Cálculo I - Integral - lista8

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – UNESP – IBILCE
8a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo I
1. Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes func¸o˜es. (Verifique sua resposta derivando)
a)f(x) = x− 3 b)f(x) = 1
2
x2 − 2x+ 6 c)f(x) = (x+ 1)(2x− 1)
d)f(x) = x(2− x)2 e)f(x) = e2 f)f(x) = 3√x2 + x√x
g)f(x) = 1
5
− 2
x
h)g(t) =
1 + t+ t2√
t
i)r(θ) = sec θ tg θ − 2e θ
2. Encontre a primitiva F da f(x) = 5x4 − 2x5 que satisfac¸a a condic¸a˜o F (0) = 4.
3. Encontre f sabendo que:
a)f ′′(x) = 20x3 − 12x2 + 6x b)f ′(t) = t+ 1
t3
, t > 0, f(1) = 6
c)f ′′(θ) = sen θ + cos θ, f(0) = 3, f ′(0) = 4
4. Encontre as primitivas em cada caso.
a)
∫
(3x− 2)4dx b)
∫
2t− 1
t2 − t+ 2dt c)
∫
5
(z − 4)5dz
d)
∫
t2
3
√
t3 − 1dt e)
∫
x2
x− 1dx f)
∫
2x
x− 4dx
g)
∫
e x
1 + e x
dx h)
∫
(1 + 2x2)2dx i)
∫
x
(
1 +
1
x
)3
dx
j)
∫
tan(2/t)
t2
dt k)
∫
1
4 + 3x2
dx l)
∫
sec 4xdx
m)
∫
x3 + 2x+ 3dx n)
∫
(3x2 + x+
1
x3
)dx o)
∫
(
2
x
+
3
x2
)dx
p)
∫
x+ 3exdx q)
∫
(x2 + senx)dx r)
∫
(sen 3x+ cos 5x)dx
s)
∫
x+ 3 cosx2dx t)
∫
(x+ e−x
2
)dx u)
∫
senx
cos2 x
dx
v)
∫
x+ 2
x− 1dx x)
∫
2x+ 3
x+ 1
dx z)
∫
x2
x+ 1
dx
5. Calcule as integrais usando Teorema Fundamental do Ca´lculo:
a)
∫ 2
−1
(x3 − 2x)dx b)
∫ 4
1
(5− 2t− 3t2)dt c)
∫ 1
0
(1 +
1
2
u4 − 2
5
u9)du d)
∫ 2
1
3
t4
dt
e)
∫ 1
−1
e u+1du f)
∫ 2pi
pi
cos θdθ g)
∫ pi/4
0
sec θ tg θdθ h)
∫ 2
1
(1 + 2y)2dy
i)
∫ √3/2
1/2
6√
1− α2dα j)
∫ 2
1
4 + u2
u3
du
6. Usando o Teorema da Mudanc¸a de Varia´vel na Integral, calcule as seguintes integrais:
a)
∫ 2
1
(x− 2)5dx b)
∫ 4
−3
3
√
5− xdx c)
∫ 1
0
zez
2
dz
d)
∫ 1
−2
3
4 + t
dt e)
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3dx f)
∫ 1
0
x
(x+ 1)5
dx
g)
∫ 2
1
3s
1 + s2
ds h)
∫ 1
0
x(x2 + 3)5dx i)
∫ pi
2
pi
3
senx(1− cos2 x)dx
7. Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:
a)
∫ 3
1
(3x2 + 4)dx ≥
∫ 3
1
(2x2 + 5)dx
b)
∫ pi
0
senxdx ≥ 0
c)
∫ 3pi/2
pi/2
− cosxdx ≥ 0
8. Se
∫ 1
0
5
√
x2dx =
5
7
, calcular
∫ 0
1
5
√
t2dt.
9. Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
x2 lnxdx b)
∫
x2senxdx c)
∫
xe−2xdx d)
∫ 2
1
e 1/t
t2
dt
e)
∫
x√
2 + 3x
dx f)
∫
(lnx)2
x
dx g)
∫
x
√
x− 1dx h)
∫
e x cos 2xdx
i)
∫
x3senxdx j)
∫
sen
√
xdx k)
∫ 4
3
x
√
4− xdx l)
∫
2x3 cosx2dx
m)
∫
e
√
2xdx n)
∫
x3√
4 + x2
dx o)
∫
(lnx)2dx
2
10. Usando o me´todo das Frac¸o˜es parciais calcule as seguintes integrais:
a)
∫
1
x2 + x− 2dx b)
∫
2x+ 4
x3 − 2x2dx c)
∫
5
x(x2 − 9)dx
d)
∫
dx
x2 − 4 e)
∫
x
x2 − 4dx f)
∫
4x2 + 17x+ 13
(x− 1)(x2 + 6x+ 10)dx
g)
∫
2x2 + 4
x3 − 8 dx h)
∫
x4 + 2x2 − 8x+ 4
x3 − 8 dx i)
∫
4x+ 1
x2 + 6x+ 8
dx
j)
∫
2x+ 4
x2(x− 1)(x2 + 2x+ 3)2dx
11. Mostrar que:
a)
∫ pi
−pi
sen 2x cos 5xdx = 0 b)
∫ pi
−pi
sen 5x cos 2xdx = 0 c)
∫ pi
−pi
cos 2x cos 3xdx = 0
12. Suponha f cont´ınua em [−2, 0]. Calcule
∫ 2
0
f(x− 2)dx sabendo que
∫ 0
−2
f(u)du = 3.
13. Suponha f cont´ınua em [−1, 1]. Calcule
∫ 1
0
f(2x− 1)dx sabendo que
∫ 1
−1
f(u)du = 5.
14. Calcule as integrais definidas:
a)
∫ 2
−1
(x3 − 2x)dx b)
∫ 4
1
(5− 2t− 3t2)dt c)
∫ 1
0
(1 +
1
2
u4 − 2
5
u9)du
d)
∫ 2
1
3
t4
dt e)
∫ 1
−1
e u+1du f)
∫ 2pi
pi
cos θdθ g)
∫ pi/4
0
sec θ tg θdθ
h)
∫ 2
1
(1 + 2y)2dy i)
∫ √3/2
1/2
6√
1− α2dα j)
∫ 2
1
4 + u2
u3
du
k)
∫ pi
0
f(x)dx,f(x) =
 senx, 0 ≤ x ≤ pi/2cosx, pi/2 ≤ x ≤ pi l)
∫ 2
−2
f(x)dx, f(x) =
 2, −2 ≤ x ≤ 04− x2, 0 < x ≤ 2
m)
∫ 1
0
xe x
2
dx n)
∫ 0
−1
x2
√
1 + x3dx o)
∫ 2
1
x2(x− 2)10dx p)
∫ pi/6
0
cosx sen 5xdx
3