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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo 1 Rotac¸a˜o em torno do eixo Oy Considere a func¸a˜o f(x) = sen(x) definida no intervalo [0, pi] e denote por A a regia˜o compreendida abaixo do seu gra´fico e acima do eixo Ox. Se girarmos essa regia˜o em torno do eixo Oy vamos obter um so´lido S cujo volume queremos calcular neste texto. Figura 1: A regi´ıo A Figura 2: Parte do so´lido S Figura 3: O so´lido S Vamos usar uma ideia parecida com aquela utilizada quando discutimos a rotac¸a˜o em torno do eixo Ox. Ela consiste em fazermos aproximac¸o˜es para o volume de S utili- zando algum so´lido cujo volume sabemos calcular. Mais especificamente, dado um nu´mero n ∈ N, dividimos o intervalo [a, b] = [0, pi] em n subintervalos de igual tamanho ∆x = (b−a) n , considerando os pontos a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b, em que xk = a+ k∆x, para cada k = 0, 1, 2, . . . , n. Fixado um nu´mero k ∈ {1, 2, . . . , n}, vamos escolher um ponto x∗ k ∈ [xk−1, xk] e construir um retaˆngulo cuja base e´ o intervalo [xk−1, xk] e altura e´ f(x ∗ k ). Ao rotacionarmos este retaˆngulo em torno do eixo Oy vamos obter uma espe´cie de anel cuja espessura e´ exatamente xk − xk−1 = ∆x. O volume deste anel pode ser calculado como a diferenc¸a do volume de dois cilindros, e vale exatamente pix2 k f(x∗ k )− pix2 k−1f(x ∗ k ) = pi(xk − xk−1)(xk + xk−1)f(x ∗ k ) = 2pi∆x ( xk + xk−1 2 ) f(x∗ k ). xk−1 xk f(x∗ k ) Figura 4: O retaˆngulo Figura 5: Parte do anel Figura 6: O anel 1 Observe agora que o nu´mero (xk + xk−1)/2 pertence ao intervalo [xk−1, xk]. De fato, ele e´ exatamente o ponto me´dio deste intervalo. Assim, se desde o in´ıcio tive´ssemos escolhido x∗ k = (xk + xk−1)/2, o volume do anel seria exatamente 2pix ∗ k f(x∗ k )∆x. Procedendo como acima, variando k de 1 ate´ n, e chamando de Sn o so´lido obtido quando rotacionamos os n retaˆngulos em torno do eixo Oy, conclu´ımos que uma aproximac¸a˜o para o volume do so´lido S e´ volume(Sn) = n∑ k=1 2pix∗ k f(x∗ k )∆x = n∑ k=1 g(x∗ k )∆x, em que g(x) = 2pixf(x). Uma vez que a aproximac¸a˜o se torna melhor quando n cresce, conclu´ımos que o volume de S e´ dado por volume(S) = lim n→+∞ n∑ k=1 g(xk)∆x = ∫ b a g(x)dx = ∫ b a 2pixf(x)dx. Lembrando agora que f(x) = sen(x), a = 0 e b = pi, o volume V do so´lido em questa˜o e´ dado pela integral definida V = ∫ pi 0 2pix sen(x)dx. A fim de calcular esta integral vamos primeiro determinar uma primitiva para a func¸a˜o x sen(x). Para tanto, vamos usar a te´cnica de integrac¸a˜o por partes com as escolhas u = x e dv = sen(x)dx. Um ca´lculo direto mostra que du = dx e v = − cos(x), de modo que ∫ x sen(x)dx = −x cos(x)− ∫ (− cos(x))dx = −x cos(x) + sen(x) +K, onde K e´ uma constante. Assim, o volume e´ dado por volume(S) = 2pi (−x cos(x) + sen(x)) ∣∣∣x=pi x=0 = 2pi {−pi cos(pi) + sen(pi)} = 2pi2. Vamos finalizar observando que o procedimento acima e´ mais geral do que parece. De fato, seja f : [a, b] → [0,+∞) uma func¸a˜o cont´ınua, com a ≥ 0, e A a regia˜o compreendida entre o gra´fico de f e o eixo Ox. Quando giramos A em torno do eixo Oy, obtemos um so´lido S cujo volume e´ dado por volume(S) = ∫ b a 2pixf(x)dx. E´ importante na˜o confundir a fo´rmula acima com aquela que nos da´ o volume quando giramos em torno do eixo Ox, que e´ exatamente ∫ b a pif(x)2dx. 2 Tarefa Denote por A a regia˜o delimitada pelo gra´fico das func¸o˜es f(x) = x e g(x) = x2. Use a fo´rmula do texto para calcular o volume do so´lido S obtido ao girarmos A em torno do eixo Oy. Note que esta regia˜o na˜o e´ a regia˜o abaixo do gra´fico de uma func¸a˜o, mas sim a regia˜o compreendida entre duas func¸o˜es. Assim, na˜o sera´ poss´ıvel aplicar diretamente a fo´rmula. Pore´m, pode-se obter o resultado desejado como a diferenc¸a entre os volumes de dois outros so´lidos. Figura 1: A regia˜o A Figura 2: Parte do so´lido S Figura 3: O so´lido S 3
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