Gabarito da Prova 1 de Calculo 1 UFRRJ

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NOTA
Prof Sergio Ventura (Demat/ICE) – 2020.1
Nome: Matŕıcula:
Gabarito 1 de IC241 – Cálculo I (T4 e T5)
Questão 1. © (1 ponto) Elimine o módulo de
|x ´ 2| ´ |x ` 1|.
Resposta. Com relação ao sinal, temos:
✰ ✰ ✰ ✰ ✰✵
✷
✵
① ✰ ✶
① � ✷
�✶
� ✰�
� ✰ ✰�����
Logo,
|x ´ 2| ´ |x ` 1| “
$
’
’
&
’
’
%
px ´ 2q ´ px ` 1q, se x ě 2
´px ´ 2q ´ px ` 1q, se ´1 ď x ă 2
´px ´ 2q ` px ` 1q, se x ă ´1,
ou seja
|x ´ 2| ´ |x ` 1| “
$
’
’
&
’
’
%
´3, se x ě 2
´2x ` 1, se ´1 ď x ă 2
3, se x ă ´1.
Questão 2. © (1 ponto) Esboçe o gráfico de
fpxq :“
ˇ
ˇ|x| ´ 1
ˇ
ˇ.
Resposta.
´3 ´2 ´1 1 2 3
´1
1
2
x
y
|x|
´3 ´2 ´1 1 2 3
´1
1
2
x
y
|x| ´ 1
´3 ´2 ´1 1 2 3
´1
1
2
x
y
fpxq
Questão 3. © (1 ponto) Determine o domı́nio de
gpxq :“
c
2x ´ 1
1 ´ 3x.
Resposta. Para que a função esteja definida, devemos ter
2x ´ 1
1 ´ 3x ě 0 e 1 ´ 3x ‰ 0.
Vamos analisar o sinal do quociente acima. Temos
✵
✵� ✰ ✰�����
✷① � ✶
✶ � ✸①
✶❂✸
✶❂✷
✰ �✰ � � � � �
✶❂✸ ✶❂✷
�� � �✰✰✰ ✵❅✁✂✄☎
☎✄✆✂
Portanto, dom pgq “
 
x P R : 1
3
ă x ď 1
2
(
“
`
1
3
, 1
2
‰
.
Questão 4. © (1 ponto) Ache o valor de a, onde
a :“ tanparcsec 4q.
Resposta. Seja y “ arcsec 4, de modo que a “ tan y. Mas então, sec y “ 4, donde cos y “ 1
4
. Usando um triângulo
retângulo auxiliar, temos
✶
②
✹
❝
Assim, pelo teorema de Pitágoras, c2 ` 1 “ 16, donde c “
?
15. Portanto, a “ tan y “
?
15
1
“
?
15.
Questão 5. © (2 pontos) Calcule e justifique.
lim
xÑ0`
3
x2 ´ x ;a) limxÑp
T pxq ´ T ppq
x ´ p , onde T pxq :“ 1{x.b)
Resposta. a) Como
3
x2 ´ x “
3
xpx ´ 1q e
x Ñ 0` ñ 1
x
Ñ `8 e 1
x ´ 1 Ñ ´1,
então
lim
xÑ0`
3
x2 ´ x “ ´8.
b) Temos
lim
xÑp
T pxq ´ T ppq
x ´ p “ limxÑp
1
x
´ 1
p
x ´ p “ limxÑp
p´x
xp
x ´ p “ limxÑp
´px ´ pq
xp
¨ 1
x ´ p “ ´ limxÑp
1
xp
“ ´ 1
p2
.
Questão 6. © (1 ponto) Dê o valor (caso exista) que a função
F pxq :“
#
x, se x ă 1
1
x
, se x ą 1
deveria ter no ponto x “ 1 para ser cont́ınua nesse ponto. Justifique.
Resposta. Como
lim
xÑ1`
F pxq “ lim
xÑ1`
1
x
“ 1 e lim
xÑ1´
F pxq “ lim
xÑ1´
x “ 1,
então lim
xÑ1
F pxq “ 1, donde basta tomar F p1q :“ 1.
Questão 7. © (1 ponto) Prove que
lim
xÑ6
´x
4
` 3
¯
“ 9
2
usando a definição de ε e δ de limite.
Resposta. Dado ε ą 0, queremos encontrar δ “ δpεq tal que
0 ă |x ´ 6| ă δ ñ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´x
4
` 3
¯
´ 9
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
ă ε.
Como
ˇ
ˇ
`
x
4
` 3
˘
´ 9
2
ˇ
ˇ “
ˇ
ˇ
x´6
4
ˇ
ˇ, tomando δ “ 4ε, temos
0 ă |x ´ 6| ă δ ñ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
´x
4
` 3
¯
´ 9
2
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ
“ |x ´ 6|
4
ă δ
4
“ 4ε
4
“ ε.
Questão 8. © (2 pontos) Encontre as asśıntotas verticais e horizontais de
wpxq :“ x
2 ` 4
x2 ´ 1 .
Resposta. Como
lim
xÑ˘8
x2 ` 4
x2 ´ 1 “ limxÑ˘8
1 ` 4
x2
1 ´ 1
x2
“ 1,
a única asśıntota horizontal é y “ 1. Além disso, como
x ą 1 e x ă ´1 ñ x2 ´ 1 ą 0 e ´ 1 ă x ă 1 ñ x2 ´ 1 ă 0
e x2 ` 4 ą 0 para todo x, então
lim
xÑ1`
x2 ` 4
x2 ´ 1 “ limxÑ´1´
x2 ` 4
x2 ´ 1 “ 8 e limxÑ1´
x2 ` 4
x2 ´ 1 “ limxÑ´1`
x2 ` 4
x2 ´ 1 “ ´8,
de modo que temos duas asśıntotas verticais em x “ ´1 e x “ 1.