Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz

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Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da Raiz 
 
Definição. A série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é dita ser absolutamente convergente 
se a série de valores absolutos ∑ |𝑎𝑛| 
∞
𝑛=1 é convergente. 
 
Exemplo. A série 
∑
(−1)𝑛−1
𝑛2
∞
𝑛=1
 
É absolutamente convergente, enquanto a série 
∑
(−1)𝑛−1
𝑛
∞
𝑛=1
 
Não é absolutamente convergente. 
Definição. A série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é dita ser condicionalmente 
convergente se ela é convergente mas não absolutamente 
convergente. 
 
Teorema. Se a série é absolutamente convergente, então ela é 
convergente. 
Demonstração. 
 
Exercício 1. A série abaixo é convergente? 
 ∑
cos (𝑛)
𝑛2
∞
𝑛=1
 
Teorema. (O teste da razão) 
1. Se lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿 < 1 então a série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é 
absolutamente convergente. 
2. Se lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 𝐿 > 1 ou se lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = ∞ então a 
série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é divergente. 
3. Se lim𝑛→∞ |
𝑎𝑛+1
𝑎𝑛
| = 1 então o teste da razão é inconclusivo. 
Demonstração. 
 
Exercício 2. Teste se a série 
∑
(−1)n𝑛3
3𝑛
∞
𝑛=1
 
é absolutamente convergente. 
 
Exercício 3. Verifique se a série 
∑
nn
𝑛!
∞
𝑛=1
 
é convergente. 
 
 
 
 
 
Teorema. (O teste da raiz) 
1. Se lim𝑛→∞ √|𝑎𝑛|
𝑛 = 𝐿 < 1 então a série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é 
absolutamente convergente. 
2. Se lim𝑛→∞ √|𝑎𝑛|
𝑛 = 𝐿 > 1 ou se lim𝑛→∞ √|𝑎𝑛|
𝑛 = ∞ então a 
série ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 é divergente. 
3. Se lim𝑛→∞ √|𝑎𝑛|
𝑛 = 1 então o teste da razão é inconclusivo. 
 
Exercício 4. Teste a convergência da série: 
∑ (
2𝑛 + 3
3𝑛 + 2
)
𝑛∞
𝑛=1
. 
 
Exercício 5. Em 1910, o matemático indiano Srinivasa 
Ramanujan descobriu a fórmula 
1
𝜋
=
2√2
9801
∑
(4𝑛)! (1103 + 26390𝑛)
(𝑛!)43964𝑛
∞
𝑛=1
. 
William Gosper usou esta série em 1985 para computar 17 
milhões de dígitos de 𝜋. Mostre que esta série é convergente.