Lista de Exercícios 4 1 2017

Prévia do material em texto

Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 2 – Turma F – 2o/2017
Lista de Exerc´ıcios no4
1. Encontre o raio de convergeˆncia e o intervalo de convergeˆncia da se´rie:
(a)
∞∑
n=1
(−1)nnxn (f)
∞∑
n=1
3n(x+ 4)n√
n
(b)
∞∑
n=1
xn
2n+ 1
(g)
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n
(c)
∞∑
n=0
xn
n!
(h)
∞∑
n=1
(5x− 4)n
n3
(d)
∞∑
n=1
(−3)n
n
√
n
xn (i)
∞∑
n=1
xn
1.3.5. · · · .(2n− 1)
(e)
∞∑
n=0
(x− 2)n
n2 + 1
2. A func¸a˜o J1 definida por
J1(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n+1
n!(n+ 1)!22n+1
e´ denominada func¸a˜o de Bessel de ordem 1. Encontre seu domı´nio.
3. Encontre uma representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para a func¸a˜o e determine o intervalo
de convergeˆncia:
(a) f(x) =
1
1 + x
(c) f(x) =
x
9 + x2
(b) f(x) =
2
3− x (d) f(x) =
1 + x
1− x
4. (a) Use derivac¸a˜o para encontrar a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncias para f(x) =
1
(1+x)2
. Qual e´ o raio de convergeˆncia?
(b) Use o item (a) para encontrar uma se´rie de poteˆncias para f(x) = 1
(1+x)3
.
(c) Use o item (b) para achar uma se´rie de poteˆncias para f(x) = x
2
(1+x)3
.
5. Calcule a integral indefinida
∫
t
1− t8dt como uma se´rie de poteˆncias. Qual e´ o raio
de convergeˆncia?
6. (a) Mostre que a func¸a˜o de Bessel de ordem 0, J0(x) =
∞∑
n=0
(−1)nx2n
22n(n!)2
satisfaz a
equac¸a˜o diferencial
x2J0”(x) + xJ
′
0(x) + x
2J0(x) = 0.
(b) Calcule
∫ 1
0
J0(x)dx com aproximac¸a˜o de treˆs casas decimais.
7. Use a se´rie de poteˆncias para arctan(x) para demonstrar a seguinte expressa˜o para pi
como a soma de uma se´rie infinita:
pi = 2
√
3
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)3n
.
8. Se f (n)(0) = (n+ 1)! para n = 0, 1, 2, . . . , encontre a se´rie de Maclaurin de f e seu raio
de convergeˆncia.
9. Encontre a se´rie de Taylor de f(x) centrada no valor dado a. [Supomha que f tenha
expansa˜o em uma se´rie de poteˆncias. Na˜o mostre que Rn(x)→ 0.] Tambe´m encontre
o raio de convergeˆncia associado.
(a) f(x) = x4 − 3x2 + 1, a = 1
(b) f(x) = ln x, a = 2
10. Use a se´rie binomial para expandir a func¸a˜o 4
√
1− x como uma se´rie de poteˆncias. Diga
o raio de convergeˆncia.
11. Encontre a se´rie de Maclaurin de f (por qualquer me´todo) e seu raio de convergeˆncia:
(a) f(x) = cos(x2)
(b) f(x) = xe−x
12. Calcule a integral indefinida
∫
x cos(x3)dx como uma se´rie infinita.
Respostas:
1. (a)1, (−1, 1) (b)1, [−1, 1) (c)∞, (−∞,∞) (d)1
3
, [−1
3
, 1
3
] (e)1, [1, 3]
(f)1
3
, [−13
3
, −11
3
] (g)0, {1
2
} (h)1
5
, [3
5
, 1] (i)∞, (−∞,∞)
2. (−∞,∞)
3. (a)
∞∑
n=0
(−1)nxn, (−1, 1) (b)2
∞∑
n=0
1
3n+1
xn, (−3, 3)
(c)
∞∑
n=0
(−1)n 1
9n+1
x2n+1, (−3, 3) (d)1 + 2
∞∑
n=1
xn, (−1, 1)
4. (a)
∞∑
n=0
(−1)n(n+ 1)xn, R = 1 (b)1
2
∞∑
n=0
(−1)n(n+ 2)(n+ 1)xn, R = 1
(c)1
2
∞∑
n=2
(−1)nn(n− 1)xn, R = 1
5. C +
∞∑
n=0
t8n+2
8n+ 2
, R = 1
6. (b)0, 920
8.
∞∑
n=0
(n+ 1)xn, R = 1
9. (a)− 1− 2(x− 1) + 3(x− 1)2 + 4(x− 1)3 + (x− 1)4, R =∞
(b) ln 2 +
∞∑
n=1
(−1)n+1 1
n2n
(x− 2)n, R = 2
10. 1− 1
4
x−
∞∑
n=2
3.7. . . . (4n− 5)
4nn!
xn, R = 1
11. (a)
∞∑
n=1
(−1)n 1
(2n)!
x4n, R =∞ (b)
∞∑
n=1
(−1)n−1
(n− 1)!x
n, R =∞
12. C +
∞∑
n=0
(−1)n x
6n+2
(6n+ 2)(2n)!
, R =∞