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CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS Prof. Edinaldo José da Silva Pereira CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS Para indutores lineares e invariantes no tempo M12 = M21 = M. As auto-indutâncias são sempre positivas, enquanto que as indutâncias mútuas podem ser positivas ou negativas, dependendo do sentido do enrolamento das bobinas. REGRA DOS PONTOS: quando ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acopladas pelos terminais que tem o ponto, os sinais dos termos em M são iguais aos dos termos em L. Seuma das correntes entra e a outra sai, os sinais dos termos em M são opostos aos dos termos em L. O efeito da mútua indutância é introduzir uma reatância mútua Xm ou uma impedância mútua Zm, onde Zm = jXm = jωM. CASO 1: DUAS INDUTÂNCIAS SÉRIE Leq deve ser positivo, pois caso contrário um Leq negativo forneceria uma quantidade infinita de energia para uma fonte de corrente positivamente crescente. O sinal da mútua mudaria se apenas um dos pontos mudasse de posição. CASO 2: INDUTÂNCIAS EM PARALELO O sinal do denominador muda com a mudança de posição de um dos pontos da mútua. Para Leq ≥ 0, então: já que o denominador foi anteriormente analisado. Esta última é mais restritiva que a primeira. Logo, defini-se: Coeficiente de acoplamento Em transformadores com núcleo de ferro usados em sistemas de distribuição de potência, K ≈ 1. REFLEXÃO DE IMPEDÂNCIAS IMP. REFLETIDA (Zf) IMP. TOTAL SECUNDÁRIO , quando Z 0. Se Z = R + jX, então Zf é: Se X for indutiva (X > 0), reflete-se como uma contribuição capacitiva no primário, aumentando assim a corrente, pois cancelará parte da reatância positiva deste. Resistência refletida Exemplo: A chave k foi fechada em t = 0, quando o circuito se encontrava relaxado. Determine v(t) para t ≥ 0. Exemplo: Calcular E2 sabendo que K = 1/2. TRANSFORMADOR IDEAL N – razão de transformação do transformador Transferência da carga do enrolamento secundário para o primário transferência do enrolamento primário para o secundário A impedância é sempre modificada pelo quadrado da razão de transformação (N) e a maior impedância acontece no lado com maior número de espiras. Não dissipa energia Não tem fluxo de dispersão (K = 1) Indutância própria de cada enrolamento é infinita Impedância efetiva do primário Exemplo: Qual o valor de E1 e E2? Solução: Usando o equivalente do primário. Exemplo: Um transformador ideal pode ser usado para representar a conexão de um amplificador estéreo, V1, com um auto-falante, RL. Determine a razão de espiras necessária para que haja máxima transferência de potência para o auto-falante. Solução: Condição para máxima transferência de potência BOBINAS COM ACOPLAMENTO UNITÁRIO (L1 L2 = M2) (I) como (L1 L2 = M2), então: Portanto, Y é a combinação paralela de uma indutância jωL1 e uma impedância ZL1/L2. Esta última pode ser vista como uma impedância que foi refletida por um transformador em paralelo com a impedância da bobina do primário. A impedância refletida através do transformador é Para a situação (I), escreve-se: Eq. geral Considerando as equações (*) e (**), vem O valor de N é idêntico àquele assumido pelo transformador ideal, concluindo-se que o comportamento das bobinas acopladas com K = 1 é similar ao do transformador ideal. Em resumo, um par de bobinas acopladas com K = 1 é equivalente a um transformador ideal com razão de espiras igual a raiz quadrada da razão das indutâncias próprias do secundário pelo primário, e a uma indutância shunt no primário do transformador, de mesmo valor da indutância própria do primário. Um transformador ideal não teria esta indutância. Por isso, pode-se dizer que um transformador ideal age como um par de bobinas com acoplamento unitário cujos valores destas indutâncias próprias são INFINITOS. BOBINAS COM L1, L2 E M ARBITRÁRIOS Em geral, Diminuindo-se o valor de L1 e/ou L2, pode-se obter K = 1. Neste caso, (II) Comparando (I) com (II), L1, L2 e M são conhecidos Com quatro incógnitas e três equações, deve-se arbitrar uma das incógnitas, por exemplo, N. Assim, Entretanto, como deseja-se indutâncias positivas, limita-se N. Neste caso, Em geral, escolhe-se a média geométrica destes valores extremos para arbitrar N. Exercício: Monte o circuito equivalente com transformador para as bobinas acopladas apresentadas. Solução: Neste caso, EXERCÍCIOS 1:N I1 I2 Z jωL1 Circuito com transformador ideal ZL1/L2 I1 jωL1 Circuito equivalente primário jωLb jωLm + E2 - + E1 - I1 I2 jωLa 1:N + EX - NI2 + NEX - 2H t = 5 s 1H 1H 1Ω 1Ω 10A DC V1 V2 a b t = 0 k R1 R2 R3 L1 L2 V1 = 10 V V2 = 20 V R1 = 1 Ω R2 = R3 = 2 Ω L1 = L2 = 1 H DC V1 R4 t = 0 k R1 R2 R3 L2 L1 V1 = 100 V R1 = R2 = R3 = 10 Ω L1 = L2 = 1 H DC V1 = 10 V R1 = R2 = 1 Ω R3 = 2 Ω L1 = 1 H L2 = 6 H M = 2 H R2 R3 L2 V1 . . R1 L1 DC e(t) . R1 L3 L2 L1 e(t) = e-t u(t) V R1 = R2 = 1 Ω L3 = 8 H L1 = 10 H L2 = 2 H M12 = 1 H M13 = 2 H M23 = 3 H R2
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