Cálculo I - derivadas - lista6

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
6a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
(Te´cnicas para trac¸ar gra´ficos de func¸o˜es, Regra de L’Hoˆspital e Otimizac¸a˜o.)
1. Analisando o crescimento e decrescimento da func¸a˜o g(x) = 8x3 + 30x2 + 24x + 10, verifique que g
admite uma u´nica soluc¸a˜o real.
2. Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f usando Teste da Primeira derivada e da Segunda
derivada.
a) f(x) = x5 − 5x+ 3 b) f(x) = x
2
x− 1 c) f(x) =
√
x− 4√x
3. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, ass´ıntotas e esboce o gra´fico(calcule para
isto todos os limites poss´ıveis) em cada caso:
a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 b) f(x) = t
1 + t2
c) f(x) =
ex
x
d) f(x) =
lnx
x
4. Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o aos intervalos de crescimento, decrescimento, concavidade e pontos
de inflexa˜o. Esboce o gra´fico, considerando as ass´ıntotas tambe´m.
a) f(x) = 2x3 + 3x2 − 36x b) f(x) = x4 − 2x2 + 3 c) f(x) = x2 − x− lnx
d) f(x) = senx+ cosx, 0 ≤ x ≤ 2pi e) g(x) = x√6− x f)h(x) = x1/3(x+ 4)
5. Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d, a 6= 0. Prove que f admite um u´nico ponto de inflexa˜o.
6. a) Encontre os nu´meros cr´ıticos de f(x) = x4(x− 1)3.
b) O que o teste da Segunda Derivada mostra para voceˆ sobre o comportamento da f nesses nu´meros
cr´ıticos?
c) O que mostra o Teste da Primeira Derivada?
7. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a a todas as condic¸o˜es dadas.
a) Ass´ıntota vertical x = 0, f ′(x) > 0 se x < −2; f ′(x) < 0 se x > −2; (x 6= 0), f ′′(x) < 0 se x < 0,
f ′′(x) > 0 se x > 0.
b) f ′(0) = f ′(2) = f ′(4) = 0; f ′(x) > 0 se x < 0 ou 2 < x < 4; f(x) < 0 se 2 < x < 2 ou x > 4;
f ′′(x) > 0 se 1 < x < 3, f ′′(x) < 0 se x < 1 ou x > 3.
c) f ′(x) > 0 se |x| < 2, f ′(x) < 0 se |x| > 2; f ′(−2) = 0, lim
x→2
|f ′(x)| = +∞, f ′′(x) > 0 se x 6= 2.
8. Use a regra de L’Hospital para encontrar os seguintes limites:
a) lim
t→−3
t3 − 4t+ 15
t2 − t− 12 , b) limx→∞
5x3 − 2x
7x3 + 3
c) lim
t→0
sen t2
t
c1) lim
x→0
e x − 1− x
x2
d) lim
x→0
sen x− x
x3
e) lim
θ→pi/2
1− sen θ
1 + cos 2θ
, f) lim
x→(pi/2)−
(x− pi/2). sec x f1) lim
x→∞
x3e−x
2
g) lim
t→0
t2
ln(sec t)
h) lim
x→0
x.2x
2x − 1 i) limx→1+
(
1
x− 1 −
1
ln x
)
i1) lim
x→0+
senx lnx
9. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→1+
x
 1
1− x

b) lim
x→∞
(ln x)
1
x

c) lim
x→∞
x
 1
ln x

d) lim
x→∞
(
x−
√
x2 + x
)
e) lim
x→0
(
1
x
− cossec x
)
f) lim
x→0
(cossecx− cotg x)
10. A soma de dois nu´meros positivos e´ 16. Qual e´ o menor valor poss´ıvel para a soma de seus quadrados?
11. Se 1200cm2 de material estiverem dispon´ıveis para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem
tampa, encontre o maior volume poss´ıvel da caixa.
12. (a) Mostre que, de todos os retaˆngulos com uma dada a´rea, aquele com a menor per´ımetro e´ um
quadrado.
(b) Mostre que, de todos os retaˆngulos com um dado per´ımetro, aquele com a maior a´rea e´ um
quadrado.
13. Encontre o ponto sobre a reta y = 2x+ 3 que esta´ mais pro´ximo da origem.
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