Cálculo I - derivadas - lista5

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
5a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
(Derivac¸a˜o impl´ıcita, derivada da func¸a˜o inversa, e Teorema do Valor Me´dio)
1. Suponha que y = f(x) seja uma func¸a˜o deriva´vel e dada implicitamente pela equac¸a˜o x2y + xy2 = 3x.
Encontre f ′(x).
2. A func¸a˜o y = f(x) e´ dada implicitamente pela equac¸a˜o xy3+xy = 6. Determine f ′(3) sabendo que f(3) = 1.
3. Expresse dydx em termos de x e de y, onde y = f(x) e´ um func¸a˜o deriva´vel dada implicitamente pela equac¸a˜o:
a)x2 − y2 = 4 b) y3 + x2y = x+ 4 c) y5 + x2y3 = 1 + yex2
d) y5 + y = x e)xsen y + cos 2y = cos y f) y + ln(x2 + y2) = 4
4. Em cada item a seguir, encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto dado.
a)
x2
16
− y
2
9
= 1, (−5, 94) (hipe´rbole) b)
x2
9
− y
2
36
= 1, (−1, 4√2) (elipse)
c) y2 = x3(2− x), (1, 1) d)x2/3 + y2/3 = 4, (−3√3, 1)
.
5. Cada lado de um quadrado esta´ aumentando a uma taxa de 6cm/s. A que taxa a a´rea do quadrado esta´
aumentando quando a a´rea do quadrado for de 16cm?
6. Um tanque cil´ındrico com raio de 5cm esta´ sendo enchido com a´gua a uma taxa de 3m3/min. Qua˜o ra´pido
a altura da a´gua esta´ aumentando?
7. Seja f(x) = x+ ex e seja g a inversa de f . Mostre que g e´ deriva´vel, verifique que g′(x) =
1
1 + eg(x)
e calcule
g′(1).
8. Calcule as derivadas das func¸o˜es a seguir.
a) y = arcsecx; x ∈]1,+∞[, y ∈]0, pi/2[
b) y = arccossecx; x ∈]1,+∞[, y ∈]0, pi/2[
c) y = arccotgx; x ∈]−∞,+∞[, y ∈]0, pi[
(Observe que as func¸o˜es dadas sa˜o as inversas das func¸o˜es
secante, cossecante e cotangente, respectivamente.)
9. Calcule a derivada segunda.
a)x = senωt, (ω constante) b) y = ln(x2 + 1) c) y =
x2
x− 1
d) y = e−3x cos 2x e)F (s) = (3s+ 5)8 f) g(t) =
√
t2 + 3
10. Encontre uma fo´rmula para f (n)(x) em cada item a seguir.
a) f(x) = xn b) f(x) =
1
(1− x)2 c) f(x) = e
2x
d) f(x) =
√
x e) f(x) =
1
3x3
11. Uma massa atada a uma mola vertical tem func¸a˜o posic¸a˜o dada por y(t) = Asenwt, onde A e´ a amplitude
de sua oscilac¸a˜o e w e´ uma constante.
a) Encontre a velocidade e a acelerac¸a˜o como func¸a˜o do tempo.
b) Mostre que a acelerac¸a˜o e´ proporcional ao deslocamento de y.
c) Mostre que a velocidade e´ ma´xima quando a acelerac¸a˜o e´ nula.
12. Encontre um polinoˆmio de segundo grau P tal que P (2) = 5, P ′(2) = 3 e P ′′(2) = 2.
13. Para que valores de r a func¸a˜o y = erx satisfaz a equac¸a˜o y′′ + 5y′ − 6y = 0.
14. Seja x = cos t. Verifique que
d2x
dt2
= x = 0.
15. Seja y = tet. Verifique que
d2y
dt2
− 2dy
dt
+ y = 0.
16. Seja y = x2, onde x = x(t) e´ uma func¸a˜o deriva´vel ate´ a 2a ordem.
Verifique que
d2y
dt2
= 2
(
dx
dt
)2
+ 2x
d2x
dt2
.
17. Se y = f(u) e u = g(x), sendo f e g func¸o˜es duas vezes diferencia´veis, mostre que
d2y
dx2
=
d2y
du2
(
du
dx
)2
+
dy
du
· d
2u
dx2
.
18. Verifique se a func¸a˜o satisfaz as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio no intervalo dado. Enta˜o, encontre
todos os nu´meros c que satisfac¸am a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio:
a) f(x) = 2x2 − 3x+ 1, [0, 2] b) f(x) = x3 + x− 1, [0, 2] c) f(x) = e−2x, [0, 3]
19. Encontre o nu´mero c que satisfac¸a a` conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio para o intervalo dado. Desenhe
o gra´fico da func¸a˜o, a reta secante passando pelas extremidades e a reta tangente em (c, f(c)).
a) f(x)
√
x, [0, 4] b) f(x) = e−x, [0, 2]
20. Considere a func¸a˜o f(x) = (x− 3)−2. Mostre que na˜o existe c ∈ (−1, 4) tal que f(4)− f(1) = f ′(c)(4− 1).
Por que isso na˜o contradiz o Teorema do Valor Me´dio?
21. Se f(1) = 10 e f ′(x) ≥ 2 para 1 ≤ x ≤ 4, qua˜o pequeno f(4) pode ser?
22. Suponha que 3 ≤ f ′(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Mostre que 18 ≤ f(8)− f(2) ≤ 30.
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