) =
(x+ y + z , z), (x, y, z) ∈ R3.
Soluc¸a˜o: Temos que conjunto de n´ıvel (1,0) de F
e´ o conjunto
C(1,0)(F ) = {(x, y, z) ∈ R3 |x+y+z = 1 e z = 0},
que consiste da intersec¸a˜o do plano x+ y + z = 1,
com o plano z = 0, o que fornece a reta x+ y = 1
no plano xy. o conjunto de n´ıvel (1, 0) de F esta´
esboc¸ado na figura ao lado.
x
y
z
♥
Exemplo 1.2.6: Determine e esboce o gra´fico da func¸a˜o F (t) = (t, t2), t ∈ R.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 5
Soluc¸a˜o: Temos que o gra´fico de F e´ o conjunto
G(F ) = {(t, t, t2) ∈ R3 | ∈ R}.
Observe que x = t, y = t e z = t2, de modo que o gra´fico
da func¸a˜o F e´ a intersec¸a˜o do plano x = y com o cilindro
z = y2 (ou z = x2) (figura ao lado).
x
y
z
♥
Exemplo 1.2.7: Determine e esboce a imagem da func¸a˜o F (t) = (cos t, sen t),
t ∈ [0, 2pi].
Soluc¸a˜o: Temos que a imagem de F e´ o conjunto dado por
Im(F ) = {(cos t, sen t) ∈ R2 | t ∈ [0, 2pi]}.
Para esboc¸ar este conjunto, observe inicialmente que como x(t) = cos t e y(t) = sen t,
temos que x2(t) + y2(t) = 1. Portanto, todos os pontos da imagem desta func¸a˜o esta˜o
contidos na circunfereˆncia x2 + y2 = 1. Agora veremos que as equac¸o˜es acima repre-
sentam na˜o apenas alguns pontos da circunfereˆncia, mas sim todos os pontos da mesma.
De fato, considere a circunfereˆncia de raio 1 e centro na
origem esboc¸ada ao lado. Neste caso, e´ fa´cil ver que
x = x(t) = cos t,
t ∈ [0, 2pi],
y = y(t) = sen t,
onde t e´ o aˆngulo central indicado. Observe que quando
t varia de 0 a 2pi, o ponto P = (x, y) parte do ponto
(1, 0) e completa a volta ao longo da circunfereˆncia no
sentido anti-hora´rio.
y
x
P=(x,y)y(t)
x(t)
t
0
Concluimos portanto que a imagem desta func¸a˜o e´ pre-
cisamente a circunfereˆncia x2 + y2 = 1 (figura ao lado).
1
–1
1–1
y
x
Exemplo 1.2.8: Esboce o gra´fico da func¸a˜o F (t) = (cos t, sen t), t ∈ R.
Ca´lculo 2B - Notas deAula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 6
Soluc¸a˜o: Temos que o gra´fico de F e´ o conjunto dado por
Im(F ) = {(t, cos t, sen t) ∈ R3 | t ∈ R}.
Para esboc¸ar este conjunto, observe inicialmente que sendo y(t) = cos t e
z(t) = sen t, temos do Exemplo 1.2.6 acima, que y2(t) + z2(t) = 1. Ou seja, a
projec¸a˜o do gra´fico de F , no plano yz, e´ a circunfereˆncia de raio 1 e centro na
origem (figura abaixo a` esquerda). Desta forma, temos que as coordenadas y e z
do gra´fico da func¸a˜o F esta˜o contidas no cilindro circular reto y2 + z2 = 1 (figura
abaixo a` direita).
1
–1
1–1
y
x
x
y
z
Ale´m disto, a varia´vel x vai aumentando conforme o
valor de t vai crescendo, pois x = t. Desta forma,
temos como gra´fico desta func¸a˜o, uma curva que faz
uma espiral para frente, conforme o valor de t aumenta.
Esta curva, semelhante a uma mola espiral, e´ chamada
de he´lice.
x
y
z
♥
Veremos agora exemplos que mostram que um mesmo conjunto pode ser apresentado
como imagem de uma func¸a˜o, ou como gra´fico de outra func¸a˜o, ou ainda, como con-
junto de n´ıvel de uma terceira func¸a˜o.
Exemplo 1.2.9: Determine o gra´fico da func¸a˜o
f : R2 → R
(x, y) 7→ f(x, y) = x2 + y2.
Soluc¸a˜o: Temos que o gra´fico de f e´ o conjunto
G(f) = {(x, y, x2 + y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Note que z = x2 + y2, de modo que o gra´fico da func¸a˜o f e´ o parabolo´ide z = x2 + y2.
♥
Exemplo 1.2.10: Determine a imagem da func¸a˜o
H : R2 → R3
(x, y) 7→ H(x, y) = (x, y, x2 + y2).
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 7
Soluc¸a˜o: Temos que a imagem de H e´ o conjunto
Im(H) = {(x, y, x2 + y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Novamente vemos que z = x2+y2, de modo que a imagem da func¸a˜o H e´ o parabolo´ide
z = x2 + y2.
♥
Exemplo 1.2.11: Determine o conjunto de n´ıvel 0 da func¸a˜o
g : R3 → R
(x, y, z) 7→ g(x, y, z) = z − (x2 + y2).
Soluc¸a˜o: Temos que conjunto de n´ıvel 0 de g e´ o conjunto
C0(g) = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2 e z = x2 + y2},
que equivale a
C0(g) = {(x, y, x2 + y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2},
que tambe´m fornece o parabolo´ide z = x2 + y2.
♥
Observe que nos treˆs exemplos acima, o conjunto pedido
era dado pelo parabolo´ide z = x2+y2, esboc¸ado ao lado.
Compare esta observac¸a˜o com as definic¸o˜es apresentadas
abaixo.
x
y
z
DEFINIC¸A˜O 1.2.2:
• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rn+m esta´ definido explicitamente se S e´ o gra´fico
em Rn+m de uma func¸a˜o F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm.
• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rm esta´ definido parametricamente se S e´ a imagem em
Rm de uma func¸a˜o H : Dom(H) ⊆ Rn → Rm.
• Diz-se que um conjunto S ⊂ Rn+m esta´ definido implicitamente se S e´ o conjunto de
n´ıvel em Rn+m de uma func¸a˜o G : Dom(G) ⊆ Rn+m → Rm.
Na pro´xima aula, vamos falar de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real e veremos mais
exemplos de identificac¸a˜o e esboc¸o de imagens. Ja´ na terceira aula, vamos falar de
func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais, de modo que veremos mais exemplos de identi-
ficac¸a˜o e esboc¸o de domı´nios, conjuntos de n´ıvel e gra´ficos.
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1.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1.3.1: Descreva o conjunto S, onde S e´ a para´bola y = x2, x ∈ R de forma
expl´ıcita, impl´ıcita e parame´trica.
Resposta: Forma expl´ıcita: S e´ o gra´fico da func¸a˜o f
f : R → R
x 7→ f(x) = x2,
isto e´,
S = G(f) = {(x, x2) ∈ R2 |x ∈ R}.
Forma impl´ıcita: S e´ o conjunto de n´ıvel zero da func¸a˜o g
g : R2 → R
(x, y) 7→ g(x, y) = y − x2,
isto e´,
S = C0(g) = {(x, y) ∈ R2 | y − x2 = 0}.
Forma parame´trica: S e´ a imagem da func¸a˜o F
F : R → R
t 7→ F (t) = (t, t2),
isto e´,
S = Im(F ) = {(t, t2) ∈ R2 | t ∈ R}.
Exerc´ıcio 1.3.2: Responda cada um dos itens a seguir.
a) Defina uma func¸a˜o f1 cujo conjunto de n´ıvel 0 e´ a para´bola y = x
2 em R2.
b) Defina uma func¸a˜o f2 cujo conjunto de n´ıvel 0 e´ o cilindro parabo´lico y = x
2 em
R3.
c) Determine e esboce o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f3(x, y) =
(
x, y,
√
1− (x2 + y2)
)
.
d) Determine uma func¸a˜o f4 tal que seu gra´fico e´ a imagem da func¸a˜o f3 do item (c).
Resposta:
a)
f1 : R2 → R
(x, y) 7→ f(x, y) = y − x2,
b)
f2 : R3 → R
(x, y, z) 7→ f(x, y, z) = y − x2,
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 9
c) Temos que o domı´nio de f3 e´ o conjunto
Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2 | 1− (x2 + y2) ≥ 0}
= {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 1}.
O domı´nio de f3 e´ portanto a circunfereˆncia de centro na origem e raio igual a 1 e seu
interior (figura abaixo a` esquerda).
A imagem de f3 e´ o conjunto
Im(f3) =
{(
x, y,
√
1− (x2 + y2)
)
∈ R3 | (x, y) ∈ R2
}
.
A imagem de f3 e´ portanto a semi-esfera de centro na origem e raio igual a 1, com
z ≥ 0 (figura abaixo a` direita).
1–1
y
x
x
y
z
d)
f4 : Dom(f4) ⊆ R2 → R
(x, y) 7→ f(x, y) =√1− (x2 + y2),
onde Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 1}. Observe que de fato,
G(f4) = {
(
x, y,
√
1− (x2 + y2)
)
∈ R3 |x ∈ R}.
♥
PARTE 2
FUNC¸O˜ES VETORIAIS DE UMA
VARIA´VEL REAL
2.1 Func¸o˜es Vetoriais de Uma Varia´vel Real
Vamos agora tratar de um caso particular de func¸o˜es vetoriais F : Dom(f) ⊆ Rn → Rm,
que sa˜o as func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real. Neste caso, temos que n = 1, i.e. o
domı´nio e´ um subconjunto de R.
DEFINIC¸A˜O 2.1.1: Dado um conjunto Dom(F ) ⊆ R, uma func¸a˜o vetorial F de
uma varia´vel real e´ uma correspondeˆncia, F : Dom(F ) ⊆ R → Rm, que a cada ponto
t ∈ Dom(F ), associa um e apenas um Y = (y1, y2, ..., yn) ∈ Rm.
Exemplo 2.1.1: Abaixo temos exemplos de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real,
com m = 2 ((a) e (c)) e m = 3 ((b) e (d)).
a) F1(t) = (2t, 4t), t ≥ 0.
b) F2(t) = (t, 2t, 4t), t ≥ 0.
c) F3(t) = (2 cos t, 3 sen t), t ∈ [0, 2pi].
d) F4(t) = (cos t, sen t, t), t ≥ 0.
2.2 Operac¸o˜es com Func¸o˜es Vetoriais de Uma Vari-
a´vel Real
Definiremos a seguir as usuais operac¸o˜es de soma, diferenc¸a, e produto por escalar
entre func¸o˜es vetoriais, da mesma forma que fizemos para func¸o˜es reais. Ale´m disso,
definiremos novas operac¸o˜es, conforme pode ser visto na definic¸a˜o a seguir.
10
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 11
DEFINIC¸A˜O 2.2.1: Considere as func¸o˜es F,G : D ⊆ R → Rm e f : D ⊆ R → R e
a constante k ∈ R. Neste caso, definimos as seguintes func¸o˜es:
a) a func¸a˜o F +G : D ⊆ R→ Rm, chamada de soma de F e G, dada por
(F +G)(t) = F (t) +G(t),∀ t ∈ D;
b) a func¸a˜o F −G : D ⊆ R→ Rm, chamada de diferenc¸a entre F e G, dada por
(F −G)(t) = F (t)−G(t), ∀ t ∈ D;
c) a func¸a˜o kF : D ⊆ R→ Rm, chamada de produto de F pela constante k, dada por
(kF )(t) = kF (t),∀ t ∈ D;
d) a func¸a˜o fF : D ⊆ R→ Rm, chamada de produto de F pela func¸a˜o escalar f , dada
por
(fF )(t) = f(t)F (t),∀ t ∈ D;
e) se f(t) 6= 0, ∀t ∈ D, a func¸a˜o F
f
: D ⊆ R → Rm, chamada de quociente de F pela
func¸a˜o escalar f , dada por (
F
f
)
(t) =
F (t)
f(t)
, ∀ t ∈ D;
f) a func¸a˜o F.G : D ⊆ R→ R, chamada de produto escalar de F e G, dada por
(F.G)(t) = F (t).G(t),∀ t ∈ D;
g) se m = 3, a func¸a˜o F × G : D ⊆ R → R3, chamada de produto vetorial de F e G,
dada por
(F ×G)(t) = F (t)×G(t), ∀ t ∈ D.
Exemplo 2.2.1: Sabendo que f(t) = sen t, F (t) = (t, et, t2) e G(t) = (t, 1, t3), calcule:
(a) F +G (b) 2F (c) fF (d) F.G (e) F ×G.
Soluc¸a˜o:
a) (F +G)(t) = F (t) +G(t) = (t, et, t2) + (t, 1, t3) = (2t, 1 + et, t2 + t3);
b) (2F )(t) = 2F (t) = 2(t, et, t2) = (2t, 2et, 2t2);
c) (fF )(t) = f(t)F (t) = sen t (t, et, t2) = (t sen t, et sen t, t2 sen t);
d) (F.G)(t) = F (t).G(t) = (t, et, t2).(t, 1, t3) = t2 + et + t5;
e) (F ×G)(t) = F (t)×G(t) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
t et t2
t 1 t3
∣∣∣∣∣∣ = (t3et − t2, t3 − t4, t− tet).
♥
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise2011-2 12
2.3 Ca´lculo com Func¸o˜es Vetoriais de Uma Varia´vel
Real
Veremos agora os conceito de limite, continuidade e derivada de func¸o˜es vetoriais de
uma varia´vel real. Iniciaremos com a definic¸a˜o de limite. A noc¸a˜o limite de func¸o˜es
vetoriais de uma varia´vel real naturalmente conserva a ide´ia de limite vista em Ca´lculo
1, onde apenas e´ preciso fazer o devido ajuste das distaˆncias envolvidas. Lembre-se que
se ~v = (v1, v2, ..., vm) e ~u = (u1, u2, ..., um) sa˜o dois vetores em Rm, a distaˆncia entre ~v
e ~u e´ dada por
||~v − ~u|| =
√
(v1 − u1)2 + (v2 − u2)2 + ...+ (vm − um)2,
onde a func¸a˜o || . || : Rm → R e´ chamada de norma. Observe ainda que
||~v|| =
√
v21 + v
2
2 + ...+ v
2
m =
√
~v.~v.
No que se segue, vamos supor que D e´ um intervalo ou uma unia˜o finita de intervalos.
DEFINIC¸A˜O 2.3.1: (Limite) Seja F a func¸a˜o vetorial F : D ⊆ R→ Rm. Suponha
que F esta´ definida em um intervalo aberto contendo o ponto t0 (exceto possivelmente
no pro´prio ponto t = t0). Dizemos que F (t) tende a L, L ∈ R, quando t tende a t0,
cuja notac¸a˜o e´ lim
t→t0
F (t) = L, se para todo ε > 0 dado, existe δ > 0 tal que,
0 < |t− t0| < δ ⇒ ||F (t)− L|| < ε.
Observe que para F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fm(t)) e L = (l1, ..., lm), temos que
||F (t)− L|| =
√
(f1(t)− l1)2 + (f2(t)− l2)2 + ...+ (fm(t)− lm)2.
Sendo assim, e´ fa´cil verificar que lim
t→t0
F (t) = L se e somente se lim
t→t0
fi(t) = li, para todo
i = 1, ...,m. Confira o teorema a seguir.
TEOREMA 2.3.1: Seja F a func¸a˜o vetorial
F : D ⊆ R → Rm
t 7→ F (t) = (f1(t), f2(t), ..., fm(t)).
e seja L = (l1, l2, ..., lm). Suponha que F esta´ definida em um intervalo aberto contendo
o ponto t0 (exceto possivelmente no pro´prio ponto t = t0). Enta˜o, temos que
lim
t→t0
F (t) = L⇐⇒ lim
t→t0
fi(t) = li, i = 1, ...m.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 13
Portanto, pelo teorema acima, temos que
“ O limite de F , quando t tende a t0, existe e e´ igual a L = (l1, l2, . . . , lm) se e
somente se o limite de todas as suas func¸o˜es coordenadas fi, i = 1, ...m, quando t
tende a t0, existem e sa˜o iguais a li, i = 1, ...m, respectivamente.”
Exemplo 2.3.1: Calcule lim
t→0
(
sen t
t
,
1− cos t
t
)
.
Soluc¸a˜o: De acordo com o teorema anterior, como lim
t→0
sen t
t
= 1 e lim
t→0
1− cos t
t
= 0,
temos que
lim
t→0
(
sen t
t
,
1− cos t
t
)
=
(
lim
t→0
sen t
t
, lim
t→0
1− cos t
t
)
= (1, 0) .
♥
As propriedades de limite conhecidas continuam va´lidas, acrescidas agora de pro-
priedades envolvendo os produtos escalar e vetorial e a norma em Rm (em lugar do
mo´dulo).
TEOREMA 2.3.2: (Propriedades de Limite) Considere as func¸o˜es F,G : D ⊆
R → Rm e f : D ⊆ R → R, tais que limt→t0 F (t) = L, limt→t0 G(t) = M e
limt→t0 f(t) = k. Neste caso, temos que
a) limt→t0(F ±G)(t) = L±M
b) limt→t0(fF )(t) = kL
c) limt→t0
(
F
f
)
(t) =
L
k
, se k 6= 0
d) limt→t0 ||F (t)|| = ||L||
e) limt→t0(F.G)(t) = L.M
f) caso m = 3, limt→t0(F ×G)(t) = L×M
Observac¸a˜o 2.3.1: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, temos os con-
ceitos de limites laterais, cujas definic¸o˜es sa˜o adaptac¸o˜es naturais da Definic¸a˜o 2.3.1 e
cujas notac¸o˜es sa˜o as usuais. Ale´m disso, os Teoremas 2.3.1 e 2.3.2 permanecem va´lidos
se t0 ∈ D for um extremo de intervalo.
Vejamos agora os conceito de continuidade de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 14
DEFINIC¸A˜O 2.3.2: (Continuidade) Seja F a func¸a˜o vetorial F : D ⊆ R→ Rm e
seja t0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Dizemos que F e´ cont´ınua no ponto t0, se
lim
t→t0
F (t) = F (t0).
Observac¸a˜o 2.3.2: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, o limite uti-
lizado e´ um limite lateral apropriado.
Observe que de acordo com o Teorema 2.3.1, temos que
lim
t→t0
F (t) = F (t0)⇐⇒ lim
t→t0
fi(t) = fi(t0), i = 1, ...,m.
Sendo assim, temos que
“ F e´ cont´ınua em t0 se e somente se todas as suas func¸o˜es coordenadas sa˜o
cont´ınuas em t0.”
Dizemos ainda que F e´ cont´ınua em um intervalo B ⊂ D se F e´ cont´ınua para todo
t ∈ B e dizemos simplesmente que F e´ cont´ınua se F e´ cont´ınua para todo t em seu
domı´nio.
Podemos agora definir formalmente o que se entende em matema´tica por uma curva,
que, de uma certa forma, reflete a nossa noc¸a˜o intuitiva. Confira a definic¸a˜o abaixo.
DEFINIC¸A˜O 2.3.3: (Curva) Considere a func¸a˜o vetorial F : I ⊆ R→ Rm, onde I
e´ um intervalo da reta. Se F e´ uma func¸a˜o cont´ınua, chamamos sua imagem de curva.
Em outras palavras, temos que
“ curva e´ a imagem de uma func¸a˜o vetorial cont´ınua definida em um intervalo.”
Observac¸a˜o 2.3.3: Quando estivermos nos referindo a uma curva C em Rm, imagem
da func¸a˜o (cont´ınua) F : I ⊂ R→ Rm, diremos que C e´ uma curva parametrizada pela
func¸a˜o F ou que F e´ uma parametrizac¸a˜o para C.
Observac¸a˜o 2.3.4: Nem todo autor define curva da forma que fizemos. Em alguns
livros, curva e´ definida como a pro´pria func¸a˜o vetorial cont´ınua F : I ⊂ R→ Rm e sua
imagem C e´ chamada de trac¸o da curva. Optamos por definir da forma que fizemos
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 15
para o conceito coincidir com nossa noc¸a˜o intuitiva.
Vamos agora passar ao conceito de derivada.
DEFINIC¸A˜O 2.3.4: (Derivada) Considere a func¸a˜o F : D ⊆ R → Rm e seja
t0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Dizemos que F e´ deriva´vel em t0, se
lim
h→0
F (t0 + h)− F (t0)
h
existe. Neste caso, definimos a derivada de F em t0, denotada por F
′(t0) ou
dF
dt
(t0),
como sendo o valor deste limite.
Observe que, pelo Teorema 2.3.1, temos que
“ F e´ deriva´vel em t0 se e somente se suas func¸o˜es coordenadas sa˜o deriva´veis em t0
e, neste caso,
F ′(t0) = (f ′1(t0), ..., f
′
m(t0)).”
Exemplo 2.3.2: Calcule a derivada de F em t0 = 1, onde F (t) = (3t
2, sen t3, et
2
).
Soluc¸a˜o: Conforme observado acima, como todas as treˆs func¸o˜es coordenadas de F
sa˜o deriva´veis para todo t ∈ R, temos que
F ′(1) =
(
(3t2)′
∣∣
1
, ( sen t3)′
∣∣
1
, (et
2
)′
∣∣∣
1
)
=
(
6t|1 , 3t2 cos t3
∣∣
1
, 2t et
2
∣∣∣
1
)
= (6 , 3 cos 1 , 2e) .
♥
Vamos agora a`s propriedades da derivada.
TEOREMA 2.3.3: (Propriedades da Derivada) Considere as func¸o˜es F,G : D ⊆
R → Rm e f : D ⊆ R → R, todas diferencia´veis em t0 ∈ I(aberto) ⊆ D. Neste caso,
temos que
a) (aF ± bG)′(t0) = aF ′(t0)± bG′(t0), a, b ∈ R
b) (fF )′(t0) = f ′(t0)F (t0) + f(t0)F ′(t0)
c) (F.G)′(t0) = F ′(t0).G(t0) + F (t0).G′(t0)
d) caso m = 3, (F ×G)′(t0) = F ′(t0)×G(t0) + F (t0)×G′(t0)
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e) ||F (t0)|| ′ =
(√
F (t0).F (t0)
)′
=
F (t0).F
′(t0)
||F (t0)||
Observac¸a˜o 2.3.6: Caso o ponto t0 ∈ D seja um extremo de intervalo, temos os
conceitos de derivadas laterais, cujas definic¸o˜es sa˜o adaptac¸o˜es naturais da Definic¸a˜o
2.3.4 e cujas notac¸o˜es sa˜o as usuais. Ale´m disso, o Teorema 2.3.3 permanece va´lido se
t0 ∈ D for um extremo de intervalo.
Dizemos ainda que a func¸a˜o F : D ⊆ R → Rm e´ diferencia´vel ou deriva´vel se F e´
diferencia´vel para todo t0 ∈ D.
2.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica da Derivada
Considere o intervalo I ⊂ R e um ponto t0 pertence ao interior do intervalo I. Seja C
uma curva no plano parametrizada pela func¸a˜o cont´ınua e injetora ~r : I ⊂ R → R2,
diferencia´vel em t0. Em outras palavras, C e´ a curva imagem da func¸a˜o ~r, onde ~r e´
diferencia´vel em t0. Considere agora dois pontos P e Q em C, cujos vetores posic¸a˜o sa˜o,
respectivamente, ~r (t0) e ~r (t0+h). Neste caso,
−→
PQ representa o vetor ~r (t0+h)−~r (t0),
que e´ um vetor sobre a reta secante a` curva C que conte´m os pontos P e Q (figuraabaixo). Observe que se h > 0, o vetor
~r (t0 + h)− ~r (t0)
h
, que e´ um mu´ltiplo escalar
do vetor ~r (t0 + h)− ~r (t0), possui a mesma direc¸a˜o e sentido deste vetor. Ao fazermos
h → 0, observamos que este vetor se aproxima de um vetor sobre a reta tangente a`
curva C no ponto P . Por esta raza˜o, ~r ′(t0) e´ chamado de vetor tangente a` curva C,
parametrizada por ~r, no ponto P . Confira a definic¸a˜o abaixo.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 17
DEFINIC¸A˜O 2.4.1: (Vetor tangente unita´rio) Seja ~r e´ uma func¸a˜o cont´ınua e
injetora. Dado um ponto ~r (t0) ∈ C, se ~r ′(t0) existe e e´ na˜o-nulo, definimos o vetor ~t,
dado por ~t (t0) =
~r ′(t0)
||~r ′(t0)|| , como o vetor unita´rio tangente a` curva C, parametrizada
por ~r, no ponto ~r (t0).
DEFINIC¸A˜O 2.4.2: (Reta tangente) Seja ~r e´ uma func¸a˜o cont´ınua e injetora.
Dado um ponto ~r (t0) ∈ C, se ~r ′(t0) existe e e´ na˜o-nulo, a equac¸a˜o parame´trica da reta
tangente a` curva C no ponto ~r (t0) e´ dada por
(x, y) = ~r (t0) + λ~r
′(t0), λ ∈ R.
Exemplo 2.4.1: Determine a reta tangente a` curva C parametrizada por ~r, onde
~r (t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, 2pi], no ponto (0,1).
Soluc¸a˜o: Conforme visto, a reta tangente a` curva C parametrizada pela func¸a˜o ~r, no
ponto ~r (t0), e´ dada por
(x, y) = ~r (t0) + λ~r
′(t0), λ ∈ R,
se ~r ′(t0) na˜o e´ nulo. No caso, temos que ~r ′(t) = (− sen t, cos t), de modo que ||~r ′(t)|| 6=
0 para todo t ∈ [0, 2pi]. Ale´m disso, temos que o ponto (0,1) corresponde a ~r
(pi
2
)
. De
fato, resolver a igualdade ~r (t0) = (0, 1), corresponde a resolver o sistema
x(t0) = cos t0 = 0
t0 ∈ [0, 2pi],
y(t0) = sen t0 = 1
cuja soluc¸a˜o e´ t0 =
pi
2
. Sendo assim, temos que
~r ′(t0) = ~r ′
(pi
2
)
=
(
− sen pi
2
, cos
pi
2
)
= (−1, 0).
Portanto, a equac¸a˜o da reta tangente pedida e´ dada por
(x, y) = (0, 1) + λ(−1, 0), λ ∈ R,
isto e´,
(x, y) = (−λ, 1), λ ∈ R,
o que corresponde a` reta
y = 1.
Observe que ~r so´ deixa de ser injetora nos pontos t0 = 0 e t1 = 2pi, pois ~r(0) = ~r(2pi) =
(1, 0), que na˜o e´ o ponto em questa˜o no problema. Entretanto, so´ por curiosidade,
observe que a derivada a` direita de ~r no ponto t0 = 0 e a derivada a` esquerda de ~r no
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 18
ponto t1 = 2pi sa˜o ambas iguais a (0, 1).
♥
Observac¸a˜o 2.4.1: Nas definic¸o˜es anteriores, pedimos que a parametrizac¸a˜o ~r fosse
injetora, pois, caso contra´rio, um ponto P na curva C poderia corresponder a dois
pontos t1 e t2 distintos, o que poderia gerar inconsisteˆncia, como por exemplo, dois
vetores tangentes de direc¸o˜es diferentes. Com a exigeˆncia da injetividade de ~r, dado
um ponto P na curva C, temos que a equac¸a˜o ~r(t0) = P fornece uma u´nica soluc¸a˜o
para t0.
Observac¸a˜o 2.4.2: Se C e´ uma curva no espac¸o parametrizada pela func¸a˜o ~r : I ⊂
R → R3, tanto a interpretac¸a˜o geome´trica como as definic¸o˜es anteriores continuam
procedentes, apenas com a alterac¸a˜o de que na equac¸a˜o da reta tangente deve-se incluir
a coordenada z, i.e.
(x, y, z) = ~r (t0) + λ~r
′(t0), λ ∈ R.
2.5 Interpretac¸a˜o F´ısica da Derivada
Uma raza˜o para escolher especificamente ~r ′(t) como o vetor tangente, ao inve´s de um
mu´ltiplo dele, e´ que muitas vezes vamos considerar o paraˆmetro t como a varia´vel tempo
e ~r (t) como sendo a representac¸a˜o da trajeto´ria de uma part´ıcula que se desloca no
espac¸o ou no plano. Com esta interpretac¸a˜o, ||~r ′(t)|| e´ a definic¸a˜o natural de velocidade
do movimento ao longo da trajeto´ria C descrita por ~r (t) quando t varia. O termo
“velocidade” se deve ao fato de que, para h pequeno, tem-se que
||~r (t)− ~r (t+ h)||
|h| e´
aproximadamente a taxa me´dia de distaˆncia percorrida sobre o intervalo de t a t + h
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 19
(figura abaixo). Ale´m do mais, e´ fa´cil mostrar que se ~r ′(t) existe,
lim
h→0
||~r (t+ h)− ~r (t)||
|h| = ||~r
′(t)||.
Sendo assim, ||~r ′(t)|| e´ o limite das taxas me´dias sobre intervalos de tempo arbitraria-
mente pequenos. Desta forma, a func¸a˜o real v definida por v(t) = ||~r ′(t)|| e´ chamada
de velocidade escalar, e o vetor ~v, definido por ~v (t) = ~r ′(t), e´ chamado de vetor ve-
locidade no ponto ~r (t).
Da mesma forma, se ~v (t) e´ deriva´vel, definimos ~a (t) = ~v ′(t) como o vetor acelerac¸a˜o
do movimento e a(t) = ||~a (t)|| como a intensidade da acelerac¸a˜o. Quando ~r (t) descreve
a trajeto´ria de uma part´ıcula de massa constante m, enta˜o m~a (t) e´ o vetor forc¸a que
atua sobre a part´ıcula e ma(t) e´ a intensidade da forc¸a que age na part´ıcula.
2.6 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 2.6.1: Considere as func¸o˜es do Exemplo 2.1.1. Determine e esboce (se
poss´ıvel) as imagens e os gra´ficos destas func¸o˜es.
Soluc¸a˜o:
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 20
a) Temos que a imagem de F1 e´ o conjunto
Im(F1) = {(2t, 4t) ∈ R2 | t ≥ 0}.
Observe que como x = 2t e y = 4t, temos que y(t) =
2x(t), t ≥ 0. Portanto, a imagem desta func¸a˜o e´ a semi-
reta (em R2) y = 2x, x ≥ 0. Uma outra forma de
verificar que trata-se de uma semi-reta, e´ observar que
F1(t) = (2t, 4t) = t(2, 4), t ≥ 0. Portanto, a imagem
desta func¸a˜o e´ a semi-reta (em R2) que conte´m a origem
e e´ paralela ao vetor (2, 4) (apenas mu´ltiplos positivos
deste vetor). A imagem de F1 esta´ esboc¸ada ao lado.
y
x
O gra´fico de F1 e´ o conjunto
G(F1) = {(t, 2t, 4t) ∈ R2 | t ≥ 0}.
Conforme observado no item anterior, podemos escrever
o conjunto de pontos (t, 2t, 4t), t ≥ 0, como (t, 2t, 4t) =
t(1, 2, 4), t ≥ 0. Portanto, a imagem desta func¸a˜o e´ a
semi-reta (em R3) que conte´m a origem e e´ paralela ao
vetor (1, 2, 4) (apenas mu´ltiplos positivos deste vetor).
O gra´fico de F1 esta´ esboc¸ado ao lado.
x
y
z
b) Temos que a imagem de F2 e´ o conjunto
Im(F2) = {(t, 2t, 4t) ∈ R3 | t ≥ 0}.
Observe que a imagem de F2 coincide com o gra´fico de
F1 (figura ao lado).
O gra´fico de F2 e´ o conjunto
G(F2) = {(t, t, 2t, 4t) ∈ R4 | t ≥ 0}.
Como o gra´fico de F2 esta´ em R4, na˜o podemos esboc¸a´-
lo.
x
y
z
c) Temos que a imagem de F3 e´ o conjunto
Im(F3) = {(2 cos t, 3 sen t) ∈ R2 | t ∈ [0, 2pi]}.
Observe que como x(t) = 2 cos t e y(t) = 3 sen t, t ∈
[0, 2pi], temos que
x2(t)
4
+
y2(t)
9
= 1. Portanto, todos os
pontos da imagem da func¸a˜o F3 esta˜o contidos na elipse
x2(t)
4
+
y2(t)
9
= 1. Na˜o faremos aqui, mas e´ poss´ıvel
mostrar qua as equac¸o˜es acima representam na˜o apenas
alguns pontos desta elipse, mas sim, todos os pontos da
mesma (figura ao lado).
–3
3
2–2
y
x
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 21
O gra´fico de F3 e´ o conjunto
G(F3) = {(t, 2 cos t, 3 sen t) ∈ R2 | t ≥ 0}.
Para esboc¸ar este conjunto, observe inicialmente que
sendo y(t) = 2 cos t e z(t) = 3 sen t, temos, conforme
visto acima, que
x2(t)
4
+
y2(t)
9
= 1. Ou seja, a projec¸a˜o
do gra´fico de F3, no plano yz, e´ uma elipse. Desta forma,
temos que as coordenadas y e z do gra´fico da func¸a˜o F3
esta˜o contidas no cilindro eliptico reto
x2(t)
4
+
y2(t)
9
= 1,
x ≥ 0, pois x = t ≥ 0. Para finalizar, observe que
a varia´vel x vai aumentando conforme o valor de t vai
crescendo (x = t). Desta forma, temos como gra´fico da
func¸a˜o F3 e´ uma curva que faz uma espiral para frente,
conforme o valor de t aumenta. Este exemplo e´ seme-
lhante ao Exemplo 1.2.8, onde a circunfereˆncia e´ substi-
tuida por uma elipse. O gra´fico de F3 esta´ esboc¸ado na
figura ao lado.
x
y
z
d) Temos que a imagem de F4 e´ o conjunto
Im(F4) = {(cos t, sen t, t) ∈ Rt | t ≥ 0}.
Para esboc¸ar a imagem da func¸a˜o F4, observe que ela e´
muito semelhante ao gra´ficoda func¸a˜o do Exemplo 1.2.8,
onde os pontos da imagem agora pertencem ao cilindro,
no plano xy, x2(t) + y2(t) = 1, z ≥ 0, pois z = t ≥ 0..
Portanto, a projec¸a˜o da imagem da func¸a˜o F4, no plano
xy, e´ a circufereˆncia de centro na origem e raio igual a
um. Ale´m disto, quando o valor de t vai aumentando,
a varia´vel z tambe´m vai aumentando (z = t). Desta
forma, temos como imagem da func¸a˜o F4, uma mola ou
he´lice na vertical (figura ao lado). O gra´fico de F4 e´ o
conjunto
G(F4) = {(t, cos t, sen t, t) ∈ R4 | t ≥ 0}.
Como o gra´fico de F4 esta´ em R4, na˜o podemos esboc¸a´-
lo.
x y
z
♥
Exerc´ıcio 2.6.2: Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` imagem da func¸a˜o F (t) =
(cos t, sen t, t), t ∈ R, no ponto de sua imagem que corresponde a t = pi
2
.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 22
Soluc¸a˜o: Observe que quando t =
pi
2
, temos que
F
(pi
2
)
=
(
cos
(pi
2
)
, sen
(pi
2
)
,
pi
2
)
=
(
0, 1,
pi
2
)
.
Portanto a equac¸a˜o da reta tangente pedida e´ igual a
(x, y, z) = F
(pi
2
)
+ λF ′
(pi
2
)
, λ ∈ R
=
(
0, 1,
pi
2
)
+ λF ′
(pi
2
)
, λ ∈ R.
Desta forma, devemos encontrar F ′
(pi
2
)
. Derivando enta˜o F e calculando F ′
(pi
2
)
,
encontramos
F ′(t) =

x(t) = − sen t
y(t) = cos t
z(t) = 1
⇒ F ′
(pi
2
)
= (−1, 0, 1)
A equac¸a˜o desejada e´ enta˜o
(x, y, z) =
(
1, 0,
pi
2
)
+ λ (−1, 0, 1) , λ ∈ R.
♥
2.7 Apeˆndice: Uma Observac¸a˜o Interessante Sobre a
Derivada
Lembre-se que para uma func¸a˜o f : Dom(f) ⊆ R→ R, sua derivada em um ponto x0
pertencente a um intervalo aberto contido ne domı´nio de f , se existir, fornece o coefi-
ciente linear da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (x0, f(x0). Portanto, em Ca´lculo
1, associa´vamos a diferenciabilidade de uma func¸a˜o f a` suavidade do seu gra´fico. O
que fizemos agora, na˜o foi trabalhar com o gra´fico da func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel
e sim com sua imagem. Vimos uma interpretac¸a˜o geome´trica diferente para a derivada
de func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel, que e´ relacionada a` sua imagem. Portanto, o fato
de uma curva, imagem de uma func¸a˜o vetorial F , apresentar ou na˜o “bicos”, nada mais
tem a ver com a diferenciabilidade da func¸ao vetorial F . Nos dois exemplos abaixo,
ilustraremos situac¸o˜es que mostram que na˜o ha´ relac¸a˜o entre a diferenciabilidade de
uma func¸a˜o vetorial e sua imagem possuir ou na˜o “bicos”. No primeiro exemplo temos
um caso em que uma curva suave pode tanto ser imagem de uma func¸a˜o diferencia´vel
ou na˜o e, no segundo exemplo, vemos um caso em que uma func¸a˜o diferencia´vel possui
uma imagem com “bicos”.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 23
Exemplo 2.7.1: Considere as treˆs func¸o˜es vetoriais abaixo.
F1(t) = (t, t
2), F2(t) = (t
3, t6) e F3 =
{
(t, t2), se t ≥ 0
(t3, t6), se t < 0
.
Determine e esboce a imagem destas func¸o˜es e verifique que F1 e F2 sa˜o diferencia´veis
na origem, enquanto que F3 na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Soluc¸a˜o: Nos treˆs casos acima temos que y(t) = (x(t))2,
de modo que a imagem das treˆs func¸o˜es e´ a para´bola y =
x2, x ∈ R (figura ao lado). Quanto a` diferenciabilidade
destas func¸o˜es, e´ fa´cil ver que
F ′1(t) = (1, 2t) e F2(t) = (3t
2, 6t5),
de modo que
F ′1(0) = (1, 0) e F
′
2(0) = (0, 0).
y
x0
Observe ainda que tanto F1 como F2 sa˜o diferencia´veis na origem, mas que so´ F1 possui
reta tangente na origem (a reta y = 0), uma vez que F ′2(0) = (0, 0). Ja´ em relac¸a˜o a`
func¸a˜o F3, temos que
F ′3(t) =

(1, 2t), se t < 0
6 ∃, se t = 0
(3t2, 6t5), se t < 0
,
pois, o limite lim
h→0
F3(h)− F3(0)
h
na˜o existe, uma vez que os limites laterais sa˜o diferen-
tes. De fato,
lim
h→0+
F3(h)− F3(0)
h
= lim
h→0+
(
h
h
,
h2
h
)
= lim
h→0+
(1, h) = (1, 0)
e
lim
h→0−
F3(h)− F3(0)
h
= lim
h→0−
(
h3
h
,
h6
h
)
= lim
h→0−
(
h2, h5
)
= (0, 0).
♥
Exemplo 2.7.2: Considere as func¸o˜es vetoriais
G1(t) = (t, |t|) e G2(t) = (t|t|, t2), t ∈ R.
Determine e esboce a imagem destas func¸o˜es e verifique que G1 na˜o e´ diferencia´vel na
origem, enquanto que G2 e´ diferencia´vel na origem.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 24
Soluc¸a˜o: Observe que
G2(t) =
{
(−t2, t2), se t < 0
(t2, t2), se t ≥ 0 .
Deste modo, temos que
y(t) =
{ −x(t), se x < 0
x(t), se x ≥ 0 .
y
x0
Portanto, a imagem de G2 e´ dada por y = |x|, x ∈ R. Da mesma forma, como
G1(t) = (t, |t|), ∀x ∈ R, tambe´m temos que y = |x|, x ∈ R, de modo que a imagem
das duas func¸o˜es e´ igual a y = |x|, x ∈ R (figura ao lado). vamos agora estudar a
diferenciabilidade destas func¸o˜es na origem. Quanto a` diferenciabilidade da func¸a˜o G1,
observe que
G′1(t) =

(1,−1), se t < 0
6 ∃, se t = 0
(1, 1), se t < 0
,
pois,
lim
h→0+
G1(h)−G1(0)
h
= lim
h→0+
(
h
h
,
h
h
)
= lim
h→0+
(1, 1) = (1, 1)
e
lim
h→0−
G1(h)−G1(0)
h
= lim
h→0−
(
h
h
,
−h
h
)
= lim
h→0−
(1,−1) = (1,−1).
Como lim
h→0−
G1(h)−G1(0)
h
6= lim
h→0+
G1(h)−G1(0)
h
, temos que na˜o existe lim
h→0
G1(h)−G1(0)
h
,
o que significa que G1 na˜o e´ diferencia´vel na origem.
Quanto a` diferenciabilidade da func¸a˜o G2, observe que
G′2(t) =

(−2t, 2t), se t < 0
(0, 0), se t = 0
(2t, 2t), se t < 0
,
pois,
lim
h→0+
G2(h)−G2(0)
h
= lim
h→0+
(
h2
h
,
h2
h
)
= lim
h→0+
(h, h) = (0, 0)
Ca´lculo 2B - Notas de Aula(em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 25
e
lim
h→0−
G2(h)−G2(0)
h
= lim
h→0−
(
−h
2
h
,
h2
h
)
= lim
h→0−
(−h, h) = (0, 0).
Como lim
h→0−
G2(h)−G2(0)
h
= (0, 0) = lim
h→0+
G1(h)−G1(0)
h
, temos que lim
h→0
G1(h)−G1(0)
h
=
(0, 0), o que significa que G′1(0) = (0, 0).
♥
PARTE 3
FUNC¸O˜ES REAIS DE VA´RIAS
VARIA´VEIS REAIS
3.1 Func¸o˜es Reais de Va´rias Varia´veis Reais
Vamos agora tratar do segundo caso particular de func¸o˜es vetoriais de va´rias varia´veis
reais, F : Dom(F ) ⊆ Rn → Rm, que sa˜o as func¸o˜es reais de va´rias varia´veis reais.
Neste caso, temos que m = 1 e n ≥ 2, i.e. o domı´nio e´ um subconjunto de Rn, n ≥ 2,
enquanto que a imagem e´ um subconjunto da reta .
DEFINIC¸A˜O 3.1.1: DadoDom(f) ⊆ Rn, uma func¸a˜o real f de va´rias varia´veis reais
e´ uma correspondeˆncia, f : Dom(f) ⊆ Rn → R, que a cada ponto X = (x1, x2, ..., xn) ∈
Dom(f), associa um e apenas um y = f(X) ∈ R.
Exemplo 3.1.1: Abaixo temos alguns exemplos de func¸o˜es reais de va´rias varia´veis,
com n = 2 ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)).
a) f(x, y) = 4− (x2 + y2), (x, y) ∈ R2.
b) g(x, y) = xy, (x, y) ∈ R2.
c) h(x, y, z) = x+ y + z, (x, y, z) ∈ R3.
d) w(x, y, z) =
1
x2 + y2 + z2
, (x, y, z) ∈ R3\{(0, 0, 0)}.
Conforme ja´ mencionado, o conjunto Dom(f) e´ chamado de domı´nio da func¸a˜o f .
Ale´m disso, continuaremos abusando da linguagem, conforme mencionado nas aulas
anteriores. Isto e´, quando a func¸a˜o f for dada por sua expressa˜o e fizermos a pergunta:
“qual e´ o domı´nio da func¸a˜o f?” Estaremos de fato perguntando: “qual e´ o maior
subconjunto de Rn no qual f esta´ bem definida?”, ou seja, “qual e´ o maior subconjunto
de Rn no qual a expressa˜o dada por f(X) esta´ bem definida?”
26
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 27
3.2 Operac¸o˜es com Func¸o˜es Reais de Va´rias Varia´-
veis Reais
Definiremos a seguir as usuais operac¸o˜es de soma, diferenc¸a, produto e quociente, da
mesma forma que fizemos para func¸o˜es reais de uma varia´vel.
DEFINIC¸A˜O 3.2.1: Considere as func¸o˜es f, g : D ⊆ Rn → R e a constante k ∈ R.
Neste caso, definimos as seguintesfunc¸o˜es:
a) a func¸a˜o f + g : D ⊆ Rn → R, chamada de soma de f e g, dada por
(f + g)(X) = f(X) + g(X),∀X ∈ D;
b) a func¸a˜o f − g : D ⊆ Rn → R, chamada de diferenc¸a entre f e g, dada por
(f − g)(X) = f(X)− g(X), ∀X ∈ D;
c) a func¸a˜o kf : D ⊆ Rn → R, chamada de produto de f pela constante k, dada por
(kf)(X) = kf(X), ∀X ∈ D;
d) a func¸a˜o fg : D ⊆ Rn → R, chamada de produto de f pela func¸a˜o g, dada por
(fg)(X) = f(X)g(X),∀X ∈ D;
e) se g(X) 6= 0, ∀X ∈ D, a func¸a˜o f
g
: D ⊆ Rn → R, chamada de quociente de f pela
func¸a˜o g, dada por (
f
g
)
(X) =
f(X)
g(X)
,∀X ∈ D.
Vamos agora nos concentrar em func¸o˜es reais de apenas duas varia´veis reais.
3.3 Func¸o˜es Reais de Duas Varia´veis Reais
Vamos trabalhar agora apenas com func¸o˜es reais de duas varia´veis reais. Isto e´, vamos
trabalhar com func¸o˜es f da forma
f : Dom(f) ⊆ R2 → R
(x, y) 7→ f(x, y).
Vamos iniciar identificando e esboc¸ando o domı´nio de algumas func¸o˜es de duas varia´veis
reais.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 28
Exemplo 3.3.1: Determine e esboce o domı´nio das func¸o˜es definidas pelas expresso˜es
abaixo.
a) f1(x, y) =
x+ y
x− y .
b) f2(x, y) =
√
y − x+√1− y.
c) f3(x, y) =
1√
x2 − y2 .
d) f4(x, y) =
√
x2 − y2 − 1.
e) f5(x, y) =
y
x− 1.
f) f6(x, y) = ln(xy − 1).
Soluc¸a˜o:
a) Neste caso, como o termo x − y aparece no denomi-
nador da expressa˜o de f1, devemos ter x− y 6= 0. Desta
forma, segue que
Dom(f1) = {(x, y) ∈ R2 | y 6= x}.
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o e´ todo plano
xy, excetuando a reta y = x (figura ao lado).
y
x
b) Neste caso, para podermos tirar as duas raizes que
aparecem na expressa˜o de f2, devemos ter y − x ≥ 0 e
1− y ≥ 0. Portanto, segue que
Dom(f2) = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x e y ≤ 1}.
Ao lado temos um esboc¸o da regia˜o determinada pelas
retas y = x e y = 1.
y
x
1
c) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na
expressa˜o de f3, devemos ter x
2 − y2 ≥ 0. Ale´m disso,
como o termo
√
x2 − y2 esta´ no denominador da func¸a˜o
f3, e´ necessa´rio ter x
2 − y2 6= 0. Portanto, segue que
Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2 |x2 − y2 > 0}.
Como x2− y2 > 0⇔ y2 < x2 ⇔ |y| < |x| ⇔ −|x| < y <
|x|, temos que
Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2 | − |x| < y < |x|}.
Ao lado temos um esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o f .
y
x
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 29
d) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na
expressa˜o de f4, devemos ter x
2− y2− 1 ≥ 0. Portanto,
segue que
Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2 | x2 − y2 ≥ 1}.
Ao lado temos um esboc¸o da regia˜o determinada pela
hipe´rbole x2 − y2 = 1.
y
x1–1
e) Neste caso, como o termo x − 1 aparece no denomi-
nador da expressa˜o de f5, devemos ter x− 1 6= 0. Desta
forma, segue que
Dom(f5) = {(x, y) ∈ R2 |x 6= 1}.
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o e´ todo plano
xy, excetuando a reta x = 1 (figura ao lado).
y
x1
f) Neste caso, como o termo xy − 1 aparece como argu-
mento do logaritmo natural na expressa˜o de f6, devemos
ter xy − 1 > 0. Desta forma, segue que
Dom(f6) = {(x, y) ∈ R2 |xy > 1}.
Ao lado temos um esboc¸o da regia˜o determinada pela
hipe´rbole xy = 1. (figura ao lado).
y
x
♥
3.4 Exemplos de Func¸o˜es Reais de Duas Varia´veis
Reais
Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func¸o˜es reais de duas varia´veis reais.
Exemplo 3.4.1: (Func¸a˜o Polinomial) Uma func¸a˜o polinomial de duas varia´veis
reais a valores reais e´ uma func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) =
∑
m+n≤p
amnx
nym,
onde p e´ um natural fixo e os coeficientes amn sa˜o nu´meros reais dados. A soma e´
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 30
estendida a todas soluc¸o˜es (m,n), m e n naturais, da inequac¸a˜o m+ n ≤ p.
Exemplo: f(x, y) = 2x5y2 + x2y3.
Exemplo 3.4.2: (Func¸a˜o Afim) Uma func¸a˜o afim de duas varia´veis reais a valores
reais e´ uma func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) = ax+ by + c,
onde a, b e c sa˜o nu´meros reais dados. A func¸a˜o afim e´ um caso particular de uma
func¸a˜o polinomial.
Exemplo: f(x, y) = 2x+ 7y +
√
6.
Exemplo 3.4.3: (Func¸a˜o Linear) Uma func¸a˜o linear de duas varia´veis reais a valores
reais e´ uma func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) = ax+ by,
onde a e b sa˜o nu´meros reais dados. A func¸a˜o linear e´ um caso particular de uma
func¸a˜o afim.
Exemplo: f(x, y) = 2x+
2√
3
y.
Exemplo 3.4.4: (Func¸a˜o Racional) Uma func¸a˜o racional de duas varia´veis reais a
valores reais e´ uma func¸a˜o f : Dom(f) ⊆ R2 → R dada por
f(x, y) =
p(x, y)
q(x, y)
,
onde p e q sa˜o func¸o˜es polinomiais dadas. Temos, neste caso, que Dom(f) = {(x, y) ∈
R3 | q(x, y) 6= 0}.
Exemplo: f(x, y) =
x2y2 + 7y3
xy + x
. Observe que
Dom(f) = {(x, y) ∈ R2 |x(y + 1) 6= 0}
= {(x, y) ∈ R2 |x 6= 0 e y 6= −1}
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o e´ todo plano
xy, excetuando as retas x = 0 e y = −1 (figura ao lado).
y
x1
3.5 Curvas de Nı´vel de Func¸o˜es Reais de Duas Varia´veis
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 31
Seja f : Dom(f) ⊆ R2 → R. Conforme ja´ sabemos, dado k ∈ Im(f), temos que o
conjunto de n´ıvel da func¸a˜o f correspondente ao n´ıvel k e´ o subconjunto do domı´nio
dado por
Ck(f) = {(x, y) ∈ Dom(f) | f(x, y) = k}.
No caso em questa˜o, que e´ o das func¸o˜es reais de duas varia´veis reais, os conjuntos de
n´ıvel de f sa˜o de fato curvas, as quais sa˜o portanto chamadas de curvas de n´ıvel de
f . Conforme mencionado, as curvas de n´ıvel sa˜o muito u´teis para se ter uma visa˜o do
comportamento da func¸a˜o. Isto porque elas nos fornecem todos os pontos do domı´nio
tais que o valor da func¸a˜o e´ constante. Desta forma, se tive´ssemos todas as curvas
de n´ıvel k poder´ıamos construir o gra´fico de f “pegando”cada curva de n´ıvel de f e
colocando na altura z = k.
Observac¸a˜o 3.5.1: Como sabemos que f e´ constante ao longo das curvas de n´ıvel,
observe que duas curvas de n´ıvel de uma func¸a˜o f correspondentes aos n´ıveis k1 e k2,
onde k1 6= k2, na˜o podem se interceptar.
Vamos agora fazer alguns exemplos.
Exemplo 3.5.1: Determine e esboce as curvas de n´ıvel das func¸o˜es dadas abaixo.
a) f1(x, y) = x+ y.
b) f2(x, y) = x
2 + y2.
c) f3(x, y) =
y
x− 1.
d) f4(x, y) = ln(xy − 1).
e) f5(x, y) = y
2 − x2.
f) f6(x, y) =
xy2
x2 + y4
.
Soluc¸a˜o:
a) Neste caso, observe que Dom(f1) = R2 e que Im(f1) = R. Desta forma, temos que
para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f1 e´ dado por
Ck(f1) = {(x, y) ∈ R2 |x+ y = k},
ou seja, as curvas de n´ıvel k de f1 sa˜o retas x+ y = k. Por exemplo,
para k = 0, temos a reta y = −x;
para k = 1, temos a reta y = −x+ 1;
para k = 2, temos a reta y = −x+ 2;
para k = −1, temos a reta y = −x− 1;
para k = −2, temos a reta y = −x− 2.
As curvas de n´ıvel de f1 encontram-se esboc¸adas abaixo. A curva de n´ıvel k = 0 esta´
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 32
esboc¸ada em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 esta˜o esboc¸adas em verde e as curvas de
n´ıvel k < 0 esta˜o esboc¸adas em rosa.
y
x
b) Neste caso, observe que Dom(f2) = R2 e que Im(f2) = {z ∈ R | z ≥ 0}. Desta
forma, temos que para todo k ≥ 0 real, o conjunto de n´ıvel k de f2 e´ dado por
Ck(f2) = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 = k}.
Observe que para k = 0, temos apenas o ponto (0, 0), i.e. C0(f2) = {(0, 0)}. Ja´ para
k > 0, temos que as curvas de n´ıvel k > 0 de f2 sa˜o circunfereˆncias x
2 + y2 = k, i. e.
circunfereˆncias de raio
√
k e centro na origem. Por exemplo,
para k = 1, temos a circunfereˆncia x2 + y2 = 1;
para k = 2, temos a circunfereˆncia x2 + y2 = 2;
para k = 3, temos a circunfereˆncia x2 + y2 = 3;
para k = 4, temos a circunfereˆncia x2 + y2 = 4.
As curvas de n´ıvel de f2 encontram-se esboc¸adas abaixo.A curva de n´ıvel k = 0 (a
origem) esta´ esboc¸ada em azul e as curvas de n´ıvel k > 0 esta˜o esboc¸adas em verde.
y
x
c) Neste caso, observe que
Dom(f3) = {(x, y) ∈ R2 |x 6= 1}
e que Im(f3) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de
f3 e´ dado por
Ck(f3) = {(x, y) ∈ Dom(f3) | y = k(x− 1)},
ou seja, as curvas de n´ıvel k de f3 sa˜o retas y = k(x− 1). Por exemplo,
para k = 0, temos a reta y = 0;
para k = 1, temos a reta y = x− 1;
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 33
para k = 2, temos a reta y = 2x− 2;
para k = −1, temos a reta y = −x+ 1;
para k = −2, temos a reta y = −2x+ 2.
As curvas de n´ıvel de f3 encontram-se esboc¸adas abaixo. As curvas de n´ıvel k = 0
(semi-retas) esta˜o esboc¸adas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 (semi-retas) esta˜o
esboc¸adas em verde e as curvas de n´ıvel k < 0 (semi-retas) esta˜o esboc¸adas em rosa.
y
x
d) Neste caso, observe que
Dom(f4) = {(x, y) ∈ R2 | xy > 1}
e que Im(f4) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de
f4 e´ dado por
Ck(f4) = {(x, y) ∈ Dom(f4) | ln(xy − 1) = k}.
Como ln(xy− 1) = k ⇔ xy− 1 = ek ⇔ xy = 1+ ek, temos que as curvas de n´ıvel k de
f sa˜o hipe´rboles xy = 1 + ek. Por exemplo,
para k = 0, temos a hipe´rbole xy = 2;
para k = 1, temos a hipe´rbole xy = 1 + e;
para k = 2, temos a hipe´rbole xy = 1 + e2;
para k = −1, temos a hipe´rbole y = xy = 1 + 1
e
;
para k = −2, temos a hipe´rbole y = xy = 1 + 1
e2
.
As curvas de n´ıvel de f4 encontram-se esboc¸adas abaixo. As curvas de n´ıvel k = 0
esta˜o esboc¸adas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 esta˜o esboc¸adas em verde e as curvas
de n´ıvel k < 0 esta˜o esboc¸adas em rosa.
y
x
e) Neste caso, observe que Dom(f5) = R2 e que Im(f5) = R. Desta forma, temos que
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 34
para todo k real, o conjunto de n´ıvel k de f5 e´ dado por
Ck(f5) = {(x, y) ∈ R2 | y2 − x2 = k}.
Observe que para k = 0, temos que y2 − x2 = 0 ⇔ y2 = x2 ⇔ |y| = |x| ⇔ y = ±x,
i.e. as curvas de n´ıvel zero sa˜o as retas y = x e y = −x. Ja´ para k > 0, temos que as
curvas de n´ıvel k > 0 de f5 sa˜o hipe´rboles y
2 − x2 = k > 0, i. e. hipe´rboles cujos focos
esta˜o no eixo y. Contudo, para k < 0, temos que as curvas de n´ıvel k < 0 de f5 sa˜o
hipe´rboles y2 − x2 = k < 0, i. e. hipe´rboles cujos focos esta˜o no eixo x. Por exemplo,
para k = 0, temos as retas y = x e y = −x;
para k = 1, temos a hipe´rbole y2 − x2 = 1;
para k = 2, temos a hipe´rbole y2 − x2 = 2;
para k = −1, temos a hipe´rbole x2 − y2 = 1;
para k = −2, temos a hipe´rbole x2 − y2 = 2.
As curvas de n´ıvel de f5 encontram-se esboc¸adas abaixo. As curvas de n´ıvel k = 0
(retas) esta˜o esboc¸adas em azul, as curvas de n´ıvel k > 0 esta˜o esboc¸adas em verde e
as curvas de n´ıvel k < 0 esta˜o esboc¸adas em rosa.
y
x
f) Neste caso, observe que Dom(f6) = R2\{(0, 0)}. Ja´ a imagem de f6, vamos deter-
minar mais tarde. Desta forma, temos que para todo k ∈ Im(f6), o conjunto de n´ıvel
k de f6 e´ dado por
Ck(f6) =
{
(x, y) ∈ Dom(f6)
∣∣∣ xy2
x2 + y4
= k
}
.
Observe que k = 0 ∈ Im(f6), e que o conjunto de n´ıvel 0 de f6 e´ dado por
C0(f6) = {(x, y) ∈ Dom(f6) |x = 0 ou y = 0}.
Desenvolvendo enta˜o a igualdade
xy2
x2 + y4
= k, para k 6= 0, temos que
xy2
x2 + y4
= k ⇔ xy2 = kx2 + ky4 ⇔ kx2 − y2x+ ky4 = 0.
Resolvendo a equac¸a˜o acima em x, segue que
x =
y2 ± y2√1− 4k2
2k
.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 35
De posse deste resultado, fica claro que Im(f6) =
[
−1
2
,
1
2
]
. Sendo assim, para k ∈[
−1
2
,
1
2
]
, k 6= 0, temos que o conjunto de n´ıvel k de f6 e´ dado por
Ck(f6) =
{
(x, y) ∈ Dom(f6)
∣∣∣ x = y2(1± 1√1− 4k2
2k
)}
,
ou seja, as curvas de n´ıvel k(k 6= 0) de f6 sa˜o as para´bolas x = y2
(
1± 1√1− 4k2
2k
)
,
com (x, y) 6= (0, 0). Por exemplo,
para k = 1/2, temos a para´bola x = y2;
para k = 1/3, temos as para´bolas x = y2
(
3 +
√
5
2
)
e x = y2
(
3−√5
2
)
;
para k = 1/4, temos as para´bolas x = y2
(
4 +
√
12
2
)
e x = y2
(
4−√12
2
)
;
para k = −1/2, temos a para´bola x = −y2;
para k = −1/3, temos as para´bolas x = −y2
(
3 +
√
5
2
)
e x = −y2
(
3−√5
2
)
;
para k = −1/4, temos as para´bolas x = −y2
(
4 +
√
12
2
)
e x = −y2
(
4−√12
2
)
;
As curvas de n´ıvel de f6 encontram-se esboc¸adas abaixo.
y
x
Vamos agora passar aos gra´ficos de func¸o˜es reais de duas varia´veis. Portanto, e´ inter-
essante que voceˆ fac¸a uma revisa˜o de planos, cilindros, esferas, superf´ıcies de revoluc¸a˜o
e superf´ıcies qua´dricas em geral. Na Parte 4, temos uma revisa˜o destes to´picos. Na˜o
deixe de estuda´-los.
3.6 Gra´ficos de Func¸o˜es Reais de Duas Varia´veis
Seja f : Dom(f) ⊆ R2 → R. Conforme ja´ sabemos, temos que o gra´fico da func¸a˜o f e´
o subconjunto de R3 dado por
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 36
G(f) = {(x, y, f(x, y)) ∈ R3 | (x, y) ∈ Dom(f)}.
No caso em questa˜o, que e´ o das func¸o˜es reais de duas varia´veis reais, atente para o
fato de que os gra´ficos destas func¸o˜es esta˜o em R3.
A representac¸a˜o geome´trica do gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis e´ uma tarefa
dif´ıcil. Por isto, em alguns casos nos contentamos com as curvas de n´ıvel. Vamos agora
fazer alguns exemplos que na˜o esta˜o entre os mais dif´ıceis.
Exemplo 3.6.1: Determine e esboce os gra´ficos das func¸o˜es dadas abaixo. Use as
curvas de n´ıvel encontradas no Exemplo 3.5.1, se achar necessa´rio.
a) h1(x, y) = x+ y.
b) h2(x, y) = x
2 + y2.
c) h3(x, y) = y
2 − x2.
d) h4(x, y) = e
−(x2+y2).
e) h5(x, y) = 1− y2.
f) h6(x, y) =
y
x− 1.
g) h7(x, y) = ln(xy − 1).
Soluc¸a˜o:
a) Temos que o gra´fico de h1 e´ dado por
G(h1) = {(x, y, x+ y) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Temos portanto que o gra´fico da func¸a˜o e´ o plano
z = x+ y,
que e´ o plano que conte´m a origem e e´ perpendicular aos
vetores (1, 1,−1) e (−1,−1, 1) (figura ao lado).
x
y
z
b) Temos que o gra´fico de h2 e´ dado por
G(h2) = {(x, y, x2 + y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Temos portanto que o gra´fico da func¸a˜o e´ o parabolo´ide
z = x2 + y2 (figura ao lado).
x
y
z
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 37
c) Temos que o gra´fico de h3 e´ dado por
G(h3) = {(x, y, y2 − x2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2}.
Temos portanto que o gra´fico da func¸a˜o e´ o parabolo´ide
hiperbo´lico z = y2 − x2 (figura ao lado).
x
y
z
d) Temos que o gra´fico de h4 e´ dado por
G(h4) =
{(
x, y, e−(x
2+y2)
)
∈ R3 | (x, y) ∈ R2
}
.
Neste caso, observe que, as varia´veis x e y so´ aparece na
forma (
√
x2 + y2)2. Estamos portanto diante de uma
superf´ıcie de revoluc¸a˜o. Desta forma, para descobrir a
func¸a˜o z = f(y) (ou z = f(x)), cuja rotac¸a˜o do gra´fico
resultou na superf´ıcie em questa˜o, vamos substituir o
termo (x2 + y2) na expressa˜o de h4 por y
2 (ou por x2).
Encontramos assim, a func¸a˜o z2 = f(y) = e−y
2
. Temos
enta˜o, que o gra´fico de h4 e´ a superf´ıcie gerada pela
rotac¸a˜o da curva z2 = e−y
2
, no plano yz, em torno do
eixo z (ou, o que da´ no mesmo, a rotac¸a˜o da curva z2 =
e−x
2
, no plano xz, em torno do eixo z) (figura ao lado).
x
y
z
d) Temos que o gra´fico de h5 e´ dado por
G(h5) =
{(
x, y, 1− y2) ∈ R3 | (x, y) ∈ R2} .
Neste caso, observe que, no plano yz, a equac¸a˜o z =
1− y2, e´ a equac¸a˜o de uma para´bola. Portanto, em R3,
a equac¸a˜o z = 1 − y2 e´ a equac¸a˜o de um cilindro cuja
diretriz e´ a para´bola z = 1 − y2, no plano yz, e cuja
geratriz e´ paralela ao eixo x. Este cilindro e´ chamado
de cilindro parabo´lico (figura ao lado).
x y
z
Ca´lculo 2B - Notasde Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 38
f) Temos que o gra´fico de h6 e´ dado por
G(h6) =
{(
x, y,
y
x− 1
)
∈ R3 |x 6= 1
}
.
Lembre-se que vimos no Exemplo 3.3.1 (e) que
Dom(h6) = {(x, y) ∈ R2 |x 6= 1}. Na figura ao lado
temos o gra´fico esboc¸ado pelo Maple V. Embora seja
dif´ıcil visualizar, a reta dada pela intersec¸a˜o dos planos
x = 1 e y = 0 na˜o pertence ao gra´fico da func¸a˜o
e, quanto mais o valor de x se aproxima de 1, maior
fica o valor da func¸a˜o. Imagine mais ou menos uma
“vareta”que ao mesmo tempo que gira em torno da
reta x = 1, y = 0, vai levantando uma extremidade
e abaixando a outra.
x
y
z
g) Temos que o gra´fico de h7 e´ dado por
G(h7) = {(x, y, ln(xy − 1)) ∈ R3 | (x, y) ∈ Dom(f4)}.
Lembre-se que vimos no Exemplo 3.3.1 (f) que
Dom(h7) = {(x, y) ∈ R2 | xy > 1}. Na figura ao lado
temos o esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
x
y
z
♥
Vamos agora nos concentrar em func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais.
3.7 Func¸o˜es Reais de Treˆs Varia´veis Reais
Vamos estudar agora com mais detalhes as func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais. Isto e´,
func¸o˜es f da forma
f : Dom(f) ⊆ R3 → R
(x, y, z) 7→ f(x, y, z).
Vamos iniciar identificando e esboc¸ando o domı´nio de algumas func¸o˜es de duas varia´veis
reais.
Exemplo 3.7.1: Determine e esboce o domı´nio das func¸o˜es definidas pelas expresso˜es
abaixo.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 39
a) f1(x, y, z) =
√
1− x2 − y2 − z2.
b) f2(x, y, z) =
√
1− z.
c) f3(x, y, z) =
1√
1− x− y − z , x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.
Soluc¸a˜o:
a) Neste caso, para podermos tirar a raiz de 1 − x2 −
y2 − z2 que aparece na expressa˜o de f1, devemos ter
1− x2 − y2 − z2 ≥ 0. Desta forma, segue que
Dom(f1) = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 + z2 ≤ 1}.
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o e´ a esfera x2+
y2 + z2 = 1 e seu interior (figura ao lado).
x
y
z
b) Neste caso, para podermos tirar a raiz de 1 − z que
aparece na expressa˜o de f2, devemos ter 1 − z ≥ 0.
Portanto, segue que
Dom(f2) = {(x, y, z) ∈ R3 | z ≤ 1}.
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o f2 e´ a regia˜o
do espac¸o abaixo do plano z = 1, incluindo o pro´prio
plano z = 1.
x
y
1
z
c) Neste caso, para podermos tirar a raiz de 1−x−y−z
que aparece na expressa˜o de f3, devemos ter 1−x− y−
z ≥ 0. Ale´m disso, como o termo√1− x− y − z esta´ no
denominador da func¸a˜o f3, e´ necessa´rio ter 1−x−y−z 6=
0. Portanto, segue que
Dom(f3) = {(x, y, z) ∈ R3 |x+y+z < 1, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0}.
Temos portanto que o domı´nio da func¸a˜o f3 e´ a regia˜o
do primeiro octante limitada pelo do plano x+y+z = 1,
excluindo o pro´prio plano x+ y + z = 1.
x
y
1
1
1
z
♥
3.8 Exemplos de Func¸o˜es Reais de Treˆs Varia´veis
Reais
Veremos a seguir exemplos de alguns tipos de func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais.
Exemplo 3.8.1: (Func¸a˜o Polinomial) Uma func¸a˜o polinomial de treˆs varia´veis reais
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 40
a valores reais e´ uma func¸a˜o f : R3 → R dada por
f(x, y, z) =
∑
m+n+k≤p
amnkx
nymzk,
onde p e´ um natural fixo e os coeficientes amnk sa˜o nu´meros reais dados. A soma e´
estendida a todas soluc¸o˜es (m,n, k), m, n e k naturais, da inequac¸a˜o m+ n+ k ≤ p.
Exemplo: f(x, y, z) = 2x5y2z + x2y3z3 + z2.
Exemplo 3.8.2: (Func¸a˜o Afim) Uma func¸a˜o afim de treˆs varia´veis reais a valores
reais e´ uma func¸a˜o f : R3 → R dada por
f(x, y, z) = ax+ by + cz + d,
onde a, b, c e d sa˜o nu´meros reais dados.
Exemplo: f(x, y, z) = 2x+ 7y +
√
5
7
z + 3.
Exemplo 3.8.3: (Func¸a˜o Linear) Uma func¸a˜o linear de treˆs varia´veis reais a valores
reais e´ uma func¸a˜o f : R3 → R dada por
f(x, y, z) = ax+ by + cz,
onde a, b e c sa˜o nu´meros reais dados.
Exemplo: f(x, y, z) = 2x+
2√
3
y + z.
Exemplo 3.8.4: (Func¸a˜o Racional) Uma func¸a˜o racional de treˆs varia´veis reais a
valores reais e´ uma func¸a˜o f : Dom(f) ⊆ R3 → R dada por
f(x, y, z) =
p(x, y, z)
q(x, y, z)
,
onde p e q sa˜o func¸o˜es polinomiais dadas. Temos, neste caso, queDom(f) = {(x, y, z) ∈
R3 | q(x, y, z) 6= 0}.
Exemplo: f(x, y, z) =
x2y2 + 7y3 + z2
xy + xz
. Neste caso, observe que
Dom(f) = {(x, y, z) ∈ R3 |xy + xz 6= 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 |x(y + z) 6= 0}
= {(x, y, z) ∈ R3 |x 6= 0 e y + z 6= 0}.
Portanto, o domı´nio de f e´ todo R3, menos o plano x = 0 e plano y + z = 0.
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 41
3.9 Superf´ıcies de Nı´vel de Func¸o˜es Reais de Treˆs
Varia´veis
Seja f : Dom(f) ⊆ R3 → R. Conforme ja´ sabemos, dado k ∈ Im(f), temos que o
conjunto de n´ıvel da func¸a˜o f correspondente ao n´ıvel k e´ o subconjunto do domı´nio
dado por
Sk(f) = {(x, y, z) ∈ Dom(f) | f(x, y, z)) = k}.
No caso em questa˜o, que e´ o das func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais, os conjuntos de
n´ıvel de f sa˜o de fato superf´ıcies, as quais sa˜o portanto chamadas de superf´ıcies de
n´ıvel de f .
Observac¸a˜o 3.9.1: Como sabemos que f e´ constante ao longo das superf´ıcies de n´ıvel,
observe que duas superf´ıcies de n´ıvel de uma func¸a˜o f correspondentes aos n´ıveis k1 e
k2, onde k1 6= k2, na˜o podem se interceptar.
Vamos agora fazer alguns exemplos.
Exemplo 3.9.1: Determine e esboce as superf´ıcies de n´ıvel das func¸o˜es dadas abaixo.
a) h1(x, y, z) = x.
b) h2(x, y, z) = x
2 + y2.
c) h3(x, y, z) = x
2 + 4y2 + z2.
e) h4(x, y, z) =
1√
1− x− y − z , x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0.
d) h5(x, y, z) = x
2 + y2 − z2.
Soluc¸a˜o:
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 42
a) Neste caso, observe que Dom(h1) = R3 e que
Im(h1) = R. Desta forma, temos que para todo k real,
as superf´ıcies de h1 correspondentes ao n´ıvel k sa˜o dadas
por
Sk(h1) = {(x, y, z) ∈ R3 |x = k},
ou seja, as superf´ıcies de n´ıvel de h1 sa˜o planos paralelos
ao plano yz. Por exemplo,
para k = 0, temos o plano x = 0;
para k = 1, temos o plano x = 1;
para k = 2, temos o plano x = 2;
para k = −1, temos o plano x = −1;
para k = −2, temos o plano x = −2.
As superf´ıcies de n´ıvel de h1 encontram-se esboc¸adas ao
lado.
x
y
z
b) Neste caso, observe que Dom(h2) = R3 e que a im-
agem de h2 e´
Im(h2) = {k ∈ R | k ≥ 0}.
Desta forma, temos que para todo k ≥ 0, as superf´ıcies
de n´ıvel de h2 correspondentes ao n´ıvel k sa˜o dadas por
Sk(h2) = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 = k}.
Observe que para k = 0, temos que a superf´ıcie de
n´ıvel de h2 e´ da forma x
2 + y2 = 0, o que corresponde
ao eixo z. Ja´ para cada k > 0, temos que a superf´ıcie
de n´ıvel de h2 correspondente ao n´ıvel k e´ da forma
x2+y2 = k > 0, o que corresponde a cilindros circulares
concentricos (figura ao lado). De fato, por exemplo
para k = 0, temos x2 + y2 = 0 ⇔ x = 0 e y = 0, que e´
a reta (x, y, z) = (0, 0, z), z ∈ R;
para k = 1, temos o cilindro x2 + y2 = 1;
para k = 2, temos o cilindro x2 + y2 = 2;
para k = 3, temos o cilindro x2 + y2 = 3.
x
y
z
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 43
c) Neste caso, observe que Dom(h3) = R3 e que a im-
agem de h3 e´
Im(h3) = {k ∈ R | k ≥ 0}.
Desta forma, temos que para todo k ≥ 0, as superf´ıcies
de n´ıvel de h3 correspondentes ao n´ıvel k sa˜o dadas por
Sk(h3) = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + 4y2 + z2 = k}.
Observe que para k = 0, temos que a superf´ıcie de n´ıvel
de h3 se degenera em apenas um ponto, que e´ a origem
(0, 0, 0). Ja´ para cada k > 0, temos que a superf´ıcie
de n´ıvel de h3 correspondente ao n´ıvel k e´ da forma
x2 + 4y2 + z2 = k > 0, o que corresponde a elipso´ides
concentricos (figura ao lado). De fato, por exemplo
para k = 0, temos x2 + 4y2 + z2 = 0 ⇔ x = 0, y = 0 e
z = 0, que e´ a origem (0, 0, 0);
para k = 1, temos o elipso´ide x2 + 4y2 + z2 = 1;
para k = 2, temos o elipso´ide x2 + 4y2 + z2 = 2;
parak = 3, temos o elipso´ide x2 + 4y2 + z2 = 3.
x y
z
d) Neste caso, observe que
Dom(h4) = {(x, y, z) ∈ R3 | x+ y + z < 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}
e que a imagem de h4 e´
Im(h4) = {k ∈ R | k > 1}.
De fato, como x + y + z < 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, temos que 0 < x + y + z < 1 ⇔
−1 < −x − y − z < 0 ⇔ 0 < 1 − x − y − z < 1, de modo que 1
1− x− y − z > 1 e,
portanto,
1√
1− x− y − z > 1. Desta forma, temos que para todo k > 1, as superf´ıcies
de n´ıvel de h4 correspondentes ao n´ıvel k sa˜o dadas por
Sk(h4) =
{
(x, y, z) ∈ Dom(h4)
∣∣∣∣ 1√1− x− y − z = k
}
=
{
(x, y, z) ∈ Dom(h4)
∣∣∣∣√1− x− y − z = 1k
}
=
{
(x, y, z) ∈ Dom(h4)
∣∣∣∣ 1− x− y − z = 1k2
}
=
{
(x, y, z) ∈ Dom(h4)
∣∣∣∣ x+ y + z = 1− 1k2
}
Portanto, temos que as superf´ıcies de n´ıvel de h4 correspondentes ao n´ıvel k (k > 1)
sa˜o da forma x + y + z = 1 − 1
k2
, o que corresponde a planos paralelos ao plano
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 44
x+ y + z = 1, contidos no tetraedro x+ y + z < 1, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 (excetuando a
face x+ y + z = 1) (figura abaixo). De fato, por exemplo,
para k = 1, temos x+ y + z = 0 ⇔ x = 0, y = 0 e z = 0, pois x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0;
para k = 2, temos o plano x+ y + z = 1− 1
4
;
para k = 3, temos o plano x+ y + z = 1− 1
9
;
para k = 4, temos o plano x+ y + z = 1− 1
16
.
x
1
y
1
1
z
e) Neste caso, observe que Dom(h5) = R3 e que
Im(h5) = R. Desta forma, temos que para todo k real,
as superf´ıcies de n´ıvel de h5 correspondentes ao n´ıvel k
sa˜o da forma
Sk(h5) = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y2 − z2 = k}.
Portanto, vamos ter treˆs casos diferentes:
– para k = 0, temos que as superf´ıcie de n´ıvel de h5 e´ o
cone x2 + y2 − z2 = 0;
– para cada k > 0, temos que a superf´ıcie de n´ıvel de h5
correspondente ao n´ıvel k e´ da forma x2+ y2− z2 = |k|.
Temos assim, que as superf´ıcies de n´ıvel de h5 sa˜o
hiperbolo´ides de duas folhas;
– para cada k < 0, temos que a superf´ıcie de n´ıvel de h5
correspondente ao n´ıvel k e´ da forma z2− x2− y2 = |k|.
Temos assim, que as superf´ıcies de n´ıvel de h5 sa˜o
hiperbolo´ides de uma folha.
x
y
z
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 45
x
y
z
x
y
z
x
y
z
3.10 Gra´ficos de Func¸o˜es Reais de Treˆs Varia´veis
Seja f : Dom(f) ⊆ R3 → R. Conforme ja´ sabemos, temos que o gra´fico da func¸a˜o f e´
o subconjunto de R4 dado por
G(f) = {(x, y, z, f(x, y, z)) ∈ R4 | (x, y, z) ∈ Dom(f)}.
No caso em questa˜o, que sa˜o o das func¸o˜es reais de treˆs varia´veis reais, atente para o
fato de que os gra´ficos destas func¸o˜es esta˜o em R4, de modo que na˜o e´ poss´ıvel esboc¸a´-
los.
Exemplo 3.10.1: Determine o gra´fico da func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2.
Soluc¸a˜o: G(f) = {(x, y, z, x2 + y2) ∈ R4 | (x, y, z) ∈ R3}.
3.11 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 3.11.1: Determine e esboce as curvas de n´ıvel da func¸a˜o f(x, y) = ex
2y.
Resposta: Temos que Dom(f)R2 e Im(f) = (0,∞). As curvas de n´ıvel k, para k.0,
sa˜o dadas por
Ck(f) = {(x, y) ∈ R2 | ex2y = k}
= {(x, y) ∈ R2 |x2y = ln k}.
Observe que se k = 1, temos que x2y = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0. Portanto, as curvas de
n´ıvel 1 de f sa˜o os eixos coordenados. Se 0 < k < 1 ou se k > 1, as curvas de n´ıvel de
f sa˜o dadas pela equac¸a˜o y =
ln k
x2
. Note que se 0 < k < 1, ln k < 0, de modo que as
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 46
curvas esta˜o abaixo do eixo x e se k > 1, ln k > 0, de modo que as curvas esta˜o acima
do eixo x. Abaixo temos um esboc¸o das curvas de n´ıvel.
As curvas de n´ıvel k = 1 (eixos coordenados) esta˜o esboc¸adas em azul, as curvas de n´ıvel
k > 1 esta˜o esboc¸adas em verde e as curvas de n´ıvel 0 < k < 1 esta˜o esboc¸adas em rosa.
y
x
PARTE 4
REVISA˜O DE PLANOS, CILINDROS,
SUPERFI´CIES DE REVOLUC¸A˜O,
ESFERAS E SUPERFI´CIES
QUA´DRICAS EM GERAL
(Leitura para Casa)
Vamos agora fazer uma revisa˜o de planos, cilindros, superf´ıcies de revoluc¸a˜o, esferas e
superf´ıcies qua´dricas em geral.
4.1 Revisa˜o de Planos
Dado um ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a um plano que e´ perpendicular ao vetor
na˜o-nulo ~v = (a, b, c), temos que um ponto P = (x, y, z) pertence a este plano se e
somente se o vetor
−→
P0P for perpendicular ao vetor ~v. Em outras palavras, P pertence
ao plano se e somente se
~v·
−→
P0P= 0.
Como
−→
P0P= (x− x0, y − y0, z − z0), temos que P pertence ao plano se e somente se
(a, b, c) · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0,
o que equivale a
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.
Temos assim que a equac¸a˜o do plano que conte´m o ponto P0 = (x0, y0, z0) e e´ perpen-
dicular ao vetor na˜o-nulo ~v = (a, b, c) e´ dado por
a(x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.
Observe ainda que a equac¸a˜o acima pode ser escrita como
ax+ by + cz = d,
onde d = ax0 + by0 + cz0. Reciprocamente, e´ fa´cil verificar que toda equac¸a˜o da forma
ax + by + cz = d, se a, b e c na˜o forem todos nulos, representa um plano cujo vetor
47
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 48
normal e´ dado por (a, b, c).
4.2 Revisa˜o de Cilindros
Dada uma curva C em um plano e uma reta l que na˜o esta´ contida no plano da curva
C, chamamos o conjunto de pontos formado por todas as retas que interceptam C e
sa˜o paralelas a l de cilindro.
A curva C e´ chamada de diretriz do cilindro e a cada reta paralela a l que intercepta
C e´ chamada de geratriz.
O cilindro que mais estamos acostumados e´ aquele obtido tomando-se como curva C
uma circunfereˆncia no plano xy e como l uma reta perpendicular a este plano. Este
cilindro e´ conhecido como cilindro circular reto. De um modo geral, trabalhamos com
mais frequeˆncia com cilindros cuja curva diretriz C esta´ contida em um dos planos
coordenados e a reta geratriz l e´ perpendicular ao plano coordenado que conte´m C.
Observe que, nesta situac¸a˜o, a curva C e´ func¸a˜o apenas duas varia´veis. Desta forma,
temos que a superf´ıcie em R3 cuja equac¸a˜o conte´m apenas as varia´veis x e y e´ um
cilindro cuja geratatriz e´ paralela ao eixo z. Da mesma forma, temos que a superf´ıcie
em R3 cuja equac¸a˜o conte´m apenas as varia´veis x e z e´ um cilindro cuja geratriz e´
paralela ao eixo y. E, finalmente, temos que a superf´ıcie em R3 cuja equac¸a˜o conte´m
apenas as varia´veis y e z e´ um cilindro cuja geratriz e´ paralela ao eixo x.
Observe que se a “curva”C for, por exemplo, a reta ax + by = c, o “cilindro”gerado
trata-se de um plano cujo vetor perpendicular e´ o vetor (a, b, 0). Desta forma, podemos
ver os planos como “cilindros”especiais.
Exemplo 4.2.1: Esboce as superf´ıcies em R3 dadas pelas equac¸o˜es abaixo.
a)
x2
4
+ y2 = 1
b) y = x2
c) z = 3
√
x
d) z = sen y
e) z = |x|
Soluc¸a˜o:
a) Neste caso, observe que, no plano xy, a equac¸a˜o
x2
4
+ y2 = 1, e´ a equac¸a˜o de uma
elipse com centro na origem e a = 2 e b = 1. Portanto, em R3, a equac¸a˜o
x2
4
+y2 = 1 e´ a
equac¸a˜o de um cilindro cuja diretriz e´ a elipse
x2
4
+y2 = 1, no plano xy, e cuja geratriz
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 49
e´ paralela ao eixo z. Este cilindro e´ chamado de cilindro eliptico (figuras abaixo).
y
x
x y
z
b) Neste caso, observe que, no plano xy, a equac¸a˜o y = x2, e´ a equac¸a˜o de uma
para´bola. Portanto, em R3, a equac¸a˜o y = x2 e´ a equac¸a˜o de um cilindro cuja diretriz
e´ a para´bola y = x2, no plano xy, e cuja geratriz e´ paralela ao eixo z. Este cilindro e´
chamado de cilindro parabo´lico (figura ao lado).
y
x
x y
z
c) Neste caso, observe que, no plano xz, a equac¸a˜o z = 3
√
x, e´ a equac¸a˜o de uma raiz
cu´bica. Portanto, em R3, a equac¸a˜o z = 3
√
x e´ a equac¸a˜o de um cilindro cuja diretriz
e´ a raiz cu´bica z = 3
√
x, no plano xz, e cuja geratrize´ paralela ao eixo y. (figuras
abaixo).
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 50
z
x
y
x
z
d) Neste caso, observe que, no plano yz, a equac¸a˜o z = sen y, e´ a equac¸a˜o de uma
seno´ide. Portanto, em R3, a equac¸a˜o z = sen y e´ a equac¸a˜o de um cilindro cuja diretriz
e´ a seno´ide z = sen y, no plano xz, e cuja geratriz e´ paralela ao eixo x. (figura ao
lado).
z
y
x y
z
e) Neste caso, observe que, no plano xz, a equac¸a˜o z = |x|, e´ a equac¸a˜o da func¸a˜o
mo´dulo. Portanto, em R3, a equac¸a˜o z = |x| e´ a equac¸a˜o de um cilindro cuja diretriz
e´ o gra´fico da func¸a˜o mo´dulo y = x2z = |x|, no plano xy, e cuja geratriz e´ paralela ao
eixo y (figura ao lado).
z
x
yx
z
♥
4.3 Revisa˜o de Superf´ıcies de Revoluc¸a˜o
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 51
Um outro tipo de superf´ıcies comumente encontradas sa˜o as superf´ıcies de revoluc¸a˜o.
Uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´ uma superf´ıcie obtida pela rotac¸a˜o de uma curva plana
C ( C esta´ contida em um plano), no espac¸o, em torno de uma reta l, contida no plano
da curva. A reta l e´ chamada de eixo de revoluc¸a˜o ou rotac¸a˜o. Neste caso, observe
que as intersec¸o˜es de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o com planos perpendiculares ao eixo
de revoluc¸a˜o, quando na˜o e´ vazia, fornecem pontos ou circunfereˆncias. Portanto, se a
superf´ıcie de revoluc¸a˜o e´ o gra´fico de uma func¸a˜o, temos que suas curvas de n´ıvel ou
sa˜o pontos ou sa˜o circunfereˆncias.
Vamos apenas tratar aqui de algumas superf´ıcies de revoluc¸a˜o de sa˜o obtidas pela
rotac¸a˜o de curvas dadas na forma impl´ıcita ao redor de um dos eixos do plano coor-
denado. Ale´m disto, vamos supor que que a curva na˜o intercepta o eixo de rotac¸a˜o
em mais de um ponto. Como exemplos deste tipos que trataremos, temos: curva dada
pela equac¸a˜o f(x, y) = 0 girada em torno do eixo x ou do eixo y; curva dada pela
equac¸a˜o f(x, z) = 0 girada em torno do eixo x ou do eixo z e curva dada pela equac¸a˜o
f(yz) = 0 girada em torno do eixo y ou do eixo z.
Para ilustrar o processo, suponha que a curva no plano yz dada pela equac¸a˜o f(y, z) = 0
(ou a curva no plano xz dada pela equac¸a˜o f(x, z) = 0) tenha sido girada em torno do
eixo z. Neste caso, temos que um ponto P = (x, y, z) qualquer contido na superf´ıcie
resultou da rotac¸a˜o de um ponto Q particular contido na curva, cujas coordenadas
(y0, z0) satisfazem a equac¸a˜o f(y0, z0) = 0 (ou cujas coordenadas (x0, z0) satisfazem a
equac¸a˜o f(x0, z0) = 0). Contudo, analisando o processo de rotac¸a˜o, podemos observar
que z = z0 e y0 =
√
x2 + y2, se y0 > 0 ou y0 = −
√
x2 + y2, se y0 < 0 ou (z = z0 e
x0 =
√
x2 + y2, se x0 > 0 ou x0 = −
√
x2 + y2, se x0 < 0). Desta forma, temos que
f(
√
x2 + y2, z) = f(y0, z0) = 0, y0 > 0 (ou f(
√
x2 + y2, z) = f(x0, z0) = 0, x0 > 0)
ou
f(−
√
x2 + y2, z) = f(y0, z0) = 0, y0 < 0 (ou f(−
√
x2 + y2, z) = f(x0, z0) = 0, x0 < 0).
Como P e´ um ponto arbitra´rio na superf´ıcie, uma forma de reconhecer se uma dada
equac¸a˜o representa uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o de uma curva f(y, z) = 0 no plano yz
em torno do eixo z (ou de uma curva f(x, z) = 0 no plano yz em torno do eixo z) e´
verificar se esta equac¸a˜o so´ apresenta as varia´veis x e y na forma
√
x2 + y2. E, sendo
assim, para descobrir a equac¸a˜o f(y, z) = 0 que originou a superf´ıcie, basta substituir
o termo
√
x2 + y2 por y (ou, enta˜o, para descobrir a equac¸a˜o f(x, z) = 0 que originou
a superf´ıcie, basta substituir o termo
√
x2 + y2 por x).
Analogamente, uma forma de reconhecer se uma dada equac¸a˜o representa uma su-
perf´ıcie de revoluc¸a˜o de uma curva f(y, z) = 0 no plano yz (ou de uma curva f(x, y) = 0
no plano xy) em torno do eixo y e´ verificar se esta equac¸a˜o so´ apresenta as varia´veis x
e z na forma
√
x2 + z2. E, sendo assim, para descobrir a equac¸a˜o f(y, z) = 0 que orig-
inou a superf´ıcie, basta substituir o termo
√
x2 + z2 por z (ou, enta˜o, para descobrir a
equac¸a˜o f(x, y) = 0 que originou a superf´ıcie, basta substituir o termo
√
x2 + y2 por x).
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 52
Finalmente, uma forma de reconhecer se uma dada equac¸a˜o representa uma superf´ıcie
de revoluc¸a˜o de uma curva f(x, z) = 0 no plano xz (ou de uma curva f(x, y) = 0 no
plano xy) em torno do eixo x e´ verificar se esta equac¸a˜o so´ apresenta as varia´veis y e
z na forma
√
y2 + z2. E, sendo assim, para descobrir a equac¸a˜o f(x, z) = 0 que origi-
nou a superf´ıcie, basta substituir o termo
√
y2 + z2 por z (ou, enta˜o, para descobrir a
equac¸a˜o f(x, y) = 0 que originou a superf´ıcie, basta substituir o termo
√
y2 + z2 por
y).
Exemplo 4.3.1: Esboce as superf´ıcies de revoluc¸a˜o dadas pelas equac¸o˜es abaixo, iden-
tificando a curva e o eixo de revoluc¸a˜o.
a) z = e−(x
2+y2)
b) x2 + z2 = e−2y
2
Soluc¸a˜o:
a) Neste caso, observe que, as varia´veis x e y so´ aparece na forma (
√
x2 + y2)2. Estamos
portanto diante de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o de uma curva no
plano yz (ou xz) em torno do eixo z. Ale´m disso, como z = f(x, y), temos que a curva
no plano yz e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(y) (ou z = h(x)). Desta forma, para
descobrir a func¸a˜o z = g(y) (ou z = h(x)), cuja rotac¸a˜o do gra´fico resultou na superf´ıcie
em questa˜o, vamos substituir o termo (x2+y2) na equac¸a˜o da superf´ıcie por y2 (ou por
x2). Encontramos assim, a func¸a˜o z = g(y) = e−y
2
. Temos enta˜o que esta superf´ıcie e´
a superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o z = g(y) = e−y
2
, no plano yz, em
torno do eixo z (ou, o que da´ no mesmo, a rotac¸a˜o da curva z = h(x) = e−x
2
, no plano
xz, em torno do eixo z) (figura ao lado).
z
y (ou x)
x
y
z
b) Neste caso, observe que, as varia´veis x e z so´ aparece na forma (
√
x2 + z2)2. Estamos
portanto diante de uma superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o de uma curva no
plano xy (ou yz) em torno do eixo y. Portanto, conforme vimos, vamos substituir o
termo (x2 + z2) na equac¸a˜o da superf´ıcie por z2 (ou por x2) para descobrir a equac¸a˜o
da curva no plano xy (ou yz), cuja rotac¸a˜o em torno do eixo y gerou a superf´ıcie dada.
Desta forma, encontramos a equac¸a˜o z2 = e−2y
2
, o que corresponde a z = g1(y) = e
−y2
ou z = g2(y) = −e−y2 . Como a rotac¸a˜o e´ em torno do eixo y, podemos escolher uma
das duas equac¸o˜es, pois o resultado da rotac¸a˜o de ambas sera´ o mesmo. Vamos escolher
z = g1(y) = e
−y2 . Temos enta˜o que esta superf´ıcie e´ superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o do
gra´fico da func¸a˜o z = g1(y) = e
−y2 , no plano yz, em torno do eixo y (ou, o que da´ no
mesmo, a rotac¸a˜o do gra´fico da func¸a˜o x = h1(x) = e
−y2 , no plano xy em torno do eixo
Ca´lculo 2B - Notas de Aula (em construc¸a˜o) - Prof a Denise 2011-2 53
y) (figuras abaixo).
z (ou x)
y
x
y
z
♥
4.4 Revisa˜o de Esferas
Considere dois pontos P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) em R3. Sabemos que distaˆncia
entre estes dois pontos P0 e P1 e´ dada por
d(P0, P ) = ||P0P1|| =
√
(x1 − x0)2 + (y1 − y0)2 + (z1 − z0)2.
Portanto, se P = (x, y, z) e´ um ponto em R3 que satisfaz a equac¸a˜o
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = a2,
onde a > 0, temos que a distaˆncia de P ao ponto P0 e´ constante e igual a a. Temos
portanto que o conjunto de pontos que satisfaz a equac¸a˜o acima e´ o conjunto formado
por todos os pontos que distam de P0 uma distaˆncia igual a a. Desta forma, geometri-
camente, temos enta˜o que a equac¸a˜o
(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = a2
e´ a equac¸a˜o de uma esfera com centro em P0 = (x0, y0, z0) e raio a.
Exemplo 4.4.1: Identifique a superf´ıcie dada pela equac¸a˜o
x2 + y2 + z2 + 2x− 4y + 6z = 11.
Soluc¸a˜o:
Reagrupando os termos e completando os quadrados,