Cálculo I - Derivadas - lista4

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
4a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
(Derivada de func¸a˜o, derivada de func¸a˜o composta)
1. Calcule f ′(x) usando as regras de derivac¸a˜o.
a) f(x) = 5x − log5 x b) f(x) = 3
√
x c) f(x) =
1
x3
d) f(x) =
3
√
x+ x√
x
e) f(x) = x2ex f) f(x) = xpi + pix
g) f(x) = 4 + 5x2 lnx h) f(x) =
ex
x2 + 1
i) f(x) = cos x+ 5 secx
j) f(x) =
1 + x
x lnx
k) f(x) =
2
3
x+
√
x l) f(x) =
1 + ex
1− ex
m) f(x) = 3x2 + 5 cosx n) f(x) = senx cosx o) f(x) =
cosx
x2 + 1
p) f(x) =
x+ senx
x− cosx q) f(x) = x
2 tg x r) f(x) =
x+ 1
tg x
s) f(x) =
3
senx+ cosx
t) f(x) =
secx
3x+ 2
x u) f(x) = x3 + 3x tg x
v) f(x) =
√
x secx x) f(x) = 3 cosx+ (x2 + 1)senx y) f(x) = xcotg x
w) f(x) = (x3 +
√
x)cossecx
2. Seja f(x) = x2senx+ cosx. Calcule:
a) f ′(x) b) f ′(0) c) f ′(3a) d) f ′(x2).
3. Calcule a derivada de:
a) y = 5x3 + 6x− 1 b) s = 5√t+ 3
t
c)x =
t
t+ 1
d) y = t cos t e) y =
u+ 1
lnu
f) s = et tg t
g) y = 3
√
u secu h)U =
a
x12
− b
x5
, a e b constantes i)u = 5v2 +
3
v4
4. Seja y =
x3
x+
√
x
. Calcule: a)
dy
dx
b)
dy
dx
|x=1.
5. Seja y = t2x, onde x = x(t) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule
dy
dt
|t=1 supondo que dxdt |t=1 = 2 e x = 3
para t = 1, isto e´ x(1) = 3.
6. Considere a func¸a˜o y =
t
x+ t
, onde t = t(x) e´ uma func¸a˜o deriva´vel. Calcule dy
dx
|x=1 = 4 sabendo
que t = 2 para x = 1. (Observe que t esta´ sendo olhado como func¸a˜o de x.)
7. Calcule a derivada de cada func¸a˜o composta dada a seguir.
a) y = cos 5x b) y = sen t3 c) y = sen 3t
d) f(x) = cossec e x e) g(t) = ln(2t+ 1) f) y = xe3x
g) f(x) = 3 cotg x2 h) y = (senx+ cosx)3 i)x = esen t
j) y = sen (cosx) k) y = xe3x l) f(x) = e−x
2
+ ln(2x+ 1)
m) g(t) =
et − e−t
et + e−t
n) y =
cos 5x
sen 2x
o) f(x) = (e−x + ex
2
)3
p) y = (x3 + 4x)7 q) y = (6t2 + 5)3(t3 − 7)4 r) f(x) = 3
√
x− 1
x+ 1
s) y = ln(secx+ tg x) t) y = [ln(x2 + 1)]3 u) f(t) =
te2t
ln(3t+ 1)
v) y = sec(tg x) x) y = ln(sec 3x+ tg3x) y) f(x) = 10x − 10−x
w) y = ln(x+
√
x2 + 1) z) y =
√
x2 + e
√
x a1) y = ln(1 + xx)
b1) y = 2x
2
+ 32x c1) f(x) = xsen 3x d1) y = (2 + senx)cos 3x
e1) g(x) = (3 + cosx)x f1) y = (1 + x)e
−x
8. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g(t) = f(t2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
9. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g dada por g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2, calcule g′(0).
10. Suponha que f e´ diferencia´vel em R. Seja F (x) = f(ex) e G(x) = ef(x). Encontre expresso˜es para
F ′(x) e G′(x).
11. Seja g : R→ R deriva´vel e seja f dada por f(x) = xg(x2). Verifique que f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2) e
calcule f ′(1) supondo que g(1) = 4 e g′(1) = 2.
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