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1. Encontre a inclinação da reta tangente a curva y = 3x2 + 7x no ponto (x1,y1) m(x1) = 7 m(x1) = 4x1 m(x1) = 9x1 + 1 m(x1) = 5x1 + 1 m(x1) = 6x1 + 7 2. Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a 0 1 x x-1 x² 3. Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no ponto (x1,y1) m(x1) = 6x1 - 5 m(x1) = 2x1 - 3 m(x1) = x1 - 9 m(x1) = 5x1 - 3 m(x1) = 9x1 - 5 4. Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no ponto (x1,y1) m(x1) = 3x1 +1 m(x1) = 10x1 - 2 m(x1) = 10x1 + 12 m(x1) = x1 - 3 m(x1) = 7x1 +1 5. Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em toneladas) de uma Empresa X, em função do número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número de horas trabalhadas. Determine taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas. 5 toneladas 7 toneladas 3 toneladas 1 toneladas 2 toneladas 6. Um corpo desloca-se sobre uma função horária s(t)= t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto afirmar: Sua velocidade no instante t =2 será 4 m/s Sua aceleração média entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 m/s2 Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o tempo A velocidade do corpo no intente t =3 será de 14 m/s Explicação: A resposta certa é a letra B pois é a única que fala de taxa instantânea levando em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma de forma correta na sua resolução. V(t) = S'(t) V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s 7. Fazendo uso das regras de derivação encontre a derivação da função 5 (1 / x). A derivada é 5 ln 5 A derivada é ln 5 A derivada é (-1/x 2) 5 (1/x) ln 5 A derivada é (-1/x 2) 5 x A derivada é (-1/x 2) 5 ln 5 8. Se uma função é derivável em x, então a função é contínua em x os limites laterais em x podem ser diferentes a função assume o valor zero. a função é derivável em todos os pontos do seu domínio a função é, necessariamente, par, ou seja, f(-x)=f(x). 1a Questão Derive a função f(x) = 1/x f ´(x) = x f ´(x) = 1 Nenhuma das respostas anteriores f´(x) = -1 / (x 2) f ´(x) = 1/x Respondido em 23/04/2020 09:01:38 2a Questão Calcule a derivada da função: f(x) = ln (sen x) tan x nenhuma das alternativas 1 / cos x 1 / sen x cotan x Respondido em 23/04/2020 09:30:54 3a Questão A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a: -1 2 1 0 -2 Respondido em 23/04/2020 09:04:50 4a Questão Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/xn A derivada primeira da funçao é 2 n xn A derivada primeira da funçao é n x(-n-1) A derivada primeira da funçao é - n xn A derivada primeira da funçao é = - n x( - n - 1) A derivada primeira da funçao é x(-n-1) Respondido em 23/04/2020 09:13:45 5a Questão Seja f(x) = tan(x) = sen(x)/cox(x). A derivada de f(x) é igual a sen²(x) 1/sen²(x) 1-cos²(x) cos²(x) 1/cos²(x) Respondido em 23/04/2020 18:18:37 6a Questão Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/x a derivada primeira será 1/x2 a derivada primeira será 2/x2 a derivada primeira será -1/x2 a derivada primeira será -1/2x2 a derivada primeira será 1/x 1. Diferencie a função f(x) aplicando as regras básicas para diferenciação. 10x + 5x + 6 0 x10+ x5 2. Paulo apresentou a derivada da função f(x) = 5x . ln(cos x) para turma como parte da nota da prova. Podemos afirmar que a a derivada da função f(x) encontrada por Paulo sabendo que ele apresentou corretamente foi: f´(x) = 5ln(cos x) - (5x . sen x)/cos x f´(x) = 5 - (5x . sen x)/cos x f´(x) = -(5x . sen x)/cos x f´(x) = 5ln(cos x) f´(x) = (5x . sen x)/cos x Explicação: Derivada de 5x .ln (cos x) Aplicação da regra do produto e da regra da cadeia. 5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * ( cos x) ' = 5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * (- sen x) = 5 ln (cos x) + (-5 sen x) /cos x) = 5 ln (cos x) - (5 sen x) /cos x) Ou ainda poderimos dizer que = 5 ln (cos x) + (-5 tg x) 3. Pedro deseja encontrar a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1 para incluir em seu relatório. Mostre qual o resultado encontrado por Pedro. 135 140 130 125 145 Explicação: Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1. 3(5x−2)2∗53(5x−2)2∗5 15(5x - 2)2 Em x = 1 15 * 9 = 135 4. Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen x. Encontre a produção inicial f '(0) da função f(x) . 0,5 2 0 0,4 1 Explicação: f(x) = sen x derivada de f(x) será f '(x) = cos x f ' (0) = cos 0 = 1 5. Calcule a derivada da funçao f(x) = (x2 + 2) 1/3 f '(x) = (2x) / ( (x2 + 2) 2 ) f '(x) = (2x) / (3 ( (x2 + 2) 2 ) 1/3) f '(x) = (x) / (x2 ) 1/3 f '(x) = (2x) / (3 (x2 + 2) 2 ) f '(x) = x / (x2 + 2) 2 6. Derive a função f(x) = etg x f ´(x) = tg x etg x f ´(x) = sen x etg x f ´(x) = sec2 x etg x Nenhuma das respostas anteriores f ´(x) = etg x 7. Um pesquisador precisa definir a derivada da função f(x) = 1/x para concluir sua pesquisa. Podemos afirmar que a derivada da função f(x) = 1/x encontrada foi: f´(x) = 1/x f´(x) = -1 / (x²) f´(x) = x f´(x) = 1 f´(x) = 1 / (x³) Explicação: A deriva de f(x) = 1/x será dada pela regra do quociente. f ' (x) = [0 . x - 1. 1 ] / x2 = - 1/x2 8. Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível. retângulo de lados x = 10 e y = 12 retângulo de lados x = 15 e y = 12 retângulo de lados x = 12 e y = 13 retângulo de lados x = 10 e y = 20 x= 25 e y = 25 1. Considere a função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Aplicando derivadas sucessivas, podemos afirmar que a segunda derivada dessa função será: 3x + 4 6x + 9 3x² - 12x + 9 3x² - 2x + 4 6x - 12 Explicação: x3−6x2+9x+2x3−6x2+9x+2 A primeira derivada será 3x2−12x+93x2−12x+9 A segunda derivada será 6x−126x−12 2. Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = 1/x zero f ´´´= - 6/ x4 f´´´ = x 2 f´´´ = x Nenhuma das respostas anteriores 3. Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1) m(x1) = x1 - 9 m(x1) = 3x1 m(x1) = x1- 11 m(x1) = x1 - 5 m(x1) = 2x1 - 5 4. Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a: -3 -1 1 2 0 5. Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto indicado. 1/4 2 7 9 0 6. O valor de f ´´( 0 ) da função f( x ) = sen x é de: 0,5. 2. 0,4. 0. 1. 7. Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3 y´´´ = 0 y ´´´ = 6 y´´´ = 3 y´´´ = 6x Nenhuma das respostas anteriores 1. Para mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2 devermos utilizar um determinado teorema que supõe que seja f contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . Podemos afirmar que: O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz c no intervalo (1,2). O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2). O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2). O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2). O teorema descrito é o Teorema do Valor Medio e a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1,2). Explicação: O teorema descrito é o Teorema do Valor intermediário que garante que supondo f contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f (c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário, temos: f (1) = −1 < 0 f (2) = 12 > 0: Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um polinômio, o TVI afirma que existe um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2). 2. O Teorema de Rolle é definido como: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. Nenhuma das respostas anteriores Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 0. Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) diferente de zero. 3. Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x Nenhuma das respostas anteriores f´(x) = - cos x e sen x f´(x) = -e sen x f´(x) = cos x e sen x f´(x) = e 4. Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio. Supondo f(x) = 1 - (1/x), no intervalor (1,2), determine o valor de c aplicando o Teorema do Valor Médio. A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é c=√2c=2 A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 7 A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 4 A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é derivavel em (1,2) então não existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 1 Explicação: A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em (1,2), f´(x) = 1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada de f no ponto c é f ' (c) = 1/c2 e (f(2)-f(1))/ (2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto mas somente o valor positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto é o valor de que satisfaz o teorema do valor médio. 5. Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor intermediário podemos afirmar que existe uma raiz de f(x) entre Só possui raiz complexa. Não existe raiz real Nenhuma das repostas anteriores 1,5 e 1,6 zero é a única raiz 6. Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. Utilize o Teorema do valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) . Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: · f nao é contínua em [0,1]. · f(0) > 0 · f(1) > 0 Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: · f nao é contínua em [0,1]. · f(0) < 0 · f(1) < 0 Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: · f nao é contínua em [0,1]. · f(0) = 4 > 0 · f(1) = -3 < 0 Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: · f é contínua em [0,1]. · f(0) > 0 · f(1) >0 Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: · f é contínua em [0,1]. · f(0) = 4 > 0 · f(1) = -3 < 0 Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelomenos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 7. Utilizando o Teorema do Valor Médio, analise a função f(x) = em [1,2] e conclua quais das afirmações abaixo são verdadeiras: I - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois temos os limites a direira e a esquerda do ponto 2 iguais a 5 portanto f(x) é continua em [1,2] e f(2) = 1; II - O Teorema do Valor Médio não é satisfeito pois a função não possui limite a esquerda de 2 e portanto a função não é contínua no intervalo [1,2]; II - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois os limites a direita e a esquerda do ponto 2 é igual a infinito e f(2) = 1. As opções I e II são falsas As opções I e III são verdadeiras Apenas a opção III é verdadeira Apenas a opção I é verdadeira Apenas a opção II esta correta. 8. Uma bola de metal é arremessada para o alto segundo a função s(t)=20t-2t2, onde s é medido em metros e t em segundo. Utilizando a derivação, determine o tempo necessário para que esta bola de metal atinja a altura máxima e o valor desta altura. 5s e 50m 5s e 25m 4s e 48m 2,5s e 50m 2,5s e 25m 1. Dada a equação sen(x+y) = y2 cos x . Determine y ´ Nenhuma das respostas anteriores y ´ = - ( y2 sen x + cos (x+y)) / (2y cos x - cos (x+y)) y ´ = 2y cos x - cos (x+y) y ´ = y2 sen x + cos (x+y) y ´ = ( y2 sen x + cos (x+y)) / (2y cos x - cos (x+y)) Explicação: A questão está ok. Muito bom a questão. 2. Dada a função real de variável real definida por y = 4x³ - x² - 24x - 1. Podemos afirmar que: Tem valor máximo para x = 3/2. Possui somente concavidade voltada para cima. Tem valor mínimo para x = - 4/3. É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. Tem valor mínimo para x = - 4/3 e um valor máximo para x = 1/2 Explicação: Para analisar se a função é decrescente/ crescente basta fazer a primeira derivada e analisar antes e depois dos pontos encontrados. Derivada de 4x3 - x2 - 24 x será 12 x2 - 2x - 24 as raizes dessa equação será 36/24 = 3/4 e -32/24 = - 4/3 Portanto analisaremos antes e depois destes números. antes de - 4/3 que é aproximadamente - 1,333... f ' (-2) = 28 positivo depois de -4/3 será f ' ( 0) = - 24 => negativo antes de 3/4 que é aproximadamente 1.5 tomaremos 1 ... f'(1) = -14 => negativo depois de 3/4 pegaremos f ' (2) = 20 => positivo Agora analisando as respostas É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. 3. Uma função real de variável real y, cuja derivada primeira é dada pela função y' = x² - 7x + 12, possui a propriedade: É crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 y tem valor mínimo para x = 2. É sempre crescente. y possui um valor máximo em x = 3. É sempre decrescente. Explicação: Fazendo a segunda derivada podemos verificar se existe o máximo ou mínimo no ponto dado. y " = 2x - 7 aplicado no ponto 3 entao y" (3) = -1 < 0 portanto pelo Teorema da segunda deriva podemos afirmar que em 3 é um ponto de máximo da função. y" (2) = - 3 não é ponto de minimo pois não satisfaz a condição do Teorema da segunda derivada. Se analisar o gráfico da primeira derivada podemos observar que é uma parabola voltada para cima passando nos pontos 3 e 4 portanto não podemos garantir que é crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 ou mesmo que a função é sempre crescente ou sempre decrescente. 4. Seja f(x)=x³. Podemos afirmar que: f tende a zero quando x tende a infinito 0 é ponto de inflexão 0 é ponto de mínimo local 0 é ponto de máximo local f não tem pontos críticos 5. Entre 0 oC e 20 o C, o volume ( em centímetros cúbicos) de 1 000 centímetros cúbicos de água a uma temperatura T é aproximadamente dado pela fórmula V = 999 - 0,064 T + 0,0085 T2 - 0,000067 T3. Encontre a temperatura na qual a água tem sua densidade máxima. ( densidade= massa/ volume ). 5 Nenhuma das respostas anteriores 3,96 2 6 6. Uma cervejaria quer produzir suas próprias latinhas para isso solicitou uma análise para determinar as dimensões da latinha fabricada de forma que a quantidade de matéria prima para a fabricação fosse mínima. Para isso foneceu as seguintes informações: · A lata deve ter formato cicídrico (sem tampa) · Tem volume de 5 centímetros cúbicos Quais as dimensões encontradas ? raio é aproximadamente 1,17 cm e altura aproximadamente 1,7 cm raio é aproximadamente 2 cm e altura aproximadamente 2 cm raio é aproximadamente 2,50 cm e altura aproximadamente 3 cm Nenhuma das respostas anteriores raio é aproximadamente 1 cm e altura aproximadamente 2 cm Gabarito Coment. 7. Podemos determinar o ponto de máximo/mínimo ou inflexão de uma função utilizando alguns procedimentos de derivação, como os testes da derivada primeira e da derivada segunda. Desta maneira, marque a alternativa que contem o ponto de máximo da função f(x)=2+4x - (x3)/3. 0 2 38/3 -2 -38/3 8. Use diferenciação implícita para a função `x 3 - 3 x2y4 - 3 y4 = x + 1`. Encontre dydxdydx. dydxdydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) dydxdydx = 0 dydxdydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) dydxdydx = -1 + 3x2 - 6xy4 dydxdydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 1. Vende-se um certo tipo de carro e seu rendimento é dado pela equação R(x) = 2000 x sqrt(75 - x), onde x denota a demanda em milhares de carros vendidos e o rendimento total é dado em dolares. Determine o rendimento máximo na venda de tal carro. $ 1000,00 $ 304,09 $ 10.000,00 $ 100,00 $ 350,00 2. Uma agência de viagem vende pacotes de viagens com desconto de 2 % aos professores da UNESA se o número de professores for maior que 12, definindo assim a seguinte equação: Para quantos pacotes vendidos o recebimento da agência seria máxima ? 60 10 20 29 31 3. Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t segundos e S (trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a velocidade da pedra. 160 - 32t m/seg 160 + 32t m/seg 10 - 32t m/seg - 32t m/seg 160 - t m/seg 4. Utilizando as técnicas de limite adequadas, determine o limx→0(sen5x3x)limx→0(sen5x3x) o limite encontrado é 2 o limite encontrado é 5 / 3 o limite encontrado é 8 o limite encontrado é 1 o limite encontrado é 0 5. Sabendo que ln x tende a infinito e que x 1/3 tende para infinito quando x tende a infinito. Podemos afirmar que o limite de ln x dividido por x 1/3 quando x tende a infinito é: Nenhuma das respostas anteriores infinito 2 zero 5 6. Determine o valor do limite 3 Nenhuma das respostas anteriores 6 0 4 7. Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a lei de movimento s=f(t). Determine a velocidade e a aceleração para a função f(t) = t3 + 2t2 velocidade = 4 aceleração = 6 t + 4 velocidade = +4t aceleração = 4 aceleração = 2 velocidade = 4 Nenhuma das respostas anteriores velocidade = 3t2 +4t aceleração = 6 t + 4 1. Seja R a função receita total na venda de x unidades de um produto. A funçãoreceita total é dada por R(x) = -16x2 + 2000x. Obtenha a receita marginal. Receita Marginal = -32x+2000 Receita Marginal= 32x+1000 Receita marginal = 16 x 2+2000x 60 40 2. A posição da partícula é dada pela equação s = f(t) = t3 - 5 t2 + 3t, onde t é medido em segundas e s em metros. Determine a função da aceleração. a = 6t a = 6t 2 a = 0 a = 6 t - 10 a = 16t 2 3. No instante t = 0, um tanque contém 4 libras de sal dissolvido em 100 galões de água. Suponha que a água salgada contendo duas libras de sal por galão é acrescentada ao tanque a uma taxa de 5 galões por minuto, e que a solução misturada é drenada do tanque à mesma taxa. Ache a quantidade de sal no tanque após 10 minutos. 50 81,1 100 -80 100/3 4. Suponha que uma companhia estimou que o custo ( em dólares) da produção de x itens é definido pela equação C(x) abaixo. Determine o custo marginal no nível de produção de 500 ítens. C(x) = 10000 + 5x + 0,01 x2 3 40 15 60 10 5. A receita anual bruta de uma empresa foi de R(t) = 0,3t2+ 10t - 20 milhares de reais t anos após a empresa ter sido fundada em 2008. A que taxa a receita bruta da empresa estava aumentando com o tempo em 2015 ? 13milhões 10milhões 12milhões 14,2milhões 12,2 milhões Explicação: Resolvido pela derivada da Função 6. Seja L = 0,0002x3 + 10x. Determine o lucro marginal para um nível de produçao de 50 unidadedes 60 11,5 10 50 40 7. Considerando a função custo de determinada mercadoria é expressa por C(x)=5x2+10x+3, podemos afirmar que a função custo marginal será expressa por: C´(x)=10x+3 C´(x)=5x-3 C´(x)=15x+3 C´(x)=5x+10 C´(x)=10x+10 8. Um estudo de impacto ambiental revelou que a concentração P de um certo poluente no ar, em pares por milhão pode ser modelada pela equaç o P=0,5.n2+0,02.n , onde n é o número de residentes, em milhares de pessoas. Sabendo-se que esse cálculo é feito a partir da derivada de P em relação a n, podemos afirmar que a taxa de aumento da concentração do poluente para uma dada população é dada por: 0,5n+0,02 1.n + 0,02n2 0,5n+2 0,05 +0,02n n + 0,02 1. Doutor Arthur informa ao seu estagiário que um paciente tem um tumor no corpo e supondo que seja de forma esférica. Ele pergunta ao seu estagiário: Se quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante: dV/ dt = 0,001 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,3 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,08 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,006 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,1 pi cm3/ dia 2. Para a função f(x) = x + (1/x) podemos definir os intervalos onde a função é monotona. Nenhuma das respostas anteriores A função é sempre crestente crescente em [-oo,3] decrescente em [2,4] A função é sempre decrescente crescente e: ]-oo, -2[ e [1,oo[ 3. Conhecendo as derivadas das funções f e g , podemos usá-las para encontrar a derivada da composição fog , através de um teorema denominado Teorema do Valor Médio Regra de L'Hôpital Regra da Cadeia Teorema Fundamental do Cálculo Derivação Implícita 4. Sabendo que a derivada pode ser usada para o processo de aproximação linear. Usando o processo da aproximação linear para aproximar (1/ 1,03). Qual das demonstrações abaixo estaria correta ? É possível demonstrar da seguinte forma (1/ 1,03) = f(1,03) ~~ F(1) + f ´(1) (1,03 - 1) Nenhuma das respostas anteriores A aproximação daria zero A aproximação daria 2 Não podemos fazer tal aproximação usando derivada. 5. Determine dydxdydx de f(x)= (senx)cosxf(x)= (senx)cosx, indicando a única resposta correta. (senx)cosx(cosxcotx−senxln(senx))(senx)cosx(cosxcotx-senxln(senx)) (cosx)senx(cosxcotx −senxln(senx))(cosx)senx(cosxcotx -senxln(senx)) (cosx)senx(cosxcotx +senxln(senx))(cosx)senx(cosxcotx +senxln(senx)) cosxsenx(cosxcotx+senxln(senx))cosxsenx(cosxcotx+senxln(senx)) (senx)cosx(cosxcotx +senxln(senx))(senx)cosx(cosxcotx +senxln(senx)) 6. Determine dy/dx x3/y +2x=6 dy/dx=3x2y-2x dy/dx=3x2y-2x/y2 dy/dx=(3x2y-2y2)/x3 dy/dx=6 dy/dx=6x2 -3x 1. No cálculo de limites nos defrontamos diversas vezes com alguns limites que exigem tecnicas especiais para resolução. Utilizando as tecnicas aprendidas analise o limite . O limite da função será 4 O limite da função será 1 O limite da função será 1/2 O limite da função será O limite da função será 3/2 2. Um pedaço de papel retangular é usado para construir uma caixa sem tampa, para isso corta-se quadrados iguais de cada canto do papel. O papel retangular possui 8 centímetros de largura por 15 centímetros de comprimento. Determine o volume máximo para tal caixa. Nenhuma das respostas anteriores aproximadamente 50 aproximadamente 80 exatamente 60 aproximadamente 90,74 3. Seja f(x)=x²-4. O ponto crítico de f é: x=-2 x=0 x=2 x=-4 x=8 4. Sobre a função f: R→ R(x), onde f(x)=x², podemos afirmar: f é uma função ímpar f não tem ponto de mínimo f é limitada, ou seja, existe um valor real M tal que |f(x)|<="" td=""> 0 é ponto de mínimo da função A função assume valores negativos quando x<0 5. A potência dissipada por um resistor puro obedece à lei P=U.I, em que U representa a tensão e I a corrente aplicada sobre os terminais do referido resistor. Sabe-se, em um dado circuito, que U reduz-se à medida que a bateria descarrega, e que I aumenta à medida que o resistor esquenta. A variação da potência, dados U = 20V , I = 10A, dU/dt= - 0,1V/s e dI/dt = 0,2A/s, é:. -2 w/s 2 w/s 3 w/s -1 w/s 1 w/s 6. A derivada de f(x)=sen(x)+cos(x) é igual a: f '(x) = cos(x)-sen(x) f '(x) = -cos(x)-sen(x) f '(x) = tan(x) f '(x) = cos(x)+sen(x) f '(x) = -cos(x)+sen(x) 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a x 0 x-1 1 x² Respondido em 05/06/2020 17:36:29 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2 f '(x) = 25 x f '(x) = 5 x f '(x) = 5 x + 4 f '(x) = 24 x + 4 f '(x) = 25 x 4 + 4 x Respondido em 05/06/2020 17:37:07 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine a derivada da função f(x) = sqrt(ln x) 1/2x (sqrt(ln x)) 1/2x Nenhuma das respostas anteriores 1/2 (sqrt(ln x)) (sqrt(ln x)) Respondido em 05/06/2020 17:42:35 Gabarito Coment. 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1) m(x1) = 3x1 m(x1) = x1 - 9 m(x1) = x1 - 11 m(x1) = 2x1 - 5 m(x1) = x1 - 5 Respondido em 05/06/2020 17:44:54 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine c pertencente ao intevalo (0,4) para o qual a reta tangente ao gráfico da função f (x) =x2 - 5x + 6 no ponto P (c, f (c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A(0,f (0)) e B(4,f (4)). Como f é uma função polinomial, então é descontínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio não garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4). Como f é uma função contínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Intermediário garante que não existe c pertencente ao intervalo (0,4). Como f é uma função descontínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 3. Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 2. Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor Intermediário garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 1. Respondido em 05/06/2020 17:57:22 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Use diferenciação implícita para a função xx3 - 3 x2y4 - 3 y4 = x + 1.. Encontre dydxdydx. dydxdydx = -1 + 3x2 - 6xy4 dydxdydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) dydxdydx = 0 dydxdydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) dydxdydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) Respondido em 05/06/2020 17:47:23 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Vende-se um certo tipo de carro e seu rendimento é dado pela equação R(x) = 2000 x sqrt(75 - x), onde x denota a demanda em milhares de carros vendidos e o rendimento total é dado em dolares. Determine o rendimento máximo na venda de tal carro. $ 100,00 $ 1000,00 $ 304,09 $ 350,00 $ 10.000,00 Respondido em 05/06/2020 17:48:00 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Um estudo de impacto ambiental revelou que a concentração P de um certo poluente no ar, em pares por milhão pode ser modelada pela equaç o P=0,5.n2+0,02.n , onde n é o número de residentes, em milhares de pessoas. Sabendo-se que esse cálculo é feito a partir da derivada de P em relação a n, podemos afirmar que a taxa de aumento da concentração do poluente para uma dada população é dada por: 0,5n+0,02 1.n + 0,02n2 n + 0,02 0,5n+2 0,05 +0,02n Respondido em 05/06/2020 17:48:31 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Doutor Arthur informa ao seu estagiário que um paciente tem um tumor no corpo e supondo que seja de forma esférica. Ele pergunta ao seu estagiário: Se quando o raio do tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante: dV/ dt = 0,006 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,3 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,1 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,001 pi cm3/ dia dV/ dt = 0,08 pi cm3/ dia Respondido em 05/06/2020 17:51:01 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A derivada da função f(a)=(2a+1)(3a²+6)f(a)=(2a+1)(3a²+6) é: 28a² - 6a + 16 12a² - 6a + 14 15a² +8a + 10 18a² + 6a + 12 16a² + 11a + 12
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