Testes de Contraste em Análise de Variância

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CONTRASTES. 
Importância: Permite estabelecer comparações entre tratamentos ou grupo de tratamentos 
que sejam de interesse. Podem ser testados complementando a ANOVA. 
1. DEFINIÇÃO. 
Função linear entre tratamentos: Y = a1m1 + a2m2 + ...+ anmn. Será contraste entre médias 
quando o ∑ 𝑎𝑖 = 0.𝑛𝑖=1 
 
2. ESTIMADOR DO CONTRASTE. 
Como se trabalha com amostras se tem o estimador da amostra. 
�̂� = 𝑎1�̂�1 + 𝑎2�̂�2 +⋯ . 𝑎𝑛�̂�𝑛 
 
3. EXEMPLO. 
Num ensaio com 4 tratamentos e 5 repetições, tendo-se as médias. 
1. Abacaxi E1, m = 53,5. 
2. Abacaxi E2, m = 56,5. 
3. Abacaxi E1 + amendoim, m = 62,0. 
4. Abacaxi E1 + feijão, m = 60,4. 
 
Obter as estimativas dos contrastes: 
Y1 = m1+m2-m3-m4 (-12,4) 
Y2 = m1-m2 (-3,0) 
Y3 = m3-m4 (1,6) 
 
4. VARIÂNCIA DO CONTRASTE 
�̂�(�̂�) = 𝑠²∑
𝑎²𝑖
𝑟𝑖
𝑛
𝑖=1
 
EXEMPLO. 
M1 = 11,2, m2 = 10,5, m3 = 10,0, m4 = 21,0. 
r1=r2 = 6, r3=4, r4=5. 
s²1=s²2=s²3=s²4=s²=0,45. 
 
Contrastes estabelecidos 
Y1 = m1+m2-m3-m4 (-9,3) 
Y2=m1-m2 (0,7) 
Y3=m3-m4 (-11,0) 
V(Y1) = (1²/6 + 1²/6 + (-1)²/4 + (-1)²/5)*0,45 = 0,3525. 
V(Y2) = (1²/6 + (-1)²/6)*0,45 = 0,15 
V(Y3) = (1²/4 + (-1)²/5)*0,45 = 0,2025. 
 
CONTRASTES ORTOGONAIS. 
 Quando se quer comparar grupos de contrastes entre si. Para alguns tipos de testes 
indicados para isto necessitam que os contrastes sejam ortogonais, ou seja que sejam 
independentes entre si. 
Para isto a COV (Y1 e Y2) = 0. 
Para a covariância ser nula é preciso que: 
∑
𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑟𝑖
= 0𝑛𝑖=1 ou ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖 = 0
𝑛
𝑖=1 
 
Contrastes estabelecidos 
Y1 = m1-m2 
Y2=m1+m2-2m3 
Coeficientes Y1 = 1 – 1 
Y2 = 1 1 -2 
Produto de Y1 e Y2 
1 -1 0 = 0 (são ortogonais). 
 
Teste de Tukey. 
Baseia-se no contraste entre duas médias: Y = mi-mj para todo i≠j. O teste baseia-se na 
Δ. 
𝛥 = 𝑞√
1
2
�̂�(�̂�) 
q = amplitude estudentizada com α, n1 e n2. 
�̂�(�̂�) = 𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 ∗ (
1
𝑟𝑖
+
1
𝑟𝑗
) 
Considerações: 
É valido para a totalidade dos contrastes entre duas médias. 
Exige a principio balanceamento. No caso de desbalanceamento o teste é aproximado. 
É exato para testar a maior diferença e nos demais casos é conservador. 
 
TESTE DE DUNCAN. 
Aplicação semelhante ao de Tukey. 
Necessita prévia ordenação de médias. Baseia-se na amplitude mínima significativa Di. 
 
𝐷𝑖 = 𝑧𝑖√
1
2
�̂�(�̂�) 
 
Em que Zi = zα(n1, n2) que é o valor da amplitude total estudentizada obtida em 
função de α, n1 número de médias ordenadas abrangidas pelo contraste e n2 numero 
de GL do resíduo da ANOVA. 
 
Aplicação do teste: 
1. Enunciar as hipóteses. 
2. Ordenar as médias do fator em estudo. 
3. Obter o valor da estimativa do contraste. 
4. Calcular Di 
5. Concluir. Se Y ≥ Di, rejeita-se Ho. Caso não seja significativo voltar ao item 3. 
 
 
 
Exemplo: 
Dados: 
Produtos A B C D 
Totais 279 357 321 246 
Médias 46,5 59,5 53,5 41,0 
 
QMResiduo = 41,32 
Repetições = 6. 
 
Aplicando-se Tukey. 
 
1. Hipoteses: 
H0: m1=mj; Ha: mi≠mj para todo i≠j 
2. Médias ordenadas. 
mB 59,5 a 
mC 53,5 a b 
mA 46,5 b c 
mD 41,0 c 
 
3. Calculo da dms 
Δ=3,96√
41,32
6
= 10,39 
q(5%, 4, 20) = 3,96 
 
Comparações: 
Y1 = mb-md = 6,0 < Δ 
Y2 = mb-ma = 13,0> Δ 
Y3 = mc-ma = 7,0 < Δ 
Y4 = mc-md = 12,5 > Δ 
Y5 = ma-md = 5,5 < Δ 
 
4. Médias seguidas pelas mesmas letras são estatisticamente iguais pelo teste de 
Tukey ao nível de 5% de probabilidade. 
 
Teste de Duncan 
1. Médias ordenadas. 
mB 59,5 a 
mC 53,5 a b 
mA 46,5 b c 
mD 41,0 c 
 
2. Contrastes que abrange 4 médias. 
Y1 = mB – mD = 59,5-41,0 = 18,5. 
𝐷4 = 3,18√
41,32
6
= 8,34 
Z5% (4, 20) = 3,18 
Y1 > D4, rejeita-se H0. 
 
3. Contrastes que abrange 3 médias. 
Y2 = mb-ma= 59,5-46,5=13,0 
Y3 = mc-md= 53,5-41,0=12,5 
 
Z3 5%(3, 20) = 3,10 então D3 = 8,13. 
 
Y2 > D3 rejeita-se H0 e Y3 > D3 rejeita-se H0. 
 
 
 
 
 
 
4. Contrastes entre duas médias. 
Y4 = mb-mc = 3,0, 
Y5 = mc-ma = 7,0 
Y6 = ma-md = 5,5 
 
Z2 5% (2, 20) = 2,95. D2 = 7,74 
Y4 < D2 não rejeita-se H0 
Y5 < D2 não rejeita-se H0 
Y6 < D2 não rejeita-se H0 
Conclusão: Médias seguidas pelas mesmas letras são estatisticamente iguais pelo teste de 
Tukey ao nível de 5% de probabilidade.