CALCULO 2A TOSCANO (3)

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GABARITO da P1 de Cálculo 2-A (2016-2, turmas B1 e F1, Prof. Toscano) 
 
1) 1,2 ponto = 6 × 0,2 
( )
22
2
122 1/1/ ' 2
2 1/22
0 0 0 0
1
(2 )
lim lim lim 2 lim 2
1 cos sen sen
1 cos
xx tt l H x
x x x x
d
e dte dt e x xdx e e
x d x x
x
dx
++
+
→ → → →
= = = =− −
∫∫
����	���
 
 
2) 1,0 ponto = 10 × 0,1 
2sec
22 2
sec tan 1
cos sen
sec tan1
xdx d x
d c c
xx x
θ θ θ θ θ θ θθ θ
= −= = = + = +
−∫ ∫ ∫ 
 
3) 1,2 ponto = 6 × 0,2 
1
2 2 2 2
2 2
2 3 2 3 2 1
2 2 ( 1) 1 1 1
ln( 1) arctan ln( 2 2) arctan( 1)
t xx x t
dx dx dt dt
x x x t t
t t c x x x c
= ++ += = ++ + + + + +
= + + + = + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
4) 1,6 ponto = 16 × 0,1 
P P32 22 2
3 2 2 2 2
( 3) ( 2) 24 2 4 2
1
1( 1) ( 1)
x A x Ax x x x A B C
A
x xx x x x x x x
+ + − + −+ − + −= = + + = ⇒ =−− − − 
( )23 2 24 2 1 2 3 2ln 3 ln 11x x dx dx x x cx x xx x x+ − = + + = − + − +−−∴ ∫ ∫ 
 
5) 1,2 ponto = 12 × 0,1 
( )6 55 46 35 2
6 6
1 1 6 1
1 ln 1
6 6 1 1
ln 1
u xdx u du udu
du u u c
u uu ux x
x x c
== = = + = + − +− −−−
= + − +
∫ ∫ ∫ ∫ 
6) 1,2 ponto = 6 × 0,2 
. .
( 1)
p p
x x x xe x dx e x e dx e x− − − −= − + = − +∫ ∫ 
1
1
1
2
lim ( 1) lim ( 1) (1 1)
bx x b
b b
e x dx e x e b e
e
∞
− − − −
→∞ →∞
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∴ ∫ 
 
7) 1,2 ponto = 6 × 0,2 
 
1
0
ln( 2)x
dx
x x
+
+∫ é convergente, pois, por comparação, temos que 
ln( 2) ln 3
 se (0,1]
x
x
x x x
+ ≤ ∈+ , e 
1
0
ln 3
dx
x∫ é convergente. 
 
8) 0,7 ponto = 7 × 0,1 : Pelo método das arruelas, temos que 
1
2 2 2
0
[ ( ) ]V x x dxπ= −∫ . 
 
9) 0,7 ponto = 7 × 0,1 : Pelo mét. das cascas cilínd., temos que 
1
0
2 ( )V y y y dyπ= −∫ . 
0