P1 Nestor uff calculo 2A

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UFF - GMA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA
1a VE de Cálculo IIA - 2016.2 - Turma M1
Professor: Nestor Nina - 31/10/2016
Nome:...................................................................................................................
Questão Pontos Nota
1 2
2 3
3 2.5
4 2.5
Observação. Não é permitido sair da sala durante a prova nem usar calculadora. Respostas
sem justificativa correta não serão consideradas.
1). (2 pts.)
(a) [1 pts.] Seja f(x) =
∫ cos(x)
0
(1 + sin(t2)) dt. Encontre f ′(pi
2
).
(b) [1 pts.] Seja g(x) = −2x+
∫ 2x
0
e3t
2−9t+4 dt. Existem pontos x ∈ R tais que g′(x) = 0?.
2). (3 pts.)
(a) [2 pts.] Calcule
∫
1
x2
√
4x+ 1
dx
(b) [1 pts.] Calcule
∫
cot2(4x) csc4(4x) dx
3). (2.5 pts.)
(a) [1 pts.] As gráficas das funções f(x) = x2 e g(x) = cx3 onde c > 0, se cortam nos pontos
(0, 0) e (1
c
, 1
c2
). Determine o valor de c > 0 de tal forma que a área da região limitada
entre essas gráficas e sobre o intervalo [0, 1
c
] seja 2
3
.
(b) [1,5 pts.] Seja R a região interior da circunferencia (x+ 2)2 + y2 = 1. Encontre o volume
do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta x = 1.
4). (2.5 pts.) Decida se as seguintes integrais impróprias abaixo são convergentes ou diver-
gentes:
(a) [1.25 pts.]
∫ +∞
0
1√
x+ x6
dx
(b) [1,25 pts.]
∫ +∞
0
xp−1e−x dx, para p > 0.
Boa Prova!