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Lista de Exerc´ıcios no5
1. Ajuste os dados abaixo pelo Me´todo dos Quadrados Mı´nimos utilizando:
(a) uma reta (b) uma para´bola
Trace as duas curvas e compare com os dados da tabela. Compare as duas curvas com
relac¸a˜o aos dados calculando o erro E =
∑8
i=1 d
2
i .
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 0.5 0.6 0.9 0.8 1.2 1.5 1.7 2.0
2. Seja a tabela
x 0.5 1.2 2.1 3.5 5.4
y 5.1 3.2 2.8 1.0 0.4
(a) Fazer o diagrama de dispersa˜o dos dados da tabela acima (o gra´fico de x× y);
(b) Ajustar aos dados da tabela a func¸a˜o g(x) = a + b/x pelo crite´rio dos quadrados
mı´nimos;
(c) Calcular a reta dos quadrados mı´nimos usando os cinco pontos da tabela;
(d) Verificar qual dos dois modelos acima e´ o melhor.
3. De uma tabela sa˜o extra´ıdos os valores:
x −2 −1 0 1 2
y 6 3 −1 2 4
Usando o me´todo dos quadrados mı´nimos, ajuste os dados acima por polinoˆmio de grau
adequado.
4. Achar aproximac¸a˜o dos quadrados mı´nimos da forma:
g(x) = a ex + b e−x
correspondente aos dados:
xi 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
yi 5.02 5.21 6.49 9.54 16.02 24.53
5. A tabela abaixo da´ o desempenho de um torno de parafusos em func¸a˜o de sua idade. Fazer
a projec¸a˜o da produc¸a˜o anual ate´ oito anos ajustando aos dados uma reta:
x(anos) 0.5 1 2 3 4
y(paraf./dia) 2500 2400 2000 1800 1500
6. Dados os polinoˆmios de Legendre: p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) =
3x2−1
2
que obedecem a
seguinte definic¸a˜o ∫ 1
−1
pi(x)pj(x)dx = 0, se i 6= j∫ 1
−1
pi(x)pj(x)dx =
2
2i + 1
se i = j
aproxime a func¸a˜o f(x) = (x2 − 1)2, no intervalo [−1, 1], utilizando o me´todo dos mı´nimos
quadrados e os polinoˆmios de Legendre.
1
7. Encontrar a reta dos quadrados mı´nimos para aproximar f(x), no intervalo dado, para:
(a) f(x) = exp x, [0, 2];
(b) f(x) = 1/(x + 2), [−1, 1]
8. Deseja-se aproximar a func¸a˜o tabelada abaixo
x 0 0.5 1.0 2.5 3.0
f(x) 2 2.6 3.7 13.2 21.0
por uma func¸a˜o do tipo g(x) = 1 + aebx usando o me´todo dos quadrados mı´nimos.
(a) Podemos aproximar f(x) diretamente por esta func¸a˜o? Caso na˜o seja poss´ıvel, quais
sa˜o as transformac¸o˜es necessa´rias?
(b) Qual func¸a˜o sera´ minimizada?
(c) Qual e´ o sistema linear a ser resolvido?
(d) Encontre a soluc¸a˜o e estime o valor de f(1.5).
9. Deseja-se aproximar os seguintes dados
x 0.1 0.5 1.0 2.0
f(x) 0.13 0.57 1.46 5.05
usando a func¸a˜o aebx + c. Acredita-se que b ' 1.
(a) Calcule os valores de a e c pelo me´todo dos quadrados mı´nimos tomando b = 1.
(b) Use os valores de a e c obtidos no item anterior para estimar o valor de b.
2

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