Torcao Notas de aula

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FACULDADE PIO DÉCIMO CAPÍTULO 5 – TORÇÃO 
Profº M.Sc. Sérgio Luís de Oliveira. 1 
TORÇÃO 
 
1.0 – OBJETIVO 
 
No estudo da torção serão discutidos os efeitos da aplicação de esforços torcionais 
em um elemento linear longo, tal como um eixo ou um tubo. Será considerado que o 
elemento tenha seção transversal circular. Mostraremos como determinar tanto a 
distribuição de tensão no interior do elemento como o ângulo de torção quando o material 
comporta-se de maneira linear-elástica, ou seja, obedece à lei de Hooke. 
 
2.0 – DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR 
 
Torque é o momento que tende a torcer o membro em torno do eu eixo longitudinal. 
Seu efeito é de interesse principal no projeto de eixos ou eixos de acionamento usados em 
veículos e maquinaria. Fisicamente, podemos ilustrar o que acontece quando um torque é 
aplicado em um eixo circular, considerando o eixo como feito de um material altamente 
deformável, como a borracha (figura 1a). Quando o torque é aplicado, os círculos e as retas 
longitudinais da grelha original marcada no eixo tendem a se distorcer com o padrão 
mostrado na figura 1b. A torção faz os círculos permanecerem como círculos e cada reta 
longitudinal da grelha deforma-se em hélice que intercepta os círculos em ângulos iguais. 
Além disso, as seções transversais do eixo permanecem planas e as retas radiais dessas 
seções permanecem retas durante a deformação (figura 1b). A partir dessas observações, 
podemos supor que, se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento do eixo e seu raio 
permanecerão inalterados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1a 
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Figura 1b 
 
A figura acima mostra a deformação do elemento retangular quando a barra de 
borracha é submetida a um torque. 
 
Se o eixo estiver preso em uma extremidade e for aplicado um torque na outra 
extremidade, o plano sombreado da figura 2 se distorcerá e assumirá uma forma oblíqua 
como mostrado. Nesse caso, uma linha radial localizada na seção transversal a uma 
distância x da extremidade fixa do eixo girará por meio de um ângulo φ(x). O ângulo φ(x), 
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assim definido, é denominado ângulo de torção. Ele depende da posição x e varia ao longo 
do eixo como mostrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
3.0 – FÓRMULA DA TORÇÃO 
 
Quando um torque externo é aplicado a um eixo, cria um torque interno 
correspondente no interior do eixo. Neste item, será mostrada a equação que relaciona o 
torque interno com a distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de um 
eixo ou tubo circular. 
Se o material for linear-elástico, ocorre uma variação linear na deformação por 
cisalhamento, o que conseqüentemente leva a uma variação linear na tensão de 
cisalhamento ao longo de qualquer reta radial na seção transversal. Assim, como a variação 
tensão-deformação, para um eixo maciço, τ varia de zero na linha de centro longitudinal do 
eixo a um valor máximo, τmáx , em seu limite externo. Tal variação é mostrada na figura 3, 
para as faces de um número selecionado de elementos, localizados em uma posição radial 
intermediária ρ e na extremidade do raio c. 
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Figura 3 
 
A tensão de cisalhamento é determinada na distância intermediária ρ e na 
extremidade do raio do elemento a partir das equações a baixo, que são geralmente 
chamadas de fórmulas de torção: 
 
J
Tρτ = J
Tc
máx =τ 
 
onde: 
τmáx: tensão de cisalhamento máxima no eixo, que ocorre na superfície externa do 
elemento; 
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T: torque interno resultante que atua na seção transversal; 
J: momento de inércia polar da seção transversal; 
ρ: medida intermediária entre o centro do eixo e a extremidade do raio; 
c: raio externo do eixo. 
 
• Momento de inércia polar para um eixo sólido: 
 
4
2
cJ π= 
 
• Momento de inércia polar para um eixo tubular de raio interno ci e raio 
externo ce: 
( )44
2 ie
ccJ −= π 
 
Existe ainda uma relação entre os valores de τ: 
máxc
τρτ = 
 
PONTOS IMPORTANTES 
 
• O torque também é chamado de momento torçor ou esforço torcional; 
• Quando um eixo que tem seção transversal circular é submetido a um torque, 
a seção transversal permanece plana enquanto as retas radiais giram. Isso 
provoca uma deformação por cisalhamento no interior do material que varia 
linearmente ao longo de qualquer reta radial, indo desde zero na linha de 
centro do eixo até o máximo no seu limite externo. 
 
 
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4.0 – ÂNGULO DE TORÇÃO 
 
Ocasionalmente, o projeto de um eixo depende de limitações na quantidade de 
rotação ou torção ocorrida quando o eixo é submetido ao torque. Além disso, o cálculo 
do ângulo de torção do eixo é importante quando se analisam as reações em eixos 
estaticamente indeterminados. 
Neste item será mostrada a fórmula para determinar o ângulo de torção φ de 
uma extremidade do eixo em relação à outra. Supondo que o material se comporte de 
forma linear-elástica quando o torque é aplicado e desprezando as deformações 
localizadas que ocorrem em pontos de aplicação dos torques e onde a seção 
transversal muda abruptamente suas dimensões, temos a seguinte expressão para 
calcular o ângulo de torção φ: 
 
 
 
JG
TL=φ 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4 
 Onde: 
 φ: ângulo de torção de uma extremidade do eixo com relação à outra, medido em 
radianos; 
 T: torque interno na extremidade do elemento; 
 J: momento de inércia polar da seção transversal; 
 G: módulo de elasticidade ao cisalhamento do material. 
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 Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção transversal 
ou ainda o módulo de elasticidade ao cisalhamento mudar abruptamente de uma região para 
outra, a equação para calcular o ângulo de torção será aplicada a cada segmento do eixo em 
que essas quantidades sejam constantes. O ângulo de torção de uma extremidade do eixo 
em relação à outra será, então, determinado pela adição de vetores dos ângulos de torção de 
cada segmento. Neste caso temos: 
 
∑= JGTLφ 
 
A convenção de sinais a fim de aplicarmos a equação anterior, segue a regra da mão 
direita, pela qual o torque e o ângulo serão positivos se a direção indicada pelo polegar for 
no sentido de afastar-se do elemento considerado quando os dedos são fechados para 
indicar a tendência da rotação, figura 5. 
 
 
Figura 5