Capitulo01

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CAPÍTULO UM
Introdução
RESPOSTAS DAS PERGUNTAS DE REVISÃO
1. Mísseis, controle automático de ganho em receptores de rádio, antena para rastreamento de satélites.
2. A favor – amplificação de potência, controle remoto, conversão de parâmetros; Contra – Custo,
complexidade.
3. Motor, filtro passa-baixas, inércia suspensa entre dois mancais.
4. Os sistemas a malha fechada compensam o efeito de perturbações medindo a resposta, comparando-a
com a entrada (resposta desejada) e corrigindo a resposta.
5. Quando o elemento de retroação é diferente da unidade.
6. Sinal atuante.
7. Compartilhar o controlador com diversos subsistemas. Quaisquer ajustes no controlador podem ser
implementados através de simples mudanças de software.
8. Estabilidade, resposta transitória e erro de estado estacionário.
9. Regime permanente (estado estacionário) e regime transitório.
10. Segue uma resposta transitória crescente sem que a resposta em regime permanente seja visível. Ou o
sistema se destrói, ou alcança um estado de equilíbrio devido à saturação dos amplificadores de
acionamento, ou esbarra em batentes limitadores.
11. Resposta transitória.
12. Verdadeiro.
13. Função de transferência, espaço de estados, equações diferenciais.
14. Função de transferência – a transformada de Laplace da equação diferencial.
Espaço de estados – representação de uma equação diferencial de ordem n por n equações diferenciais de
primeira ordem,
simultâneas.
Equação diferencial – modelagem de um sistema por sua equação diferencial.
SOLUÇÕES DE PROBLEMAS
1. Cinco voltas produzem 50 V. Portanto, 
 
K �
�
�
50
5 2
1 59volts
rad
V rad
�
, /
2.
3.
4.
5.
8.
14.
a. Escrevendo a equação de malha,
b. Derivando e substituindo os valores,
Escrevendo a equação característica e fatorando-a,
A forma geral da solução e de sua derivada é
A solução é
c.
15.
a. Suponha uma solução particular
xp(t) � C cos(2t) � D sen(t)
Substitua na equação diferencial e obtenha
(7C � 2D) cos(2t) � (�2C � 7D) sen(2t) � 5 cos(2t)
Igualando os coeficientes semelhantes de ambos os membros,
 7C � 2D � 5
�2C � 7D � 0
De onde, 
 
C D� �35
53
10
53
e .
O polinômio característico é
M � 7 � 0
Por conseguinte, a solução total é
x(t) � A e�7t � 
 
35
53
2 10
53
2cos( ) ( )t t� sen


Calculando os valores das constantes arbitrárias, 
 
x A( ) .0 35
53
0� � � Portanto, 
 
A �� 35
53
. A solução
final é
 
x t e t t( ) cos( ) ( )�� � ��35
53
35
53
2 10
53
27t sen


b. Suponha uma solução particular
xp(t) � A sen(3t) � B cos(3t)
Substitua na equação diferencial e obtenha
(18A � B)cos(3t) � (A� 18B)sen(3t) � 5 sen(3t)
Por conseguinte, 18A � B � 0 e �(A� 18B) � 5. Calculando A e B obtemos
xp(t) � 
 
� � �
1
65
3 18
65
3   sen ( ) cos( )t t
O polinômio característico é
M2 � 6M � 8 � (M � 4)(M � 2)
Por conseguinte, a solução total é
x(t) � C e�4t � D e�2t � 
 
� � �
1
65
3 18
65
3   

sen( ) cos( )t t
Calculando os valores das constantes arbitrárias, x(0) � C � D 
 
� �
18
65
0.
Além disso, a derivada da solução é
 
dx
dt
��
3
65
 cos(3t) � 54
65
 sen(3t) � 4Ce�4t � 2De�2t
Calculando os valores das constantes arbitrárias, 
 
˙ ( )x 0 3
65
�� � 4C � 2D � 0 ou
 
C D�� �3
10
15
26
e .
A solução final é
x(t) � 
 
� � � � � �� �
3
10
15
26
1
65
3 18
65
34 2e e t tt t    

sen ( ) cos ( )
c. Suponha uma solução particular
xp(t) � A
Substitua na equação diferencial e obtenha 25A � 10 ou A � 2
5
O polinômio característico é
M2 � 8M � 25 � (M � 4 � 3i)(M � 4 � 3i)
Por conseguinte, a solução total é
x(t) � 2
5
 � e�4t[B sen(3t) � C cos(3t)]
Calculando os valores das constantes arbitrárias, x(0) � C � 2
5
 � 0. Portanto, C � 
 
�
2
5
.
Além disso, a derivada da solução é
dx
dt
 � [(3B � 4C) cos(3t) � (4B � 3C) sen(3t)]e�4t
Calculando os valores das constantes arbitrárias, ˙ ( )x 0 � 3B � 4C � 0 ou B � 
 
�
8
15
. A solução final
é
x(t) � 
 
2
5
8
15
3 2
5
34� ��e t tt    

sen( ) cos( )
17.