Lista de exercícios geometria analítica: Vetores, Reta e Plano.

Prévia do material em texto

L1
WELERSON KNEIPP
GEOMETRIA ANALI´TICA
—Data de entrega: 25/Abr/2018. —
[ 01 ] Ache a soma dos vetores indicados na figura:
(a) (Hexa´gono regular)
D E
F
AB
C
(b) (Cubo)
A B
CD
E F
G
H
(c) (Poligonal fechada gene´rica)
A B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
(d) (Paralelep´ıpedo)
A
B
CD
E
F
GH
[ 02 ] Os vetores ~u, ~v e ~w formam um triaˆngulo, conforme a figura. Sendo ~u = (1, 2, 0) e ~v = (3, 0, 3),
calcule as coordenadas de ~w.
~u
~v
~w
[ 03 ] Provar que os pontos A = (3, 1, 5), B = (2, 0, 1) e C = (4, 2, 9) sa˜o colineares.
Pa´g.: 1 de 3
[ 04 ] (V)erdadeiro ou (F)also? Justifique suas respostas.
(a) ( ) Se os vetores ~u e ~v teˆm mesmo comprimento enta˜o os vetores ~u+ ~v e ~u− ~v sa˜o
ortogonais.
(b) ( ) Os vetores ~u = (−2, 6, 1) e ~v = (4,−12, 2) sa˜o paralelos.
(c) ( ) Os pontos A(−1, 4,−3), B(2, 1, 3) e C(4,−1, 7) sa˜o colineares.
(d) ( ) O vetor ~w =
(√
6
6
,−2
√
6
6
,
√
6
6
)
e´ unita´rio.
[ 05 ] Provar que os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero qualquer sa˜o ve´rtices de um parale-
logramo.
[ 06 ] Os vetores ~u = (1, 3, 0), ~v = (2, 1, 4) e ~w = (3, 4, k) sa˜o coplanares:
(a) determine o valor de k.
(b) calcule o aˆngulo entre ~v e ~w. [Use uma calculadora cient´ıfica para obter θ = arccos(. . .).]
[ 07 ] Dados os vetores ~u = (1, 2,−1) e ~v = (0,−1, 3), determine:
(a) Um vetor unita´rio colinear a ~u.
(b) Um vetor unita´rio ortogonal a ~v.
(c) Um vetor unita´rio simultaneamente ortogonal a ~u e ~v.
(d) A projec¸a˜o ortogonal de ~u sobre ~v.
(e) A a´rea do paralelogramo determinado pelos vetores 3~u e ~v − ~u.
[ 08 ] Sejam A(2, 1, 3), B(m, 3, 5) e C(0, 4, 1) ve´rtices de um triaˆngulo.
A
B
C
H
(a) Para que valor de m o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A?
(b) Calcular a medida da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
(c) Determinar o ponto H , pe´ da altura relativa ao ve´rtice A.
(d) Mostrar que
−→
AH⊥
−→
BC.
[ 09 ] Sendo ~v = (1,−1, 1), calcular o(s) vetor(es) ~u = (x, y, z) onde os itens abaixo ocorrem simulta-
neamente:
(a) ~u e´ ortogonal ao eixo x
(b) ~u · ~v = 0
(c) |~v × ~u| = 3√6
[ 10 ] Num hexa´gono regular, a medida de cada lado vale 2. Calcular |
−→
AB ×
−→
BC | e
−→
AB .
−→
BC.
Pa´g.: 2 de 3
A
B
C
D
E
F
[ 11 ] Sejam A = (1, 2, 3) e B = (−2, 3, 0). Escreva equac¸o˜es da reta AB, nas formas vetorial, pa-
rame´trica e sime´trica e obtenha os pontos da reta que distam 2
√
19 de A.
[ 12 ] Dadas as retas
r1 :
x− 1
2
= −y; z = 3 e r2 :


x = t
y = −1 + t
z = 2 + t
,
encontrar equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x da reta que passa por A(0, 1, 0) e pelo ponto de
intersec¸a˜o de r1 com r2.
[ 13 ] Estabelecer as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pela origem e e´ simultaneamente orto-
gonal a`s retas
r : x− 2 = y + 1
3
=
z − 4
2
e s :

 y =
1
2
x+ 6
z = −2x− 3
[ 14 ] Considere o ponto P (1, 2, 1) e a reta r de equac¸o˜es parame´tricas
r : (x, y, z) = (1 + t, 1− t, 2 + t), t ∈ R
(a) Determine a equac¸a˜o geral e as equac¸o˜es parame´tricas do plano π que conte´m a reta r e o
ponto P .
(b) Determine o plano ρ perpendicular a` reta r que conte´m o ponto P .
[ 15 ] Obtenha a medida angular em radianos entre a reta r : X = (0, 1, 0) + t(−1 − 1, 0) e o plano
π : y + z − 10 = 0.
Bom trabalho!!!
Pa´g.: 3 de 3