Economia da Engenharia Apostila 20180205 1939

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Material elaborado pelo Prof. Paulo Zanellato 
 
ECONOMIA DA ENGENHARIA 
Apostila do curso 
 
 
SUMÁRIO: 
 
1 – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................ 1 
1.1 – Capital ......................................................................................................................... 1 
1.2 – Juros ............................................................................................................................ 1 
1.3 – Taxa de juros .............................................................................................................. 2 
1.4 – Montante ..................................................................................................................... 2 
1.5 – Diagrama de fluxo de caixa ....................................................................................... 2 
1.6 – Regimes de capitalização ........................................................................................... 3 
2 – JUROS SIMPLES .............................................................................................................. 5 
3 – JUROS COMPOSTOS....................................................................................................... 7 
3.1 – Equivalência de taxas compostas ............................................................................. 8 
3.2 – Taxa nominal e efetiva ............................................................................................... 9 
4 – DESCONTO SIMPLES ................................................................................................... 11 
4.1 – Desconto simples comercial .................................................................................... 11 
4.2 – Desconto simples racional ....................................................................................... 14 
4.3 – Equivalência de capitais para desconto simples ................................................... 15 
5 – DESCONTO COMPOSTO ............................................................................................. 16 
5.1 – Desconto composto comercial ................................................................................. 16 
5.2 – Desconto composto racional .................................................................................... 18 
5.3 – Equivalência de capitais para desconto composto ................................................ 20 
6 – SÉRIES UNIFORMES .................................................................................................... 21 
6.1 – Séries uniformes de Capitalização ......................................................................... 21 
6.1.1 – Montante para Série de capitalização postecipada ............................................ 22 
6.1.2 – Montante para Série de capitalização antecipada ............................................. 24 
6.2 – Séries uniformes de Amortização ........................................................................... 26 
6.2.1 – Valor atual para Série de amortização postecipada .......................................... 26 
6.2.2 – Valor atual para Série de amortização antecipada ........................................... 29 
7 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO ................................................................................. 32 
7.1 – Sistema Francês de Amortização (SFA) ................................................................ 32 
7.2 – Sistema de Amortização Constante (SAC) ............................................................ 34 
7.3 – Sistema de Amortização Misto (SAM) ................................................................... 36 
7.4 – Sistema de Amortização Americano (SAA)........................................................... 38 
8 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS ................................................................................. 40 
8.1 – Taxa Mínima de Atratividade [im] ......................................................................... 41 
8.2 – Valor Presente Líquido [VPL] ................................................................................ 43 
8.3 – Taxa de Rentabilidade [TR] ................................................................................... 47 
8.4 – Índice Benefício/Custo [IBC] .................................................................................. 48 
8.5 – Taxa Interna de Retorno [TIR] .............................................................................. 50 
8.6 – Tempo de Retorno do Investimento [Payback] ..................................................... 52 
 
 1 
1 – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Nas transações financeiras e comerciais, a movimentação de dinheiro (pagamentos e 
recebimentos) ocorre em instantes diferentes de tempo. Dessa forma, aplicações ou 
empréstimos realizados hoje terão um valor maior no futuro. Por outro lado, quantias 
disponíveis no futuro, se avaliadas hoje, terão seus valores reduzidos. Estas situações levam 
ao conceito de valor do dinheiro no tempo, ou seja, de que o dinheiro terá valores diferentes 
em cada instante de tempo. 
 
Para melhor compreensão do conceito de valor do dinheiro no tempo, suponha que se 
pergunte a uma pessoa se ela prefere receber R$ 100,00 hoje, ou os mesmos R$ 100,00 no 
final de um ano. A resposta certamente seria R$ 100,00 hoje. No entanto, se a pergunta fosse 
receber R$ 100,00 hoje ou R$ 148,00 no fim de um ano, a resposta poderia ser: “- Depende”. 
Para responder a pergunta, a pessoa analisaria se vale a pena deixar de usar os R$ 100,00 para 
atender a uma necessidade ou desejo (trocar de carro, fazer uma viagem), ou se seria mais 
vantajoso privar-se desse desejo ou necessidade atual para receber R$ 148,00 no fim de um 
ano. Caso esta pessoa concorde com a proposta, na prática ela estará fixando valores para seu 
dinheiro no tempo, ou seja, R$ 100,00 para ela hoje valem R$ 148,00 ao fim de um ano, 
evidenciando que uma mesma quantia tem valores diferentes em diferentes instantes de 
tempo. 
 
Pode-se imaginar, também, uma situação na qual uma pessoa pretenda vender um terreno por 
R$ 50.000,00 à vista. Após a publicação do anúncio, recebe várias propostas de compra, mas 
todas elas incluindo uma parte à vista e o saldo financiado em diversas parcelas, sendo que 
cada proposta apresenta diferentes planos de financiamento. Como escolher a proposta mais 
interessante? A Matemática Financeira justamente estuda e propõe soluções para questões 
como estas, pois é uma disciplina que tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução 
do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas 
para a aplicação e obtenção de recursos financeiros. 
 
 
1.1 – Capital 
 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, Capital é qualquer valor expresso em moeda 
(dinheiro ou bens comercializáveis) disponíveis em determinada época. Referida quantidade 
de dinheiro também é denominada de capital inicial ou principal. 
 
 
1.2 – Juros 
 
Ao emprestarmos certa quantia por determinado período de tempo, costumamos cobrar uma 
dada importância de tal modo que, ao fim do prazo estipulado, disponhamos não só da quantia 
emprestada, como também de um acréscimo que compense a não-utilização do capital, por 
nossa parte, durante o período em que foi emprestado. Desse modo, podemos definir Juro 
como sendo o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro 
durante um determinado tempo. Juros é o rendimento, em dinheiro, proporcionado pela 
utilização de uma quantia monetária, por um determinado período de tempo. 
 
 
 2 
1.3 – Taxa de juros 
 
O valor em dinheiro a ser pago ou recebido pela utilização do capital, denominado de juros, é 
determinado pela taxa de juros à qual o dinheiro
foi aplicado ou emprestado. 
 
Taxa de juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no 
fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. 
 
Exemplificando, qual a taxa de juros obtida por uma pessoa que investiu R$100,00 e recebeu 
R$150,00 após 1 ano? 
 
Temos: 
Capital Inicial = R$ 100,00 
Juros = R$ 150,00 - R$ 100,00 = R$ 50,00 
Taxa de Juros = R$ 50,00 / R$ 100,00 = 0,5 ou 50% a.a. 
 
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser 
apresentada na forma unitária ou percentual (centesimal), sendo esta última a mais comum. 
 
No exemplo, a taxa de juros (unitária) de 0,5 a.a. significa que cada R$ 1,00 de capital 
aplicado rendeu R$ 0,50 de juro a cada ano de aplicação. Da mesma forma, pode-se dizer que 
a taxa de juros percentual foi de 50% , ou seja, que cada R$ 100,00 rendeu R$ 50,00 de juro a 
cada ano de aplicação. Trata-se apenas de formas de apresentação, sendo a percentual bem 
mais comum na linguagem comercial, nos contratos e no dia-a-dia dos negócios. 
 
 
1.4 – Montante 
 
Denomina-se de Montante (ou capital final) de um financiamento ou aplicação financeira a 
soma do capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos ou recebidos. 
Tomando-se o exemplo apresentado no item anterior, temos: 
 
Capital Inicial = R$ 100,00 
+ Juros = R$ 50,00 
Montante = R$ 150,00 
 
 
1.5 – Diagrama de fluxo de caixa 
 
O fluxo de caixa representa a movimentação de recursos financeiros (entradas e saídas de 
caixa) ao longo de um período de tempo. O diagrama de fluxo de caixa é uma representação 
gráfica das transações financeiras ao longo do tempo. O tempo é representado por uma linha 
horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou 
recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima. As saídas ou 
pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. 
 
 
 
 
 
Entrada (+) 
tempo (n) 
Saída (-) Saída (-) 
t0 
t1 t2 
 3 
Exemplo: 
 
Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 1.000,00 em um banco para quitá-lo em 3 parcelas 
fixas de R$ 400,00. Represente o fluxo de caixa desta operação. 
 
 Do ponto de vista do tomador (pessoa): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Do ponto de vista do emprestador (banco): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6 – Regimes de capitalização 
 
Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa de juros, por diversos 
períodos, o montante pode ser calculado de acordo com dois regimes básicos de capitalização: 
simples e composta. 
 
 
I – Regime de capitalização simples: 
 
No regime de capitalização simples, somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros 
são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de 
capitalização a que se refere a taxa de juros. Neste regime, o montante de um capital inicial de 
R$ 100,00 aplicado durante 4 anos, a uma taxa de 10% a.a., apresentará a seguinte evolução: 
 
1º ano: 10% a.a. significa que cada R$ 100,00 de capital produz R$ 10,00 de juros ao ano. 
No 1º ano os juros serão de R$ 10,00 e o montante atingirá R$ 110,00. 
2º ano: Como os juros incidem somente sobre o capital inicial, os juros produzidos serão 
iguais aos produzidos no 1º ano (R$ 10,00). O montante, ao final do 2º ano, 
corresponderá ao montante do final do 1º ano (R$ 110,00), acrescido dos juros 
gerados (R$ 10,00) no 2º ano, totalizando R$ 120,00. 
3º ano: Os juros serão de R$ 10,00 e o montante passará para R$ 130,00. 
4º ano: Os juros serão de R$ 10,00 e o montante passará para R$ 140,00. 
Ao término dos 4 anos, os juros serão R$ 40,00 e o montante totalizará R$ 140,00. 
R$ 1.000,00 
tempo (n) 
R$ 400,00 R$ 400,00 R$ 400,00 
R$ 1.000,00 
tempo (n) 
R$ 400,00 R$ 400,00 R$ 400,00 
t0 
t1 t2 t3 
t0 
t1 t2 t3 
 4 
O fluxo de caixa do aplicador será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II – Regime de capitalização composta: 
 
O regime de capitalização composta considera que os juros produzidos ao final de cada 
período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render 
juros no período seguinte e assim sucessivamente. 
 
Tomando-se o mesmo exemplo do item anterior, tem-se: 
 
1º ano: O capital está aplicado a 10% a.a, significando que cada R$ 100,00 de capital 
produz R$ 10,00 de juros e o montante será de R$ 110,00 no final do 1º ano. 
2º ano: Agora, o capital que passa a produzir rendimento no 2º ano é de R$ 110,00. Como 
cada R$ 100,00 de capital produz R$ 10,00 de juros, R$ 110,00 de capital irá 
produzir R$ 11,00 de juros e o montante vai para R$ 121,00. 
3º ano: O capital inicial será de R$ 121,00 e os juros de 10% a.a., ou seja, no final do 3º 
ano os juros produzidos serão de R$ 12,10 e o montante será de R$ 133,10. 
4º ano Os juros são calculados sobre R$ 133,10 à taxa de 10% a.a., resultando R$ 13,31 
de juros no 4º ano. O montante, por sua vez, atingirá R$ 146,41. 
 
 
O fluxo de caixa do aplicador será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando-se os dados dos exemplos dos dois itens anteriores, pode-se compor o seguinte 
quadro comparativo: 
 
Período 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO 
Simples Composta 
Juros Montante Juros Montante 
1º ano 10,00 110,00 10,00 110,00 
2º ano 10,00 120,00 11,00 121,00 
3º ano 10,00 130,00 12,10 133,10 
4º ano 10,00 140,00 13,31 146,41 
 
C = R$ 100,00 
R$ 110,00 R$ 120,00 R$ 130,00 
t0 
t1 t2 t3 t4 
M = R$ 140,00 
C = R$ 100,00 
R$ 110,00 R$ 121,00 R$ 133,10 
t0 
t1 t2 t3 t4 
M = R$ 146,41 
 5 
2 – JUROS SIMPLES 
 
Juros simples é aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal. 
 
No regime de capitalização simples, o juro é calculado sempre sobre o capital inicial e seu 
valor é igual em todos os períodos considerados. Assim, supondo um capital de R$ 100,00 
aplicado a juro simples de 5% a.m., durante 4 meses, os juros podem ser calculados como 
segue: 
 
No final de cada mês, o capital R$ 100,00 renderá R$ 5,00 de juros, ou R$ 100,00 x 0,05. 
 
Note-se que os juros são todos iguais, pois são sempre calculados sobre o mesmo capital 
inicial. Os juros podem ser retirados no fim de cada mês ou no final de 4 meses que o total 
será sempre o mesmo, ou seja, R$ 20,00. 
 
Na prática, como os juros serão iguais todos os meses e a taxa de juros é aplicada somente 
sobre o capital inicial, o total de juros pode ser calculado pela multiplicação do juro mensal 
produzido R$ 5,00 (5% de R$ 100,00 ou R$ 100,00 x 0,05) pelo nº
 
de meses (4) que é o 
tempo em que o capital fica aplicado, totalizando R$ 20,00. 
 
 Cálculo dos juros simples (J): 
 
J = C i n 
 
Onde: 
J  juro 
C  capital inicial ou principal 
i  taxa unitária 
n  número de períodos consecutivos 
 
 Cálculo do montante (M): 
 
M = C + J 
M = C + C i n 
M = C ( 1 + i n ) 
 
 
Exemplo: 
Calcular os juros simples e o montante de um capital de R$ 1.000,00 aplicado à taxa de 2% 
a.m., durante 6 meses. 
 
J = C i n 
J = 1.000 ∙ 0,02 ∙ 6 
J = 120,00 
 
M = C + J 
M = 1.000 + 120 
M = 1.120,00 
 
 6 
 Cálculo de taxas proporcionais: 
 
Em regime de capitalização simples, duas taxas são proporcionais se seus valores formarem 
uma proporção com seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. 
 
 
n
i
n
i
 
2
2
1
1 
 
 
Exemplo: 
a) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.? 
 
a.m. %2i 
12
24
i 24i 12 
12
24
1
i
 
n
i
n
i
 111
1
2
2
1
1 
 
 
b) Qual a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.? 
 
a.a. %18i 5,112i 
1
1,5
12
i
 
n
i
n
i
 11
1
2
2
1
1 
 
 
Nota: Para juros simples, taxas proporcionais também são consideradas equivalentes. 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular os juros simples produzidos por um capital de R$ 2.000,00 aplicado à taxa de 1% 
a.m. durante 1 ano e 2 meses. 
 
2. Um capital de R$ 4.000,00 rendeu em um mês a importância de R$ 1.000,00 de juros. 
Calcule a taxa de juros simples. 
 
3. Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00 empregado à taxa de juros simples de 
0,5% a.m. durante 2 anos e 6 meses. 
 
4. Calcular o capital que deve ser empregado para gerar um montante de R$ 6.500,00 
aplicado à taxa de juros simples de 5% a.m. durante 6 meses. 
 
5. Um capital de R$ 8.000,00 gerou um montante de R$ 9.440,00 durante 1 ano e 6 meses 
sob regime de capitalização simples. Qual a taxa de juros anual praticada? 
 
6. Qual a taxa anual proporcional a 4% a.t.? 
 
7. Qual a taxa semestral proporcional a 3,0% a.a.? 
 
 
 
 
 
 7 
3 – JUROS COMPOSTOS 
 
Os juros compostos ou derivados de capitalização composta são aqueles que sucessivamente 
incidem sobre o valor atualizado do montante de cada período de capitalização. 
 
Enquanto que os juros simples possuem progressão aritmética, os juros compostos possuem 
progressão geométrica. 
 
 Cálculo do montante (M): 
 
M = C ( 1 + i )
n 
 
 
Onde: 
M  montante 
C  capital inicial ou principal 
i  taxa unitária 
n  número de períodos consecutivos 
 
 Cálculo dos juros compostos (J): 
 
J = M – C 
J = C ( 1 + i )
n
 – C 
J = C [( 1 + i )
n
 – 1] 
 
Exemplo: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em regime de capitalização composta 
durante o período de 3 meses a uma taxa de 1,5% mensais. Calcule o montante e os juros da 
operação. 
 
M = C ( 1 + i )
n
 = 10.000 ( 1 + 0,015 )
3
 = 10.000 ( 1,015 )
3
 = 10.000 ∙ 1,0456784 
M = 10.456,78 
 
J = M – C = 10.456,78 – 10.000 
J = 456,78 
 
 
Exercícios: 
 
8. Calcule o montante produzido de um capital de R$ 2.000,00 aplicado a uma taxa de juros 
compostos de 2% a.m. durante 8 meses. 
 
9. Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m. 
para produzir um montante R$ 6.000,00 ? 
 
10. Calcular os juros compostos de um capital de R$ 6.000,00 aplicado à taxa de 0,5% a.m. 
durante 5 meses. 
 
11. Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se um 
rendimento de R$ 185,45. Calcule a taxa mensal da aplicação. 
 
 8 
12. Considerando o fluxo de caixa apresentado abaixo com as movimentações de uma 
caderneta de poupança e que o rendimento composto foi de 0,5% ao mês, calcule o saldo 
ao fim de 1 ano: 
 5.000 5.000 10.000 3.000 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 3.000 5.000 7.000 
 
 
 
3.1 – Equivalência de taxas compostas 
 
Duas ou mais taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo 
período de tempo, produzem montantes iguais. 
 
Exemplo: 
Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes 
condições: 
a) 2,00 % a.m. 
b) 4,04 % a.b. 
 
Solução: 
a) Ma = C ( 1 + i )
n
 = 1.000 ( 1 + 0,0200 )
12
 = 1.000 ( 1,0200 )
12
 = 1.268,24 
b) Mb = C ( 1 + i )
n
 = 1.000 ( 1 + 0,0404 )
6
 = 1.000 ( 1,0404 )
6
 = 1.268,24 
 
Logo, as duas taxas são equivalentes, pois produzem o mesmo montante ao final do 
período de aplicação 
 
Para verificar a equivalência de taxas, vale a seguinte relação: 
 
( 1 + ia ) = ( 1 + is )
2
 = ( 1 + it )
4
 = ( 1 + ib )
6
 = ( 1 + im )
12
 = ( 1 + id )
360
 
 
Onde: 
ia  taxa anual de juros compostos is  taxa semestral de juros compostos 
it  taxa trimestral de juros compostos ib  taxa bimestral de juros compostos 
im  taxa mensal de juros compostos id  taxa diária de juros compostos 
 
Exemplo: 
Calcular a taxa semestral composta equivalente a 6% a.a. 
 
( 1 + is )
2
 = ( 1 + ia ) 
( 1 + is )
2
 = ( 1 + 0,06 )
 
( 1 + is )
2
 = ( 1,06 )
 
1 + is = ( 1,06 )
1/2
 
1 + is = 1,0296 
is = 1,0296 – 1 
is = 0,0296 
is = 2,96 % a.s. 
 9 
Exercícios: 
 
13. Calcule a taxa anual equivalente a 4% a.m. 
 
14. Calcule a taxa semestral equivalente a 40% a.a. 
 
15. Calcule a taxa trimestral equivalente a 2% a.m. 
 
16. Calcule a taxa mensal equivalente a 25% a.s. 
 
17. Calcule a taxa mensal equivalente a 0,5% a.d. 
 
 
3.2 – Taxa nominal e efetiva 
 
 Taxa Nominal é aquela em que a unidade de seu período de referência é diferente da 
unidade do período da capitalização. 
 
Exemplos: 
 12% ao ano com capitalização mensal; 
 5% ao mês com capitalização diária. 
 
 Taxa Efetiva é aquela em que a unidade de seu período de referência corresponde com a 
unidade do período da capitalização. 
 
Exemplos: 
 12% ao ano com capitalização anual; 
 5% ao mês com capitalização mensal. 
 
Para se transformar uma taxa nominal em taxa efetiva, deve-se dividir a taxa nominal pelo 
número corresponde de períodos da capitalização. 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular a taxa efetiva ‘i’ relativa à taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente: 
 
i = 6% ÷ 12 = 0,5% a.m. 
 
b) Calcular a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal: 
 
i = 12% ÷ 12 = 1% a.m. 
 
( 1 + im )
12 
= ( 1 + ia ) 
( 1 + 0,01 )
12 
= 1 + ia 
( 1,01 )
12 
= 1 + ia 
1,1268
 
= 1 + ia 
ia = 1,1268 – 1 
ia = 0,1268 
ia = 12,68% a.a. 
 
 10 
Exercícios: 
 
18. Calcule a taxa efetiva mensal de uma taxa de 12% anual, com capitalização semestral. 
 
19. Calcule a taxa efetiva anual equivalente a 2% ao mês, com capitalização mensal. 
 
20. Certo capital foi aplicado a juros compostos de 12% a.a. com capitalização semestral 
durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido? 
 
21. Calcule os juros obtidos de um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de juros 
composta de 8% a.a. com capitalização trimestral durante o período de 1 ano e meio. 
 
22. Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por 2 anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes 
taxas de juros: 
 2% a.m. capitalizados trimestralmente; 
 2% a.m. capitalizados bimestralmente; 
 2% a.m. a juros simples. 
Qual a melhor opção? 
 
23. O fluxo de caixa abaixo representa aplicações mensais que um investidor faz em uma 
aplicação financeira que aufere um rendimento composto de 24% ao ano com 
capitalização trimestral. Considerando todas as aplicações realizadas, determine o 
montante total ao fim de um ano. 
 
 
 
 
 
 
24. Uma empresa fez 3 empréstimos em um banco para pagamentos de matéria-prima: 
 O 1º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados mensalmente; 
 O 2º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados bimestralmente; 
 O 3º com taxa de juros de 2% ao mês capitalizados trimestralmente. 
Sabendo que todos os empréstimos foram do mesmo valor e tomados na mesma data, 
determine os seus valores sendo que foram quitados conjuntamente por R$ 125.000,00 ao 
fim de 1 ano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 . 1 0 0,00 1 . 2 0 0,00 1 . 3 0 0,00 
t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 
 1 .000 ,00 1 .40 0,00 
[m ês]
11 
4 – DESCONTO SIMPLES 
 
Em operações financeiras, é muito comum compras a prazo ou empréstimos junto à 
instituições financeiras. Nestas operações, o credor (quem cede a venda a prazo ou 
empréstimo) emite um título de crédito, que é o comprovante da dívida. 
 
Todo título de crédito tem uma data de vencimento que corresponde à data em que a dívida ou 
parcela da dívida deverá ser quitada. Pode ocorrer que o devedor resolva quitar uma dívida 
antes do vencimento, tendo direito a um abatimento denominado desconto (d). 
 
Os títulos possuem um valor, chamado valor nominal (N), que corresponde ao seu valor no 
dia do seu vencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatado por um valor menor 
que o nominal, denominado de valor atual (A). 
 
Desta forma, o desconto é representado pela equação: d = N – A 
 
Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são: 
 
Nota promissória: É um título que comprova uma dívida financeira com vencimento pré-
determinado. Utilizado entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e instituições financeiras. 
 
Duplicata: É um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou 
jurídica) que comprova uma dívida assumida a ser paga no futuro. 
 
 
4.1 – Desconto simples comercial 
 
O desconto comercial (dc), também conhecido por desconto bancário ou “por fora”, refere-se 
ao desconto calculado sobre o valor nominal de um título. Equivale aos juros simples onde o 
capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito. 
 
O valor atual (Ac) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título na data 
do resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do desconto simples comercial (dc): 
 
dc = N i n 
 
Onde: 
dc  desconto comercial 
N  valor nominal do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
Observação: 
O desconto simples comercial só deve ser 
aplicado para períodos curtos, pois para 
prazos longos o valor do desconto pode 
até ultrapassar o valor nominal do título. 
(Ac) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 12 
Exemplo: 
Calcular o desconto simples comercial de um título de crédito no valor de R$ 5.000,00 à taxa 
de 3% ao mês a ser resgatado 2 meses antes do vencimento. 
 
dc = N i n = 5.000 ∙ 0,03 ∙ 2 
dc = 300,00 
 
 
 Cálculo do valor atual (Ac): 
 
Ac = N – dc 
Ac = N – ( N i n ) 
Ac = N ( 1 – i n ) 
 
Exemplo: 
Uma promissória de valor nominal de R$ 400,00 foi resgatada 3 meses antes de seu 
vencimento, à taxa de 9% ao ano. Qual o valor atual comercial ? 
 
N = 400 
i = 9% a.a. = 0,09 a.a. 
n = 3 meses = 0,25 ano 
 
Ac = N ( 1 – i n ) = 400 ( 1 – 0,09 ∙ 0,25 ) = 400 ∙ 0,9775 
Ac = 391,00 
 
Exercícios: 
 
25. Calcular o desconto simples comercial de um título de crédito no valor de R$ 2.000,00 à 
taxa de 6% ao mês a ser resgatado 2 meses antes do vencimento. 
 
26. Uma duplicata de R$ 6.000,00 ao ser resgatada 120 dias antes do seu vencimento sofreu 
R$ 300,00 de desconto simples por fora. Qual a taxa anual usada na operação? 
 
27. Calcular o valor atual de um título de crédito de valor nominal de R$ 1.000,00 que sofreu 
um desconto simples comercial, a uma taxa de 3% ao mês, 90 dias antes do vencimento. 
 
28. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00. 
Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto simples comercial foi de 
4% ao mês. 
 
29. Os descontos simples comerciais de 2 títulos de crédito vencíveis em 90 dias, colocados à 
taxa de 3% ao ano, somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede do segundo no 
valor de R$ 50,00. Calcular os valores nominais destes títulos. 
 
 
 
 
 
 
 13 
 Cálculo da taxa de juro efetiva (if): 
 
A taxa de juro efetiva (if) é aquela que realmente está sendo cobrada em uma operação de 
desconto comercial, pois para um período n, torna o valor atual comercial (Ac) igual ao seu 
valor nominal (N). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedução da fórmula de taxa de juro efetiva (if): 
Partindo do montante simples: M = C ( 1 + i n ) 
Considerando: 
 M = N 
 C = Ac 
 i = if 
Tem-se: 
nA
AN
i )n i 1 ( AN
c
c
ffc



 
Sendo: 
 dc = N – Ac 
nA
d
i
c
c
f


 
 
 
Exemplos: 
 
a) Um título de R$ 2.000,00 foi resgatado à taxa simples de 2% ao mês faltando 1 mês para 
seu vencimento. Para o resgate, foi descontado R$ 41,60 por fora. Calcule a taxa de juro 
efetiva nesta operação. 
2,12%
11.958,40
41,60
nA
d
i 1.958,4041,602.000,00dNA
c
c
fcc 




 
b) Uma promissória foi descontada 20 dias antes de seu vencimento onerando um desconto 
de R$ 330,00 por fora. Após a operação, verificou-se que a taxa simples efetiva foi de 9% 
ao mês. Qual foi o valor recebido nesta operação? 
 
n = 20 dias 
dc = 330,00 
if = 9% a.m. = 0,3% a.d. 
5.500,00A
20A
330
0,003
nA
d
i c
cc
c
f 




 
 
Exercícios: 
 
30. Um título de R$ 5.000,00 foi resgatado 12 dias antes de seu vencimento por R$ 4.700,00. 
Determine a taxa de desconto simples bancário e sua respectiva taxa de juro efetiva. 
 
31. Um empresário resgatou um título de R$ 10.000,00 faltando 80 dias para seu vencimento. 
Quanto foi o valor do resgate se a taxa simples efetiva cobrada foi de 4,5% ao mês? 
 
 
 
 
(Ac) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
(C) (M) 
i 
if 
Operação 
 14 
4.2 – Desconto simples racional 
 
O desconto racional ou “por dentro” corresponde aos juros simples calculados sobre o valor 
atual do título, chamado nesta operação de valor atual racional (Ar). No desconto comercial, o 
desconto correspondia aos juros simples calculados sobre o valor nominal (N) do título. 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do desconto simples racional (dr): 
 
dr = Ar i n 
 
Onde: 
dr  desconto racional 
Ar  valor atual racional do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
Observação: No desconto racional, a taxa de desconto equivale à taxa de juros da operação. 
 
 
 Cálculo do desconto racional (dr) em função do valor nominal (N): 
 
Como Ar = N – dr , o desconto racional pode ser assim representado: 
 
dr = ( N – dr ) i n  
n i1
n i N
dr


 
 
 Cálculo do valor atual racional (Ar): 
 
O valor atual racional corresponde à diferença entre o valor nominal e o desconto racional: 
 
n i1
n i N
NdNA rr


  
n i1
N
A r


 
 
Exercícios: 
 
32. Uma dívida de R$ 12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que desconto 
simples racional será obtido se a taxa de juros contratada for de 27% a.a.? 
 
33. Um título de crédito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto simples racional 
à taxa de 1,5% ao mês, 75 dias antes de seu vencimento. Calcule o seu valor atual. 
 
 
(Ar) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 15 
4.3 – Equivalência de capitais para desconto simples 
 
No mercado financeiro, são muito comuns negociações que envolvem substituições de títulos 
diferidos (vencimentos diferentes) por outro(s) título(s) ou, ainda, saber se duas formas de 
pagamentos são equivalentes. Esses problemas são relacionados à equivalência de capitais 
diferidos. Dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus 
valores atuais, nessa época, são iguais. 
 
Exemplo:
Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00 com vencimento para 45 dias é 
substituído por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa 
de desconto simples comercial é de 3% ao mês. 
 
N1 = R$ 800,00 
n1 = 45 dias = 1,5 mês 
i = 3% a.m. 
N = ? 
n = 60 dias = 2 meses 
 
Condição: A = A1 812,77N 
0,94
764
N
764N 0,94
)5,10,03(1 800)20,03(1 N
)in(1 Nin)(1 N
:Então
in)(1 NA Como
11





 
 
 
Exercícios: 
 
34. Um título de crédito com vencimento para 75 dias e de valor nominal de R$ 10.000,00 é 
substituído por outro para 4 meses, ambos à taxa de desconto simples comercial de 5% ao 
mês. Calcule o valor nominal do novo título. 
 
35. Uma empresa deve três títulos a um banco e deseja substituí-los por um único título com 
vencimento para 1 ano. O primeiro título é de R$ 5.500,00 a vencer em 40 dias, o segundo 
é de R$ 8.000,00 a vencer em 80 dias e o último é de R$ 12.000,00 a vencer em 3 meses. 
Sabendo que a taxa de desconto simples comercial praticada pelo banco é de 6% a.m., 
qual é o valor do único título? 
 
36. Uma pessoa parcela uma dívida em dois pagamentos iguais de R$ 2.500,00 a vencerem 
em 30 e 60 dias. Considerando que, para pagamento antecipado, foi acordada uma taxa de 
desconto simples por dentro de 6% ao mês, calcule por quanto a pessoa quita a dívida à 
vista. 
 
37. Um título no valor de R$ 10.000,00 para 4 meses substituiu dois outros títulos de crédito: 
R$ 2.000,00 para 3 meses e R$ 6.000,00 para 2 meses. Qual foi a taxa de desconto 
simples por fora praticada na operação? 
 
 
 
 
 
 16 
5 – DESCONTO COMPOSTO 
 
O conceito de desconto composto é similar ao de desconto simples, pois corresponde ao 
abatimento que uma pessoa física ou jurídica obtém ao quitar um título de crédito antes de seu 
vencimento. 
 
O desconto composto é normalmente aplicado em operações de longo prazo, onde a aplicação 
de desconto simples tornaria os resultados incoerentes. 
 
Da mesma forma que no desconto simples, em desconto composto há dois tipos: o comercial 
e o racional. 
 
No mercado financeiro, o desconto composto comercial raramente é aplicado, pois pode 
acarretar danos financeiros a uma das partes na operação. Por isso, o desconto composto 
racional é mais usual, pois reflete a realidade imparcial de uma operação de desconto 
composto. 
 
 
5.1 – Desconto composto comercial 
 
Similar ao desconto simples comercial, o desconto composto comercial (dc) é também 
conhecido por desconto bancário ou “por fora” e refere-se ao desconto calculado sobre o valor 
nominal de um título. Equivale aos juros compostos onde o capital inicial corresponde ao 
valor nominal do título de crédito. 
 
O valor atual (Ac) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título na data 
do resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do valor atual (Ac): 
 
Em desconto simples comercial, o cálculo do valor atual é dado por  Ac = N ( 1 – i n ) 
 
Já em desconto composto comercial, o número de períodos (n) passa a ser o expoente da 
expressão que envolve a taxa de desconto (i), formando a seguinte fórmula: 
 
Ac = N ( 1 – i )
n
 
 
Onde: 
Ac  valor atual comercial 
N  valor nominal do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
 
(Ac) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 17 
 Cálculo do desconto composto comercial (dc): 
 
Partindo do conceito de desconto: 
dc = N – Ac 
dc = N – N ( 1 – i )
n
 
dc = N [ 1 – ( 1 – i )
n
 ] 
 
Exemplos: 
 
a) Um título de R$ 10.000,00 a vencer em um ano é descontado no regime de juros 
compostos, com uma taxa de desconto comercial de 1,2% ao mês. Determinar o valor 
atual do título e seu respectivo desconto na operação. 
 
N = 10.000 
n = 1 ano = 12 meses 
i = 1,2% a.m. = 0,012 a.m. 
 
Ac = N ( 1 – i )
n
 = 10.000 ( 1 – 0,012 )12 = 10.000 ∙ 0,8651 
Ac = 8.651,00 
 
dc = N – Ac = 10.000 – 8.651 
dc = 1.349,00 
 
b) Qual o desconto composto por fora que recebe um título de R$ 8.000,00 descontado com 
antecipação de 10 meses do seu vencimento à taxa de 2% ao mês. 
 
N = 8.000 
n = 10 meses 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 
dc = N [ 1 – ( 1 – i )
n
 ] 
dc = 8.000 [ 1 – ( 1 – 0,02 )
10
 ] 
dc = 8.000 ∙ 0,1829 
dc = 1.463,20 
 
 
Exercícios: 
 
38. Um título foi resgatado 8 meses antes de seu vencimento à taxa de desconto composto de 
3% ao ano. Sabendo que seu valor de face é de R$ 8.000,00 e que o desconto foi 
comercial, determine o valor pago na quitação do título. 
 
39. Um título, ao ser quitado com 6 meses de antecipação, recebe um desconto de R$ 668,11 à 
taxa de 3% ao mês. Considerando que o desconto composto foi realizado por fora, qual o 
valor nominal do título? 
 
 
 
 18 
5.2 – Desconto composto racional 
 
Similar ao desconto simples racional, o desconto composto racional ou “por dentro” 
corresponde aos juros compostos calculados sobre o valor atual do título, chamado nesta 
operação de valor atual racional (Ar). 
 
 
 
 
 
 
 
 Cálculo do valor atual (Ar): 
 
Em desconto simples racional, o cálculo do valor atual é dado por  
n i1
N
A r


 
Já em desconto composto racional, o número de períodos (n) passa a ser o expoente da 
expressão que envolve a taxa de desconto (i), formando a seguinte fórmula: 
 
nr
) i1 (
N
A


 
 
Onde: 
Ar  valor atual racional 
N  valor nominal do título 
i  taxa de desconto 
n  número de períodos consecutivos 
 
 
 Cálculo do desconto composto racional (dr): 
 
Partindo do conceito de desconto: 














nn
n
nr
rr
i)(1
1
1 N
) i1 (
1]i)[(1 N
) i1 (
N
Nd
ANd
 
dr = N [ 1 – ( 1 + i )
-n
] 
 
Exemplos: 
 
a) Calcular o valor atual racional de um título de R$ 10.000,00 a vencer em 8 meses à taxa 
de desconto composto de 3% ao mês. 
 
 
91,893.7
2668,1
000.10
03,01
000.10
) i1 (
N
A
8nr





 
 
(Ar) 
Resgate 
(N) 
Vcto 
n 
i 
Operação 
 19 
b) Qual o desconto composto por dentro que recebe um título de valor nominal R$ 8.000,00 
descontado com antecipação de 10 meses do seu vencimento à taxa de 2% ao mês. 
 
N = 8.000 
n = 10 meses 
i = 2% a.m. = 0,02 a.m. 
 
dr = N [ 1 – ( 1 + i )
-n
 ] 
dr = 8.000 [ 1 – ( 1 + 0,02 )
-10
 ] 
dr = 8.000 ∙ 0,1797 
dr = 1.437,21 
 
 
Exercícios: 
 
40. Calcule o valor atual de um título de crédito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu 
vencimento à taxa de desconto composto por dentro de 1,5% ao mês. 
 
41. Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível num prazo 
de 2 anos, à taxa de 2% ao mês. 
 
42. O desconto racional composto de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi 
de R$ 196,34. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual o prazo de 
antecipação do pagamento? 
 
43. Calcule o valor atual racional de um título de valor nominal de R$ 1.120,00 com 
vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de desconto composto de 36% ao ano, 
capitalizados semestralmente. 
 
44. Um título de valor nominal de R$ 1.500,00 foi resgatado 3 meses antes de seu 
vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. 
Sendo desconto composto racional, determine qual o desconto concedido na operação. 
 
45. Em uma operação de desconto composto,
o portador de um título recebeu R$ 36.954,00 
como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e que o desconto foi de 
R$ 3.046,00 por dentro, qual foi a taxa de desconto mensal praticada na operação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
5.3 – Equivalência de capitais para desconto composto 
 
Conforme descrito no estudo de equivalência de capitais para desconto simples, também em 
desconto composto, dois ou mais capitais diferidos são equivalentes, em certa época, quando 
seus valores atuais, nessa época, são iguais. 
 
Calcular a equivalência de capitais consiste em estabelecer uma data de comparação para os 
valores atuais dos títulos avaliados. Se resultar uma igualdade, pode-se concluir que esses 
capitais diferidos são equivalentes. Ao contrário de desconto simples, em desconto composto 
a data de comparação pode ser qualquer uma, porque os juros compostos são equivalentes 
aos descontos compostos. 
 
Exemplo: 
 
Um título de crédito de valor nominal de R$ 800,00 com vencimento para 45 dias é 
substituído por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa 
de desconto composto comercial é de 3% ao mês. 
 
N1 = R$ 800,00 
n1 = 45 dias = 1,5 mês 
i = 3% a.m. 
N = ? 
n = 60 dias = 2 meses 
 
Condição: A = A1 
812,28N
0,9409
764,27
N
764,27N 0,9409
0,03)(1 8000,03)(1 N
i)(1 Ni)(1 N
:Então
i)(1 NA Como
1,52
n
1
n
n
1






 
 
 
Exercícios: 
 
46. Um título de crédito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses é substituído 
por outro com vencimento para 2 meses à taxa de desconto composto racional de 2% ao 
mês. Qual é o valor nominal do novo título? 
 
47. Duas promissórias, uma de R$ 4.000,00 vencível em 120 dias e outra de R$ 9.000,00 
vencível em 180 dias serão resgatadas por um só pagamento dentro de 90 dias. Qual o 
valor do resgate, no regime de juros compostos racional, à taxa de 3% ao mês? 
 
48. Uma empresa fez os seguintes empréstimos em um banco: 
 R$ 250.000,00 a vencer em 6 meses; 
 R$ 350.000,00 a vencer em 9 meses; 
 R$ 450.000,00 a vencer em 1 ano. 
Em função de um investimento que a empresa terá que fazer para expandir seus negócios 
e que, portanto, impedirá o pagamento dessas dívidas nos prazos acordados, foi solicitada 
ao banco uma prorrogação dos vencimentos, de forma que todo o montante dos 
empréstimos seja quitado num prazo de 2 anos. Para tanto, foi acordado com o banco 
uma taxa de desconto composto por dentro de 1% ao mês. Nessas condições, determine 
qual será o valor do montante devido pela empresa. 
 21 
6 – SÉRIES UNIFORMES 
 
Séries são eventos correlacionados que ocorrem segundo uma determinada temporalidade. 
 
Em matemática financeira, as séries de recebimentos ou pagamentos constantes de 
importâncias financeiras que ocorrem em intervalos iguais de tempo são chamadas Séries 
Uniformes. 
 
As séries uniformes referentes a recebimentos são chamadas de Capitalização, pois visam o 
acúmulo crescente e contínuo de importâncias financeiras. 
 
As séries uniformes referentes a pagamentos são chamadas de Amortização, pois visam à 
redução gradual e contínua de um financiamento até sua quitação. 
 
As Séries Uniformes de Capitalização e de Amortização são chamadas de Operações de 
Renda Certa. 
 
 
6.1 – Séries uniformes de Capitalização 
 
As séries uniformes de capitalização são classificadas em postecipadas e antecipadas. 
 
Uma série de capitalização é postecipada ou imediata quando os recebimentos ocorrem no 
final de cada período de capitalização. 
 
O fluxo de caixa para uma série de capitalização postecipada é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
P representa as parcelas de recebimentos. 
 
Obs.: Quando, em um problema ou exercício, nada for informado quanto à classificação de 
uma série, subentende-se que é postecipada. 
 
Uma série de capitalização é antecipada quando os recebimentos ocorrem no início de cada 
período de capitalização. 
 
O fluxo de caixa para uma série de capitalização antecipada é o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
tempo (n) 
P1 
t0 t1 
P2 
t2 
P3 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
tempo (n) 
P2 
t0 t1 
P3 
t2 
P4 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
P1 
 22 
6.1.1 – Montante para Série de capitalização postecipada 
 
O montante refere-se ao resultado do acúmulo de capital durante certo período de tempo. 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
A quantia de R$ 200,00 é depositada em um banco, no fim de cada mês, durante o período 
de 5 meses. Sabendo que o banco remunera o capital em 1% ao mês, qual será o montante 
capitalizado ao fim do período? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o montante, tem-se: 
 
Mp = 200 + 200 (1+0,01)
1
 + 200 (1+0,01)
2
 + 200 (1+0,01)
3
 + 200 (1+0,01)
4
 
Mp = 200 + 202 + 204,02 + 206,06 + 208,12 
Mp = 1.020,20 
 
Como é observado nesta situação, o montante postecipado pode ser representado pela seguinte 
expressão: 
 
Mp = P + P (1 + i)
1
 + P (1 + i)
2
 + P (1 + i)
3
 + P (1 + i)
4
 
 
De forma geral, esta expressão pode ser: 
 
Mp = P + P (1 + i)
1
 + P (1 + i)
2
 + P (1 + i)
3
 + ... + P (1 + i)
n
 
 
Colocando-se P em evidência, tem-se: 
 
Mp = P [ 1 + (1 + i)
1
 + (1 + i)
2
 + (1 + i)
3
 + ... + (1 + i)
n
 ] 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
1q
1)q(a
S
n
1



 
Adotando-se (a1 = 1) e (q = 1 + i ), tem-se: 
 
i
1i)(1
S
1i1
1]i)[(11
1q
1)q(a
S
n
nn
1








 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 
200 
t5 
M 
 23 
Desta forma, a fórmula do montante postecipado para uma série de capitalização será: 
 
SPMp 
 
 





 

i
1i)(1
PM
n
p
 
 
Obs.: S em capitalização é conhecido como Fator de acumulação de capital. 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do montante postecipado: 
 
1.020,20M
5,1010200M
0,01
10,01)(1
200M
i
1i)(1
PM
p
p
5
p
n
p







 






 

 
 
 
Exercícios: 
 
49. Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente em uma aplicação pré-fixada à uma taxa de 
1% ao mês. Quanto possuirá ao fim de um ano e meio? 
 
50. Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada 
semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o 
sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00 ? 
 
51. Quantas prestações mensais imediatas (ao fim do período) de R$ 150,00 devem ser 
remuneradas à taxa de 1% a.m. a fim formar um montante de R$ 922,80 ? 
 
52. Uma pessoa deposita trimestralmente R$ 120,00 em uma conta remunerada que paga juros 
de 24,72% ao ano, capitalizados semestralmente. Em quanto tempo acumulará um capital 
de R$ 1.187,70 ? 
 
53. Uma caderneta de poupança que paga juros efetivos de 1% ao mês foi aberta com um 
depósito de R$ 6.500,00. Efetuando depósitos mensais de R$ 442,37 , sendo o primeiro 
após 30 dias da abertura da poupança, em quantos meses acumula-se R$ 80.000,00 ? 
 
54. Um fundo de renda fixa paga juros de 60% a.a. capitalizados mensalmente. Um investidor 
fez um depósito inicial de R$ 8.000,00 mais 22 depósitos
mensais iguais e consecutivos, 
sendo o primeiro após um mês da abertura da conta. Considerando que no fim do período 
o fundo acusa um saldo de R$ 90.000,00 , qual o valor das aplicações mensais? 
 
 
 
 24 
6.1.2 – Montante para Série de capitalização antecipada 
 
Para fins de demonstração, considere a situação abaixo: 
 
A quantia de R$ 200,00 é depositada em um banco, no início de cada mês, durante o 
período de 5 meses. Sabendo que o banco remunera o capital em 1% ao mês, qual será o 
montante capitalizado ao fim do período? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o montante, tem-se: 
 
Ma = 200 (1+0,01)
1
 + 200 (1+0,01)
2
 + 200 (1+0,01)
3
 + 200 (1+0,01)
4 
+ 200 (1+0,01)
5
 
Ma = 202 + 204,02 + 206,06 + 208,12 + 210,20 
Ma = 1.030,40 
 
Como é observado na situação, o montante antecipado pode ser representado pela expressão: 
 
Ma = P (1 + i)
1
 + P (1 + i)
2
 + P (1 + i)
3
 + P (1 + i)
4 
+ P (1 + i)
5
 
 
Contudo, para se aplicar a fórmula da soma da PG para se chegar à fórmula do montante 
antecipado, é necessário inserir P em cada termo da expressão: 
 
Ma + P = P + P (1 + i)
1
 + P (1 + i)
2
 + P (1 + i)
3
 + P (1 + i)
4 
+ P (1 + i)
5
 
 
De forma geral, esta expressão pode ser: 
 
Ma + P = P + P (1 + i)
1
 + P (1 + i)
2
 + P (1 + i)
3
 + ... + P (1 + i)
n
 
 
Colocando-se P em evidência, tem-se: 
 
Ma + P = P [ 1 + (1 + i)
1
 + (1 + i)
2
 + (1 + i)
3
 + ... + (1 + i)
n
 ] 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
1q
1)q(a
S
n
1



 
Adotando-se (a1 = 1) , (q = 1 + i ) e adicionando 1 à n, tem-se: 
 
i
1i)(1
S
1i1
1]i)[(11
1q
1)q(a
S
1n
1nn
1










 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 t5 
M 200 
 25 
Desta forma, a fórmula do montante antecipado para uma série de capitalização será: 
 
]S[PM
PSPM
SPPM
a
a
a



 










1
i
1i)(1
PM
1n
a
 
 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do montante antecipado: 
 
1.030,40M
5,1520200M
0,01
10,01)(1
200M
i
1i)(1
PM
a
a
15
a
1n
a






















 
 
 
Exercícios: 
 
55. Determinar o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 depositadas mensalmente a 
juros de 1,5% a.m., sendo a primeira parcela antecipada. 
 
56. Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 
12% a.a. para construir o montante de R$ 1.500,00 no fim de um ano, sendo os juros 
capitalizados bimestralmente. Qual o valor dos depósitos? 
 
57. Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um 
montante de R$ 3.909,05 à taxa de 2% a.m. capitalizados mensalmente? 
 
58. Dez aplicações bimestrais antecipadas de R$ 1.000,00 são realizadas à taxa de 48% ao ano 
com capitalização mensal. Qual o montante gerado pelas aplicações? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
6.2 – Séries uniformes de Amortização 
 
As séries uniformes de amortização são classificadas em postecipadas e antecipadas. 
 
Uma série de amortização é postecipada quando os pagamentos ocorrem no final de cada 
período de capitalização. O fluxo de caixa para uma série de amortização postecipada é o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
P representa as parcelas de pagamentos. 
 
Uma série de amortização é antecipada quando os pagamentos ocorrem no início de cada 
período de amortização. O fluxo de caixa para uma série de amortização antecipada é o 
seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2.1 – Valor atual para Série de amortização postecipada 
 
O valor atual refere-se ao resultante das parcelas de pagamento atualizado no ato da operação. 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Uma dívida é parcelada em 4 prestações, sem entrada, de R$ 200,00 à taxa de juros de 1% 
ao mês. Qual o valor da dívida? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se calcular o valor da dívida, deve-se calcular o valor atual das parcelas no momento 
da operação (t0). A fórmula de valor atual efetivo ou racional é a seguinte: 
 
n) i1 (
N
A


 
tempo (n) 
P1 
t0 t1 
P2 
t2 
P3 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
tempo (n) 
P2 
t0 t1 
P3 
t2 
P4 
t3 
... 
... 
Pn 
tn 
P1 
A 
tempo (n) 
200 
t0 t1 
200 
t2 
200 
t3 
200 
t4 
 27 
Partindo da fórmula de valor atual, pode-se calcular o valor atual da situação descrita: 
 
780,40A
192,20194,12196,06198,02A
1,0406 
200
0303 1, 
200
1,0201 
200
1,01 
200
A
) 1,01 (
200
) 1,01 (
200
) 1,01 (
200
1,01 
200
A
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
) 0,011 (
200
A
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
AAAAA
p
p
p
432p
4321p
4321p
4321p





















 
 
Como é observado nesta situação, o valor atual postecipado pode ser representado pela 
seguinte expressão: 
 



















n21p
n21p
n21p
) i1 (
1
...
) i1 (
1
) i1 (
1
NA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
A
A...AAA
 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
i
i)(11
i)(1i
1i)(1
S
:se- temações, transformdevidas as fazendo e 
i1
1
q , 
i1
1
a se-Adotando
1q
1)q(a
S
n
n
n
1
n
1























 
 
Desta forma, chamando N de P, a fórmula do valor atual postecipado para uma série de 
amortização será: 
 
SPAp 
 
 







 


i
i)(11
PA
n
p
 
 
Obs.: S em amortização é conhecido como Fator de amortização de capital. 
 
 28 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do valor atual postecipado: 
 
780,40A
3,9020200A
0,01
0,01)(11
200A
i
i)(11
PA
p
p
4
p
n
p







 






 



 
 
 
Exercícios: 
 
59. Calcule o valor de uma dívida a ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 
cada, ao fim de cada mês, sendo 1% a.m. a taxa de juros. 
 
60. Qual o valor da prestação para amortizar um empréstimo de R$ 3.000,00 em 6 prestações 
mensais à taxa de 2% a.m.? 
 
61. A juros de 36% a.a. capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessário para 
liquidar um financiamento de R$ 842,36 por meio de prestações mensais postecipadas de 
R$ 120,00. 
 
62. Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em 8 prestações mensais iguais 
pagas ao fim de cada mês à taxa de 5% ao mês. Considerando que no ato da compra foi 
paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações. 
 
63. Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em 8 prestações mensais iguais 
pagas ao fim de cada mês à taxa de 5% ao mês. Considerando que
no ato da compra foi 
paga uma entrada de 20% juntamente com a 1ª prestação antecipada, calcular o valor das 
prestações. 
 
64. Uma pessoa pode abater R$ 7.500,00 se entregar seu carro usado na compra de um 
veículo mais novo, cujo valor à vista é de R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de 
uma determinada entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de R$ 350,00. 
Considerando que foram aplicados juros de 72% a.a. capitalizados mensalmente, calcular 
o valor da entrada. 
 
65. Calcular o valor das prestações mensais postecipadas iguais e consecutivas que liquidam 
um débito de R$ 200.000,00 no prazo de 6 meses, sendo a taxa de juros efetiva de 18% ao 
mês para os 3 primeiros meses e 20% para os demais. 
 
66. Um financiamento de R$ 20.000,00 será pago em 8 prestações mensais postecipadas. 
Considerando que a taxa de juros efetiva cobrada pela financeira é de 8% ao mês, calcular 
o valor de uma comissão de abertura de crédito, cobrada do cliente, que permita à 
financeira auferir uma rentabilidade de 10% a.m. na operação. 
 
 29 
6.2.2 – Valor atual para Série de amortização antecipada 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Deseja-se amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00 à 
taxa de juros de 1% ao mês. Qual o valor da dívida? 
 
Neste caso, a representação do fluxo de caixa é a seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se calcular o valor atual da dívida, deve-se calcular o valor atual das parcelas no 
momento da operação (t0): 
 
14,591A
145,59147,04148,51150A
1,0303 
150
0201 1, 
150
1,01 
150
1 
150
A
) 1,01 (
150
) 1,01 (
150
) 1,01 (
150
(1,01) 
150
A
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
) 0,011 (
150
A
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
AAAAA
a
a
a
3210a
3210a
3210a
4321a





















 
 
Como é observado na situação anterior, o valor atual antecipado pode ser representado pela 
seguinte expressão: 
 
n21a
n210a
n321a
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
) i1 (
N
A
A...AAAA















 
 
 
 
 
 
 
A 
tempo (n) 
150 
t0 t1 
150 
t2 
150 
t3 
150 
 30 
Contudo, para se aplicar a fórmula da soma da PG para se chegar à fórmula do valor atual 
antecipado, é necessário subtrair N em cada termo da expressão: 
 

























n21a
n21a
n21a
) i1 (
1
...
) i1 (
1
) i1 (
1
NNA
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NA
N
) i1 (
N
...
) i1 (
N
) i1 (
N
NNA
 
 
A soma entre colchetes equivale à soma dos termos de uma PG finita: 
 
i
i)(11
i)(1i
1i)(1
S
:se- temações, transformdevidas as fazendo en à 1 subtraindo , 
i1
1
q , 
i1
1
a se-Adotando
1q
1)q(a
S
n1
1-n
1-n
1
n
1























 
Inserindo-se S na equação anterior, tem-se: 
 
 1SNA
NSNA
SNNA
a
a
a



 
 
Desta forma, chamando N de P, a fórmula do valor atual antecipado para uma série de 
amortização será: 
 
 1S PAa 
 
 












1
i
i)(11
PA
n1
a
 
 
Voltando à situação do início desta seção, pode-se aplicar diretamente esta fórmula para se 
obter o resultado do valor atual antecipado: 
 
591,14A
3,9409150A
1
0,01
0,01)(11
1501
i
i)(11
PA
a
a
41n1
a

























 
 
 
 31 
Exercícios: 
 
67. Determinar o valor atual antecipado de 8 prestações mensais de R$ 150,00 cada à taxa de 
2% ao mês. 
 
68. Uma pessoa fez um financiamento em 6 prestações mensais antecipadas de R$ 13.000,00 
cada. Calcule o valor efetivo do financiamento se a taxa de juros cobrada é de 30% ao 
semestre. 
 
69. Uma dívida de R$ 20.000,00 a vencer em 2 meses foi atualizada à taxa de 26,82% ao ano 
para ser renegociada, à mesma taxa, em prestações mensais antecipadas de R$ 3.364,56. 
Em quantas prestações fixas e antecipadas foi renegociada a dívida? 
 
70. Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 em 5 prestações mensais 
imediatas. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a 
carência de 2 meses. 
 
71. Uma dívida de R$ 40.000,00 é amortizada em 10 prestações iguais antecipadas à taxa de 
2% ao mês. Considerando uma carência de 1 mês, calcule o valor das prestações. 
 
72. Determinar o valor atual de um financiamento que será pago em 24 parcelas mensais 
postecipadas de R$ 480,00 à taxa de 1,5% ao mês sob um período de carência de 4 meses. 
 
73. Um financiamento de R$ 40.000,00 será pago em 8 prestações mensais de R$ 6.413,44. O 
início do pagamento das prestações será no ato do término de um determinado período de 
carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência. 
 
74. Um bem cujo valor à vista é de R$ 10.000,00 será pago por meio de uma entrada de 20% 
mais 13 prestações antecipadas mensais de R$ 800,00 cada e mais um pagamento final 
junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% a.m. e 
que há um período de carência de 3 meses, calcular o valor do pagamento final de modo 
que a dívida seja liquidada. 
 
75. Um empréstimo de R$ 100.000,00 foi contratado à taxa de juros de 4% ao mês mediante 
uma carência de 6 meses seguida de 12 prestações mensais e iguais e mais um valor 
residual de R$ 10.000,00 junto com a última prestação. Para estimular o tomador do 
empréstimo a pagar todas as prestações nas datas acordadas, seu credor concederá uma 
redução de 25% na taxa de juros somente para as 6 últimas prestações. Considerando que 
os prazos acordados foram cumpridos, determine o valor fixo das 12 prestações mensais. 
 
76. O fluxo mensal abaixo representa a amortização de uma divida de uma empresa: 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 |---------------10.000-------------| |-------------------20.000----------------| 
 
Por meio de série uniforme, determine o valor contratado da dívida sabendo que a taxa 
aplicada foi de 48% ao ano com capitalização mensal. 
 
 32 
7 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
 
A amortização compreende o pagamento progressivo de uma dívida ou obrigação por meio de 
prestações fixas ou variáveis, de modo que, ao término do prazo estipulado entre as partes, o 
débito seja quitado. 
 
As prestações são compostas de duas partes: 
 
 A amortização ou devolução do principal emprestado. 
 Os juros correspondentes aos saldos do empréstimo. 
 
Essa separação faz diferença nas análises contábeis, onde os juros possuem um efeito fiscal, 
sendo passíveis de tributação legal. 
 
Os sistemas de amortização são as modalidades de parcelamento do pagamento de uma dívida 
contraída. 
 
Os mais comuns e mais utilizados sistemas de amortização são: 
 
 Sistema Francês de Amortização (SFA) ou Sistema Price 
 
Sistema de origem francesa e o mais comum de todos, aplicado em pequenos, médios 
e grandes financiamentos. As prestações são constantes,
periódicas e imediatas. 
 
 Sistema de Amortização Constante (SAC) ou Sistema Hamburguês 
 
Sistema de origem alemã e mais usado em médios e grandes financiamentos. As 
prestações são decrescentes, periódicas e imediatas. 
 
 Sistema de Amortização Misto (SAM) ou Sistema de Amortização Crescente (SACRE) 
 
Sistema de origem brasileira, onde as prestações correspondem à média aritmética dos 
sistemas SFA e SAC. 
 
 Sistema de Amortização Americano (SAA) 
 
Sistema de origem norte-americana, onde a prestação pode ser única (paga no fim do 
financiamento) ou com pagamento periódico dos juros. 
 
 
7.1 – Sistema Francês de Amortização (SFA) 
 
Esse sistema caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguais e periódicas. 
Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por sua vez, decresce à medida que as 
prestações são pagas, eles são decrescentes e, consequentemente, as amortizações do principal 
são crescentes. Na prática, como as prestações são constantes, à medida que são pagas, a 
dívida diminui e os juros tornam-se menores, enquanto as quotas de amortização tornam-se 
automaticamente maiores. É um sistema muito utilizado por instituições financeiras e pelo 
comércio em geral. 
 
 33 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Um empréstimo de R$ 200.000,00 foi financiado pelo sistema SFA em quatro prestações 
mensais imediatas. A juros efetivos de 10% ao mês, construir a planilha de amortização. 
 
Para construir a planilha, calcula-se inicialmente as prestações: 
 
63.094,16P
3,1699
200.000
P
3,1699P200.000
0,1
0,1)(11
P200.000
i
i)(11
PA
4
n
p









 








 



 
 
Em seguida, monta-se a planilha: 
 
Período 
( n ) 
Prestação 
( P ) 
Juros 
( J = Sda ∙ i ) 
Amortização 
( Am = P – J ) 
Saldo devedor 
( Sd = Sda – Am ) 
0 - - - 200.000,00 
1 63.094,16 20.000,00 43.094,16 156.905,84 
2 63.094,16 15.690,58 47.403,58 109.502,26 
3 63.094,16 10.950,23 52.143,93 57.358,33 
4 63.094,16 5.735,83 57.358,33 0 
Total 252.376,64 52.376,64 200.000,00 - 
 
Sda  Saldo devedor anterior 
 
 
Cálculo das variáveis SFA: 
 
No sistema SFA, pode-se calcular o valor das variáveis para qualquer período do 
financiamento, sem a necessidade de elaborar a planilha completa. Para cada variável que 
compõe o sistema, deve ser utilizada uma fórmula, conforme descritas abaixo: 
 
 Para o cálculo dos Juros: 
 










1i)(1
i)(1i)(1
iAJ
n
1tn
pt
 
 
Por exemplo, para a planilha SFA montada anteriormente, os juros do 2º mês serão: 
 
58,690.15
0,4641
0,3641
20.000
10,1)(1
)1,01(0,1)(1
0,1200.000J
4
124
2 














 
 
 
 
 34 
 Para o cálculo da Amortização: 
 









1i)(1
i)(1 i
AA
n
1-t
pmt
 
 
Por exemplo, para a planilha SFA montada anteriormente, a amortização do 2º mês será: 
 
58,403.47
0,4641
0,1100
200.000
10,1)(1
0,1)(1 0,1
200.000A
4
1-2
m2 














 
 
 
 Para o cálculo do Saldo devedor: 
 









1i)(1
i)(1i)(1
AS
n
tn
pdt
 
 
Por exemplo, para a planilha SFA montada anteriormente, o saldo devedor do 2º mês será: 
 
109.502,26
0,4641
0,2541
200.000
10,1)(1
0,1)(10,1)(1
200.000S
4
24
d2 














 
 
Exercícios: 
 
77. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 6 prestações mensais pelo sistema price. 
Considerando uma taxa de juros de 36% a.a. capitalizados mensalmente, construir a 
planilha de amortização. 
 
78. Construir uma planilha de amortização pelo SFA, seguindo as seguintes características: 
- Valor do empréstimo: R$ 1.000.000,00. 
- Pagamento em 5 prestações mensais com carência de 3 meses. 
- Juros de 24% a.a. capitalizados mensalmente. 
 
79. Um financiamento de R$ 50.000,00 foi contratado para ser pago em 48 prestações 
mensais pelo sistema price, a juros de 12% a.a. capitalizados mensalmente. Determine, 
respectivamente, os juros pagos no 25º mês, a amortização referente ao 30º mês e o saldo 
devedor no 40º mês. 
 
 
7.2 – Sistema de Amortização Constante (SAC) 
 
Nesse sistema, o valor financiado é parcelado em quotas iguais de amortização. Diferente do 
SFA, em que as prestações são iguais, no SAC as prestações são decrescentes, já que os juros 
diminuem a cada prestação. A amortização é calculada dividindo-se o valor financiado pelo 
número de períodos do pagamento. É um sistema comumente empregado pelo Sistema 
Financeiro de Habitação (SFH), pelos bancos comerciais em seus financiamentos imobiliários 
e, também, empréstimos à empresas privadas através de entidades governamentais. 
 
 35 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Um empréstimo de R$ 200.000,00 foi financiado pelo sistema SAC em quatro prestações 
mensais imediatas. A juros efetivos de 10% ao mês, construir a planilha de amortização. 
 
Para construir a planilha, calcula-se inicialmente a amortização: 
 
0.000,005
4
200.000
A
n
A
A m
p
m 
 
 
Em seguida, monta-se a planilha: 
 
Período 
( n ) 
Prestação 
( P ) 
Juros 
( J = Sda ∙ i ) 
Amortização 
( Am = P – J ) 
Saldo devedor 
( Sd = Sda – Am ) 
0 - - - 200.000,00 
1 70.000,00 20.000,00 50.000,00 150.000,00 
2 65.000,00 15.000,00 50.000,00 100.000,00 
3 60.000,00 10.000,00 50.000,00 50.000,00 
4 55.000,00 5.000,00 50.000,00 0 
Total 250.000,00 50.000,00 200.000,00 - 
 
Sda  Saldo devedor anterior 
 
 
Cálculo das variáveis SAC: 
 
No sistema SAC, tal qual no SFA, pode-se calcular o valor das variáveis para qualquer 
período do financiamento, sem a necessidade de elaborar a planilha completa. 
 
 Para o cálculo dos Juros: 
 





 

n
1t
1iAJ pt
 
 
Por exemplo, para a planilha SAC montada anteriormente, os juros do 2º mês serão: 
 
15.000,000,7520.000
4
1
120.000
4
12
10,1200.000J2 










 

 
 
 Para o cálculo da Amortização: 
 
A amortização, conforme descrito anteriormente, é constante para todos os períodos e 
calculada pela expressão: 
 
n
A
A
p
m 
 
 
Logo, por exemplo, para a planilha SAC montada anteriormente, a amortização para 
qualquer período será: 
 36 
0.000,005
4
200.000
Am 
 
 
 Para o cálculo do Saldo devedor: 
 







n
t
1AS pdt
 
 
Por exemplo, para a planilha SAC montada anteriormente, o saldo devedor do 2º mês será: 
 
00,000.1005,0000.200
4
2
1000.200Sd2 






 
 
Exercícios: 
 
80. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 5 prestações mensais pelo sistema SAC. 
Considerando uma taxa de juros de 36% a.a. capitalizados mensalmente, construir a 
planilha de amortização. 
 
81. Construir uma planilha de amortização pelo SAC, seguindo as seguintes características: 
- Valor do empréstimo: R$ 1.000.000,00. 
- Pagamento em 5 prestações mensais com carência de 3 meses. 
- Juros de 24% a.a. capitalizados mensalmente. 
 
82. Um financiamento de R$ 60.000,00 foi contratado para ser pago em 24 prestações 
mensais pelo sistema hamburguês, a juros de 18% a.a. capitalizados mensalmente. 
Determine, respectivamente,
os juros pagos no 10º mês, a amortização referente ao 15º 
mês e o saldo devedor no 20º mês. 
 
 
7.3 – Sistema de Amortização Misto (SAM) 
 
Nesse sistema, todas as variáveis da planilha correspondem à média aritmética dos sistemas 
SFA e SAC. É comumente empregado pelo Sistema Financeiro de Habitação (SFH) por que 
concilia vantagens e desvantagens do SFA e SAC. Aproximadamente até a metade do período 
de financiamento, as amortizações são maiores que as do Sistema SFA. Como decorrência 
disso, a queda do saldo devedor é mais acentuada. 
 
Uma desvantagem do SAM é que suas prestações iniciais são mais altas que as do SFA. 
Contudo, após a metade do período, o mutuário sentirá uma queda substancial no 
comprometimento de sua renda com o pagamento das prestações. 
 
Para construir a planilha SAM, pode-se construir as planilhas referentes ao SFA e SAC e, em 
seguida, calcular a média aritmética de todas as variáveis, uma a uma, compondo assim a 
planilha SAM. Contudo, esse método é demasiadamente trabalhoso e demorado. 
 
 
 
 
 37 
Para se construir diretamente a planilha SAM, deve-se seguir os três passos adiante: 
 
a) Calcular o valor da 1ª prestação: 
 














 


i
n
1
A0,5
i
i)(11
A0,5
P p
n
p
1
 
 
b) Calcular o decréscimo das prestações: 
 
2n
iA
d
p
p


 
 
c) A partir da 1ª prestação e de seus decréscimos, montar a planilha. 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Um empréstimo de R$ 200.000,00 foi financiado pelo sistema SAM em quatro prestações 
mensais imediatas. A juros efetivos de 10% ao mês, construir a planilha de amortização. 
 
Cálculo da 1ª prestação: 
 
66.547,08P
35.000,0031.547,08P
0,1
4
1
200.0000,5
0,1
0,1)(1-1
200.0000,5
P
i
n
1
A0,5
i
i)(1-1
A0,5
P
1
1
4-
1
p
n-
p
1
















 
















 

 
Cálculo do decréscimo das prestações: 
 
2.500,00d
8
20.000
42
0,1200.000
2n
iA
d
p
p
p






 
 
Em seguida, monta-se a planilha: 
 
Período 
( n ) 
Prestação 
( P ) 
Juros 
( J = Sda ∙ i ) 
Amortização 
( Am = P – J ) 
Saldo devedor 
( Sd = Sda – Am ) 
0 - - - 200.000,00 
1 66.547,08 20.000,00 46.547,08 153.452,92 
2 64.047,08 15.345,29 48.701,79 104.751,13 
3 61.547,08 10.475,11 51.071,97 53.679,16 
4 59.047,08 5.367,92 53.679,16 0 
Total 251.188,32 51.188,32 200.000,00 - 
 38 
Obs.: Para o cálculo das variáveis (juros, amortização e saldo devedor) em qualquer 
período pelo sistema SAM, deve-se calcular inicialmente as variáveis com base nos 
sistemas SAC e SFA e, em seguida, calcular a média aritmética dos dois resultados 
obtidos. 
 
 
Exercícios: 
 
83. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 5 prestações mensais pelo sistema 
SAM. Considerando uma taxa de juros de 36% a.a. capitalizados mensalmente, construir 
a planilha de amortização. 
 
84. Construir uma planilha de amortização pelo SAM, seguindo as seguintes características: 
- Valor do empréstimo: R$ 1.000.000,00. 
- Pagamento em 5 prestações mensais com carência de 3 meses. 
- Juros de 24% a.a. capitalizados mensalmente. 
- Os juros serão incorporados ao principal durante o período de carência. 
 
85. Um financiamento de R$ 72.000,00 foi contratado para ser pago em 12 prestações 
mensais pelo sistema misto, a juros de 18% a.a. capitalizados mensalmente. Determine, 
respectivamente, os juros pagos no 5º mês, a amortização referente ao 8º mês e o saldo 
devedor no 10º mês. 
 
 
7.4 – Sistema de Amortização Americano (SAA) 
 
Há duas modalidades para a montagem da planilha do Sistema Americano: 
 
a) Sistema Americano com prestação única  Consiste na devolução do principal, acrescido 
de juros, em um único pagamento ao final do período. É normalmente utilizado em papéis 
de renda fixa, tais como Letras de câmbio e Certificados de depósito bancário (CDB). 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Um empréstimo de R$ 200.000,00 para vencimento em 4 meses foi financiado pelo 
sistema americano com prestação única. A juros efetivos de 10% ao mês, construir a 
planilha de amortização. 
 
Período 
( n ) 
Prestação 
( P ) 
Juros 
( J = Sda ∙ i ) 
Amortização 
( Am = P – J ) 
Saldo devedor 
( Sd = Sda – Am ) 
0 - - - 200.000,00 
1 0 20.000,00 - 20.000,00 220.000,00 
2 0 22.000,00 - 22.000,00 242.000,00 
3 0 24.200,00 - 24.200,00 266.200,00 
4 292.820,00 26.620,00 266.200,00 0 
Total 292.820,00 92.820,00 200.000,00 - 
 
 
 
 
 39 
b) Sistema Americano com pagamentos periódicos dos juros  Consiste no pagamento 
periódico dos juros do principal, sendo que a quitação deste se dá ao final do período. É 
normalmente utilizado em penhor de jóias (CEF), dívida externa brasileira, letras de 
câmbio de renda mensal e em planos de renda perpétua (aposentadoria). 
 
Para fins de demonstração, considere a seguinte situação: 
 
Um empréstimo de R$ 200.000,00 para vencimento em 4 meses foi financiado pelo 
sistema americano com pagamentos periódicos dos juros. A juros efetivos de 10% ao mês, 
construir a planilha de amortização. 
 
Período 
( n ) 
Prestação 
( P ) 
Juros 
( J = Sda ∙ i ) 
Amortização 
( Am = P – J ) 
Saldo devedor 
( Sd = Sda – Am ) 
0 - - - 200.000,00 
1 20.000,00 20.000,00 0 200.000,00 
2 20.000,00 20.000,00 0 200.000,00 
3 20.000,00 20.000,00 0 200.000,00 
4 220.000,00 20.000,00 200.000,00 0 
Total 280.000,00 80.000,00 200.000,00 - 
 
 
Exercício: 
 
86. Um empréstimo de R$ 100.000,00 será pago em 5 prestações mensais pelo sistema 
americano. Considerando uma taxa de juros de 48% a.a. capitalizados mensalmente, 
construir a planilha de amortização para as duas modalidades do SAA. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
8 – ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
A Análise de Investimentos é um conjunto de técnicas de engenharia econômica que visam 
avaliar a viabilidade de projetos de investimentos. 
 
Dependendo do prisma que se faz uma análise de investimentos, há as seguintes modalidades
1
 
de avaliação: 
 
a) Avaliação Financeira  Analisa o fluxo de caixa do projeto em termos quantitativos 
(entradas e saídas de caixa) ao longo de toda vida útil do investimento, a fim de 
fornecer subsídios aos investidores/empresários (fornecedores de capital próprio), 
visando a tomada de decisão no que diz respeito à rentabilidade do projeto, tempo de 
recuperação de capital investido ou payback, relação custo/benefício, taxa de retorno, 
ponto de equilíbrio, dentre outras técnicas. 
 
b) Avaliação Econômica  Analisa, de forma predominantemente qualitativa, a 
viabilidade de um projeto em relação ao mercado, à escala de produção, à localização 
do empreendimento e aos estudos técnicos contidos na elaboração do produto ou 
serviço resultante do projeto. Apesar de independente da avaliação financeira, é 
normalmente realizada a posteriori a essa avaliação, na medida em que numa 
avaliação econômica a importância da análise qualitativa dos dados, dos eventos e dos 
cenários é complementada por uma análise quantitativa que lhe fornece maior 
credibilidade e clareza nos objetivos e conclusões a que se deseja chegar. 
 
c) Avaliação Social  Analisa o impacto que o projeto de investimento