p1 Juliana Coelho

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Primeira prova de A´lgebra Linear Aplicada - 11/01/2013
Prof. Juliana Coelho - 07h00 - 09h00
QUESTA˜O 1 (2,5 pts) - Considere o sistema linear
x + z = 1
x +2y − z = a
x +4y +bz = −1
Determine os valores de a e b para os quais o sistema e´:
(a) poss´ıvel e determinado;
(b) poss´ıvel e indeterminado;
(c) imposs´ıvel.
Resp.: Escalonando a matriz estendida do sistema temos
M =
 1 0 1 11 2 −1 a
1 4 b −1
 −→
 1 0 1 10 2 −2 a− 1
0 0 b+ 3 −2a
 = M ′
onde realizamos as operac¸o˜es L2 → L2 − L1, L3 → L3 − L1 e L3 → L3 − 2L2. O sistema
associado a M ′ fica 
x +y = 1
2y −2z = a− 1
(b+ 3)z = −2a
e portanto este sistema sera´:
• poss´ıvel e determinado se b+ 3 6= 0, isto e´, b 6= −3;
• poss´ıvel e indeterminado se b+ 3 = 0 e −2a = 0, isto e´, b = −3 e a = 0;
• imposs´ıvel se b+ 3 = 0 e −2a 6= 0, isto e´, b = −3 e a 6= 0.
QUESTA˜O 2 (1,5 pts) - Considere a matriz
M =

1 1 0 2
2 0 3 0
0 2 1 3
2 2 4 3
 .
1
(a) Econtre o determinante de M .
Resp.: Podemos calcular este determinante de duas formas diferentes: fazendo o ca´lculo
direto ou escalonando a matriz. Do primeiro modo temos
det(M) = 1
 0 3 02 1 3
2 4 3
− 1
 2 3 00 1 3
2 4 3
+ 0
 2 0 00 2 3
2 2 3
− 2
 2 0 30 2 1
2 2 4

= 1 · 0− 1 · 0 + 0 · 0− 2 · 0 = 0.
Do segundo modo, escalonando a matriz M temos
M =

1 1 0 2
2 0 3 0
0 2 1 3
2 2 4 3
 −→

1 1 0 2
0 −2 3 −4
0 0 4 −1
0 0 0 0
 = M ′
onde fizemos as operac¸o˜es L2 → L2−2L1, L4 → L4−2L1, L3 → L3+L2 e L4 → L4−L3.
Como M ′ tem uma linha nula, enta˜o det(M ′) = 0 e portanto det(M) = 0.
(Note que na matriz M , a linha L4 e´ a soma das linhas L3 e L2, o que ja´ mostra que
det(M) = 0.)
(b) A matriz M e´ invers´ıvel? Justifique.
Resp.: A matriz Mna˜o e´ invers´ıvel, pois seu determinante e´ igual a zero.
QUESTA˜O 3 (2,5 pts) - Considere a matriz
M =
(
3 −1
1 1
)
.
(a) Calcule M−1.
Resp.: A inversa de M e´
M−1 =
1
det(M)
(
1 1
−1 3
)
.
Como det(M) = 3 · 1− (−1) · 1 = 4, enta˜o
M−1 =
1
4
(
1 1
−1 3
)
=
(
1/4 1/4
−1/4 3/4
)
.
2
(b) Encontre os autovalores e respectivos autovetores de M .
Resp.: Os autovalores sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico
p(λ) = det(λI −M) = det
(
λ− 3 1
−1 λ− 1
)
= (λ− 3)(λ− 1) + 1 = λ2 − 4λ+ 4.
Este polinoˆmio tem raiz
λ =
4±√(−4)2 − 4 · 4
2
= 2
e portanto M tem um u´nico autovalor que e´ λ = 2.
Os autovetores associados ao autovalor λ = 2 sa˜o as soluc¸o˜es do sistema linear ho-
mogeˆneo associado a` matriz (λI −M) = (2I −M):
(2I −M) ·X = 0,
ou seja, (
2− 3 1
−1 2− 1
)(
x
y
)
=
(
0
0
)
( −1 1
−1 1
)(
x
y
)
=
(
0
0
)
o que nos da´ o sistema { −x+ y = 0
−x+ y = 0
que tem soluc¸o˜es da forma
x = t, y = t, com t ∈ R.
Assim os autovetores associados ao autovalor λ = 2 sa˜o da forma
X =
(
t
t
)
com t ∈ R.
QUESTA˜O 4 (1,0 pts) - Encontre a equac¸a˜o Cartesiana da reta que passa por P = (3,−1)
e e´ perpendicular a` reta de equac¸a˜o 2x+ 5y = 7.
Resp.: A reta de equac¸a˜o 2x + 5y = 7 tem vetor normal ~n = (2, 5). Como a reta
procurada deve ser perpendicular a esta reta, enta˜o seu vetor normal deve ser perpendicular
ao vetor ~n. Logo a reta que procuramos deve ter vetor normal dado por ~n′ = (5,−2).
Portanto a equac¸a˜o Cartesiana pedida e´
((x, y)− P ) · ~n′ = 0 ⇒ (x− 3, y + 1) · (5,−2) = 0 ⇒ 5(x− 3)− 2(y + 1) = 0,
3
ou seja, a equac¸a˜o Cartesiana e´
5x− 2y = 17.
QUESTA˜O 5 (2,5 pts) - Considere os seguintes pontos de R3:
P = (−1, 1, 2), Q = (2, 2, 0) e R = (0, 2, 4)
(a) Encontre o aˆngulo entre os vetores
−→
PQ e
−→
PR.
Resp.: Temos que
−→
PQ = Q− P = (2, 2, 0)− (−1, 1, 2) = (3, 1− 2)
−→
PR = R− P = (0, 2, 4)− (−1, 1, 2) = (1, 1, 2)
e logo o cosseno do aˆngulo entre estes dois vetores e´
cos(θ) =
−→
PQ · −→PR
||−→PQ|| ||−→PR||
=
3 + 1− 4√
9 + 1 + 4
√
1 + 1 + 4
= 0.
Portanto, como cos(θ) = 0, vemos que o aˆngulo entre os dois planos e´ θ = 90◦ e os
planos sa˜o perpendiculares.
(b) Calcule a a´rea do triaˆngulo determinado pelos pontos P , Q e R.
Resp.: A a´rea A do triaˆngulo e´ metade da norma do produto vetorial
−→
PQ×−→PR. Temos
−→
PQ×−→PR = det
 ~i ~j ~k3 1 −2
1 1 2
 = (2 + 2,−(6 + 2), 3− 1) = (4,−8, 2).
Logo
A =
||(4,−8, 2)||
2
=
√
16 + 64 + 4
2
=
√
84
2
=
√
21.
(c) Ache a equac¸a˜o Cartesiana do plano em R3 que passa pelos pontos P , Q e R.
Resp.: Este e´ o plano que passa por P e e´ normal ao vetor ~n =
−→
PQ×−→PR. Vimos no
item (b) que ~n = (4,−8, 2) e logo a equac¸a˜o Cartesiana do plano e´
((x, y, z)−P )·~n = 0⇒ (x+1, y−1, z−2)·(4,−8, 2) = 0⇒ 4(x+1)−8(y−1)+2(z−2) = 0.
Assim a equac¸a˜o Cartesiana procurada e´
4x− 8y + 2z = −8.
4