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1a¯ Lista - Ca´lculo III
Disciplina: 02367 - Engenharia Ele´trica
Nome: ra: Turma:
Professor Alexandre Monteiro Data:05/08/2013
Sequeˆncias
1. Encontre uma fo´rmula para o termo geral an da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos
primeiros termos continua.
(a)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
}
;
(b) {2, 7, 12, 17, . . .};
(c)
{
−1
4
,
2
9
,
−3
16
,
4
25
. . .
}
;
(d) 0, 2, 0, 2, 0, . . .;
(e)
−1
3
,
3
9
,
−5
27
,
7
81
, . . .;
(f)
−2
9
,
4
25
,
−6
49
,
8
81
, . . .
2. Para as sequeˆncias (an) abaixo com limites L, encontre um ı´ndice no correspondente ao ε
dado que satisfac¸a a definic¸a˜o de limite, ou seja
Quando n > no enta˜o acontece |an − L| < ε
(Obs: Verifique para n = n0 + 1, n = n0 + 2 e n = n0 + 3 que a sua escolha para no
providencia o resultado |an−L| < ε) Plote o gra´fico da sequeˆncia e a faixa de precisa˜o para
verificar se o seu no concorda com o valor teo´rico obtido.
Exemplo simples: an =
1
n2
, L = 0, ε = 0.1;
Sol. Eu quero que acontec¸a: |an − L| < ε
|an − L| = | 1
n2
− 0|
= | 1
n2
|
=
1
n2
< 10−1
⇒ 1
10−1
< n2
10 < n2
⇒ n2 > 10
⇒ n >
√
10
⇒ n > 3.16
⇒ Basta tomar no = 4
Com efeito a partir da posic¸a˜o no = 4, no´s teremos que os pro´ximos termos estara˜o
dentro da faixa da toleraˆncia da precisa˜o de 10−1 conforme exibe a figura abaixo:
Exemplo com majorac¸a˜o intermedia´ria
an =
(−1)n · 2n
(2n+ 1)2
, L = 0, ε = 0.001;
Sol
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|an − L| = | (−1)
n2n
(2n+ 1)2
− 0|
= | (−1)
n2n
(2n+ 1)2
|
=
|(−1)n2n|
|(2n+ 1)2| (propriedade de quociente dos mo´dulos)
=
|(−1)n| · |2n|
|(2n+ 1)2| (propriedade de produto dos mo´dulos)
=
1 · 2n
(2n+ 1)2
=
2n
(2n)2 + 2 · (2n) · 1 + 12
=
2n
4n2 + 4n+ 1
<
2n
4n2
(majorando pela quantidade
2n
4n2
)
⇒ |an − L| < 2n
4n2
⇒ |an − L| < 1
2n
< ε (impondo a exigeˆncia da precisa˜o ε)
⇒ 1
2n
< 10−3
⇒ 1
10−3
< 2n
⇒ 103 < 2n
2n > 1000
n > 500
Basta tomar no = 500.
(a) an =
1
n
, L = 0, ε =
1
10000
;
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(b) an =
1
n2
, L = 0, ε =
1
100
;
(c) an = 3 ∀n ≥ 1, L = 3, ε = 1
4
;
(d) an =
2n
n2 + 1
, L = 0, ε = 10−7;
(e) an = 12n , L = 0, ε =
1
1024
;
(f) an = 2 + (−1)n · 1
2n
, L = 2 ε =
1
1024
(g) an =
√
n+ 1−√n, L = 0, ε = 10−3;
(h) an =
n2 − n
(n2 − 1)(n4 + 1) , L = 0, ε = 10
−6
(i) an =
(Ln(n) + 1) · cos6(n) · (n3 − n)
8 · (n6 − n2) , L = 0, ε = 10
−6;;
(j) an =
(n+ 3) · cos2(n) · (n5 − n3)
n8 − 1 , L = 0, ε = 10
−6;
3. Determine se a sequeˆncia converge ou diverge a partir de leis de limites ou teoremas. Se ela
convergir, encontre o seu limite
(a) an = n(n− 1);
(b) an =
3 + 5n2
n+ n2
;
(c) an =
√
n
1 +
√
n
;
(d) an =
2n
3n+1
;
(e) an =
(−1)n−1n
n2+1
;
(f) an =
3 + (−1)n
n2
;
(g) an = 2 + cos(npi);
(h) an =
n!
(n+ 2)!
;
(i) an = n2n;
(j) an = Ln(n+ 1)− Ln(n);
(l) an =
cos2(n)
2n
;
(n) an =
n!
2n
;
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(m) an =
√
n+ 1√
n+ 2
;
(n) an =
√
n2 + n− n,
(o) an = n
√
n;
(p) an =
(
1− 2
n
)n
,
(q)
∫ n
0
1
1 + x2
dx
(r)
∫ n
0
esxcos(x)dx (s > 0).
(s)
2 · cos(pi)
9
,
7 · cos(2pi)
27
,
12 · cos(3pi)
81
,
17 · cos(4pi)
243
, . . .
(t) an =
n4
n!
Problemas
1. Glo´ria aceita um trabalho, comec¸ando com um sala´rio de 14.25
reais
hora
, e e´ prometido a ela um
aumento de 15
centavos
hora
a cada dois meses por cinco anos. Ao final do quinto ano, qual sera´
o o sala´rio por hora que Glo´ria recebera´?
2. Teatros sa˜o construı´dos frequentemente com mais assentos por fileira a medida em que as
fileiras se movem para tra´s. Suponha que a arena de um teatro possui 28 assentos na primeira
fileira, 32 na segunda, 36 na terceira, e assim por diante por 20 fileiras.Quantos sa˜o os assen-
tos da arena ?
3. Suponha que algue´m ofereceu a voceˆ um trabalho para o meˆs de Setembro (30 dias) sobre
as seguintes condic¸o˜es. Sera´ pago a voceˆ $0.01 pelo primeiro dia, $0.02 pelo segundo dia,
$0.04 pelo terceiro e assim por diante. Quanto voceˆ deve receber?
4. Determine o que mais compensador financeiramente: receber 20 reais por dia durante uma
semana ou receber 2 reais no Domingo e em cada um dos dias seguintes da semana receber
o dobro do dia anterior?
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5. Um pedac¸o de papel tem 0.01 polegadas de espessura. Ele e´ cortado e empilhado repetida-
mente, conforme exibe a figura abaixo:
(Observe que no passo 1, cortamos o papel ao meio e quando empilhamos os dois pedac¸os,
a espessura e´ duplicada, claramente).
(a) Supondo que este procedimento e´ realizado vinte vezes, determine qual e´ a espes-
sura final da pilha de papel.
(b) Qual e´ o nu´mero mı´nimo de vezes este procedimento deve ser executado para se
conseguir uma espessura final da pilha de pelo menos 50 polegadas ?
6. Um bungee jumper sempre retorna 60% da distaˆncia que caiu. Um bungee jump e´ feito
usando uma corda que estica a 200 pe´s.
Depois de pular e voltar 9 vezes. Qual a distaˆncia total percorrida nas voltas?
Respostas
Exercı´cio 1
(a) an =
1
2n
(b) an = 2 + (n− 1) · 5
(c) an =
(−1)n · n
(n+ 1)2
(d) an = (−1)n + 1
(e) an =
(−1)n(2n− 1)
3n
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(f) an =
(−1)n · 2n
(2n+ 1)2
Exercı´cio 2
(a) n0 = 10000; (b) n0 = 10; (c) n0 = 1; (d) n0 = 2 · 107; (e) n0 = 10; (f) n0 = 10; (g) n0 = 106;
(h) n0 = 102; (i) n0 = 1415; (j) n0 = 1260
Exercı´cio 3
(a) Diverge
(b) Converge, lim
n→∞ an = 5
(c) Converge, lim
n→∞ an = 1
(d) Converge, lim
n→∞ an = 0
(e) Converge, lim
n→∞ an = 0
(f) Converge, lim
n→∞ an = 0
(g) Diverge
(h) Converge, lim
n→∞ an = 0
(i) Diverge
(j) Converge, lim
n→∞ an = 0
(l) Converge, lim
n→∞ an = 0
(m) Converge, lim
n→∞ an = 1
(n) Converge, lim
n→∞ an =
1
2
(o)Converge, lim
n→∞ an = 1
(p)Converge, lim
n→∞ an = e
2
(q)Converge, lim
n→∞ an =
pi
2
(r)Diverge
Problema 1
R$18.75
Problema 2
1320 assentos
Problema 3
10.737.418
Problema 5
(a) 10.485, 76; (b) 13 passos
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