Apostila fisica 3 livro1c gauss

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Lei de Gauss 
 
Nosso objetivo neste capítulo é estudar a Lei de Gauss, que é uma das quatro 
equações de Maxwell. Neste curso procuramos o entendimento destas equações que 
governam o eletromagnetismo e a ótica clássicos. 
A Lei de Gauss, devida ao matemático alemão Karl Friedrich Guass 
(1777) relaciona campo elétrico em uma superfície fechada com as cargas 
existentes no interior desta superfície. 
Para melhor entendermos esta Lei, introduziremos primeiro as 
noções de fluxo de um campo e de superfície fechada ou gaussiana. 
Considere um campo qualquer, digamos o campo de velocidade de 
um fluido. 
 
Num tempo o fluido 
contido no volume passará 
pela seção transversal . 
Definimos, então, o fluxo deste 
fluido, ou seja a quantidade de 
fluido que atravessa a seção 
transversal por unidade de 
tempo, com 
t
l∆
A
∆
A
Φ
A
Av
t
lA
∆
∆ ==Φ , onde 
a velocidade do fluido. Assim, dizemos que um fluxo (mv
A
Av
'A
3/s) passará pela superfície 
 no tempo . Se agora consideramos uma superfície que faz um ângulo t∆ ϕ com as 
linhas do campo de velocidade, a mesma quantidade de fluido por unidade de tempo estará 
atravessando a área , ou seja A
Φ==
=
AvvA
AA
)cos('
)cos('
ϕ
ϕ
 
Para que possamos 
expressar estas duas situações 
numa mesma expressão, utilizamos 
a noção de vetor área . 
Definimos o vetor 
A
A
G
 com módulo 
igual à área da superfície e direção 
perpendicular, ou seja, nAA �G = 
onde n� é um vetor unitário perpendicular à superfície . De um modo geral, o fluxo de 
um vetor v através de uma superfície plana de área A é dado por 
AG vA GG ⋅=Φ . 
Se agora temos uma superfície que não é plana, subdividimo-la em diversos 
elementos infinitesimais de área dA de modo que o fluxo de campo através de cada um 
destes elementos se torna 
,
Advd
GG.=Φ . Em toda a superfície S, Φ . No 
caso do campo vetorial ser o campo eletrostático 
∫ ∫=Φ=
S
Advd
GG.
E
G
, o fluxo de E
G
 se torna: ∫=Φ E Ad GG. . 
Para entendermos o significado de Φ , neste caso, vamos 
considerar nossa representação geométrica do cargo E
G
. As linhas 
de E
G
 são representada de tal modo que 
A
NE ∝G , onde N é o 
número de linha de campo e A área da superfície transversal ao 
campo naquele ponto, por onde passam as linhas de E
G
. Logo, 
, ou seja, o fluxo de NEA∝Φ = EG nos diz o número de linha que 
cruzam a superfície. 
 
 
 
 
Superfícies fechadas e ângulo sólido. 
 
Uma superfície de importância para nosso estudo é a superfície fechada. A esta 
chamamos de superfície gaussiana e se caracteriza pelo fato de que você só passar de um 
lado para o outro se você fura-la. Assim, uma superfície como a de um afolha de papel 
não é uma superfície fechada assim com a faixa de Mobius também não é uma superfície 
fechada. A superfície de cubo, a de uma esfera e a de um cilindro (incluindo-se suas 
tampas planas) são exemplos de superfícies fechadas. Usaremso este conceito adiante. 
Considere uma superfície esférica de raio r. Definimos o ângulo sólido dΩ 
subtendido por um elemento de área infinitesimal dA 
como 2
'dAd
r
Ω = . 
Se agora consideramos uma superfície 
qualquer dA’ mas cuja projeção cai sobre dA, o ângulo 
sólido subtendido pelas duas superfícies é o mesmo. 
De um modo geral se definimos o vetor área como 
sendo perpendicular à área, o ângulo sólido será dado 
por 2
.
r
Adrd
G�
=Ω onde r� 
é um vetor unitário na 
direção radial. Para 
uma superfície fechada 
qualquer, a sua projeção 
cairá sobre uma esfera, e então o ângulo total subtendido por 
esta superfície fechada é dado por 
 
 
2
2 2 2
ˆ. ' 1 4
esfera esfera esfera
r dA dAd r
r r r
4π πΩ = Ω = = = =∫ ∫ ∫
G
v v
esfera
∫v
(esferoradianos), onde o 
símbolo indica que estamos integrando num domínio definido por uma superfície 
fechada. 
 
 
Fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada: a Lei de Gauss 
 
Considere, então, uma única carga q. Imaginemos uma superfície fechada 
envolvendo q. O vetor área dA
G
, em cada ponto da superfície aponta para fora e se 
expressa como 
G
. O Fluxo de ˆ'dA ndA= ' EG é dado por 
2
2 2
0 0
1 1 4. '
4 4esfera esfera
r qE dA q
r r
π
0
. 'Aqr dπε πεΦ = = =∫ ∫ ε=
�G GGv v . Dizendo em outras palavras, o 
fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga interna a esta 
superfície dividida pela constante 0ε . Esta é a chamada Lei de Gauss: 
0
int. ε
q
AdE ==Φ ∫ GG 
As cargas externas à superfície não contribuem para o fluxo total e isto é fácil de visualizar, 
pois, para tais cargas seu fluxo será nulo (número de linhas que entram numa superfície 
fechada = número de linhas que saem desta superfície). 
 
No exemplo ao lado, o fluxo através 
da superfície fechada S4 é nulo. 
A Lei de Gauss, como veremos a 
seguir, nos fornece uma maneira simples e 
elegante de calcularmos o campo elétrico. 
No entanto, só pode aplicada em casos de 
elevada simetria das linhas de campo, isto é, 
quando podemos determinar uma superfície 
gaussiana para a qual conhecemos o produto 
escalar AdE
GG
. , em toda a superfície.