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Unidade II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
Sistemas de amortização de 
empréstimos e financiamentos
São desenvolvidos basicamente para 
operações de empréstimos e 
financiamentos de longo prazo, envolvendo 
pagamentos periódicos do principal e 
encargos financeiros. Abaixo relação de 
l i talguns sistemas:
 Sistema de Amortização Constante
 Sistema de Amortização Francês
 Sistema de Amortização Misto
 Sistema de Amortização Americano Sistema de Amortização Americano
 Sistema de Amortização Crescente
Definições básicas
 Encargos Financeiros: Incluem os juros 
da Operação
 Amortização: Pagamento do capital 
emprestado (Principal)
 Saldo Devedor: Valor Principal da DívidaSaldo Devedor: Valor Principal da Dívida
 Prestação: Composto da Amortização 
mais Encargos Financeiros
 Carência: Adiar o Pagamento do 
Principal 
Sistema de amortização constante 
(SAC) 
 As amortizações do principal são sempre 
iguais em todo o prazo da operação 
 O valor da amortização é obtido pela 
divisão do capital emprestado pelo 
numero de prestações 
 Os juros, por incidirem sobre o saldo 
devedor, cujo montante decresce após o 
pagamento de cada amortização, 
assumem valores decrescentes nos 
períodos
 As prestações são decrescentes em 
progressão aritmética
Sistema de amortização constante 
(SAC) - Exemplo
Construa a tabela do SAC: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, 
pagamentos semestrais durante 5 anos 
com taxa de juros de 30% ao ano 
Amortização = Valor EmpréstimoAmortização Valor Empréstimo
Nº de Prestações 
Amortização = 100.000
10 
Amortização = 10.000 por semestreo t ação 0 000 po se est e
Sistema de amortização constante 
(SAC) - Exemplo
Taxa Equivalente semestral de 30% a.a. é 
de 14,0175% ao semestre
 Semestral  Anual iq = (1 + i)1/q – 1
 2 semestres  1 ano 
i = (1 + 0 30) 1/2 1iq = (1 + 0,30) 1/2 – 1 
iq = (1,30) 1/2 – 1
iq = 1,140175 – 1 
iq = 0,140175
i = 14 0175% a siq = 14,0175% a.s.
Sistema de amortização constante 
(SAC) - Exemplo
Períodos Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000 - - -
1 90.000 10.000 14.017,50 24.017,50
2 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
3 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
4 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
5 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
6 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
7 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00
8 20 000 10 000 4 205 30 14 205 30
Amortização: R$ 10.000 por semestre
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
8 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
9 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
10 0 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL - 100.000 77.096,50 177.096,50
Sistema de amortização constante 
(SAC) - Expressões de cálculo
 Amortização (Amort): valores sempre 
iguais
Onde: PV = Principal (valor do
Amort = PV 
n
Onde: PV = Principal (valor do 
financiamento)
n = número de prestações
 Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo 
valor constante da amortização
Sistema de amortização constante 
(SAC) - Expressões de cálculo
Juros (J): Diminuem linearmente ao longo 
do tempo. Sendo i a taxa de juros, temos:
J = PV . (n – t + 1) . i
n
Prestação (PMT): Soma da amortizaçãoPrestação (PMT): Soma da amortização 
com juros e encargos administrativos, que 
deve ser analisado em cada situação de 
empréstimo com a instituição financeira
PMT = Amort + J (não consideramos 
encargos administrativos nesse modelo)encargos administrativos nesse modelo)
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]
n
Expressões de cálculo (SAC) –
Exemplos
Exemplo 1:
PV = 100.000; n = 5 anos; i = 30% ao ano
Calcular o valor do juros no 3º semestre
J = PV . (n – t + 1) . i
nn
J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175
10
J = 10000 . 8 . 0,140175 
J = R$ 11 214 00J = R$ 11.214,00
Expressões de cálculo (SAC) –
Exemplos
Exemplo 2:
PV = 100.000; n = 5 anos; i = 30% ao ano
Calcular o valor da prestação no 5º 
semestre
PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ]PMT PV . [ 1+ (n t + 1) . i ]
n
PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175]
10
PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175]0000 [ (6) 0, 0 5]
PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] 
PMT = 10000 . 1,84105
PMT = R$ 18.410,50
Interatividade 
Calcular o valor da prestação no 7º 
semestre sabendo que o valor do 
empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de 
um prazo de 5 anos em 10 prestações 
semestrais com a taxa de juros de 30% ao 
ano.
a) R$ 15.607,00
b) R$ 28.035,00
c) R$ 13.233,50
d) R$ 20 460 00d) R$ 20.460,00
e) R$ 24.831,50
Sistema de amortização constante 
(SAC) – Com carência
 Os exemplos anteriores não 
apresentaram prazo de carência para 
amortização do empréstimo
 A próxima tabela demonstra uma 
situação em que os juros são pagos 
durante a carência estipulada. Ao final 
dos quatro primeiros semestres, a 
prestação, constituída unicamente dos 
encargos financeiros, é de R$ 14.017,50, 
ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. A 
partir do quinto semestre inicia se apartir do quinto semestre, inicia-se a 
amortização do principal emprestado, 
sendo o fluxo de prestações, deste 
momento em diante, idêntico ao 
desenvolvido anteriormente
Sistema de amortização constante 
(SAC) – Com carência - Exemplo
Períodos Saldo Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000 - - -
1 100.000 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000 10.000 14.017,50 24.017,50
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00
SAC com carência (2 anos) e pagamento dos juros
Amortização: R$ 10.000 a.s. Juros: 14,0175% a.s.
11 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL - 100.000 133.166,50 233.166,50
Sistema de amortização constante 
(SAC) – Com carência - Exemplo
Períodos Saldo Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 168999.70 - - -
5 90.000 10.000 92.689,30 102.689,30
6 80.000 10.000 12.615,80 22.615,80
7 70.000 10.000 11.214,00 21.214,00
8 60.000 10.000 9.812,30 19.812,30
9 50.000 10.000 8.410,50 18.410,50
10 40.000 10.000 7.008,80 17.008,80
11 30 000 10 000 5 607 00 15 607 00
SAC com carência (2 anos) e capitalização dos juros
Amortização: R$ 10.000 a.s. Juros: 14,0175% a.s.
11 30.000 10.000 5.607,00 15.607,00
12 20.000 10.000 4.205,30 14.205,30
13 10.000 10.000 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000 1.401,80 11.401,80
TOTAL - 100.000 155.768,30 255.768,30
Sistema de amortização constante 
(SAC) – Com carência - Exemplo
P í d S ld D d A ti ã J P t ãPeríodos Saldo Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 168999.70 - - -
5 152.100,00 16.900 23.689,60 40.589,60
6 135.200,00 16.900 21.320,60 38.220,60
7 118.300,00 16.900 18.951,70 35.851,70
8 101.400,00 16.900 16.582,70 33.482,70
9 84.500,00 16.900 14.213,70 31.113,70
10 67.600,00 16.900 11.844,80 28.744,80
11 50.700,00 16.900 9.475,80 26.375,80
SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) 
Capitalizados e acrescidos ao saldo devedor
11 50.700,00 16.900 9.475,80 26.375,80
12 33.800,00 16.900 7.106,90 24.006,90
13 16.900,00 16.900 4.737,90 21.637,90
14 - 16.900 2.369,00 19.269,00
TOTAL - 169.000 130.292,70 299.292,70
Sistema de amortização francês 
(SAF) 
 Sistema amplamente adotadono 
mercado financeiro brasileiro, estipula 
que as prestações devem ser iguais, 
periódicas e sucessivas
 Os juros, por incidirem sobre o saldo 
d d ã d t ldevedor, são decrescentes e as parcelas 
de amortização assumem valores 
crescentes 
 O valor da prestação é a soma dos juros 
com o valor da amortização 
 Para compor a planilha financeira dessePara compor a planilha financeira desse 
sistema vamos partir da última coluna 
para a primeira, isto é, vamos calcular 
inicialmente as prestações e a seguir os 
juros, as parcelas de amortização e o 
respectivo saldo devedor
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Exemplo
Construa a tabela do SAF: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, 
pagamentos semestrais durante 5 anos 
com taxa de juros de 30% ao ano 
 As prestações semestrais sãoAs prestações semestrais são 
determinadas pela fórmula: 
PV = PMT . FPV (i,n)
Onde PV = valor presente 
PMT = valor prestação
FPV = fator de valor presente, sendo
FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Exemplo
Vamos calcular o valor das prestações 
(PMT): PV = PMT . FPV (i,n)
Onde FPV = 1 – (1+ i) –n
i
Empréstimo (PV)=100000 Núm.prestações 
(n) = 10
Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s.
100000 = PMT . 1 – (1+ 0,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10
0,140175
100000 = PMT . 1 – 0,26933
0,140175
100000 = PMT . 5,212556
PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,40
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Exemplo
Períodos Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortizaçã
o
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 94.833,10 5.166,90 14.017,50 19.184,40
2 88.941,80 5.891,20 13.293,20 19.184,40
3 82.224,80 6.717,00 12.467,40 19.184,40
4 74.566,20 7.658,60 11.525,90 19.184,40
5 65.834,10 8.732,10 10.452,30 19.184,40
6 55.877,90 9.956,20 9.228,30 19.184,40
7 44.526,20 11.351,80 7.832,70 19.184,40
8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
8 31.583,20 12.943,00 6.241,50 19.184,40
9 16.825,90 14.757,30 4.427,20 19.184,40
10 - 16.825,90 2.358,60 19.184,40
TOTAL - 100.000,00 91.844,00 191.844,00
Interatividade 
Com base nos exemplos apresentados do 
Sistema de Amortização Constante (SAC), 
qual deles apresenta o maior valor como 
total das prestações pagas? 
a) SAC sem carência;
b) SAC com carência e pagamento dos 
juros na carência;
c) SAC com carência e capitalização dos 
juros;
d) SAC com carência com jurosd) SAC com carência, com juros
capitalizados e acrescidos ao
saldo devedor;
e) Não há variação entre os totais
das prestações.
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Expressões de cálculo
Amortização (Amort): é a diferença entre o 
valor da prestação e os juros
Amort = PMT – J
Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90
A Amortização em um momento t qualquerA Amortização em um momento t qualquer 
é calculado:
 Amort = Amort1 . (1 + i) t – 1
Exemplo: Qual o valor da amortização no 
quarto semestre?
Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1
Amort = 5166,90 . (1,140175) 3
Amort = 7658,60
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Expressões de cálculo
Prestação (PMT): Conforme visto, as 
prestações semestrais são determinadas 
pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n)
Onde PV=valor presente PMT=valor 
prestação FPV=fator de valor 
presente, sendo
FPV= 1 – (1+ i) –n
i
Juros (J): incidem sobre o saldo devedor 
apurado no início de cada período (ou ao 
fi l d d í d i difinal de cada período imediatamente 
anterior)
J1 = SD0 . i
J2 = SD1 . i
J3 = SD2 . i e assim por diante.
Sistema de amortização francês 
(SAF) - Expressões de cálculo
Saldo Devedor (SD): Para cada período é 
calculado pela diferença entre o valor 
devido no início do intervalo de tempo e a 
amortização do período. 
SDt = PMT . FPV (i, n – t)
Por exemplo, o saldo devedor no 6º 
semestre é:
SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6)
FPV= 1 – (1+ i) –n = 1 – (1+0,140175) -4 
i 0 140175i 0,140175
FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267 
0,140175 0,140175
SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90
Sistema de amortização misto 
(SAM) 
 Desenvolvido originalmente para 
operações de financiamento do Sistema 
Financeiro de Habitação
 Representa a média aritmética entre o 
sistema francês e o sistema de 
amortização constante
 Exemplos:
PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,40 = 21.600,95
2
SD 90 000 00 94 833 10 92 416 55SDSAM = 90.000,00 + 94.833,10 = 92.416,55
2
Sistema de amortização americano 
(SAA) 
 A devolução do capital emprestado é 
efetuada no final do período contratado, 
ou seja, deve ser efetuada de uma só vez
 Amortizações intermediárias durante o 
período de empréstimo não estão 
previstas
 Os juros costumam ser pagos 
periodicamente
Sistema de amortização americano 
(SAA) - Exemplo
Construa a tabela do SAA: 
 Valor do empréstimo R$ 100.000,00, 
pagamentos semestrais durante 3 anos 
com taxa de juros de 30% ao ano 
Sistema de amortização americano 
(SAA) - Exemplo 
Períodos Saldo 
Devedor 
(R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestação
(R$)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50
TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00
Taxa de juros: 14,0175% ao semestre
Interatividade 
Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser 
devolvido pelo sistema francês em 5 
prestações semestrais considerando uma 
taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo 
que a prestação a ser paga é de R$ 
179 701 70 ti ã i i179.701,70 e que a amortização no primeiro 
semestre é de R$ 147.701,70, calcule a 
amortização no terceiro semestre.
a) R$ 180.328,43
b) R$ 159.754,15
c) R$ 233.431,50
d) R$ 201.552,00
e) R$ 141.733,18
Sinking fund ou Fundo de 
amortização 
 No Sistema de Amortização Americano 
ocorre o sinking fund ou fundo de 
amortização 
 Consiste em acumular poupanças 
periódicas durante o prazo do 
é ti fi l d í dempréstimo para que no final do período 
o montante do fundo seja igual ao valor 
da dívida
 Esse fundo é usado para evitar que o 
mutuário desembolse uma grande 
quantia de uma só vezquantia de uma só vez
 R = S / k onde,
S = montante igual ao principal 
R = depósito do período
k = fator de valor presente
Sinking fund ou Fundo de 
amortização - Exemplo 
Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa 
de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro 
anos, pode-se criar um fundo de 
amortização com uma taxa de aplicação de 
10% ao ano com k = 4,641
i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.
S = montante igual ao principal = 100.000,00
R = depósito anual
k = fator de valor presente = 4,641
Temos: R = S / k
R = 100000 / 4,641 
R = R$ 21.547,08 
Sinking fund ou Fundo de 
amortização - Exemplo
Anos Saldo 
Credor (R$)
Depósito
(R$)
Juros
(R$)
0 - - -
1 21.547,08 21.547,08 -
2 45.248,87 21.547,08 2.154,712 45.248,87 21.547,08 2.154,71
3 71.320,84 21.547,08 4.524,89
4 100.000,00 21.547,08 7.132,08
TOTAL - 86.188,32 13.811,68
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) 
 Foi desenvolvido com o objetivo de 
permitir maior amortização do valor 
emprestado, reduzindo-se 
simultaneamente a parcela de juros 
sobre o saldo devedor
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Expressões de cálculo
 Valor da razão da progressão aritmética 
(corresponde ao decréscimo das 
prestações)
 Valor da 1ª prestação

n
PVib r 
 Valor das prestações no período t (t > 1)
 Juros na data t
r = Razão da Progressão(decréscimo das 
PVi
n
1b
1)i1(
)i1(i)b1(PV PMTn
n
1 

 

rPMT PMT t1t 
1tt SDi J 
g (
prestações)
b = Coeficiente Variável por Tipo de Plano
PV = Valor do Principal
PMT1 = Valor da 1ª prestação
SD = Saldo Devedor
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Exemplo
 Calcular as prestações de um 
empréstimo de R$ 200.000,00 a serem 
pagas em quatro prestações mensais a 
juros efetivos de 10% a.m., fazendo a 
variável b assumir os valores 0 (Sistema 
P i ) 0 5 (SACRE) A t t béPrice), 0,5 (SACRE) Apresentar, também, 
a planilha completa do Sistema SACRE
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Exemplo
a) Para b = 0 (sistema Price):
Primeira prestação:
PVi
n
1b
1)i1(
)i1(i)b1(PV PMT n
n
1 

 

094630002001010)1,01(1,0)01(000.200PMT
4

Razão de decréscimo das prestações:
094.63000.2001,0
4
0
1)1,01(
),(,)( PMT 41 

 
n
PVib r 
0
4
000.2001,00 r   as prestações são constantes
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Exemplo
a) Para b = 0,5 (SACRE): Primeira 
prestação:
PVi
n
b
i
iibPVPMT n
n


 
 1
1)1(
)1()1( 1
5476600020010150)1,01(1,0)5,01(000.200PMT
4
 
Razão de decréscimo das prestações:
547.66000.2001,0
4
5,0
1)1,01(
 PMT 41  
n
PVib r 
 As prestações diminuem em $2.500,00 
ao mês
500.2
4
000.2001,05,0 r 
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Exemplo
Planilha SACRE
Mês Saldo 
Devedor (R$)
Amortização
(R$)
Juros
(R$)
Prestaçã
o
(R$)
0 200.000,00 - - -
1 153.453,00 46.547,00 20.000,00 66.547,00
2 104.751,30 48.701,70 15.345,30 64.047,00
3 53.679,43 51.071,87 10.475,13 61.547,00
4 - 53.679,43 5.367,94 59.047,00
Sistema de amortização crescente 
(SACRE) - Exemplo
Valor das Prestações
Mês Sistema Price
b = 0 ; r = 0
SACRE
b = 0,5 ; r = 2500
1 63.094,00 66.547,00
2 63.094,00 64.047,00
3 63.094,00 61.547,00
4 63 094 00 59 047 004 63.094,00 59.047,00
Interatividade 
Utilizando o Sistema de Amortização 
Crescente (SACRE), calcular a razão de 
decréscimo das prestações de um 
empréstimo de R$ 200.000,00 a serem 
pagas em quatro prestações mensais a 
j f ti d 10% f djuros efetivos de 10% a.m., fazendo a 
variável b assumir o valor 1 (SAC).
a) R$ 0,00
b) R$ 2.500,00
c) R$ 5.000,00c) R$ 5.000,00
d) R$ 7.500,00
e) R$ 10.000,00
ATÉ A PRÓXIMA!