Prova de Cálculo Numérico - 14/09/2020

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UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
Área do Conhecimento de Ciências Exatas e Engenharias
Cálculo Numérico – Prova 1
Prof. Leonardo Dagnino Chiwiacowsky – Data: 14/09/2020
Aluno: ...............................................................
Questão 1 (1,5 pts): O valor exato da função ln(1+x) pode ser calculado através da sua expansão
em série para valores de |x| < 1:
ln(1 + x) =
∞∑
k=1
(−1)k+1x
k
k
= x− x
2
2
+
x3
3
− x
4
4
+
x5
5
− . . . .
a) (0,5 pts) Obtenha aproximações para a função quando x = −0.95 usando os n = 50 e os
n = 500 primeiros termos da série;
b) (0,5 pts) Determine o Erro Relativo de cada aproximação;
c) (0,5 pts) Estime o número de DSE em cada aproximação.
Apresente os resultados das aproximações obtidas com 15 algarismos significativos, e dos erros
relativos com 8 algarismos significativos.
Respostas n=50 n=500
Aproximação obtida
Erro relativo
Estimativa DSE
Questão 2 (4,0 pts): Determine a maior raiz positiva da equação 4 cos(2x)−e0,5x+5 = 0, utilizando
dois métodos distintos, conforme indicado na tabela abaixo. Considere como critério de parada
para ambos os métodos o ER < 5× 10−6. Preencha as linhas da tabela com os valores definidos
por você e obtidos pela resolução do problema. Apresente os resultados utilizando 8 d́ıgitos
significativos.
Método da Bisseção Método de Newton-Raphson
Dados de Entrada
a=
b=
x1=
Aproximação para raiz
Número de Iterações
Reśıduo da Função
Erro Relativo
Estimativa para DSE
Questão 3 (2,0 pts): A localização x̄ do centroide de um setor circular é dada pela seguinte
expressão:
x̄ =
2r sinα
3α
Determine o ângulo α para o qual x̄ =
2
5
r, aplicando o método da Bisseção e assumindo como
critério de parada |f(xk)| < 10−8. Forneça:
a) (0,5 pts) Intervalo de localização da raiz a ser utilizado no programa;
b) (0,5 pts) Aproximação obtida para α;
c) (0,5 pts) Erro relativo para a última aproximação;
d) (0,5 pts) Estimativa do número de DSE da última aproximação.
Apresente os resultados numéricos solicitados representando os valores com 8 algarismos signifi-
cativos.
Questão 4 (2,5 pts): Um circutio RLC consiste em um resistor R, um indutor L e um capacitor
C conectados em série com uma fonte de tensão alternada vm. A amplitude da corrente im é dada
pela seguinte expressão:
im =
vm√
R2 + [ωL− 1/(ωC)]2
onde ω, a frequência angular, está relacionada à frequência f pela expressão ω = 2πf . Determine
f para um circuito com R = 140 Ω, L = 260×10−3 H, C = 25×10−6 F, vm = 24 V e im = 0, 15 A.
a) (0,5 pts) Formule o problema no formato g(f) = 0;
b) (0,5 pts) Informe o intervalo que contém a raiz da função e uma correspondente aproximação
inicial para o valor de f , sabendo que f < 50 Hz;
c) (1,0 pts) Encontre e forneça uma estimativa para a frequência f , pelo emprego do método
de Newton-Raphson, usando como critério de parada kmax = 4;
d) (0,5 pts) Informe os valores do erro relativo (ER) e do reśıduo da função (|g(fk)|) para a
última aproximação.
Apresente os resultados numéricos solicitados representando os valores com 8 algarismos signifi-
cativos.