GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
 
1. 
 
 
São grandezas vetoriais todas as quantidades a seguir, EXCETO: 
 
 Tempo 
 Força 
 Acelereção 
 Deslocamento 
 Velocidade 
 
 
 
Explicação: 
Uma grandeza caracterizada perfeitamente apenas pelo seu módulo, ou seja, por meio 
de um número e uma unidade de medida correspondente, denomina-se grandeza 
escalar. Assim o tempo é uma grandeza escalar. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que 
representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem. 
 
 15 u.c 
 4 u.c 
 2 u.c 
 5 u.c 
 200 u.c 
 
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Explicação: 
O modulo do vetor T(-12,9) a origem será 
√(−12−0)2+(9−0)2=15u.c(−12−0)2+(9−0)2=15u.c 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um carro percorre uma distância de 72 km ao longo de uma estada, no sentido sul-
norte, depois pega uma estrada secundária, percorrendo mais 65 km, no sentido leste-
oeste. Calcule o módulo do deslocamento resultante. 
 
 97 
 90 
 87 
 30 
 72 
 
 
 
Explicação: 
c2=a2+b2 
c2=a2+b2 
c2=722+652 
c2=722+652 
c2=5184+4225 
c2=5184+4225 
c=9409 
√c=9409 
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c = 97 km 
O vetor resultante tem módulo 97 quilômetros. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Marque a alternativa correta 
 
 Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas. 
 
Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, 
não podem ser classificados como paralelos ou colineares. 
 
Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam 
completamente definidas por apenas a direção. 
 Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas. 
 
As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer 
o valor do módulo, sua direção e seu sentido. 
 
 
 
Explicação: 
Definições no conteúdo online 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua 
extremidade o ponto B = (0, 4,2). 
 
 A=(4, 1, -3) 
 A=(-2, 1, 3) 
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 A=(2, 1, 3) 
 A=(-2, -1, 3) 
 A=(4, 1, 3) 
 
 
 
Explicação: 
u = AB = B - A -> A = B - u 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4) 
 
 90° 
 0° 
 60° 
 
 
45° 
 30° 
 
 
 
Explicação: 
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26 
!!u!!=V3²+2²=V9+4=V13 
!!v!!=V6²+4²=V36+16=V52=2V13 
 
Então: cos A= u.v / !!u!!.!!v!! = 26 /V13.2V13 = 1 => A=0° 
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7. 
 
 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o 
valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-
2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
 
 O vetor P pode ser P(0,2,3) ou P(1,0,4) 
 O vetor P pode ser P(0,0,1) ou P(0,3,2) 
 O vetor P pode ser P(0,1,0) ou P(0,0,5) 
 O vetor P pode ser P(0,0,0) ou P(0,0,-4) 
 O vetor P pode ser P(1,0,0) ou P(0,0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Um pesquisador perdeu parte dos dados de sua pesquisa. Ele precisa descobrir qual é o 
valor de z pertencente ao ponto P (0,0,z). O pesquisador sabe que P com o vetor T (-1,2,-
2) tem como distância o valor 3. Portanto P será: 
√(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9(0−(−1))2+(0−2)2+(z+2)2=3entaoz2+4z+9=9 
z = - 4 e z = 0 
Portanto P = (0,0,0) ou P (0,0,-4) 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
São grandezas escalares todas as quantidades a seguir, EXCETO: 
 
 Velocidade de 80km/h80km/h 
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 Peso de 60kg60kg 
 Terreno de 220m2220m2 
 Temperatura de 35∘C35°C 
 Volume de 2L2L 
 
 
 
Explicação: 
As grandezas que não são completamente definidas apenas por seu módulo são 
denominadas de grandezas vetoriais. Assim a velocidade é uma grandeza vetorial. 
 
 
 
 
1. 
 
 
O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde 
A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-
3), qual o valor de a? 
 
 a = - 2 
 a = 2 
 a = 4 
 a = - 4 
 a = 0 
 
 
 
Explicação: 
AB = B - A = (6,9) - (3,5) = (3,4) 
(3,4) . (a,-3) = 0 ⇒ 3a - 12 = 0 ⇒ a = 4 
 
 
 
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2. 
 
 
Dados os vetores −−→AB=(3,8)AB→=(3,8), o vetor 4−−→AB4AB→ será : 
 
 4−−→AB=(0,0)4AB→=(0,0) 
 4−−→AB=(7,12)4AB→=(7,12) 
 n.d.a 
 4−−→AB=(12,32)4AB→=(12,32) 
 4−−→AB=(−1,4)4AB→=(−1,4) 
 
 
 
Explicação: 
4−−→AB=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32)4AB→=4.(3,8)=(4.3,4.8)=(12,32) 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os pontos A(3, m-1, -4) e B(8, 2m - 1, m), determine "m" de modo que |AB| 
= √3535. 
 
 3 e -1 
 0 e -3 
 -2 e -3 
 -1 e -3 
 1 e 3 
 
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Explicação: 
Sendo A(3, m - 1, -4) e B(8, 2m - 1, m), temos que AB = (5, m, m + 4). 
Logo |AB| = √52+m2+(m+4)2=√2m2+8m+4152+m2+(m+4)2=2m2+8m+41 
Sendo |AB| 
= √3535 ⇒ √35=√2m2+8m+4135=2m2+8m+41 ⇒ (√35)2=(√2m2+8m+41)2(35)2=(2m2+8m+41
)2 
Entaõ, 35 = 2m2 + 8m + 41 ⇒ 2m2 + 8m + 6 = 0 ⇒ m' = -3 e m'' = -1 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles 
 
 46° 
 45° 
 49° 
 48° 
 47° 
 
 
 
Explicação: 
cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8cosx=(2,2).(0,2)28=428 
cosx=2√8cosx=28 
x=π4=45°x=π4=45° 
 
 
 
 
 
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5. 
 
 
Dados os vetores →u=(3,5)u→=(3,5) e →v=(−1,2)v→=(−1,2), a 
soma →s=→u+→vs→=u→+v→ será: 
 
 →s=(2,3)s→=(2,3) 
 →s=(2,7)s→=(2,7) 
 →s=(3,5)s→=(3,5) 
 →s=(4,7)s→=(4,7) 
 →s=(0,0)s→=(0,0) 
 
 
 
Explicação: 
→s=→u+→v=(3,5)+(−1,2)=(2,7)s→=u→+v→=(3,5)+(−1,2)=(2,7) 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os pontos A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), determinar "m" de modo que 
|AB| = √3535. 
 
 m = {-3, -2} 
 m = {3, -1} 
 m = {-5, -3} 
 m = {4, -1} 
 m = {-3, -1} 
 
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Explicação: 
A(3 , m - 1, - 4) e B(8 , 2m - 1, m), logo AB = (8 - 3, (2m - 1) - (m - 1), m - (-4)) = (5, m, m + 
4). 
|AB| = √52+m2+(m+4)252+m2+(m+4)2 
35 = 2m2 + 8m + 41 
m1 = -3 e m2 = -1 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor 
de a? 
 
 a=3a=3 
 a=−3a=−3 
 a=0a=0 
 a=12a=12 
 a=32a=32 
 
 
 
Explicação: 
y=mx+qy=mx+q 
r:x=−y.:y=−xr:x=−y.:y=−x 
s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3s:ax−3y=0.:3y=−axy=−ax3 
−1=−a3−3=−aa=3−1=−a3−3=−aa=3 
 
 
 
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8. 
 
 
Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e 
v=(1,-1,0) encontramos: 
 
 9V17 
 5V21 
 2V23 
 6V22 
 7V19 
 
 
 
Explicação: 
Chamando de A a área do paralelogramo, temos que: A= !!(2u)x(-3v)!! 
2u=(-4,0,6) 
-3v=(-3,3,0) 
 i j k 
(2u)x(-3v) = -4 0 6 = -18i -18j - 12k = (-18 , -18 , -12) 
 -3 3 0 
 
Daí: A = !!(-18 , -18 , -12)!! = V324+324+144 = V792 = 6V22 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3). Para 
qual valor de M o triângulo ABC é retângulo em A? 
 
 8 
 0 
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 2 
 3 
 6 
 
 
 
Explicação: 
seja AB.AC=0 
 
AB= (3,2, -1) e AC= ( M+1, -4,1), vem 
3 (M+1) +M+2(-4) -1(1)=0 
3M+ 3 -8 -1=0 
3M= 6 
M= 2 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a 
direção do vetor v=(-4,-1,3). 
 
 
x=t 
y=2t 
z=5+3t 
 
x=-4+t 
y=-2-t 
z=3-5t 
 
x=2t 
y=-3t 
z=5t 
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x=2-4t 
y=-t 
z=5+3t 
 
x=-4+2t 
y=-1 
z=3+5t 
 
 
 
Explicação: 
As equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do 
vetor v=(x",y",z") são dadas por: 
x=x'+x"t 
y=y'+y"t 
z=z'+z"t 
BAsta então substituir os valores dados para se obter as equações. 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados os vetores a = (2, 1, 0), b = (m + 2, -5, 2) e c = (2m, 8, m), determine o valor de "m" 
para que o vetor a + b seja ortogonal a c - a. 
 
 S = {-2, 6} 
 S = {-2, 3} 
 S = {-6, 3} 
 S = {3, 6} 
 S = {-2, 3} 
 
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Explicação: 
Inicialmente calculamos os vetores soma: 
a + b = (2, 1, m) + (m + 2, -5, 2) = (m + 4, -4, m + 2) 
c - a = (2m, 8, m) - (2, 1, m) = (2m -2, 7, 0) 
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto escalar entre eles deve ser zero. 
[a + b] ¿ [c - a] = x1x2 + y1y2 + z1z2 
 0 = (m + 4).(2m - 2) + (-4)(7) + (m + 2) (0) 
 m2 + 3m - 18 = 0 
Resolvendo a equação de 2o grau teremos: m' = 3 e m'' = -6. 
Logo, os valores de m que satisfazem a condição dada são S = {-6, 3}. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere uma reta r que passa pelo ponto B=(1,2,-1) e tem a direção 
de →u=(0,1,2)u→=(0,1,2). O ponto P que pertence à reta r, quando o parâmetro t é 2 
será: 
 
 P=(1,4,3)P=(1,4,3) 
 P=(2,1,2)P=(2,1,2) 
 P=(−1,2,3)P=(−1,2,3) 
 P=(1,2,−1)P=(1,2,−1) 
 P=(0,1,2)P=(0,1,2) 
 
 
 
Explicação: 
r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2)r(x,y,z)=(1,2,−1)+t(0,1,2) 
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Se t=2 então P=(1,4,3) 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Os pontos A(a,2) e B(0,b) pertencem à reta (r): 2x+y-6 = 0. Qual a distância entre os 
pontos A e B? 
 
 4V5 
 8V5 
 2V5 
 V5 
 3V5 
 
 
 
Explicação: 
A pertence a r -> 2a+2-6=0 -> a=2 => A(2,2) 
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 => B(0,6) 
 
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)² = V4+16 = V20 = 2V5 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a 
direção do vetor v=(4,-4,-7). 
 
 x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7 
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 x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3 
 x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7 
 x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3 
 x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7 
 
 
 
Explicação: 
As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor 
v=(x",y",z") são dadas por x-x' / x" = y-y' /y" = z-z' / z". 
Basta então substituir os valores dados para se obter a equações pedidas. 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a: 
 
 56,31
o 
 65,66
o 
 22,56
o 
 90,05
o 
 12,77
o 
 
 
 
Explicação: 
O ângulo será calculado aplicando-se a fórmula: 
cos x = (v . u) / (v . u) 
Onde: v e u são os módulos dos vetores 
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(-3,2) . (0,6) = (-3) . 0 + 2 . 6 = 12 
v = √1313 
u = 6 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um engenheiro precisa definir a reta que passa pelos pontos A e B. Sabendo que A(-1,8) 
e B(-5,-1), defina a equação geral da reta que passa pelos pontos. 
 
 x+55y+2=0x+55y+2=0 
 7x+3y+1=07x+3y+1=0 
 3x+2y+2=03x+2y+2=0 
 x−7y+3=0x−7y+3=0 
 9x−4y+41=09x−4y+41=0 
 
 
 
Explicação: 
 x y 1 x y 
-1 8 1 -1 8 
-5 -1 1 -5 -1 
Teremos, 
(-40) (-x) (-y) (8x) (-5y) (1) 
.: 8x -5y + 1 + 40 + x + y = 0 
9x - 4y + 41 = 0 
 
 
 
 
 
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1. 
 
 
Calcule a distância entre as retas: 
r: X = (1, 0, 2) + h(1, 1, 1); h∈Rh∈R e s: x - 1 = y + 2 = z - 3. 
 
 9 
 √403403 
 403403 
 √423423 
 √423423 
 
 
 
Explicação: 
Como os coeficientes das retas r e s são iguais, (1, 1, 1), estas são paralelas. Cosiderando 
R(1, 0, 2) e S(1, -2, 3) pontos de r e s, respectivamente, então: 
d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)]d(r,s)=[(0,−2,1)×(1,1,1)][(1,1,1)] = √423423 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-
2,3,4) é corretamente representada por: 
 
 - 2x - 3y - 4z - 9 = 0 
 2x - 4y - 3z - 9 = 0 
 x + y + z = 0 
 3x - 4y + 5z - 11 = 0 
 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
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Explicação: 
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4) 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0 
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9 
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dados A=(3,2,1) e →v=(2,1,−1)v→=(2,1,−1), a equação do plano ππ que passa por A e é 
ortogonal a →vv→, será: 
 
 3x+2y−z+9=03x+2y−z+9=0 
 2x+y−z+9=02x+y−z+9=0 
 x−y−z+9=0x−y−z+9=0 
 2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 
 3x+y−z+9=03x+y−z+9=0 
 
 
 
Explicação: 
π:2x+y−z+d=0π:2x+y−z+d=0 
Como A pertence a ππentão 2.(3)+1.(2)-1.(-1)+d=0 6+2+1+d=0 9+d=0 d=-9 
2x+y−z−9=02x+y−z−9=0 
 
 
 
 
 
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4. 
 
 
Dado o ponto A(2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3), determine as equações paraétricas da 
reta r que passa por A e tem a direção de v. 
 
 r:{x = 2 + t; y = 3 - 2t e z = -4 + 3t 
 r:{x = 2 - t; y = 3 + 2t e z = 4 - 2t 
 r:{ x = 1 + 2t; y = 3 - 4t e z = -2 + 3t 
 r:{ x = 1 + t; y = 2 - 2t e z = -4 + 3t 
 r:{x = 2 + 2t; y = 3 - 3t e z = -4 + 3t 
 
 
 
Explicação: 
Pela condição de igualdade entre pontos e vetores, temos: 
r (x, y, z) = A(2, 3, -4) + t(1, -2, 3), daí obtemos a equação de forma direta. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Deterninar a equação geral do plano que passa pelo ponto A(2,1, -2) e é perpendicular à 
reta r: {x = -4 + 3t; y = 1 + 2t e z = t. 
 
 3x + 2y + z - 6 = 0 
 2x + 2y + z - 2 = 0 
 3x + 3y - z + 6 = 0 
 2x + 3y + z - 6 = 0 
 -3x - 2y + z - 3 = 0 
 
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Explicação: 
O vetor diretor desta reta é normal a este plano (3, 2, 1). Então, a equação do plano, de 
acordo com a fórmula: a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0 ou ainda pela fórmula ax + by + cz - 
ax1 - by1 - cz1 = 0, temos: 
3(x - 2) + 2(y - 1) + 1(z + 2) = 0, resultando na equação: 
3x + 2y + z - 6 = 0 . 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A reta r:⎧⎨⎩x=5+2ty=2−tz=1+3t{x=5+2ty=2−tz=1+3té ortogonal ao plano ππ que passa 
pelo ponto A(1,3,4). A equação geral de ππ será: 
 
 x+3y+4z+5=0x+3y+4z+5=0 
 5x+2y+z+6=05x+2y+z+6=0 
 2x−y+3z+11=02x−y+3z+11=0 
 2x−y+5z+3=02x−y+5z+3=0 
 x−3y+4z+2=0x−3y+4z+2=0 
 
 
 
Explicação: 
Vetor diretor da reta r é (2,-1,3) 
Como r é perpendicular a ππ , qualquer vetor diretor de r é um vetor normal ao plano. 
Assim a equação de π é da forma: 
π: 2x-y+3z+d =0 
Como A∈π 2(1)-1(3)+3(4)+d =0 
2-3+12 d=11 
π: 2x-1y+3z+11=0 
 
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7. 
 
 
Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema 
de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por: 
 
 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = 3h + t 
y = 2h - 2t 
z = 6h + 8t 
 
x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x =3h + t 
y = 2h + t 
z = -2 + 6h + 8t 
 
x = 2 + 3h + t 
y = - 2h - 2t 
z = -2 + h + 8t 
 
 
 
Explicação: 
Determinamos os vetores diretores do plano: 
AB =B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6) 
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8) 
Logo, as equações paramétricas serão: 
x = -2 + 3h + t 
y = 2h - 2t 
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z = -2 + 6h + 8t 
 
 
 
 
1. 
 
 
Qual a equação da parábola que satisfaz as condições: 
V(0,0), passa pelo ponto P(1,3) e concavidade voltada 
para cima? 
 
 −x2+3y=0−x2+3y=0 
 −3x2−y=0−3x2−y=0 
 x2+3y=0x2+3y=0 
 N.D.A 
 3x2−y=03x2−y=0 
 
 
 
Explicação: 
A equação possui a forma x2 = 2py. O ponto P ∈ parábola, então: 
(1)2(1)2 = 2p(3) ∴ 2p = 1/3 
Assim: 
x2x2 = 1/3 y ou 3x2−y=03x2−y=0 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. 
 
 (x+2)2+(y−2)2=8(x+2)2+(y−2)2=8 
 (x+3)2+(y−1)2=9(x+3)2+(y−1)2=9 
 (x+1)2+(y−2)2=8(x+1)2+(y−2)2=8 
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 (x+1)2+(y−3)2=8(x+1)2+(y−3)2=8 
 (x+2)2+(y−3)2=8(x+2)2+(y−3)2=8 
 
 
 
Explicação: 
(x+a)2 + (y-b)2 = r2 
(x+3)2 + (y-1)2 = 32 
(x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2)Q(0,−2) e raio 44. 
 
 x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
 (x+1)2+(y+2)2=15(x+1)2+(y+2)2=15 
 x2+y2=16x2+y2=16 
 (x+2)2+y2=16(x+2)2+y2=16 
 x2+(y+2)2=14x2+(y+2)2=14 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y+2)2=42(x−0)2+(y+2)2=42 
x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16 
 
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4. 
 
 
A hipérbole x2−y2=1x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: 
 
 F1(-1,0) e F2(1,0) 
 F1(−√2,√2−2,2) e F2(1,1) 
 F1(−√2,0−2,0) e F2(√2,02,0) 
 F1(0,0) e F2(√22,0) 
 F1(−√2−2,0) e F2(0,0) 
 
 
 
Explicação: 
Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: 
a2=1a2=1 e b2=1b2=1 
c 2=a2+b2c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2±2 
Logo, os focos serão: F1(−√2,0−2,0) e F2(√2,02,0) 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. 
 
 x2−y2=25x2−y2=25 
 x2+y2=25x2+y2=25 
 x2+y2=26x2+y2=26 
 y2=26y2=26 
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 x2=25x2=25 
 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y−0)2=52(x−0)2+(y−0)2=52 
x2+y2=25x2+y2=25 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do 
vértice é: 
 
 2 
 -2 
 0 
 1 
 -1 
 
 
 
Explicação: 
y = ax2+bx+cax2+bx+c 
a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 
a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 
a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 
Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 
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Logo: y=x2−6x+5y=x2−6x+5 
V(−b2a−b2a,−Δ4a−Δ4a) 
−b2a−b2a = −(−6)2−(−6)2 = 3 
−Δ4a−Δ4a = 4∗(1)∗(5)−(−6)244∗(1)∗(5)−(−6)24 = - 4 
Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
São elemetos de uma parábola, exceto: 
 
 Vértice 
 Diretriz 
 Foco 
 Ordenada 
 Eixo 
 
 
 
Explicação: 
Ordenada é o eixo vertical do plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dada a hipérbole de equação x2−4y2+16=0x2−4y2+16=0, os vértices serão os pontos: 
 
 A(0,0) e A'(0,2) 
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 A(-2,0) e A'(2,0) 
 A(0,-2) e A'(0,2) 
 A(0,-4) e A'(0,4) 
 A(0,-2) e A'(0,0) 
 
 
 
Explicação: 
x2−4y2+16=0x2−4y2+16=0 ⇒ x216x216 - y24y24+ 1 = 0 ⇒ −x216−x216 + y24y24 = 1 
A equação reduzida representa uma hipérbole de centro C(0,0) e eixo real sobre o eixo 
dos y. Logo: 
a2=4a2=4 ⇒ a=±2a=±2 
b2=16b2=16 ⇒ b=±4b=±4 
Os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2). 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a equação da hipérbole de focos F1(5,0) e F2(-
5,0) e de vértices A1(3,0) e A2(-3,0). 
 
 9x2−y2=1449x2−y2=144 
 9x2−16y2=1449x2−16y2=144 
 16x2−y2=14416x2−y2=144 
 16x2−9y2=14416x2−9y2=144 
 9x2+y2=1449x2+y2=144 
 
 
 
Explicação: 
Pelos dados do problema, temos: 
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c = 5 
a = 3 
c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 16 
Como os focos estão sobre o eixo Ox, teremos: 
x2a2−y2b2=1x2a2−y2b2=1 ⇒ x29−y216=1x29−y216=1 ⇒ 16x2−9y2=14416x2−9y2=144 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y2 = 5x. 
 
 Foco F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 
 Foco F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=54x=54 
 Foco F(−54,0)F(−54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 
 Foco F(45,0)F(45,0) e a diretriz é x=−45x=−45 
 Foco F(−54,0)F(−54,0) e a diretriz é x=54x=54 
 
 
 
Explicação: 
Podemos escrever y2 = 5x comoy2=4.54xy2=4.54x ou (y−0)2=4.54(x−0)(y−0)2=4.54(x−0). 
A distância do vértice (0,0) ao foco é c=54c=54. 
Logo, F(54,0)F(54,0) e a diretriz é x=−54x=−54 
 
 
 
 
 
 
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3. 
 
 
Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse 
é 2, determine a equação dessa elipse. 
 
 10x2=1010x2=10 
 10x2+y2=1010x2+y2=10 
 x2+y2=10x2+y2=10 
 x2+y2=1x2+y2=1 
 10x2+y2=110x2+y2=1 
 
 
 
Explicação: 
Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1. 
a2=b2+c2a2=b2+c2 ⇒ a2=1+9=10a2=1+9=10 
Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos: 
x2b2+y2a2=1x2b2+y2a2=1 ⇒ x21+y210=1x21+y210=1 
10x2+y2=1010x2+y2=10 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² - 4x + 6y - 3 = 0. 
 
 (3,4) e 6 
 (3,-2) e 4 
 (3,-1) e 5 
 (-1,3) e 5 
 (2,-3) e 4 
 
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Explicação: 
Temos que: 
-2a=-4 -> a=2 
-2b=6 -> b=-3 => o centro é O(2,-3) 
a²+b²-r² = -3 -> 2²+(-3)²-r²=-3 -> r=4 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual a distância entre os focos da hipérbole x²/9 - y²/4 = 1 ? 
 
 4V13 
 V13 
 2V13 
 7V13 
 5V13 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
x²/a² - y²/b² = 1 -> x²/9 - y²/4 = 1 -> a²=9 -> a=3 
 b²=4 -> b=2 
 
Mas: c² = a² + b² -> c² = 9 + 4 -> c² = 13 - c= V13 
 
Daí: F1F2 = 2c = 2V13 que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal) 
 
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6. 
 
 
Qual a distância entre os focos da hipérbole: x² / 9 - y² / 4 = 1 ? 
 
 4V13 
 2V13 
 V13 
 5V13 
 7V13 
 
 
 
Explicação: 
Temos: x²/a² - y²/b² = 1 => x²/9 - y²/4 = 1 => a²=9 => a =3 
 b²=4 => b =2 
Mas: c² = a² + b² => c² = 9 + 4 => c² = 13 => c=V13 
Daí, a distância focal é: F1F2 = 2c = 2V13 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1. 
 
 y=-3x 
 y=x 
 y=2x 
 y=3x-2 
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 y=3x 
 
 
 
Explicação: 
Temos: 
x²/9 - y²/36 = 1 -> a²=9 -> a=3 
 b²=36 -> b=6 
 
 x y 1 
 Daí: 3 6 1 = 0 -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0 -> 12x - 6y = 0 -> 6y = 
12x -> y =2x 
 -3 -6 1 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Identifique a equação canônica da cônica de equação 25x2 - 36y2 - 100x - 72y - 836 = 0. 
 
 (x−2)262−(y+1)252=1(x−2)262−(y+1)252=1 
 (x−1)262−(y+2)252=1(x−1)262−(y+2)252=1 
 (x−2)262+(y+1)252=1(x−2)262+(y+1)252=1 
 (x−2)252−(y+1)262=1(x−2)252−(y+1)262=1(x−2)262+(y+2)252=1(x−2)262+(y+2)252=1 
 
 
 
Explicação: 
25(x2 - 4x) - 36(y2 - 2y) - 836 = 0, 
obendo o quadrado: 25[(x - 2)2 - 4] - 36[(y + 1)2 - 1] - 836 = 0, 
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reescrevendo: 25(x - 2)2 - 100 - 36(y + 1)2 + 36 - 836 = 0, logo 25(x - 2)2 - 36(y + 1)2 - 900 = 
0, 
colocando na forma canônica: (x−2)262−(y+1)252=1 
 
 
 
 
1. 
 
 
Resolva o sistema dado abaixo: 
3x + 2y + z = 10 
x + 2y + 2z = 11 
x + y + z = 6 
 
 x = 1; y = 2 e z = 3 
 x = -1; y = 3 e z = -2 
 x = 2; ; y = 2 e z = -2 
 x = -1; y = -2 e z = -3 
 x = -1, y = 3 e z = -2 
 
 
 
Explicação: 
Inverta a 1a. equação com a 3a. equação, obtendo um novo sistema. Multiplique a 1a. 
equação por (-1) e some-a com a 2a. equação, ambas do novos sistema. Multiplique a 
nova 2a. equação por (-3) e some-a com a 3a. equação. Como agora você tem z = 3, 
substitua no sistema e obtenha x = 1 e y = 2. 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Represente a matriz A = (aij)3x2 definida por : aij = 0 se i igual a j 
 (-1)i+j se i diferente de j 
 
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 0 -1 
A = -1 0 
 1 -1 
 
 0 -1 
A = 1 0 
 -1 -1 
 
 0 1 
A = 3 -4 
 -2 -1 
 
 0 1 
A = 3 -2 
 1 -1 
 
 2 -1 
A = -3 1 
 1 -1 
 
 
 
Explicação: 
Temos que a matriz A é do tipo: 
 a11 a12 
A = a21 a22 
 a31 a32 
Daí: a11 = 0 a21 = (-1)2+1=(-1)3=-1 a31 = (-1)3+1=(-1)3 = -1 
 a12 = (-1)1+2 = (-1)3 = -1 a22 = 0 a32 = (-1)3+2 = (-1)5 = -1 
 
Então a matriz será: 
 0 -1 
A = -1 0 
 1 -1 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A dimensão da matriz B=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝1234−140207352833⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠B=(1234−140207352833)é 
 
 B4,2B4,2 
 B2,2B2,2 
 B3,3B3,3 
 B4,4B4,4 
 B2,4B2,4 
 
 
 
Explicação: 
B4,4B4,4 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dadas as 
matrizes A=⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠A=(1−52), B=⎛⎜⎝−403⎞⎟⎠B=(−403) e C
=⎛⎜⎝−28−6⎞⎟⎠C=(−28−6) , determine a soma dos elementos da 
matriz X tal que A - 2B + 3C - X = 0. 
 
 
 
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 1 
 -6 
 -2 
 0 
 5 
 
 
 
Explicação: 
A - 2B + 3C - X = 0 
X =⎛⎜⎝1−52⎞⎟⎠(1−52)- ⎛⎜⎝−806⎞⎟⎠(−806) + ⎛⎜⎝−624−18⎞⎟⎠(−624−18) 
X = ⎛⎜⎝319−22⎞⎟⎠(319−22) 
Daí, a soma dos elementos da matriz é: 
3 + 19 - 22 = 0 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A dimensão da matriz A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝234−1020352−33⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(234−1020352−33)é: 
 
 N.D.A 
 A3,4A3,4 
 A3,3A3,3 
 A4,4A4,4 
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 A4,3A4,3 
 
 
 
Explicação: 
Matriz retangular de 4 linhas por 3 colunas 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Resolva o sistema linear abaixo obtendo os valores de x e y. 
7x + 3y = 23 
15x -2y = 24 
 
 x = 4 e y = -2 
 x = 1 e y = 5 
 x = -1 e y = 10 
 x = 2 e y = 3 
 x = 3 e y = 1 
 
 
 
Explicação: 
Multiplique a 1a. equação por 2 e a 2a.equação por 3. Some ambas equações e obterá o 
valor de x = 2, substitua este valor em qualquer das equações e obterá y = 3. 
 
 
 
 
1. 
 
Determine a soma dos elementos da inversa da 
matriz A = 4 1 . 
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 3 
0 
 
 -1/2 
 -1 
 2 
 1 
 0 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
 
A-1 = adj(A) / !A! = 0 -1 = 0 1/3 
 -3 4 / -3 1 -4/3 
 
Logo: 0 + 1/3 + 1 - 4/3 = 0 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = ¿ 
4i ¿ 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. 
 
 C=(0110)C=(0110) 
 C=(0−1−10)C=(0−1−10) 
 C=(01−10)C=(01−10) 
 C=(−100−1)C=(−100−1) 
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 C=(100−1)C=(100−1) 
 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Qual a matriz A = (aij)4x4, em que aij = 3i - 2j? 
 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝−18027450−10−2−38−741⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(−18027450−10−2−38−741) 
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A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝−1806−4571−105−632−210⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(−1806−4571−105−632−210) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝9−71084054−11778520⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(9−71084054−11778520) 
 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝5−3−11−2024135746810⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(5−3−11−2024135746810) 
 
 
 
Explicação: 
aij = 3i - 2j, logo: 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜ 
⎜⎝a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4⎞⎟ 
⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(a1,1a1,2a1,3a1,4a2,1a2,2a2,3a2,4a3,1a3,2a3,3a3,4a4,1a4,2a4,3a4,4) 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−2.4
3.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(3.1−2.13.1−2.23.1−2.33.1−2.43.2−2.13.2−2.23.2−2.33.2−2.43.3−2.13.3−2.23.3−2.33.3−
2.43.4−2.13.4−2.23.4−2.33.4−2.4) 
A=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝1−1−3−5420−2753110864⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠A=(1−1−3−5420−2753110864) 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dadas as matrizes , e , 
determine a matriz D resultante da operação A + B ¿ C. 
 
 D=⎛⎜⎝−8−91624101055⎞⎟⎠D=(−8−91624101055) 
 D=⎛⎜⎝−8−9−4−2416555⎞⎟⎠D=(−8−9−4−2416555) 
 D=⎛⎜⎝16−9−841025510⎞⎟⎠D=(16−9−841025510) 
 D=⎛⎜⎝5−95−6810−852⎞⎟⎠D=(5−95−6810−852) 
 D=⎛⎜⎝−8−512−95−8516⎞⎟⎠D=(−8−512−95−8516) 
 
 
 
Explicação: 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 2 0 1 
Se p = 2 1 e q = -3 1 2 então pq - p² é um número. 
 3 -2 4 1 4 
 
 primo 
 ímpar 
 0 
 múltiplo de 7 
 divisor de 144 
 
 
 
Explicação: 
Temos: p = 2 1 = -4 -3 = -7 2 0 1 
 3 -2 e q = -3 1 2 = 8 - 3 - 4 - 4 = -3 
 4 1 4 
 
Logo: pq - p² = (-7).(-3) - (-3)² = 21 - 9 = 12 
 
 
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6. 
 
 
Sejam as matrizes: A = (aij)4x3, aij = j.i e B = (bij)3x4, bij = j.i . Seja C a matriz resultante 
do produto entre A e B. Calcule elemento c23 da matriz C. 
 
 72 
 108 
 96 
 100 
 84 
 
 
 
Explicação: 
Após efetuar as somas, a matriz C ficará assim: 
 
14 28 42 56 
28 56 84 112 
42 84 126 168 
56 112 168 224 
Mas como só nos interessa o elemento de C23... 
O elemento da C23 é 84. (Lembrando que o elemento C23 é encontrado na 2ª linha e 3ª 
coluna da matriz C) 
O calculo é bem simples, é 
2*3 = 6 
4*6 = 24 
6*9 = 54 
Depois basta somar, 6+24+54=84... 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O determinante da matrizA=(2314)A=(2314) é: 
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 5 
 4 
 3 
 8 
 2 
 
 
 
Explicação: 
D=(2x4) - (3x1)=5 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine o valor do determinante da matriz a seguir: 
⎛⎜⎝a0000000c⎞⎟⎠(a0000000c) 
 
 bc 
 2bc 
 abc 
 ac 
 ab 
 
 
 
Explicação: 
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, 
copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira. 
Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte 
forma: 
D = (a . b . c) + (0 . 0 . 0) + (0 . 0 . 0) - (0 . b . 0) - (0 . 0 . a) - (c . 0 . 0) 
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D = abc 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o cofator do elemento b22 na matriz B: 
B=⎛⎜ 
⎜ 
⎜⎝3127193544300135⎞⎟ 
⎟ 
⎟⎠B=(3127193544300135) 
 
 83 
 87 
 91 
 85 
 89 
 
 
 
Explicação: 
Eliminando a 2ª linha e a 2ª coluna de B, obtemos: 
B22 = (-1)2+2 . ⎛⎜⎝327430035⎞⎟⎠(327430035) (nesta etapa calcule o determinante 
normalmente e depois multiplique para achar o cofator) 
B22 = 1 . 89 
B22 = 89 
 
 
 
 
 
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3. 
 
 
Todas as equações são lineares, exceto: 
 
 x3+2x2−x=0x3+2x2−x=0 
 x+7y=9x+7y=9 
 2x−y+6z=02x−y+6z=0 
 x-2y=4 
 4x−y=84x−y=8 
 
 
 
Explicação: 
Equações lineares são aquelas onde todas as variáveis ocorrem somente na primeira 
potência e não aparecem, por exemplo, como argumentos de funções trigonométricas, 
logarítmicas ou exponenciais. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
As equações a seguir são não lineares, exceto: 
 
 x2+5y=24x2+5y=24 
 x+6y=7x+6y=7 
 x+√y−1=8x+y−1=8 
 log(x)+3y=100log(x)+3y=100 
 sen(x2)+y+5z2=0sen(x2)+y+5z2=0 
 
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Explicação: 
Equações lineares são aqueles onde todas as variáveis ocorrem somente na primeira 
potência. 
Equações não lineares são aquelas onde pode aparecer variáveis com potências maiores 
que um, argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais, raiz dentre 
outros. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o valor do determinante: 
3 2 1 
1 2 5 
1 -1 0 
 
 25 
 24 
 22 
 23 
 26 
 
 
 
Explicação: 
Nesta questão deve ser aplicado o calculo de determinante em matriz de ordem 3, 
copiando as duas primeiras colunas ao lado da terceira. 
Formando uma matriz A3x5, e seguir o calculo do determinante que ficará da seguinte 
forma: 
D = (3 . 2 . 0) + (2 . 5 . 1) - (1 . 1 . -1) - (1 . 2 . 1) + (-1 . 5 . 3) + (0 . 1 . 2) 
D = 0 +10 -1 -2 +15 - 0 
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D = 25 - 3 
D = 22 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo (a,b,c) a solução do 
sistema ⎧⎨⎩x−2y+4z=92x+y−10z=−133x+3y−z=10{x−2y+4z=92x+y
−10z=−133x+3y−z=10,então a + 2b - c, vale: 
 
 2 
 6 
 4 
 -4 
 3 
 
 
 
Explicação: 
Temos: 
D=∣∣ 
∣∣1−2421−1033−1∣∣ 
∣∣=−1+60+24−12−4+30=97D=|1−2421−1033−1|=−1+60+24−12−4+30=97 
Da=∣∣ 
∣∣9−24−131−10103−1∣∣ 
∣∣=−9+200−156−40+26+270=291Da=|9−24−131−10103−1|=−9+200−156−40+26+270=291 
Db=∣∣ 
∣∣1942−13−10310−1∣∣ 
∣∣=13−270+80+156+18+100=97Db=|1942−13−10310−1|=13−270+80+156+18+100=97 
Dc=∣∣ 
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∣∣1−2921−133310∣∣ 
∣∣=10+78+54−27+40+39=194Dc=|1−2921−133310|=10+78+54−27+40+39=194 
 
 Daí: 
a = Da/D = 291/97 = 3 
b = Db/D = 97/97 = 1 
c = Dc/D = 194/97 = 2 
 
Então: a + 2b - c = 3 + 2.1 - 2 = 3 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Qual o cofator do elemento a13 na matriz abaixo? 
 
A=⎛⎜⎝215432768⎞⎟⎠A=(215432768) 
 
 
 6 
 5 
 3 
 2 
 4 
 
 
 
Explicação: 
Como i = 1 e j = 3, eliminamos a 1ª linha e a 3ª coluna da matriz A, e assim temos: 
A13 = (-1)1+3 . (4376)(4376) 
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A13 = 1 . (24 - 21) = 3 
 
Fórmula do cofator: 
Aij = (-1)i-j . Dij 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes ⎡⎢⎣3452k41−22⎤⎥⎦[3452k41−22]. 
Uma condição necessária e suficiente sobre k para que o sistema tenha uma única 
solução é: 
 
 k diferente de - 4 
 k diferente de 12111211 
 k diferente de zero 
 k diferente de −1211−1211 
 k diferente de 4 
 
 
 
Explicação: 
\[3452k41−22\]\[3452k41−22\] 
O determinante da matriz acima, aplicando a regra de Sarrus, é: k + 4 
Para que o sistema admita uma única solução, k + 4 deve ser diferente de zero. Logo: k é 
diferente de - 4. 
1. 
 
 
A dimensão do espaço vetorial dim M5 x 5(R) é igual a: 
 
 10 
 0 
 20 
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 5 
 25 
 
 
 
Explicação: 
A resolução é: dim M5 x 5(R) = 5 . 5 = 25 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a e b para que os sistemas sejam equivalentes. 
x - y = 9 ax + y = 12 
x + y = 5 e 2x - by = 20 
 
 a = 2 e b = 3 
 a = 4 e b = 3 
 a = 3 e b = 4 
 a = 3 e b = 2 
 a = 6 e b = 5 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro resolvemos o sistema 
x - y = 9 
x + y = 5 
 
x - y = 9 
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x + y = 5 
Somando as duas equações temos: 
2x = 14 ⇒ 7 - 9 ⇒ y = -2 
 
Para que os sitemas sejam equivalentes, S = {(7, -2)} também deve ser o conjunto solução 
do outro sistema; então: 
ax + y = 12 ⇒ a(7) + (-2) = 12 ⇒ 7a - 2 = 12 ⇒ 7a = 14 ⇒ a = 2 
2x - by = 20 ⇒ 2(7) - b(-2) = 20 ⇒ 14 + 2b = 20 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 
 
Portanto, a = 2 e b = 3 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as 
posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). 
Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea 
que passa pelos pontos A e B. 
 
 x + y - 5 = 0 
 x - 2y + 2 = 0 
 2x + 2y- 8 = 0 
 x + 2y - 6 = 0 
 x - y = 0 
 
 
 
Explicação: 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1). 
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| x y 1 | x y 
| 2 2 1 | 2 2 
| 4 1 1 | 4 1 
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto 
das diagonais secundárias. 
2x+4y+2-8-x-2y=0 
x+2y-6=0 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 
pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e 
todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que 
cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que 
compareceram ao show. 
 
 122 sócios e 78 não sócios 
 120 sócios e 80 não sócios 
 130 sócios e 70 não sócios 
 115 sócios e 85 não sócios 
 78 sócios e 122 não sócios 
 
 
 
Explicação: 
X+y=200 (5) X= quantidade de sócios y=quantidade não sócios 
5x+10y=1400 
5x+5y=1000 (-1) 
5x+10y=1400 
-5x-5y=-1000 
5x+10y=1400 Some as duas equações 
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5y=400 
y=80 
Substitua y=80 em x+y=200 
x+80=200 
x=120 
Foram 80 não associados e 120 associados ao show 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). 
Determine o valor de f(3u-2v). 
 
 (8,-52) 
 (6,-52) 
 (-8,-52) 
 (8,52) 
 (-8,52) 
 
 
 
Explicação: 
Temos: 
3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5) 
 
Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52) 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de 
um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motose 
carros usaram o estacionamento nesse dia? 
 
 47 motos e 53 motos 
 67 carros e 33 motos 
 53 carros e 47 motos 
 23 carros e 38 motos 
 77 carros e 23 motos 
 
 
 
Explicação: 
c,m = carro, moto 
 
3c + 2m = 277 ........ (i) 
c + m = 100 ............ (ii) 
 
De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i): 
 
3c + 2m = 277 
3.(100-m) + 2m = 277 
300 - 3m + 2m = 277 
-m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m": 
m = -277+300 
m = 23 
====== 
 
c = 100 - m = 100 - 23 
c = 77 
 
 
 
 
 
 
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7. 
 
 
Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá 
encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos 
superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: 
Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 
66 kg. Determine o peso de cada um deles. 
 
 Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg. 
 Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg. 
 Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg. 
 Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg. 
 Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg. 
 
 
 
Explicação: 
Peso de Carlos = x 
Peso de Ándreia = y 
Peso de Bidu = z 
eq 1: x + z = 87 
eq 2: x + y = 123 
eq 3: y + z = 66 
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2: 
(x + y) - (x + z) = 123 - 87 
y - z = 36 (eq 4) 
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4: 
(y - z) + (y + z) = 36 + 66 
2y = 102 
y = 51 
Com y = 51, temos: 
y + z = 66 
51 + z = 66 
z = 15 
Então... 
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x + z = 87 
x + 15 = 87 
x = 72 
Logo, os pesos de cada um são: 
Carlos (x) = 72 Kg 
Ándreia (y) = 51 Kg 
Bidu (z) = 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(0,-3,-4) e tem a direção 
de v⃗ = (2, −1,3): 
Resolução: 
r(x, y, z) = (0, −3, −4) + t(2, −1,3) 
Em que (x,y,z) representa um ponto qualquer de r. 
Para você obter pontos de r, basta atribuir valores para t. 
Exemplo: t = 1 (x,y,z) = P1 = (0,-3,-4) + 1 . (2,-1,3) P1(2,-4,-1) ∈ r 
 
Figura 4: Representação da reta r, em vermelho. Observe o vetor diretor v⃗ , em azul, e os 
pontos A e P1, em destaque, que pertencem à reta r. 
 
 
 
Exemplo 2 
Dado o ponto A(-2,3,4) e o vetor v⃗ = (1,2,3), pede-se: 
a) Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v⃗ . 
b) Encontrar os pontos B e C de r de parâmetros t =1 e t = 4, respectivamente. 
c) Determinar o ponto r cuja abscissa é 4. 
d) Verificar se o ponto D(0,-2,5) pertence à reta r. 
e) Determinar os valores de m e n que tornam o ponto E(m,5,n) pertencente à reta r. 
f) Escrever outro sistema de equações paramétricas de r. 
Resolução: 
a) As equações paramétricas de r: {x = −2 + t y = 3 + 2t z = 4 + 3t 
b) Quando t = 1: {x = −2 + t ∴ x = −2 + 1 = −1 y = 3 + 2t ∴ y = 3 + 2 ∙ 1 = 5 z = 4 + 3t ∴ z = 4 + 3 ∙ 1 
= 7 Logo: B(-1,5,7) ∈ r 
Quando t = 4: {x = −2 + t ∴ x = −2 + 4 = 2 y = 3 + 2t ∴ y = 3 + 2 ∙ 4 = 11 z = 4 + 3t ∴ z = 4 + 3 ∙ 4 = 
16 
Logo: C(2,11,16) ∈ r 
c) O ponto de r que tem abscissa 4 é: P(4,y,z). 
Assim: 
2 
x = −2 + t ∴ 4 = −2 + t ∴ t = 6 
{𝑦 = 3 + 2𝑡 ∴ 𝑦 = 3 + 2 ∙ 6 = 15 𝑧 = 4 + 3𝑡 ∴ 𝑧 = 4 + 3 ∙ 6 = 22 
Consequentemente: P(4,15,22) ∈ r 
d) O ponto D(0,-2,5) pertence à reta r? 
O ponto D ∈ r se existir um real t que possa satisfazer ao conjunto de equações 
paramétricas: {x = −2 + t y = 3 + 2t z = 4 + 3t 
{0 = −2 + t ∴ t = 2 
{−2 = 3 + 2t ∴ t = −
5
2
 
{5 = 4 + 3t ∴ t =
1
3
 
Assim, D ∈ r. 
e) Os valores de m e n que tornam o ponto E(m,-3,n) pertencente à reta r. 
O ponto E ∈ r se existir um real t que possa satisfazer ao conjunto de equações 
paramétricas: { 
x = −2 + t 
y = 3 + 2t 
z = 4 + 3t 
{m = −2 + t ∴ t = m + 2 
{−3 = 3 + 2t ∴ t = −3 
{n = 4 + 3t ∴ t = 
𝑛−4
3
 
Como t = −3, m = −5, n = −5 
Consequentemente: E(-5,-3,-5) ∈ r 
f) Escrever outro sistema de equações paramétricas de r 
Primeiro vamos usar o ponto B(-1,5,7) e o vetor diretor −v⃗ = −1(1,2,3) = (−1, −2, −3) 
{x = −1 − t 
{y = 5 − 2t 
{z = 7 − 3t 
Agora, vamos usar o ponto C(2,11,16) e o vetor diretor: 
1
2
 v⃗=
1
2
(1,2,3)=( 
1
2
, 1,
3
2
) 
{x = 2 + 
1
2
t 
{y = 11 + t 
{z = 16 +
3
2
t 
 
Figura 5: Representação da reta r e dos diferentes pontos que pertencem ou não à reta r. 
Representação baseada na resolução do Exemplo 1.