Notas de aula Eletricidade e Magnetismo

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Profa. Dra. Kelly Cristina Cezaretto Pires 
kellypires@utfpr.edu.br 
ELETRICIDADE E MAGNETISMO 
CONTEÚDO 
1. Carga Elétrica 
2. Campo Elétrico 
3. Lei de Gauss 
4. Potencial Elétrico 
5. Capacitância 
6. Corrente e Resistência 
7. Circuitos Elétricos 
8. Campo Magnético 
9. Indução Magnética e Indutância 
 
 
 
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
 3 Provas: P1 = 29/10 
 P2 = 10/12 
 P3 = 11/02 
 Psc = 18/02 
 Ps = 25/02 
 
 
 
 
 APS: 5 atividades: APS1 = 08/10 
 APS2 = 22/10 
 APS3 = 19/11 
 APS4 = 17/12 
 APS5 = 29/01 
 
 Serão consideradas as 
4 maiores notas. 
NOTA FINAL 
 75% de presença 
 
 
 
MATERIAL 
 Notas de Aulas 
 Listas de Exercícios 
 Notas 
 
 http://moodle.cp.utfpr.edu.br/moodle 
 
 Disciplina: ET63A_ELETRICIDADEEMAGNETISMO_C31_C32 
 senha: eletricidade 
BIBLIOGRAFIA 
 
 Halliday, Resnick e Walker, Fundamentos da Física, Vol. 
3, 6a. Edição, LTC Editora, Rio de Janeiro, 2004. 
 
 Tippler e Mosca, Física, 5a. Edição, Vol. 3, LTC Editora, Rio 
de Janeiro, 2005. 
 
 Sears e Zemansky, Física, Vol. 3, 10ª edição, Addison 
Wesley, São Paulo. 
 
 H. Moysés Nussenzveig, Curso de Físca Básica – Mecânica, 
editora: Edgard Blücher. 
 
 
CARGA ELÉTRICA 
CONTEÚDO 
1. Contexto histórico 
2. Interação Elétrica 
3. Carga Elétrica 
4. Lei de Coulomb 
5. Exemplos 
6. Exercícios 
 
 
 
 
 
CONTEXTO HISTÓRICO 
Início séc. XVIII: o mundo da ciência voltou sua atenção para o 
problema da eletricidade. Havia uma boa razão para isso: 
muitos cientistas viviam de palestras, ou seja, precisavam 
atrair uma platéia. Para isso era preciso demonstrações 
excitantes e a eletricidade era perfeita para isso. 
 
As ciências: Eletricidade e Magnetismo 
 desenvolveram separadamente durante séculos 
 
1820: H.C. Oersted  ligação: uma corrente elétrica em um fio 
consegue defletir a agulha magnética de uma bússula. 
 
Nova ciência: ELETROMAGNETISMO  continuou a ser 
desenvolvida 
 
 
Michael Faraday: - um dos melhores cientistas 
 - grande talento para a intuição física e visualização 
 - não usava equações 
 
James C. Maxwell: - séc XIX: expressou as idéias de Faraday em forma 
 matemática 
 - introduziu idéias originais 
 - base sólida ao eletromagnetismo 
Equações de Maxwell: conjunto de 4 equações 
 - constitui as leis básicas do eletromagnetismo 
 - apresentar as equações no decorrer do curso 
 
 
 
 
Eletricidade estática em roupa 
 
Pente de pástico atraindo papel 
 
relâmpago 
CARGA ELÉTRICA 
Fenômenos que representam a 
manifestação da carga elétrica 
armazenada nos objetos 
 
 
 
 
Característica intrínseca das 
partículas fundamentais que 
formam esses objetos 
 
“escondida”: quantidade iguais de cargas positivas e negativas 
 
EQUILÍBRIO 
Objeto ELETRICAMENTE NEUTRO 
= carga resultante: NULA 
 
 
 
Se os dois tipos de cargas NÃO ESTIVEREM EM EQUILÍBRIO: existirá 
uma carga resultante 
 
 
OBJETO CARREGADO: possui um desequilíbrio de cargas 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 No atrito, cargas são transferidas perturbando 
a neutralidade 
“Cargas com o mesmo sinal elétrico se repelem 
e cargas com sinais elétricos contrários se 
atraem.” 
CONDUTORES E ISOLANTES 
 Condutores: carga negativa se move com facilidade 
 - metais 
 - corpo humano 
 Isolantes: carga não se move livremente 
 - isopor 
 - plástico 
 
 
 Esfregando-se um bastão de cobre com lã = segurando na mão = 
não carrega o bastão. 
 
 
 
condutores 
 Carga em excesso: se move do bastão para o piso passando por você 
 
 
 
ligado à superfície da Terra 
= Bastão Neutralizado 
= Descarregado 
 ATERRAR OBJETO: caminho condutor entre um objeto e a superfície 
da Terra 
 
 
 PROPRIEDADES: se devem à estrutura e a natureza elétrica dos 
átomos 
 
 
Prótons (+) 
Elétrons (-) 
neutrons 
 
carga próton = carga elétron 
Eletricamente Neutro 
 JUNÇÃO DE ÁTOMOS = Sólidos 
 Condutor = e- mais externos ficam livres para se mover no interior do 
sólido 
“Apenas elétrons de condução (carga negativa) podem se mover, os íons 
positivos permanecem fixos.” 
 Objeto POSITIVAMENTE carregado: remoção de cargas negativas 
 Objeto NEGATIVAMENTE carregado: introdução de cargas negativas 
 
 
 
 SEMICONDUTORES: materiais intermediários 
 SUPERCONDUTORES: não apresentam resistência ao movimento de 
cargas elétricas 
 
 
 
LEI DE COULOMB 
 Considere duas partículas carregadas q1 e q2 separadas por uma 
distância r. 
 FORÇA ELETROSTÁTICA: 
2
21
r
|q||q|
kF 
constante eletrostática 
 A força elétrica é proporcional ao 
produto das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância. 
2
2
9
0
1099,8
4
1
C
Nm
xk 

Nm/C10x85,8 2120

SI: F = Newton (N) 
 q = Coulomb (C) 
 r = metros (m) 
r 
Repulsão 
Repulsão 
Atração 
 
 Lei de Coulomb = Análoga Força Gravitacional (Newton) 
 
 
 
 Diferença: FG = força atrativa (1 tipo de massa) 
 Fe= força atrativa ou repulsiva (2 tipos de carga) 
2
21
r
mm
GF 
PRINCÍCIO DA SUPERPOSIÇÃO 
 Se tivermos n partículas carregadas, elas interagem 
independentemente, aos pares: 
 
 
q1 
q2 
q3 
q4 
n1141312res,1 F...FFFF


141312res,1 FFFF


 Força atuando sobre a partícula 1 
devido a presença da partícula 4 
EXEMPLO 
a) Duas partículas carregadas positivamente estão fixadas sobre um 
eixo x. As cargas são: q1=1,6x10
-19C, q2=3,2x10
-19C. 
 A separação é r = 0,02m. Quais são a intensidade, direção e 
 sentido da força ? 
12F

b) Considere agora que exista uma partícula 3 entre as partículas 1 e 
2, onde : q3=-3,2x10
-19C. Qual é a força resultante sobre a 
partícula 1 devido às partículas 2 e 3? 
c) Considerando a nova configuração, onde =60º. Qual é a força 
resultante em q1? 
 
EXERCÍCIOS 
1. Duas esferas codutoras idênticas e isoladas 1 e 2, 
possuem quantidades iguais de carga e estão separadas 
por uma distância grande comparada com seus diâmetros. 
A força eletrostática que atua sobre a esfera 2 devido a 
esfera 1 é F. Suponha agora que uma terceira esfera 
idêntica 3, dotada de um suporte isolante e inicialmente 
descarregada, toque primeiro a esfera 1, depois a esfera 2 
e, em seguida, seja afastada. Em termos de F, qual é a 
força eletrostática F’ que atua sobre a esfera 2? 
 
 
2. Uma carga puntiforme de 3x10-6C dista 12cm de uma segunda 
carga puntiforme de -1,5x10-6C. Calcular o módulo da força 
elétrica que atua sobre cada carga. 2,81N 
 
3. Qual deve ser a distância entre duas cargas puntiformes q1=26C 
e q2=-47C para que o módulo da força eletrostática entre elas 
seja 5,7N? d1,39m 
 
4. Qual seria a força eletrostática entre duas cargas de 1,00C 
separadas por uma distância de (a) 1,00 m e (b) 1,00 km se tal 
configuração pudesseser estabelecida? (a)8,99x109N, (b) 8990N 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Parte 1 
CONTEÚDO 
1. Campo Elétrico 
2. Linhas de Força 
3. Campo Elétrico de uma Carga Pontual 
4. Campo Elétrico de um Dipolo 
 
 
 
 
 
Aula passada... 
 Se fixarmos q1 próximo de q2: 
Lei de Coulomb: 
q1 exerce uma força 
eletrostática respulsiva sobre q2 
?? Como q1 sabe que q2 está presente?? 
Estabelece um CAMPO ELÉTRICO no espaço que a cerca 
Possui intensidade, direção e sentido 
 Campo de Temperatura: A temperatura em cada ponto de uma sala 
possui um valor definido  medir T em qualquer ponto 
  
 Termômetro 
 
  Campo Elétrico: Formado por uma distribuição de vetores  um 
para cada ponto da região 
 
CAMPO ESCALAR 
CAMPO VETORIAL 
F E Campo elétrico no 
ponto P produzido pelo 
Objeto carregado 
 Apesar de usarmos 
uma carga de teste 
para definirmos o 
campo elétrico, este 
existe 
independentemente 
da carga de teste. 
0q
F
E



Linhas de Força 
 Michael Faraday: séc. XIX = imaginou o espaço ao redor de um 
corpo carregado como se fosse preenchido com linhas de força 
(NÃO SÃO REAIS) 
 Forma de visualizar padrões em campos elétricos. 
 As linhas de campo são 
desenhadas de modo que o 
número de linhas por unidade de 
área é proporcional à intensidade 
de E. 
 O afastamento das linhas de campo com a distância a 
partir da esfera nos diz que a intensidade do campo 
elétrico diminui com a distância à esfera. 
 Linhas de campo elétrico se estendem para fora de uma carga positiva 
(de onde elas se originam) e em direção a uma carga negativa (onde 
elas terminam). 
Campo Elétrico devido a uma Carga Pontual 
 Utilizamos uma carga teste q0. 
 
 LEI DE COULOMB: 
 
 
 CAMPO ELÉTRICO:  
0q
F
E



2
21
r
|q||q|
kF 

rˆ
r
|q|
kE
2

 Carga Pontual 
Direção e sentido = Força 
 CAMPO ELÉTRICO RESULTANTE: 
0
N0
0
02
0
01
0
0
q
F
...
q
F
q
F
q
F
E



N321 E...EEEE


Devido a mais do 
que 1 carga pontual 
Princípio da Superposição 
EXEMPLO: Cargas de mesmo sinal 
1. Duas cargas puntiformes de módulo q1=2,0x10
-7C e q2=8,5x10
-8C 
estão separadas por uma distância de 12 cm. 
a) Qual o módulo do campo elétrico que cada uma cria no local onde 
está a outra? 
b) Qual o módulo da força que atua sobre cada uma delas? 
EXEMPLO: Campo Elétrico devido a um 
 Dipolo Elétrico 
Campo Elétrico em P? 
rˆ
d
p
kE
3


d = momento de dipolo elétrico 
PRÓXIMA AULA... 
 Distribuição Contínua de Cargas: 
 Anel Carregado 
 Linha Infinita de Cargas 
 Disco Carregado 
 
 Carga Pontual em um Campo Elétrico 
 
EXERCÍCIOS 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Parte 2 
CONTEÚDO 
1. Princípio de Superposição 
2. Exercícios 
a) Linha Infinita de Cargas 
b) Anel Carregado 
c) Disco Carregado 
3. Carga Pontual em um Campo Elétrico 
 
 
 
 
 
Princípio da Superposição 
 Distribuição Discreta de Cargas: 
 
 
 
 
 
 Distribuição Contínua de Cargas: 
i2
i
i rˆ
r
q
kE 

rˆ
r
dq
kEd
2


 EdE

 Ao lidarmos com distribuição contínua, é mais conveniente expressar 
a carga sobre um objeto como uma densidade de carga em vez de 
usar a carga total: 
 
1. 1 dimensão - Distribuição Linear: 
 
 
2. 2 dimensões – Distribuição Superficial: 
 
 
3. 3 dimensões – Distribuição Volumétrica: 
L
Q

A
Q

V
Q







m
C






2m
C






3m
C
EXERCÍCIO: Linha Infinita de Cargas 
 Calcular o campo no ponto P. 
Densidade Linear = 
a2
q
L
q


dxdq 
As componentes x se cancelam 
iˆ
y
k2
Ey



Linha Infinita de Cargas 
dE dE 
EXERCÍCIO: Anel Carregado 
 Um anel de carga q e raio a. Encontrar Ep? 
As componentes y se cancelam 
Densidade Linear = 
a2
q
L
q


dldq 
 
iˆ
xa
kqx
E
2/322
p



Anel Carregado 
EXERCÍCIO: Disco Carregado 
 Calcular o campo no ponto P. 
Estratégia: dividir o disco em anéis e 
calcular Ep integrando as contribuições 
de todos os anéis. 
Densidade Superficial = 
A
Q

rdr2dAdq 
USAR: Resultado obtido 
para E devido a um anel  
iˆ
za
kqz
E
/p 2322 













22
0 Rz
z
1
2
E
Disco Carregado 
Carga Pontual em um Campo Elétrico 
 O que ocorre com uma partícula carregada quando ela está em um 
campo elétrico produzido por outras cargas? 
 
 FORÇA ELETROSTÁTICA: 
EqF


Carga da partícula 
(incluindo o sinal) 
Campo Elétrico que outras 
cargas criam 
 Partícula vai ser acelerada: 
m
F
a



m
Eq
a



EXEMPLO: 
 Existe um campo elétrico uniforme no espaço entre duas placas 
de cargas opostas. Um elétron parte do repouso na superfície 
da placa carregada negativamente e incide sobre a superfície da 
placa oposta a 2 cm de distância, após 1,5x10-8s. 
a) Qual a velocidade do elétron quando incide na 2ª. placa? 
b) Qual o módulo de E? 
 
Dados: me= 9,1x10
-31 kg 
 e= 1,6x10-19C 
EXERCÍCIOS 
LEI DE GAUSS 
CONTEÚDO 
1. Fluxo de um Campo Elétrico 
2. Lei de Gauss 
a) Lei de Coulomb a partir da Lei de Gauss. 
b) Condutor Carregado Isolado. 
c) Esfera Condutora e Isolante. 
d) Simetria Cilíndrica. 
e) Simetria Plana. 
 
 
 
 
 
 LEI DE COULOMB: 
 Lei que governa a eletrostática 
 Não está escrita numa forma que simplifique o trabalho 
em situações envolvendo simetria! 
 Nova formulação: LEI DE GAUSS 
 Deduzida pelo físico e matemático alemão Carl 
Fridrich Gauss (1777–1855) 
 Superfície Gaussiana (sempre superfície fechada!) 
 Esfera 
 Cilindro 
 Outra forma simétrica 
 
 ESTABELECER: superfície gaussiana ao 
redor da distribuição de carga 
 
 “A Lei de Gauss relaciona os campos elétricos em 
pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com 
a carga resultante por essa superfície.” 
 Por exemplo: Superfície Gaussiana = esfera 
 Campo Elétrico em toda a superfície 
 Mesma intensidade 
 Radialmente para fora 
 Suspeitar = alguma carga positiva! 
 
 Lei de Gauss: 
 calcular a carga 
 quanto campo atravessa a 
superfície 
 FLUXO do Campo Elétrico! 
Fluxo Elétrico 
 “Escoamento de algo através de uma área” 
 “O fluxo elétrico  através de uma superfície gaussiana é proporcional 
ao número resultante de linhas de campo elétrico que atravessam essa 
superfície.” 
Para um A 
 
 
Para toda superfície 
 
Integral sobre toda a superfície fechada 
 
 Fluxo elétrico 
através de 
uma superfície 
gaussiana. 
 






C
Nm2
Exemplo: Cilindro colocado num Campo Uniforme 
Qual é o fluxo de campo elétrico através desta superfície fechada? 
0
Lei de Gauss = relaciona o fluxo resultante  de um campo elétrico através 
de uma superfície fechada com carga resultante envolvida pela superfície: 
env0 q
Soma de todas as cargas dentro da SG 
 
LEI DE GAUSS 
 
env0 qAdE  
 S1 = campo elétrico aponta para fora 
  positivo – qenv > 0 
 
 S2 = não envolve carga 
  =0 – qenv = 0 S3 = campo elétrico aponta para dentro 
  negativo – qenv < 0 
 
 S   = 0 (q+ = q-) 
 
 qenv > 0  fluxo resultante para fora 
 qenv > 0  fluxo resultante para fora 
 
 
 
Lei de Coulomb a partir da Lei de Gauss 
 Qual é o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme? 
2
0 r
q
4
1
E


Campo Elétrico devido a 
uma carga pontual 
 
Condutor Carregado Isolado 
 Lei de Gauss: Qualquer carga em excesso num condutor 
isolado vai para a superfície externa. 
 Equilíbrio eletrástico: Não há movimento de cargas (não há 
corrente). 
 Fres = 0 
 E = 0 
Esfera Condutora 
0E 
0
2r4
Q
E


 Qual o campo para: 
 r < R 
 r > R 
Exemplo: Esfera Isolante 
 Qual o campo para: 
 r < R 
 r > R 
2
0r4
q
E


r
R4
q
E
0
3

Condutor Carregado: Campo Elétrico Externo 
 Carga em excesso em um condutor isolado = se move para a 
superfície 
 Condutor não esférico = carga não se distribui uniformemente! 
 Se a densidade  varia, a determinação do campo torna-se difícil! 
 
 Campo elétrico próximo a face externa de um condutor = Lei de Gauss 
Consideraremos: Região da superfície 
suficientemente pequena = desprezar a 
curvatura seção plana 
 
Qual o campo próximo a superfície? 
0

E
Lei de Gauss: Simetria Plana 
 Placa não condutora: carregada positivamente com densidade 
uniforme . 
02

E
Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica 
 Barra cilíndrica infinitamente longa com densidade linear de carga  
r2
E
0


EXERCÍCIO 
 Suponha duas placas grandes não condutoras paralelas, com 
densidade de carga uniforme -= 4,3 C/m
2 e += 6,8 C/m
2. 
Determinar E nas regiões I, II e III. 
direitaparaC/N,E
direitaparaC/N,E
esquerdaparaC/N,E
III
II
I
5
5
5
10411
10276
10411



LEI DE GAUSS 
 
Parte 2 
CONTEÚDO 
Aula Passada... 
1. Fluxo de um Campo Elétrico 
2. Lei de Gauss 
a) Lei de Coulomb a partir da Lei de Gauss. 
b) Condutor Carregado Isolado. 
c) Esfera Condutora e Isolante. 
d) Simetria Cilíndrica. 
 
Aula de hoje: 
1. Lei de Gauss: Simetria Plana. 
 
 
Condutor Carregado: Campo Elétrico Externo 
 Carga em excesso em um condutor isolado = se move para a 
superfície 
 Condutor não esférico = carga não se distribui uniformemente! 
 Se a densidade  varia, a determinação do campo torna-se difícil! 
 
 Campo elétrico próximo a face externa de um condutor = Lei de Gauss 
Consideraremos: Região da superfície 
suficientemente pequena = desprezar a 
curvatura seção plana 
 
Qual o campo próximo a superfície? 
0

E
Lei de Gauss: Simetria Plana 
 Placa não condutora: carregada positivamente com densidade 
uniforme . 
02

E
EXERCÍCIO 
 Suponha duas placas grandes não condutoras paralelas, com 
densidade de carga uniforme -= 4,3 C/m
2 e += 6,8 C/m
2. 
Determinar E nas regiões I, II e III. 
direitaparaC/N,E
direitaparaC/N,E
esquerdaparaC/N,E
III
II
I
5
5
5
10411
10276
10411



POTENCIAL ELÉTRICO 
CONTEÚDO 
1. Potencial Elétrico 
2. Potencial a partir do Campo Elétrico 
3. Superfícies equipotenciais 
4. Potencial devido a: 
a) carga pontual 
b) grupo de cargas 
c) distribuição contínua de cargas 
5. Cálculo do Campo a partir do Potencial 
6. Energia Potencial Elétrica 
 
 
 
 Lei de Newton – Força Gravitacional 
 Lei de Coulomb – Força Eletrostática 
 
matematicamente iguais 
Podemos dizer: Força Conservativa 
 Quando uma FORÇA ELETROSTÁTICA atua entre duas ou mais 
partículas carregadas  atribui-se ENERGIA POTENCIAL ao sistema. 
 
 Se o sistema muda de configuração: estado inicial i  estado final j 
a força eletrostática realiza TRABALHO sobre as partículas 
 
 
 Da Mecânica: 
 
 
WUUU if 
Independe da trajetória : (Força Conservativa) 
U de uma partícula carregada num 
campo elétrico  depende de q 
 Mas... 
 
 
 Mas... 
 
 
(energia potencial) 
(unidade de carga) 
 
 Possui um valor único para qualquer 
ponto do campo  característica do 
campo elétrico 
 
 
q
U
POTENCIAL ELÉTRICO 
 
 
q
U
V
q
U
V



if
if
UUU
VVV


q
W
V


Diferença de Potencial 
 
  






C
J
V
SI: 
 
q
W
VV ABAB  Trabalho realizado por um 
agente externo para deslocar a 
carga q de A B sem acelerar. 
Potencial a partir do Campo 
 Podemos calcular a diferença de potencial entre dois pontos em 
um campo elétrico se conhecermos E. 
 

dlFW
EqF
AB


q
ldEq
VV
B
A
AB
 


Força eletrostática atua sobre a carga quando ela 
se move. 
 
Trabalho total realizado pelo campo sobre a 
partícula quando ela se move. 
 
 
B
A
AB ldEVV

Superfícies Equipotenciais 
 Possuem o mesmo potencial: VA=VB 
E
ldEVV
B
A
AB



 
0  superfície 
Exercício 
 Qual é a ddp Vf -Vi ? 
EdVV if 
 Qual é a ddp Vf -Vi deslocando q pela 
trajetória icf? 
Potencial devido a uma carga pontual 
 Qual é a ddp VB -VA ? 







AB
AB
RR
kqVV
11
B
AB
R
kq
VV 
Para RB   : 
Carga Pontual 
 
Potencial devido a um grupo de cargas 
 Princípio de Superposição: 
 Qual o potencial no ponto P? 
Exercício 
q1 = 1x10
-8C 
q2 = -2x10
-8C 
q3= 3x10
-8C 
q4 = 2x10
-8C 
 
a = 1,0 m 
 



N
i i
i
N
i
i
r
q
kVV
11
V,
r
q
kV
N
i i
i 5508
1
 

Potencial devido a uma distribuição 
contínua de cargas 
 Não usa-se o somatório!!! 
r
kdq
dV 
  r
dq
kdVV
EXERCÍCIO 
 Linha finita de carga 
 Qual é o potencial no ponto P? 
 Linha carregada positivamente com densidade 
linear uniforme  







 

d
dLL
lnkV
22
EXERCÍCIO 
 Disco carregado 
 Qual é o potencial no ponto P? 
 Disco carregado com uma densidade superficial 
de carga . 
 xxaV 


 22
02
Cálculo de E a partir do Potencial 
 Já vimos: cálculo de V a partir de E 
 Vamos ver: processo inverso. 
 Se conhecermos V em todos os pontos nas 
vizinhanças de uma distribuição de cargas, 
podemos desenhar as superfícies 
equipotenciais. 
 As linhas de campo elétrico, perpendicularmente 
a essas superfícies mostram a variação de E. 
 Diferença de Potencial entre duas superfícies 
adjacentes = dV 
 Suponha que q0 sofra um deslocamente ds 
de uma superfície equipotencial para outra = 
trabalho realizado: -q0dV 
ds
dV
cosE
ds)(cosEqdVq

 00
s
V
Es


 VE 

 “A componente de E em qualquer direção é igual a menos a taxa de 
variação do potencial elétrico com a distância nessa direção.” 
z
V
E
y
V
E
x
V
E
z
y
x























 kˆ
z
jˆ
y
iˆ
x

Exemplo 
 zRzV 


 22
02
 Dado o potencial abaixo, determine E por derivação. 











22
0
1
2 Rz
z
E
Energia Potencial Elétrica 
 “A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é 
igual ao trabalho que deve ser realizado por um agente externo para 
reunir o sistema, trazendocada carga de uma distância infinita.” 
 Quando trazemos q1 e a fixamos, NÃO 
realizamos trabalho (nenhuma força agem em 
q1). 
 Quando trazemos q2 e a fixamos, 
REALIZAMOS realizamos trabalho (q1 exerce 
força sobre q1 durante o movimento). 
 
r
kq
V 
r
qkq
VqWU 212 
Exercício 
 Qual a energia potencial o sistema abaixo? 
 q1 = 1x10
-7C 
 q2 = -4x10
-7C 
 q3 = 2x10
-7C 
 a = 10 cm 
 A energia potencial deste sistema é a soma 
das energias potenciais associadas aos três 
pares de carga. 
231312 UUUU 
J,U 310998 
Potencial de um Condutor Isolado Carregado 
 Lei de Gauss = toda carga extra colocada num condutor vai para 
superfície externa (equilíbrio eletrostático). 
 
 A carga vai se distribuir de modo que todos os pontos do condutor ficam 
no mesmo potencial. 
 
B
A
AB ldEVV

 Como E=0 no interior do condutor: 
AB VV 
EXERCÍCIOS 
CAPACITÂNCIA 
 
Parte 1 
CONTEÚDO 
1. Capacitores 
 Capacitor de placas paralelas 
 Capacitor cilíndrico 
 Capacitor esférico isolado 
2. Capacitores em série 
3. Capacitores em paralelo 
4. Energia armazenada em um campo elétrico 
5. Densidade de energia 
6. Capacitor com um dielétrico 
7. Visão microscópica dos Dielétricos 
 
 
 Energia pode ser armazenada como energia potencial 
 alongando-se uma mola 
 levantando um livro 
 etc.. 
  CAPACITORES: dispositivo que se pode usar para armazenar energia. 
 Flash fotográfico (operado por bateria): acumula carga de modo 
lento durante uma utilização e outra, acumulando um campo elétrico 
nesse período. Campo e energia = estão associados até que a 
energia seja rapidamente liberada para da início ao flash. 
 
2 condutores isolados com cargas opostas 
- formato qualquer 
- chamados de placas 
 Ex: Capacitor de Placas Paralelas 
 
 Capacitor carregado: placas possuem 
cargas iguais, porém contrárias 
 
 Carga do capacitor = Q 
o Não é a carga resultante!! 
 
 Placas condutoras: são superfícies equipotenciais = todos os pontos 
sobre a placa estão no mesmo potencial. 
 
 ddp entre as placas (V)  carga Q  Q  V 
 
 CAPACITÂNCIA: constante de proporcionalidade 
 
V
Q
C 
 Medida de quanta carga tem de ser colocada 
sobre as placas para produzir uma certa ddp 
entre elas. 
 Unidade: 
  FV
C





 (Farad) 
Como calcular a Capacitância? 
1. Supor uma carga q entre as placas; 
2. Calcular o campo elétrico E entre as placas em termos de q usando a 
Lei de Gauss; 
3. Conhecendo E, calcular a ddp V; 
4. Calcular C. 
 
 
Capacitor de Placas Paralelas 
Diferença de Potencial: 
 
 
 
 
Campo Elétrico: 
 
 
 
 
Capacitância: 
 
 
 
 
A
q
E
0

EdV 
d
A
C 0


A= área da placa 
d = separação entre as placas 
Capacitor Cilíndrico 
Diferença de Potencial: 
 
 
 
 
Campo Elétrico: 
 
 
 
 
Capacitância: 
 
 
 
 
r
q
E
02
 







a
b
ln
q
V
02  abln
C

02
Capacitor Esférico Isolado 
Diferença de Potencial: 
 
 
 
 
Capacitância: 
 
 
 
 
 Placa que “está faltando” = 
esfera condutora de raio infinito 
rC 04
r
kq
V 
Exercício: Capacitor Esférico 
Diferença de Potencial: 
 
 
 
 
Campo Elétrico: 
 
 
 
 
Capacitância: 
 
 
 
 
2
04
1
r
q
E

 




 


ab
ab
V
04
1
ab
ab
C

 04
Capacitores em Paralelo 
 Combinação de capacitores  capacitor equivalente 
 
21 CCCeq 



n
j
jeq CC
1Possui a mesma carga total q e a mesma 
ddp V que os capacitores reais 
Capacitores em Série 
Possui a mesma carga total q e a mesma 
ddp V que os capacitores reais 
21
111
CCCeq




n
j jeq CC 1
11
EXERCÍCIOS 
CAPACITÂNCIA 
 
Parte 2 
CONTEÚDO 
1. Energia armazenada em um campo elétrico 
2. Densidade de energia 
3. Capacitor com dielétrico 
4. Visão microscópica dos Dielétricos 
5. Exercícios 
 
 
 
 
 Capacitor descarregado 
 
para carregar 
Mover elétrons de uma placa a outra 
 Campo elétrico entre as placas 
 
acúmulo de cargas 
 
 
 Difícil de transferir elétrons adicionais 
 necessário realizar trabalho 
 
 bateria 
 
 
 Trabalho necessário para carregar um 
capacitor é armazenado na forma de 
energia potencial elétrica U 
 
 no campo e não nas placas 
 
  Num instante, q’ é transferida de uma placa a outra. Se um incremento de carga dq’ for transferido, o incremento de trabalho será: 
 
'dq
C
'q
dW
'dq'VdW


 Trabalho total: 
 
'dq'q
C
dWW
q
 
0
1
2
1 2q
C
W 
 Mas q = CV 
  
2
2
2
1
2
1
CVW
CV
C
W


2
2
1
CVU 
Este trabalho é armazenado como energia potencial U 
 
 
Energia potencial 
 
 
d
A
q
C
q
U
0
22
22 
 d
A
C 0


 Quanto maior d  maior U  para o mesmo Q 
 
Faz sentido falar em... 
 
Densidade de Energia 
  Energia Potencial por unidade de volume entre as placas 
 
Ad
U
Volume
U

 
A
dE
d
A
Ad
EdC
Ad
CV
222
2
0
22 

2
0
2
1
E
Densidade de Energia 
 
 
(vale para qualquer capacitor) 
 
 
EXERCÍCIO 
 Uma esfera condutora isolada, cujo raio R é de 6,85 cm, possui uma 
carga q = 1,25 nC 
a. Qual a energia potencial armazenada no campo elétrico deste 
condutor carregado? 
 
b. Qual a densidade de energia na superfície da esfera? 
 
C,U 710031 
3510542 m/J, 
Capacitor com um Dielétrico 
 Qual o efeito de colocar um dielétrico entre as placas de um capacitor? 
 
1. OBSERVAÇÃO EXPERIMENTAL 
 
Michael Faraday - 1837 
 
0CC 
k
C
C

0
constante dielétrica 
 
2. Limitar a diferença de potencial entre as placas = Vmáx 
 
 
(potencial de ruptura) 
 
máxVV 
= Material se rompe 
 
Valor máximo de E!! 
 
Visão Microscópica dos Dielétricos 
 O que acontece, microscopicamente, quando colocamos um dielétrico 
num E? 
 
2 tipos 
 
dielétricos polares 
 
dielétricos não-polares 
 
= Tem momento de dipolo permanente 
 dipolo = tende a se alinhar 
 
= Não tem momento de dipolo permanente 
 adquirem por indução quando colocados em E 
 
= Separação cria um campo Eind oposto a E 
 
 Eres possui mesma direção e sentido oposto 
de Eind mas intensidade menor! 
Portanto: Efeito de colocar dielétricos no Capacitor? 
 Diminuir o campo! 
 Aumentar q acumulado! 
 
Exemplo: Capacitor com Dielétrico 
 Relembrar: Capacitor sem dielétrico 
 
A
q
E
0

 Capacitor com dielétrico: mesma superfície gaussiana! 
 
qAdEk  

0
 O efeito do dielétrico é enfraquecer o campo 
original (sem dielétrico) E0 por um fator k 
 Lei de Gauss com Dielétrico 
1. Deslocamento Elétrico: 
 
DEk

0
qAdEk  

0
qAdD 

2. A carga q envolta pela superfície gaussiana é apenas a carga livre 
 q’ foi considerado na introdução de k 
 
3. k = dentro da integral 
 k pode não ser constante! 
 
EXERCÍCIO 
 Considere um capacitor de placas paralelas com área de placa A e separação entre 
placas d. Uma ddp V0 é aplicada entre as placas. A bateria é desconectadae uma 
placa espessa dielétrica de espessura b e constante dielétrica k é colocada entre as 
placas. 
 Suponha que: A = 115 cm2, d = 1,24 cm, V0= 85,5 V 
 b = 0,78 cm, k = 2,61 
a. Qual a capacitância C0 antes dea placa dielétrica ser inserida? 
b. Qual carga livre aparece sobre as placas? 
c. Qual o campo elétrico E0 no espaço intervalo entre as placas e a placa 
espessa dielétrica? 
d. Qual o campo elétrico E1 na placa espessa dielétrica? 
e. Qual a diferença de potencial V entre as placas depois de a placa espessa ter 
sido introduzida? 
f. Qual a capacitância com a placa espessa no lugar? 
 
F,C 120 10218

C,q 1010027 
m/kV,E 96
m/kV,E 6421 
V,V 352
F,C 1110341 
EXERCÍCIOS 
CORRENTE ELÉTRICA 
CONTEÚDO 
1. Corrente Elétrica 
2. Densidade de Corrente 
3. Velocidade de Deriva 
4. Resistência, Resistividade e Condutividade 
5. Lei de Ohm 
6. Energia e Potência em Circuitos Elétricos 
 
 
 
 
Fluxo de cargas em movimento 
 
 
 CORRENTE ELÉTRICA = cargas em movimento 
 Ex. Relâmpago 
 
Quantidade de cargas que passa num intervalo 
de tempo num elemento de plano 
 
 
dt
dq
i 
 A
s
C






 SI: 
 
 Característica do condutor 
 Grandeza macroscópica 
 
 

ldEV
VVV ab

E = dentro do fio 
Exerce F sobre e- de 
condução  i 
 Eletrostática = cargas em repouso 
 
Densidade de Corrente 
 Fluxo de cargas através da seção reta de um condutor 
 
 
quantidade microscópica relacionada a i 
A
i
j    Adji

Direção = E 
Vetor associado a um 
elemento de área 
cobre toda a superfície no 
interior do condutor 
 Fluxo do vetor j 
(ESCALAR) 
 SI: 
 




2m
A
Velocidade de Deriva 
 Elétrons de condução de um condutor de cobre - SEM E 
 direções aleatórias = v~106 m/s 
• COM E 
 direções aleatórias mas tendem a seguir uma vd 
 Condutores de cobre da fiação elétrica residencial = vd~10
-5 m/s 
 
 no portadores de carga em um pedaço do fio 
(L) = nAL 
o n=número de portadores por unidade de volume 
 
  enALq 
 Carga total dos portadores: 
o Cada portador possui uma carga e 
  Portadores = movendo-se com velocidade vd 
o atravessa uma seção transversal do fio em: 
 
dv
L
t 
 Corrente no condutor:  
d
d
nAevi
vL
enAL
t
q
i





/
 Mas: 
A
i
j    dvnej


Densidade de Corrente 
EXERCÍCIO: 
 Uma das extremidades de um condutor de alumínio cujo diâmetro mede 
2,5 mm está soldada numa das extremidades de um condutor de cobre 
cujo diâmetro é igual a 1,8 mm. Por esse condutor composto, passa 
uma corrente constante i de 1,3 A. Qual é o valor da densidade de 
corrente em cada condutor? 
2
51062
m
A
,jAl  2
51015
m
A
,jCu 
RESISTÊNCIA, RESITIVIDADE E CONDUTIVIDADE 
 Aplicando a mesma ddp em barras geometricamente iguais 
 iR muito diferente! 
 A característica do material que determina essa diferença: RESISTÊNCIA 
 Definição: 
 





A
V
i
V
R   SI: 
 
 Interesse no E em um ponto do material (e não na ddp): RESISTIVIDADE 
j
E

 m.
A
.
m
V





 1
 SI: 
 
Propriedade intrínseca da substância 
 Forma vetorial: Válida para materiais isotrópicos = mesmas propriedades elétricas 
em todas as direções 
condutor 
isolante 
 CONDUTIVIDADE 


1
 (quantidades recíprocas) 
jE


Variação com a Temperatura 
   000 TT 
 Os valores de muitas propriedades 
físicas variam com a temperatura 
 A resistividade de todos os 
condutores metálicos 
aumenta com a 
temperatura devido ao 
aumento das vibrações 
térmicas e outras 
irregularidades da rede. 
 Resistividade se anula 
abaixo da Tc, onde 
inicia-se a fase 
supercondutora. 
 A resistividade diminiu 
com o aumento da 
temperatura devido ao 
aumento de 
tranportadores de cargas. 
 coeficiente de temperatura da Resistividade 
T0= temperatura de referência 
0 = resistividade a essa temperatura 
 Se conhecermos R de uma substância, somos capazes de calcular a 
resistência de um condutor de comprimento e diâmetro determinados, 
feitos dessa substância. 
 Seja um condutor: 
L
V
E 
A
i
j 
R 
A
L
R


Resistência 
 V, i, R = grandezas macroscópicas (podemos medí-las diretamente) 
 E, j,  = grandeza microscópicas (interesse no comportamento da 
matéria) 
A
i
L
V
j
E

EXERCÍCIO 
A,i)a 91
A,i)b 17
“LEI” DE OHM 
 A resistência de um condutor não depende da ddp usada para medí-la. 
 Um condutor obedece a Lei de Ohm quando seu gráfico V-i for linear 
 R=cte 
 A corrente que atravessa um dispositivo é sempre diretamente 
proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo. 
 Afirmação correta em apenas algumas situações  “lei” 
RiV 
 Lei de Ohm? 
 Se aplica a todos os dispositivos! 
 Resistor Diodo Semicondutor 
 Circuito constituído por uma bateria ligada a um resistor. 
ENERGIA E POTENCIA EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 Se uma carga elementar dq atravessa c-d num 
intervaldo de tempo dt é idt. 
 Deslocamento por meio do decréscimo de V 
 
 Princípio de Conservação de Energia 
 Redução da Ep é acompanhada por uma 
transferência para outra forma de energia. 
 
 
idtVdqVdU 
 Num intervalo dt, a energia transferida é: 
Taxa de transferência 
de energia: 
dt
dU
P 
iVP 
Taxa de transferência de 
energia elétrica 
 SI: 
 
   W
s
J
VA 






 Energia transferida aparecerá sob a forma de: 
 Motor ideal = trabalho mecânico 
 Bateria = energia química 
 Resistor = energia térmica 
 Para resistor (ou outro dispositivo com resistência), podemos combinar 
equações: 
RiP 2
R
V
P
2

Taxa de dissipação de energia elétrica devido a 
resistência 
 Se aplicam apenas a transferência de energia elétrica para energia térmica em 
um dispositivo com resistência. 
PtE 
 Energia consumida: 
EXERCÍCIO 
 Dado um comprimento de um condutror de aquecimento feito de uma liga 
chamada micromo, de resistência R igual a 72 , com qual uma das duas 
maneiras será possível obter maior produção de calor: 
a) Enrolando o condutor numa única bobina 
b) Cortando o condutor ao meio e enrolando duas bobinas separadamente 
Nos dois casos as bobinas devem ser ligadas individualemente em uma ddp 
de 120V. 
WP 200
W'P 400
Potencia para uma única bobina: 
Potencia para uma bobina com a metade do comprimento: 
 Como existem duas “semi-bobinas”, a potencia total obtida ao dividirmos ao 
meio a bobina será igual a 800 W, quatro vezes o valor obtido quando 
empregamos o condutor por inteiro! 
EXERCÍCIOS 
CIRCUITOS 
CONTEÚDO 
1. Força Eletromotriz 
2. Circuito de Malha Única 
3. Circuito de Malhas Múltiplas 
4. Circuito RC 
5. Exemplos 
 
 
o campo produz forças que movem os portadores de carga 
 
 Aula passada = movimento de portadores de carga através de um 
 circuito em termos do campo elétrico criado no circuito 
 Nessa aula = movimento de portadores de carga em termos da energia 
um dispositivo de fem fornece a energia para o movimento por 
meio do trabalho que ele realiza 
 
 
 fem = bateria, 
gerador elétrico, 
células solares, etc. 
 
 
 força eletromotriz 
 
 
 No fem: portadores de carga positiva se movem de 
uma região debaixo potencial elétrico (terminal 
negativo) para uma região de potencial elétrico 
elevado (terminal positivo). 
 contrário ao campo elétrico 
Realiza trabalho! 
 representação da fem 
 potencial elétrico mais alto 
 Análise do ponto de vista do trabalho e da energia: em dt uma 
quantidade de carga dq atravessa uma secção transversal 
 Dispositivo realiza trabalho dW sobre a carga para forçá-la a se mover 
dq
dW

Definição de fem 
 Dispositivo de fem ideal = não oferece resistência ao movimento 
interno de carga de um terminal para o outro terminal  ddp = fem 
 Dispositivo de fem real = apresenta resistência ao movimento interno de 
cargas 
 fem ligado a um circuito = transfere energia para os portadores de 
carga que o atravessam 
Circuito formado por: 
• Duas baterias ideiais 
• Uma resitência 
• Um motor elétrico M 
 
 
 
Capaz de levantar um objeto usando a energia que 
recebe dos portadores de carga do circuito 
 Baterias: portadores circulam em sentidos opostos 
 Sentido da corrente: bateria com maior fem 
 Energia química de B diminiu com a transferência para os 
portadores de carga 
 Energia química de A aumenta B: fornece energia para acionar o 
motor M e carrega a bateria A! 
CIRCUITO DE MALHA ÚNICA 
 Como calcular i? 
1) 
Conservação de energia 
Potencial 
 
 
Caminho a  b: V= -iR 
Caminho b  a: V= +iR 
 
 2) a  b: V= + 
b  a: V= - 
EXERCÍCIO: 
 Ddp entre dois pontos?  Corrente? 
 Rr
R
VV ba


  Rr
I



CIRCUITO DE MALHAS MÚLTIPLAS 
 Simplificação = baterias ideais 
 3 malhas: badb, bcdb, badcb 
 nós: junções 
 tem o mesmo valor 
em todos os pontos 
do ramo bad 
 tem o mesmo valor 
em todos os pontos 
do ramo bcd 
 Consideração = Nenhuma variação de carga no nó  Conservação de 
 Carga 
231 iii 
 “A soma das correntes que 
entram em qualquer nó tem que 
ser igual a soma das correntes 
que saem deste nó”. 
 equação de 3 incógnitas! 
 Lei das Malhas: ponto b inicial 
 Malha da esquerda: 
 
 Malha direita: 
033111  RiRi
022233  RiRi
231 iii 
 3 equações e 3 incógnitas!! 
EXERCÍCIO: 
 I em cada elemento? 
 
1
12
21
12
1
2
2
22 R
RR
RR
I



















21
12
2
22 RR
I
 1
2
21
12
3
222 R
R
RR
I










CIRCUITO RC 
 Até agora = correntes não variavam no tempo 
 Agora = correntes variáveis no tempo 
 SITUAÇÃO I: Chave ligada na posição a 
 Cargas começam a fluir 
 ddp: 
 C
q
VC 
 Capacitor como elemento do circuito 
 Corrente não é constante 
 
 Queremos saber como: 
 a carga sobre as placas do capacitor q(t) 
 a ddp entre as placas do capacitor VC(t) 
 a corrente i(t) 
variam no tempo durante o processo de carregamento? 
 
 Lei das Malhas: 
 contém duas variáveis: i e q 
0
C
q
Ri
 potencial mais alto = ligado a + 
-q/C 
 Mas: 
dt
dq
i 

C
q
dt
dq
R
 Equação de Carregamento 
 (eq. diferencial) 
 Solução da eq. diferencial: 
   RC/teCtq  1
 t=0  q=0 
 Capacitor inicialmente descarregado 
  t, q=C 
 carga completa 
dt
dq
i 
  RC/te
R
ti 


    RC/teC
dt
d
ti  1
  





  RC/te
RC
Cti
1
 Carregando um capacitor 
 SITUAÇÃO II: Chave ligada na posição b (depois do capacitor carregado) 
0
0
C
q
iR
0
C
q
R
dt
dq
 Solução da eq. diferencial: 
  RC/teqtq  0
dt
dq
i     RC/teq
dt
d
ti  0
  RC/te
RC
q
ti  0
 Descarregando um capacitor 
EXERCÍCIO 
 Qual a resistência 
equivalente? 
 Qual a corrente em cada 
elemento do circuito? 

4
475
eqR
  A,i R 019050 
  A,i R 013075 
  A,i R 050100 
EXERCÍCIOS 
CAMPO MAGNÉTICO 
CONTEÚDO 
1. Campo Magnético 
2. Linhas de Campo 
3. Força Magnética 
4. Regra da mão direita 
5. Partícula carregada descrevendo um círculo 
6. Efeito Hall 
7. Força Magnética sobre um fio conduzindo 
corrente 
8. Torque sobre uma espira de corrente 
 
 
 
 Barra plástica carregada: produz um campo elétrico nos pontos ao seu 
redor 
 Ímã: produz um CAMPO MAGNÉTICO nos pontos ao seu redor 
 
 
Ímã de geladeira: age sobre a porta por meio de um campo magnético 
 Como são criados os Campos Magnéticos? 
 
 
1820: durante uma experiência reparou que a agulha de uma 
bússola defletia quando a corrente elétrica da bateria que estava 
usando era ligada e desligada. 
 
Conclusão: correntes elétricas podem criar campos magnéticos 
• Um dos marcos iniciais do estudo do Eletromagnetismo. 
1825: produziu alumínio puro pela primeira vez. 
• liga alumínio-ferro já exisitia mas ele isolou o alumínio 
1. Partículas carregadas eletricamente em movimento 
• Ex: corrente num fio 
 
2. Partículas elementares, como elétrons, possuem B 
intrínsico ao seu redor 
• No ímã os B se somam, no corpo humano se 
cancela. 
 
 
 Como são criados os Campos Magnéticos? 
 
 
 Unidade SI: 
 
 Tesla 
  






m
s
C
N
T
 Linhas de Campo Magnético 
 
 Espaçamento entre linhas 
representa a intensidade 
do campo 
 Íma permanente: 2 polos 
 
 Campo Elétrico: 
 
 Não existe Monopolo 
Magnético! 
q
F
E E



 Campo Magnético: 
 
vq
F
B B



 Monopolos Magnéticos são previstos teoricamente mas sua existência não foi confirmada. 
 
 carga de prova 
 partícula eletricamente carregada em movimento 
BvqFB

  qvBsenFB

 produto vetorial angulo entre v e B 
 B só exerce força em cargas em movimento! 
 
 Regra da Mão Direita 
 
 Determinar a direção do força magnética sobre uma partícula 
com carga q movendo-se com uma velocidade v em um campo magnético 
B. 
 A direção é a direção em que dedos apontam. O dedão aponta FB. 
 Se q é positivo, FB é para cima. 
 Se q é negativo, FB é para baixo. 
 
BvqFB


Bv


Partícula Carregada descrevendo um Círculo 
 
 FB deflete continuamente os e
- 
 Seguem trajetória circular 
 B  FB 
 Segunda Lei de Newton: 
amF


qvB
r
v
mF 






2
qB
r
mv

 intensidade da força que 
atua sobre a partícula 
 Frequência Angular: 
qB
r
mv

 Frequência Angular 
rv 
qB
r
rm


m
qB

 Se v tem componente || B  trajetória helicoidal 


 vsenv
cosvv||
 Determina o raio da hélice 
 Determina o passo p da hélice 
Exercício: 
 Espectrometro de massa (usado para medir a massa) 
 Íon sai de S e é acelerado por uma ddp 
 Entra na câmara 
 Dados: 
m,x
C,q
VV
mTB
62541
106021
1000
80
19






 Qual é o valor da massa? 
kg,
V
qxB
m 25
22
10393
8

Efeito Hall 
 Campos E e B cruzados 
 Os elétrons de condução de um fio de 
cobre podem ser defletidos por um B. 
 1) Antes do equilíbrio: trajetória curva descrita pelo e- 
 2) Tira de cobre: situação de equilíbrio 
• FB e FE em equilíbrio
 
• Separação de cargas cria E 
• Acúmulo de cargas 
 Diferença de Potencial Hall: 
EdV 
BeveE
qvBqE
d

 FE e FB em equilíbrio:
 
 Já vimos: 
A
i
nevJ d neA
i
vd 
B
neA
i
e
d
V
e 











d
A

eV
iBd
n


Espessura da tira: 
Número de portadores de carga por 
unidade de volume 
Força Magnética sobre um Fio conduzindo Corrente 
 Efeito Hall: B exerce uma força lateral sobre e- que se movem num fio 
 Transmitida ao fio (e- não “escapam” do fio) 
BvqFB

 B
dt
d
dqFB



BidFB




 Força magnética que atua sobre L de 
um fio que conduz corrente num B 
Torque sobre uma Espira de Corrente 
 Lados 1 e 3: 
 Lados 2: 
 Lados 4: 
0RESF
Tendem a mover a espira 
 iˆkˆjˆ 
 0 jˆjˆ
031
31
31



FF
jˆBjˆiaF
BidF
,
,





iˆibBF
jˆBkˆibF
BidF



2
2
2





iˆibBF
jˆBkˆibF
BidF



4
4
4





 Apesar disso, para 1 e 3: 
BL


iaBFF  31
 F1 e F3 não compartilham a mesma 
linha de ação 
 Produzem um torque resultante 












 sen
b
iaBsen
b
iaB
22
BAi
iaBbsen



B


área 
 momento magnético 
   BsenNiA
 Generalizando para uma 
bobina: 
 Número de voltas na bobina 
EXERCÍCIO 
EXERCÍCIOS 
CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO 
POR CORRENTES 
CONTEÚDO 
1. Lei de Biot-Savart 
2. Lei de Ampère 
3. Força entre duas Correntes Paralelas 
4. Campo Magnético 
 Interior de um Fio 
 Solenóide 
 Toróide 
 
 
 
 
 
 Campo Magnético: pode ser produzido por meio de cargas em 
movimento 
  OBJETIVO: calcular B produzido por distribuições de corrente. 
sentido da corrente 
 Dividimos o fio em elementos diferenciais. 
 
 Definimos para cada elemento, um vetor 
comprimento ds. 
 
 Elemento corrente-comprimento: ids 
 
 Acha dB e integra: muito complexo!! 
 Produto de um escalar por um vetor 
 No campo elétrico era só escalar 
 
3
0
4 r
rsd
iBd
 



Lei de Biot-Savart 
 Deduzida experimentalmente 
  Direção e sentido de dB é dado pelo produto vetorial ds x r 
 
Constante de permeabilidade 
2
0
4 r
senids
Bd





A
Tm
,
A
Tm 67 10261104  
Ângulo entre as direções 
ds e r 
Exercício: 
 Cálculo de B a uma distância r de um fio reto infinito transportando uma 
corrente i 
 
2
0
4 r
senids
Bd





Regra da mão direita: aponta do dedão no sentido da 
corrente, os 4 dedos apontarão o sentido de B 
R
i
B



2
0
Simetrias: LEI DE AMPÈRE 
 Lei de Gauss para Campos Magnéticos 
 
isdB
C
0
 Corrente líquida dentro da curva C 
 Usando a Lei de Ampère para o cálculo de B num fio: 
 
R
B



2
0
Exercício: 
Exercício: 
 Campo magnético B em C? 
 
2
0
4 r
senids
Bd





R
i
B
8
0
Divide em 3 partes: B1, B2 e B3 
Força entre duas Correntes Paralelas 
 Dois fios longos paralelos transportando corrente exercem forças um 
sobre o outro 
 
d
i
B aa



2
0
Pela regra da mão direita: 
• direção e sentido de Ba 
 = vertical para baixo 
 Com B podemos determinar F que a 
produz em b 
 
BLiF bba


90senLBiF abba 
d
iLi
F baba



2
0
Pela regra da mão direita: 
• direção e sentido 
 = aponta para o fio a na 
direção perpendicular 
Campo Magnético no Interior de um Fio 
 Lei de Ampère: 
 
isdB
C
0

 
2
2
0
2
2
0
2
R
r
irB
R
ri
dsB












r
R
i
B 








2
0
2
 Como i é uniforme, i dentro da Amperiana é 
proporcional a área: 
 
Exemplo: 
 Campo resultante no ponto P? 
 
d d 
x 
 22
0
xd
id
Bres



bares BBB 
Campo Magnético de um Solenóide 
 Solenóide: fio longo enrolado bem apertado formando um espiral 
 
 Qual o valor de B dentro do solenóide? 
 
 Qual o valor de B dentro do solenóide? 
 
 B do solenóide é a soma vetorial dos 
campos produzidos por cada espira 
 
  ildB 0

  
daab cdbc
ildBldBldBldB 0

0 0 0 
 B fora do 
solenóide 
é zero 
 
 B  dl B  dl 
inhh
iBdl
bc
0
0
B 

Número de voltas 
in0B 
Solenóide ideal 
 
Independe do diâmetro 
ou do comprimento 
Campo Magnético de um Toróide 
 Solenóide: solenóide curvado na forma de um pneu 
 
 Qual o valor de B dentro do toróide? 
 
 Qual o valor de B dentro do toróide? 
 
  ildB 0

  iNrB
idlB
0
0
2 

 Número de 
espiras total 
r
iN



2
B 0
Fluxo Magnético 
EXERCÍCIO 
R
i
2
B 0


EXERCÍCIOS 
INDUÇÃO E INDUTÂNCIA 
CONTEÚDO 
1. Lei da Indução de Faraday 
2. Lei de Lenz 
3. Indução e Transferências de Energia 
4. Campos Elétricos Induzidos 
5. Indutores e Indutância 
6. Auto-Indução 
7. Indução Mútua 
 
 
 
 
 Se corrente gera campo magnético, campo magnético gera corrente? 
 
 
SIM ! 
 
 
Lei da Indução de Faraday 
 
 
 1º. Experimento: 
 
 
 Espira condutora ligada a um amperímetro 
 Não tem bateria = não há corrente no circuito 
 
 Movimento do íma faz sugir uma corrente! 
 Só aparece se houver um movimento relativo espira-íma 
 Movimento mais rápido produz corrente maior 
  Corrente Induzida 
 fem induzida: Trabalho realizado / unid carga para produzir I 
 
 
 
 2º. Experimento: 
 
 
 Duas espiras condutoras próximas uma da outra 
 Fechando S = corrente na espira da direita 
 Amperímetro registra: corrente induzida na espira da 
esquerda! 
 I aparece quando a corrente na espira da direita está 
variando (ligando e desligando) 
 
 
Nos experimentos: I e fem aparece pois algo está variando 
• O que é esse “algo”?? 
 Faraday percebeu: quantidade de Campo Magnético que 
atravessa a espira 
 Pode ser visualizada em termos das linhas de campo magnético 
 
 Como calcular a quantidade de campo Magnético que atravessa a espira? 
 Fluxo Magnético: (análogo ao fluxo elétrico) 
 
 
  AdBB

Fluxo magnético através da área A 
B  área A, B uniforme 
BAB 
SI: Weber = [Wb] = Tm2 
A fem induzida em uma espira fechada é dada pela taxa de variação do 
fluxo magnético (COM UM SINAL NEGATIVO) através da área delimitada 
pela espira. 
Lei da Indução de Faraday 
 
 
dt
d B
Para espira 
dt
d
N B


Para bobina 
• fem induzida tende a se 
opor à variação do fluxo! 
Como o fluxo varia? 
• Variando a intensidade de B 
• Variando a área da bobina 
• Variando o angulo entre as direções B e A. 
Qual o sentido da corrente na espira? 
A corrente tem o sentido de: 
H. Lenz elaborou uma regra: 
O sentido da corrente induzida é tal que o campo 
magnético devido a corrente induzida se opõe à 
variação de fluxo que induz a corrente. 
Lei de Lenz 
xˆ
yˆ
zˆ
ld

ld

Exemplo: Oposição ao Movimento do Pólo 
 Quando o íma se move em direção à espira: Iinduzida 
 Iinduzida: produz seu próprio campo 
 
 Momento de dipolo magnético : orientado a se opor ao 
movimento do íma 
 
 Portanto: Iinduzida = sentido anti-horário!! 
Indução e Transferência de Energia 
Lei de Lenz: se movimentarmos um ímã próximo a uma espira, uma 
força magnética resiste ao movimento 
 realização de trabalho positivo 
 Produz-se energia térmica no material da espira (resistência à 
passagem de I) 
 Independente de como a corrente é induzida, a energia sempre se 
transforma em energia térmica! 
A lei de Lenz está diretamente vinculada à conservação de energia. 
 
Imã em queda livre em direção à espira: Gera-se corrente na espira que 
dissipa energia. O imã não poderia acelerar (Ganhar mais energia)!! 
http://www.youtube.com/watch?v=nrw-i5Ku0mI 
Exemplo: 
 Uma espira retangular possui uma extremidade em 
um campo magnético externo uniforme que está 
dirigido perpendicularmente para dentro do plano da 
espira. A espira é puxada para fora do campo com 
velocidade constante “v”. Qual i? 
 Quando se move a espira: 
 Área no interior de B muda 
 B muda  Iinduzida 
BLxBAB 
Quando x diminui, B diminui. 
 L. F.  a redução de B, induz a uma fem: 
BLv
dt
dx
BLBLx
dt
d
dt
d B 


R
BLv
R
i 


 Intensidade da corrente induzida: 
 Qual a potencia dissipada? 
 Para puxar a espira com velocidade “v” deve-se aplicar 
uma força constante F: 
 
 Devido a Iind, os seguimentos da espira que estão em 
B sofrem a ação de forças: 
32 FF


1FF


iLBiLBsenF  90
R
BLv
i 
R
vLB
F
22

R
vLB
dt
Fdx
dt
dW
P
222

Taxa de realização de trabalho sobre a 
espira ao puxá-la retirando-a de B 
 Taxa com que aparece energia térmica: 
R
vLB
R
R
BLv
RiP
2222
2 






Campo Elétrico Induzido 
 Anel de cobre de raio r num B uniforme externo. 
 Suponha: i varia  B aumenta  B muda  Iind 
 
 Se há Iind no anel, haverá um E! (produzido variando-se o fluxo) 
Um campo magnético variável produz 
um campo elétrico. 
 Se B permanecer constante  Eind = 0 
 Considere uma partícula q0 movendo-se ao redor da trajetória circular. 
 Trabalho: 
  rEqsdFW   20

0qW 
W sobre a partícula pelo Eind 
  
rE
qrEq


2
2 00
 Expressão mais geral para W: 
EqF


  sdEqsdFW

0
  sdE

0qW 
dt
d
sdE B



 Antes: fem   trabalho realizado por unidade de carga sobre uma 
partícula carregada que se movia ao redor de uma trajetória fechada em 
um fluxo magnético variável. 
 Agora: fem   pode-se haver uma fem sem a necessidade de uma 
corrente ou de uma partícula 
 
 Combinando equações: Lei de Faraday 
(B variável induz um E) 
 Quatro trajetórias: mesmo formato e mesma área 
 
 Trajetórias 1 e 2: as fem induzidas são iguais 
 Trajetórias situadas inteiramente em B 
 Trajetória 3: fem é menor 
 Trajetória 4: fem zero 
Indutor e Indutância 
 Já vimos: capacitor pode ser usado para produzir E 
 Indutor  pode ser usado para produzir um B! 
Dispositivo eletrônico composto por uma 
bobina de um material condutor 
Unidade de indutância: Henry ( H ) 
Símbolo do indutor 
i
N
L B


Definição: Indutância do indutor 
 Estabelecendo uma corrente i nos enrolamentos de um indutor, i produz um 
B: 
Número de voltas 
Exercício 
 Considere um solenóide longo com área da seção transversal A. Qual 
a indutância por unidade de comprimento próximo a sua região 
central? 
i
N
L B


An
l
L 2
0
 Para qualquer indutor: 
B
B
NLi
i
N
L



 Lei de Faraday: 
dt
di
LL 
 
dt
Nd B
L


fem auto-induzida 
 Em qualquer indutor, uma fem auto-induzida aparece sempre que a corrente 
varia no tempo. 
 Esse processo é chamado Auto-indução 
 fem = fem auto-induzida 
Uma fem induzida L 
aparece em qualquer 
bobina na qual a corrente 
esteja variando. 
 Duas bobinas (indutores) estão próximas uma da outra: 
 i da 1ª. bobina produz B através da 2ª. bobina 
 Variando B pela variação de i  fem aparece na 2ª. Bobina (L.F.) 
 fem induzida também aparece na primeira bobina! 
• Corrente gera campo magnético 
• Campo magnético (variação do fluxo magnético) gera corrente 
 
Será que conseguimos gerar corrente em um solenóide passando corrente 
em um outro solenóide? 
http://phet.colorado.edu/en/simulation/faraday 
Por que a lâmpada acende? 
Existe uma corrente i 
Indução Mútua 
I cria um B e gera um B 
Ligada a um medidor sensível 
1
212
21
i
N
M


 Indutância mútua: 
 Se i variar no tempo: 
dt
d
N
dt
di
M 212
1
21


dt
di
M 1212 
dt
di
M 2121 
Intensidade da fem 
 A fem induzida em qualquer uma das bobinas é proporcional à taxa de 
variação da corrente na outra bobina. 
EXERCÍCIOS