Aula 4 - Introdução à Resistência dos Materiais

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INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA
DOS MATERIAIS
AULA 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Profª Eimi Veridiane Suzuki
CONVERSA INICIAL
Seja bem-vindo à nossa aula sobre resistência dos materiais. Nesta aula, veremos momento
torsor, também chamado de torque, em barras circulares, inicialmente, e, no final da aula, em barras
não circulares.
TEMA 1 – DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM EIXO CIRCULAR
O momento de torção é a tendência de rotações de um corpo sobre o seu eixo longitudinal. Se a
seção transversal e o torque interno não mudam ao longo de toda a barra, temos o que é chamado
de torção pura.
Quando o torque é aplicado a uma barra circular (Figura 1(a)), ele irá se deformar segundo o
padrão mostrado na Figura 1(b).
Figura 1 – Deformações causadas por momento torsor
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Fonte: Hibbeler, 2015.
Quando uma barra circular está um momento de torção aplicado, ela se deforma e forma dois
ângulos, um na seção transversal, chamado de ângulo de torção ɸ, e outro ao longo da barra, que é
a deformação por cisalhamento γ, ambos em radiano, ilustrados na Figura 2.
Figura 2 – Ângulo de torção e deformação por cisalhamento em uma barra circular em que está
aplicado um momento de torção
Fonte: Beer et al., 2015.
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Podemos relacionar o ângulo de torção e a deformação por cisalhamento no torque pela
seguinte equação:
Onde ρ é a distância do centro da seção transversal até um ponto qualquer da seção transversal.
A máxima distância para ρ possui um nome especial ‘c’ e vai gerar a γmáx:
1.1 EXEMPLO
Exemplo 01: (Gere; Goodno, 2015) uma haste de cobre de comprimento L = 460 mm deve se
torcida por torques T (veja a figura) até que o ângulo de rotação entre as extremidades da
haste seja 3,0°.
a) Se a deformação de cisalhamento admissível no cobre for 0,0006 rad, qual será o máximo
diâmetro permitido na haste?
b) Se o diâmetro da haste for de 12,5 mm, qual será o comprimento mínimo admissível da
haste?
Solução: Organização dos dados
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(a)
(b)
 
a) c será o raio máximo, então, como temos o ângulo de torção, a deformação de cisalhamento
admissível, que é a deformação de cisalhamento máxima, e temos o comprimento da barra, podemos
usar:
b) Para saber qual será o comprimento mínimo se o diâmetro for 1,5, vamos usar mesma
equação:
TEMA 2 – FÓRMULA DA TORÇÃO
Um momento de torção externo vai gerar um momento de torção interno, que irá gerar uma
tensão de cisalhamento, que pode ser definida pela fórmula a seguir:
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Onde:
τ é a tensão de cisalhamento;
T é o momento de torção interno da seção transversal;
ρ é a distância do centro da seção transversal até um ponto qualquer da seção transversal; e
J é o momento polar de inércia.
Para achar a tensão de cisalhamento máxima, usamos o maior valor de ρ, que chamamos de ‘c’.
2.1 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÃO
O sentido do vetor tensão, em uma barra circular em torção, pode ser vista na Figura 3 (a). Já a
Figura 3(b) dá um zoom no quadrado da Figura 3 (a) para mostrar com mais clareza como a tensão e
a deformação agem.
A Figura 3(c) mostra como fica a distribuição de tensão na seção transversal da barra, com a
tensão máxima quando ρ = c, ou seja, para o ponto da seção transversal que possui uma maior
distância do centro da seção.
Figura 3 – Sentido do vetor tensão para uma barra circular em torção
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
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A mesma tensão que temos no sentido transversal também vai ser vista no sentido longitudinal
(Figura 4), pois tensões de cisalhamento na transversal sempre são acompanhadas por tensões de
igual intensidade no sentido longitudinal.
Figura 4 – Distribuição de tensão em uma barra circular, nos sentidos transversal e longitudinal
Fonte: Gere; Goodno, 2017.
2.2 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibbeler, 2015) um eixo é feito de aço com tensão de cisalhamento admissível
τadm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, determine o torque máximo T que pode ser
transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no
eixo? Faça um rascunho da distribuição de tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial
em cada caso.
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Solução: Vamos organizar os dados
Vamos começar com a primeira situação, um eixo circular sólido, calculando o momento polar de
inércia. O momento polar de inércia para um círculo é tabelado.
Agora, aplicamos a fórmula da torção:
Para a segunda situação, um tubo, temos que calcular um novo momento polar de inércia.
Aplicando a fórmula da torção:
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Para o rascunho da distribuição de tensão de cisalhamento, temos que achar a tensão para 
, no segundo caso.
Exemplo 02: (Beer et al., 2015) a tensão de cisalhamento admissível é de 103 MPa na barra de
aço AB e 55 MPa na barra de latão BC. Sabendo que um torque de intensidades T = 1130 Nm é
aplicado em A, e desprezando o efeito das concentrações de tensão, determine o diâmetro
necessário de (a) barra AB e (b) barra BC.
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Solução: Vamos organizar os dados
Aplicando a fórmula da torção:
Para o aço:
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Para o latão:
TEMA 3 – ÂNGULO DE TORÇÃO
Quando uma barra está sujeita a um momento torsor, este vai gerar tensões de cisalhamento,
portanto, pode-se usar a Lei de Hooke para cisalhamento.
Mas, como temos a fórmula da tensão, podemos substituir a tensão.
Também sabemos que:
Esta equação, na qual o ângulo de torsão é dado em radianos, relaciona o ângulo de torsão, o
momento torsor interno resultante, o comprimento da barra, o momento polar de inércia e o módulo
de elasticidade ao cisalhamento. Se um desses elementos mudar ao longo da barra – o momento
torsor interno resultante, a dimensão da seção transversal ou o material da barra –, pode-se usar a
equação do ângulo de torsão como um somatório.
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O sinal do torque interno será determinado pela regra da mão direita, a qual diz que os dedos
da mão direita devem apontar para o sentido da tendência de giro e, se o polegar apontar para fora
do eixo, o ângulo de torsão e o torque interno são positivos, como ilustra a Figura 5.
Figura 5 – Convenção de sinal positivo para torque interno e ângulo de torsão
Fonte: Hibbeler, 2015.
3.1 EXEMPLOS
Exemplo 1: (Beer et al., 2015) este motor elétrico aplica um torque de 500 N.m no eixo de
alumínio ABC quando ele está girando a uma rotação constante. Sabendo que G = 27 GPa e
que os torques exercidos sobre as polias B e C são aquelas mostradas na figura, determine o
ângulo de torção entre (a) B e C e (b) B e D.
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Solução: Vamos organizar os dados
a) Para determinar o ângulo de torção que ocorre entre B e C, vamos ter que achar o momento
de torsão interno no trecho.
Fazendo uma seção entre B e C e pegando o lado que não tem o motor, usando a regra da mão
direita, temos:
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Como o momento torsor interno resultante, a dimensão da seção transversal e o material da
barra não mudam entre B e C, usamos:
b) Para determinar o ângulo de torção que ocorre entre B e D, vamos ter que achar o momento
de torsão interno nos dois trechos. Já temos o do trecho BC.
Fazendo uma seção entreC e D e pegando o lado que não tem o motor, usando a regra da mão
direita, temos:
Como temos dois trechos BC e CD, usamos:
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Exemplo 02: (Hibbeler, 2015) os dois eixos são feitos de aço A-36. Cada um tem diâmetro de
25 mm e ambos estão apoiados em mancais em A, B e C que permitem livre rotação. Se o
apoio em D for fixo, determine o ângulo de torção da extremidade B quando os torques são
aplicados ao conjunto como mostra a figura (G = 75 GPa).
Solução: como D é fixo e os eixos se conectam pelas engrenagens, para determinar o ângulo
de torção da extremidade B, temos que ver o quanto a engrenagem E gira, e, por consequência,
a engrenagem F.
Na barra AB, temos um torque de 60 N.m. Como torque é um momento, ou seja, força
multiplicado por uma distância, podemos descobrir com que força a engrenagem F empurra a
engrenagem E, com o raio da engrenagem como distância. Assim, podemos descobrir o torque em
EH.
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Portanto:
O deslocamento da engrenagem pode ser calculado com:
Como o deslocamento das duas engrenagens tem que ser iguais:
Como não temos nenhum outro momento de torsão entre F e B:
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TEMA 4 –TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Eixos circulares são comumente usados para transmitir a potência produzida por uma máquina.
A quantidade da potência que é transmitida depende do toque e da velocidade angular.
A Potência (P) é dada em watts (W) e é definida por Gere e Goodno (2017) como “a taxa em que
o trabalho é feito”. A velocidade angular é dada em rad/s e pode ser associada à frequência pela
seguinte equação:
4.1 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibbeler, 2015) o eixo de aço inoxidável 304 tem 3 m de comprimento e
diâmetro externo de 60 mm. Quando está girando a 60 rad/s, transmite 30 kW de potência do
motor E para o gerador G. Determine a menor espessura do eixo se a tensão de cisalhamento
admissível for τadm = 150 MPa e o eixo estiver restrito a uma torção não maior do que 0,08 rad
(Gaço = 75 GPa).
Solução: Vamos organizar os dados
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Vamos usar a formula da potência para achar o torque.
Agora que temos o torque, podemos usar a fórmula da torção.
Mas ele pede também que a torção não seja maior do que 0,08 rad.
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Como obtivemos duas respostas diferentes, vamos optar por 1,6 mm, pois um t = 0,6 mm vai
gerar um ɸ maior do que 0,08.
Exemplo 02: (elaborado com base em Beer et al., 2015) enquanto o eixo de aço de seção
transversal mostrado rotaciona a uma frequência de 120 rpm, uma medida estroboscópica
indica que o ângulo de giro é de 2° em um comprimento de 4 m. Utilizando G = 77,2 GPa,
determine a potência transmitida.
Solução: Vamos organizar os dados
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Como temos os diâmetros, vamos começar achando o momento polar de inércia.
O ângulo de torção deve estar em radianos, então vamos transformar.
A frequência deve estar em Hz.
Para achar a potência, precisamos saber o torque interno. Como temos o ângulo de torque,
vamos usar a sua equação.
Agora que achamos o torque, vamos achar a velocidade angular.
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TEMA 5 – TORÇÃO DE ELEMENTOS MACIÇOS DE SEÇÃO NÃO
CIRCULAR
Até aqui, estudamos momento de torção apenas em barras circulares. Se a barra não tiver seção
circular, não podemos achar a tensão de cisalhamento nem o ângulo de torção com as equações
vistas anteriormente nesta aula. As equações para seções não circulares podem ser vistas na Figura 6.
Figura 6 – Equações para tensão de cisalhamento e ângulo de torção de barras de seções não
circulares submetidas a carregamentos de torção
Fonte: Hibbeler, 2015.
Essas barras não circulares com torque aplicado não se deformam da mesma maneira que as
barras circulares (Figura 7). Nas barras de seção circulares, a seção permanece plana e as maiores
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tensões estão nos pontos mais afastados do centro do eixo. Já nas não circulares, a seção transversal
fica deformada, como na Figura 8, as tensões máximas ficam no meio das laterais dos lados (Figura 6)
e os vértices possuem tensão nula (Figura 9).
Figura 7 – Torção de uma barra de seção maciça não circular
Fonte: Hibbeler, 2015.
Figura 8 – Deformação da seção transversal
Fonte: Hibbeler, 2015.
Figura 9 – Distribuição de tensão de cisalhamento em seção transversal quadrada
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Fonte: Hibbeler, 2015.
5.1 EXEMPLOS
Exemplo 01: (Hibbeler, 2015) compare os valores da tensão de cisalhamento elástica máxima e
do ângulo de torção desenvolvidos em eixos de aço inoxidável 304 com seções transversais
circular e quadrada. Cada eixo tem a mesma área de seção transversal de 5.600 mm²,
comprimento de 900 mm e está submetido a um torque de 500 N.m. (G = 75 GPa).
Solução: Vamos organizar os dados
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Vamos começar com a barra de seção circular, descobrindo qual o valor de r e, com ele,
calculando o momento polar de inércia.
 
Agora, vamos descobrir a tensão máxima.
O próximo passo é descobrir o ângulo de torção.
Transformando em graus:
Como já achamos a tensão de cisalhamento elástica máxima e do ângulo de torção desenvolvido
pelo eixo de seção circular, vamos para a seção quadrada, começando por achar o valor de a.
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Vamos até a Figura 6 para ver qual é a equação de tensão máxima para essa figura.
Ainda na Figura 6, veremos qual é a equação de ângulo de torção para essa figura.
Transformando em graus:
Comparando os resultados, pode-se perceber que a seção circular desenvolve uma tensão
máxima menor, assim como um ângulo de torção menor também, ou seja, a seção circular é a mais
eficiente.
Exemplo 02: (Hibbeler, 2015) o cabo de latão tem seção transversal triangular de 2 mm em um
lado. Se a tensão de escoamento para o latão for τe = 205 MPa, determine o torque máximo T
ao qual o cabo pode ser submetido de modo a não sofrer escoamento. Se esse torque for
aplicado a um segmento de 4 m de comprimento, determine o maior ângulo de torção de uma
extremidade do cabo em relação à outra extremidade que não causará danos permanentes ao
cabo (Glat = 37 GPa).
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Solução: Vamos organizar os dados
Vamos achar o torque máximo com a equação de tensão máxima da Figura 6.
Agora, vamos achar o ângulo de torção.
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FINALIZANDO
Nesta aula, aprendemos sobre torque, como calcular a tensão máxima, o deslocamento, o
ângulo de torção e como calculamos a potência transmitida por essas barras. Foram feitos exemplos
dos assuntos apresentados, mas, para melhor fixar o conteúdo, faça mais exercícios dos assuntos
desta aula.
REFERÊNCIAS
BEER, F. P. et al. Mecânica dos Materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH Editora LTDA, 2015.
GERE, J. M.; GOODNO, B. J. Mecânica dos Materiais. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson, 2015.