Cálculo 3 - Lista 5

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Lista de Exercícios de Cálculo 3
Quinta Semana
Parte A
1. Determine as derivadas das funções abaixo com relação as suas respectivas variáveis.
(a) f(x, y) = 3x3 − 2x2y + xy
(b) g(x, y) = (xy + y2 + 1)3
(c) q(r, s) = cos2(3r − 2s2)
(d) h(u, v) =
u+ v
uv − 1
(e) w(x, y) =
x2 + y2
y2 − x2
(f) f(t, v) = ln
√
t+ v
t− v
(g) f(x, y) =
∫ y
x
ln sen t dt
(h) g(t, v) =
n∑
i=0
(t2 + 2tv − v2)i
2. Calcule
∂w
∂x
e
∂w
∂y
utilizando a regra da cadeia, sabendo que w = usenv; u = x2 + y2 e v = xy.
3. Sabendo que u = ey/x, x = 2r cos t e y = 4rsent, calcule
∂u
∂r
e
∂u
∂t
·
4. Calcule
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
,
∂2f
∂x∂y
e
∂2f
∂y∂x
, onde
f(x, y) =
x2
y
− y
x2
·
Parte B
1. Usando a definição de derivadas parciais, calcule fx(x, y) e fy(x, y)
(a) f(x, y) = 2 + x− 3y + x2y
(b) f(x, y) = x2y − x3y2
(c) f(x, y) =
3x
x2 + 2y
2. Dada f(x, y) = 3
√
x3 + y3, determine fx(0, 0) usando a definição.
3. Considere a função
f(x, y) =
{
x3y−xy3
x2+y2
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
(a) Determine fx(x, y) e fy(x, y) quando (x, y) 6= (0, 0);
1
(b) Determine fx(0, 0) e fy(0, 0) pela definição;
(c) Mostre que fxy(0, 0) = −1 e fyx(0, 0) = 1.
4. A temperatura em qualquer ponto de uma placa plana é T graus e
T (x, y) = 54− 2
3
x2 − 4y2.
Se a distância for medida em centímetros, ache a taxa de variação da temperatura em relação à distância
movida ao longo da placa nas direções dos eixos positivos x e y, respectivamente, no ponto (3, 1).
5. A resistência R ohms de um circuito elétrico é dada pela fórmula R = E/I, onde I é a corrente
em ampères e E a força eletromotriz em volts. Calcule ∂R/∂I e ∂R/∂E quando I = 15 ampères e
E = 110 volts e dê uma interpretação para essas duas derivadas parciais utilizando o conceito de taxa
de variação.
6. Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto (x, y, z) seja dado por
V (x, y, z) =
100
(x2 + y2 + z2)
,
onde V é dado em volts e x, y, z em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de V em relação
a distância em (2,−1, 1) na direção dos eixos x, y e z, respectivamente.
7. Calcule
∂w
∂t
, onde w = ln
x3y2
5z
;x = 7t; y = sec t e z = cot t.
8. O raio r e a altura h de um cilindro circular reto aumentam à razão de 0,01 cm/min e 0,02 cm/min,
respectivamente.
(a) Ache a taxa de variação do volume quando r = 4cm e h = 7cm.
(b) A que taxa a área da superfície curva está variando neste instante?
9. Calcule
∂2f
∂x2
,
∂2f
∂y2
e prove que
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
, onde
f(x, y) = 4xsenhy + 3y coshx.
10. Considere a função u(x, y, z) = eax+by+cz com a2 + b2 + c2 = 1. Verifique que a função satisfaz a
equação
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= u
Parte C
1. Uma função f(x, y) é harmônica se
∂2f
∂x2
(x, y) +
∂2f
∂y2
(x, y) = 0
em todo domínio de f . Prove que a função f(x, y) = ln
√
x2 + y2 é harmônica.
2. Se w = f(x, y), em que x = r cos θ e y = rsenθ, mostre, usando a regra da cadeia, que(
∂w
∂x
)2
+
(
∂w
∂y
)2
=
(
∂w
∂r
)2
+
1
r2
(
∂w
∂θ
)2
·
2
3. A equação de Laplace em R3 é
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0.
Mostre que
u(x, y, z) =
1√
x2 + y2 + z2
satisfaz a equação de Laplace para (x, y, z) 6= (0, 0, 0).
3
Resumo do Conteúdo
• Derivada Parcial: dada uma função w = f(x, y, z) suas derivadas parciais fornecem a taxa de variação
da função f em cada uma das direções canônicas i, j e k.
– Relação a x:
∂f
∂x
(x0, y0, z0) = lim
h→0
f(x0 + h, y0, z0)− f(x0, y0, z0)
h
– deriva-se com relação a var-
iável x e mantém as demais variáveis como constante;
– Relação a y:
∂f
∂y
(x0, y0, z0) = lim
k→0
f(x0, y0 + k, z0)− f(x0, y0, z0)
k
– deriva-se com relação a var-
iável y e mantém as demais variáveis como constante;
– Relação a z:
∂f
∂z
(x0, y0, z0) = lim
s→0
f(x0, y0, z0 + s)− f(x0, y0, z0)
s
– deriva-se com relação a variável
z e mantém as demais variáveis como constante;
– Notação:
∂f
∂x
= fx,
∂f
∂y
= fy e
∂f
∂z
= fz;
– Observação: valem as regras da multiplicação por escalar, soma, produto e quociente;
• Derivadas Parciais de Segunda Ordem: dada z = f(x, y) diferenciável, as derivadas segun-
das são definidas como
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂x2
= fxx,
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂y2
= fyy,
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=
∂2f
∂y∂x
= fxy e
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=
∂2f
∂x∂y
= fyx;
– Observação: nem sempre fxy = fyx, para que sejam iguais em um ponto (x0, y0) é necessário que
fx, fy, fxy e fyx sejam contínuas em (x0, y0) (Teorema de Clairaut);
• Regra da Cadeia: dada uma função z = f(x, y) diferenciável e uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j também
diferenciável, então (f ◦ r)(t) também é diferenciável e a derivada é dada por
d
dt
(f ◦ r)(t) =
(
∂f
∂x
)
t
dx
dt
+
(
∂f
∂y
)
t
dy
dt
.
– Caso tridimensional: dada w = f(x, y, z) e r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k, então
d
dt
(f ◦ r)(t) =
(
∂f
∂x
)
t
dx
dt
+
(
∂f
∂y
)
t
dy
dt
+
(
∂f
∂z
)
t
dz
dt
;
– Para mais casos consulte o livro/caderno!!!
4
Gabarito
Parte A
1. Respostas
(a) fx = 9x2 − 4xy + y; fy = x− 2x2
(b) fx = 3y(xy + y2 + 1)2; fy = 3(x+ 2y)(1 + xy + y2)2
(c) qr = −3 sin(6r − 4s2); qs = 4s sin(6r − 4s2)
(d) hu = − v
2 + 1
(uv − 1)2 ; hv = −
u2 + 1
(uv − 1)2
(e) wx =
4xy2
(y2 − x2)2 ; wy = −
4x2y
(y2 − x2)2
(f)
∂f
∂t
(t, v) =
v
t2 − v2 ;
∂f
∂v
(t, v) =
t
t2 − v2
(g)
∂f
∂x
(x, y) = − ln senx; ∂f
∂y
(x, y) = ln sen y
(h) gt =
n∑
i=1
2i(t+ v)(t2 + 2tv − v2)i−1; gv =
n∑
i=1
2i(t− v)(t2 + 2tv − v2)i−1
2.
∂w
∂x
(x, y) = 2xsen(xy) + y(x2 + y2) cos(xy);
∂w
∂y
(x, y) = 2ysen(xy) + x(x2 + y2) cos(xy)
3.
∂u
∂r
= 0;
∂u
∂s
= 2e2 tan t sec2 t
4.
∂2f
∂x2
(x, y) =
2
y
− 6y
x4
;
∂2f
∂y2
(x, y) =
2x2
y3
;
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂2f
∂y∂x
(x, y) = −2x
y2
− 2
x3
Parte B
1. (a) fx = 2xy − 3x2y2 e fy = x2 − 2x3y; (b) fx = 3(2y−x
2)
(x2+2y)2
e fy = −6x(x2+2y)2
2. fx(0, 0) = 1
3. Respostas
(a) fx(x, y) =
x4y + 4x2y3 − y5
(x2 + y2)2
e fy(x, y) =
x5 − 4x3y2 − xy4
(x2 + y2)2
(b) fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0
4. −4◦/cm; −8◦/cm.
5.
∂R
∂I
= −22
45
;
∂R
∂E
=
1
5
6. −100
9
;
50
9
;
50
9
7.
21
x
+
2 sec t tan t
y
+
csc2 t
z
8. (a) 0, 88pi cm³/min; (b) 0, 3pi cm³/min
9.
∂2f
∂x2
(x, y) = 3y coshx;
∂2f
∂y2
(x, y) = 4x cosh y
5
Parte C
1. Compute as derivadas parciais e some os resultados obtidos.
2. Calcule
∂w
∂r
e
∂w
∂θ
, eleve ambos ao quadrado, coloque r em evidência em
∂w
∂θ
e some os resultados.
3. Compute as derivadas parciais e some os resultados obtidos.
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