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Lista de Exerc´ıcios no5 1. Ajuste os dados abaixo pelo Me´todo dos Quadrados Mı´nimos utilizando: (a) uma reta (b) uma para´bola Trace as duas curvas e compare com os dados da tabela. Compare as duas curvas com relac¸a˜o aos dados calculando o erro E = ∑8 i=1 d 2 i . x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2.0 2. Seja a tabela x 0.5 1.2 2.1 3.5 5.4 y 5.1 3.2 2.8 1.0 0.4 (a) Fazer o diagrama de dispersa˜o dos dados da tabela acima (o gra´fico de x× y); (b) Ajustar aos dados da tabela a func¸a˜o g(x) = a + b/x pelo crite´rio dos quadrados mı´nimos; (c) Calcular a reta dos quadrados mı´nimos usando os cinco pontos da tabela; (d) Verificar qual dos dois modelos acima e´ o melhor. 3. De uma tabela sa˜o extra´ıdos os valores: x −2 −1 0 1 2 y 6 3 −1 2 4 Usando o me´todo dos quadrados mı´nimos, ajuste os dados acima por polinoˆmio de grau adequado. 4. Achar aproximac¸a˜o dos quadrados mı´nimos da forma: g(x) = a ex + b e−x correspondente aos dados: xi 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 yi 5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53 5. A tabela abaixo da´ o desempenho de um torno de parafusos em func¸a˜o de sua idade. Fazer a projec¸a˜o da produc¸a˜o anual ate´ oito anos ajustando aos dados uma reta: x(anos) 0.5 1 2 3 4 y(paraf./dia) 2500 2400 2000 1800 1500 6. Dados os polinoˆmios de Legendre: p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = 3x2−1 2 que obedecem a seguinte definic¸a˜o ∫ 1 −1 pi(x)pj(x)dx = 0, se i 6= j∫ 1 −1 pi(x)pj(x)dx = 2 2i + 1 se i = j aproxime a func¸a˜o f(x) = (x2 − 1)2, no intervalo [−1, 1], utilizando o me´todo dos mı´nimos quadrados e os polinoˆmios de Legendre. 1 7. Encontrar a reta dos quadrados mı´nimos para aproximar f(x), no intervalo dado, para: (a) f(x) = exp x, [0, 2]; (b) f(x) = 1/(x + 2), [−1, 1] 8. Deseja-se aproximar a func¸a˜o tabelada abaixo x 0 0.5 1.0 2.5 3.0 f(x) 2 2.6 3.7 13.2 21.0 por uma func¸a˜o do tipo g(x) = 1 + aebx usando o me´todo dos quadrados mı´nimos. (a) Podemos aproximar f(x) diretamente por esta func¸a˜o? Caso na˜o seja poss´ıvel, quais sa˜o as transformac¸o˜es necessa´rias? (b) Qual func¸a˜o sera´ minimizada? (c) Qual e´ o sistema linear a ser resolvido? (d) Encontre a soluc¸a˜o e estime o valor de f(1.5). 9. Deseja-se aproximar os seguintes dados x 0.1 0.5 1.0 2.0 f(x) 0.13 0.57 1.46 5.05 usando a func¸a˜o aebx + c. Acredita-se que b ' 1. (a) Calcule os valores de a e c pelo me´todo dos quadrados mı´nimos tomando b = 1. (b) Use os valores de a e c obtidos no item anterior para estimar o valor de b. 2
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