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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo III Mo´dulo 1 Lista 4 1.◦/2018 Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Os alelos A, B e O determinam os tipos sangu¨ineos A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. Segundo a lei de Hardy-Weinberg, se x, y e z sa˜o as proporc¸o˜es dos alelos A, B e O em uma determinada populac¸a˜o, enta˜o a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos da populac¸a˜o que possuem dois alelos distintos e´ dada por P = 2(xy + xz + yz). Observe que, como x + y + z = 1, tanto z como P podem ser expressos como func¸o˜es z = z(x, y) e P = P (x, y) das varia´veis x e y. A figura ilustra o domı´nio D da func¸a˜o P e os segmentos L1, L2 e L3 de modo que ∂D = L1 ∪ L2 ∪ L3. C E a) O domı´nio D intercepta a regia˜o x+ y > 1. C E b) O valor ma´ximo de P sobre o segmento L3 e´ 1/2. C E c) O valor ma´ximo de P sobre o bordo ∂D e´ 3/2. C E d) A func¸a˜o P possui dois pontos cr´ıticos interiores ao domı´nio D. L1 L2 L3 D C E e) As proporc¸o˜es dos alelos A, B e O que maximizam a proporc¸a˜o P de indiv´ıduos com dois alelos distintos sa˜o x = 1/3, y = 1/3 e z = 1/3. 2) A produc¸a˜o do hormoˆnio vegetal auxina em uma folhagem e´ uma func¸a˜o P (t, x) do tempo t e da intensidade luminosa x a` qual a folhagem esta´ exposta. Suponha que, em unidades apropriadas, a produc¸a˜o pode ser modelada pela func¸a˜o P : D −→ R dada por P (t, x) = t(10− x)e−2t/x, onde D = {(t, x) ∈ R2; 0 ≤ t ≤ 15 e 1 ≤ x ≤ 7}. 15 1 7 L1 L3 L2 L4D a) Justifique a afirmac¸a˜o de que P (t, x) possui pontos de ma´ximo e de mı´nimo absolutos em D. Resposta: b) Determine as derivadas parciais Pt(t, x) e Px(t, x). Resposta: c) Determine os pontos cr´ıticos da func¸a˜o P no interior de D. Resposta: d) Determine o ponto de ma´ximo de P na fronteira ∂D, que e´ assumido sobre o lado L3. Resposta: e) Usando os itens anteriores, determine o ponto de ma´ximo absoluto de P em D. Resposta: Ca´lculo III Mo´dulo 1 Lista 4 1.◦/2018 – 1/2 3) Considere a situac¸a˜o em que uma calha deve ser fabricada a partir de uma chapa de metal de largura igual a L m. A figura abaixo ilustra uma sec¸a˜o transversal da calha, que e´ sime´trica e com treˆs lados retos. Observe que a a´rea A da sec¸a˜o transversal e´ uma func¸a˜o A = A(s, θ) das medidas s e θ indicadas na figura, e o domı´nio dessa func¸a˜o e´ o conjunto D = [0, L/2]× [0, pi/2]. Como a vaza˜o e´ proporcional a` a´rea da sec¸a˜o transversal, o problema consiste em escolher os valores de s e θ que maximizam esta a´rea. a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o A(s, θ). b) Esboce o bordo ∂D do domı´nio D. c) Determine o valor ma´ximo de A(s, θ) sobre o bordo ∂D. L− 2s ss θθ d) Calcule os pontos cr´ıticos de A(s, θ) que sa˜o interiores a D. e) Determine agora os valores de s e θ que maximizam a a´rea da sec¸a˜o transversal. 4) A figura ilustra um raio de luz por P = (0, a) e R = (l,−b) sendo refratado em Q, onde a velocidade da luz e´ va na parte superior e vb na inferior. Os pontos P e R esta˜o fixos, mas tanto Q como os aˆngulos x e y pode variar com as velocidades da luz. De fato, a lei emp´ırica de Snell afirma que sen(x)/va = sen(y)/vb. Em uma descoberta que mudou a forma de olharmos a natureza, Fermat deduziu a lei de Snell a partir de seu princ´ıpio: a luz percorre o caminho de tempo mı´nimo. Veja como essa deduc¸a˜o pode ser feita nos itens a seguir. a b x y P Q l R O R0 a) O tempo Ta em que a luz se desloca de P a Q e´ tal que Ta va = PQ. Use essa informac¸a˜o para expressar Ta em termos de a, va e cos(x). b) Analogamente, expresse o tempo Tb entre Q e R em termos de b, vb e cos(y). A seguir, expresse o tempo total como uma func¸a˜o T (x, y). c) Expresse a distaˆncia OQ em termos de a e de tan(x), e QR0 em termos de b e tan(y). Somando essas distaˆncias, expresse a distaˆncia total como uma func¸a˜o D(x, y). d) Indique por C a curva de n´ıvel no n´ıvel l de D(x, y). Com essa notac¸a˜o, o caminho de tempo mı´nimo entre P e R e´ aquele que minimiza a restric¸a˜o T ∣ ∣ C . Obtenha enta˜o o sistema que fornece os pontos cr´ıticos de T ∣ ∣ C . e) Use os itens anteriores para mostrar que os pontos cr´ıticos da restric¸a˜o T ∣ ∣ C sa˜o exata- mente aqueles que satisfazem a` lei de Snell. Ca´lculo III Mo´dulo 1 Lista 4 1.◦/2018 – 2/2
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