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Fundação Universidade de Brasília Departamento de Matemática - IE Campus Universitário, 70910-900 - Brasília - DF Fone: (061) 273-3356 � FAX: (061) 274-3910 Calculo II - Lista VIII - Transformadas de Laplace Tabela Trnasformadas de Laplace • a) L[eatf(t)](s) = L[f(t)](s− a), s > a. • b) L[ua(t)f(t− a)](s) = e−a s L[f(t)](s), s > a. • c) L[f(at)](s) = 1 a L[f(t)]( s a ), a > 0. • d) L[tr](s) = Γ(r + 1) sr+1 , r ∈ R+. Γ(r) = ∫ ∞ 0 xr−1 e−x dx • e) L[f ′′(t)](s) = s2 L[f(t)](s)− sf(0)− f ′(0). • f) L[f ′(t)](s) = sL[f(t)](s)− f(0). • g) L[(f ∗ g)(t)](s) = L[f(t)](s).L[g(t)](s), (f ∗ g)(t) = ∫ ∞ 0 f(t− τ)g(τ) dτ. • h) L[f(t)](s) = ∫ T 0 e−stf(t) dt 1− e−sT . • h) L[cos(at)](s) = s s2 + a2 , L[sin(at)](s) = a s2 + a2 . • i) L[cosh(at)](s) = s s2 − a2 , L[sinh(t)](s) = a s2 − a2 . • j) L[δa](s) = e−as, δa(t) = { 0, t 6= a ∞, a = t , ∫ ∞ −∞ δa(t) dt = 1. • k) L[ua](s) = e −as s , ua(t) = { 0, 0 ≤ t < a 1, a ≤ t <∞. A - Encontre as transformadas de Laplace das seguintes funções • 1) f(t) = tat • 2) f(t) = t sin(at) • 3) f(t) = t cosh(at) • 4) f(t) = tneat • 5) f(t) = t2 sin(at) • 6) f(t) = t2eat sin(bt) • 7) f(t) = t2eat cos(bt) • 8) f(t) = t2 sinh(at) B - Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem • 1) ∫∞ 0 (t2 + 1)−1 dt • 2) ∫∞ 0 te−t dt • 3) ∫∞ 0 t−2et dt • 4) ∫∞ 0 e−t cos(t) dt C - Suponha que f(t) e f ′ (t) sejam continuas para t > 0 e ambas de tipo exponencial. Mostre que lim s→∞[L(f(t)](s) = 0 D - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções • 1) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t) • 2) f(t) = (t− 3)u2(t) + (t− 2)u3(t) • 3) f(t) = t− u1(t)(t− 1), t ≥ 0 • 4) f(t) = 1 +∑2n+1k=1 (−1)kuk(t) • 5) f(t) = 1 +∑∞k=1(−1)kuk(t) • 6) f(t) =∑nk=1 ak tk • 7) f(t) =∑nk=1 ak (t− a)k • 8) f(t) = √t • 9) f(t) = 13√t • 10) f(t) = δ(t− a) E - Se f(t+ T ) = f(t), ∀t ≥ 0 para algum T �xo a função f(t) é chamada de periodica com periodo T em 0 ≤ t ≤ ∞. Mostre que [L(f(t)](s) = ∫ T 0 e−stf(t) dt 1− e−sT . F - Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ • 1) f(t+ 2) = f(t), f(t) = 1− u1(t), 0 ≤ t ≤ 2 • 2) f(t+ 2) = f(t), f(t) = 1− u2(t)− 2u1(t), 0 ≤ t ≤ 2 • 3) f(t+ 1) = f(t), f(t) = t, 0 ≤ t ≤ 1, • 4) f(t+ pi) = f(t), f(t) = sin(t), 0 ≤ t ≤ pi. G - Calcule as transformadas de Laplace L(f)(s) das seguintes funções f(t): • i) f(t) = cosh(kt). • ii) f(t) = sinh(kt). • iii) f(t) = eat cos(bt). • iv) f(t) = t cos(at). • v) g(t) = f(t/λ), λ > 0. • vi) f(t) = tn. • vii) f (n)(t). • viii) f(t) = { 0, t < 2 (t− 2)2, t ≥ 2 • ix) f(t) = { 0, t < 1 t2 − 2 t+ 2, t ≥ 1 • x) f(t) = 0, t < pi t− pi, pi ≤ t < 2pi 0, t ≥ 2pi • xi) f(t) = u1(t) + 2u3(t)− 6u4(t) H - Calcule a função f(t) das seguintes funções L(f)(s): • i) L(f)(s) = 3!(s−2)4 . • ii) L(f)(s) = e−2ss2+s−2 . • iii) L(f)(s) = 2 (s−1)e−2ss2−2s+2 . • iv) L(f)(s) = 2 e−2ss2−4 . • v) L(f)(s) = (s−2) e−ss2−4s+3 . • vi) L(f)(s) = 2n+1 n!sn+1 . • vii) L(f)(s) = 19s2−12s+3 . • viii) L(f)(s) = 2s+14s2+4s+5 . • ix) L(f)(s) = e2e−4s2s−1 . • ix) Suponha que L(f)(s) < ∞, s > a ≥ 0. Mostre que para uma constante c > 0 a trasformada L[f(ct)](s) = 1c L(f)( sc ), s > ca. I - Resolva as seguintes equações diferenciais • i) y′′(t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1. • ii) y′′(t) + y(t) = 1− u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 1. • iii) y′′(t) + y(t) = δ(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1. • iv) y′′(t) + y(t) = t(1− u1(t)), y(0) = 0, y′(0) = 1. • v) y′′(t) + y′(t) + y(t) = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1. • vi) y′′(t) + y′(t) + y(t) = 1− u1(t), y(0) = 0, y′(0) = 1. • vii) y′′(t) + y′(t) + y(t) = δ(t− 1), y(0) = 0, y′(0) = 1. • viii) y′′(t) + y′(t) + y(t) = t(1− u1(t)), y(0) = 0, y′(0) = 1. • ix) 2 y′′(t) + y′(t) + 2y(t) = δ(t− 5), y(0) = 0, y′(0) = 0. • x) 2 y′′(t) + 4y(t) = δ(t− pi)− δ(t− 2pi), y(0) = 0, y(1)(0) = 0. J - Encontre dois séries de potências que sejam soluções independentes das seguintes equações. Determine os intervalos de convergência das soluções. • a) y′′ − xy′ + y = 0. • b) y′′ + x2y = 0. • c) y′′ + 3x2y′ − xy = 0. • d) y′′ + x3y′ + x2y = 0. • e) y′′ + y = 0. K - Encontre a solução φ da equação y′′ + (x− 1)2y′ − (x− 1)y = 0 tal que φ(1) = 1, φ′(1) = 0. L - Encontre a solução φ da equação (1 + x2)y′′ + y = 0 tal que φ(0) = 0, φ′(0) = 1. M - Calcule os cinco primeiros coe�cientes da solução da equação y′′ + exy = 0 tal que φ(0) = 1, φ′(0) = 0. N - Encontre a solução de y′′′ − xy′ = 0 tal que φ(0) = 1, φ′(0) = 0eφ′′(0) = 0.
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