Círculo de Mohr para tensões

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Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
prof.douglas.pucgo@gmail.com
Resistência dos Materiais I – SLIDES 07 
Capítulo 6
Círculo de Mohr para 
tensões
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no 
plano
 Consiste na solução gráfica das equações de
transformação de tensão no plano
 Permite a “visualização” das componentes de
tensão de acordo com a orientação do plano
em que agem.
2
    )1.6(2sin2cos
22
'   xyyxyxx
    )2.6(2cos2sin
2
''   xyyxyx
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6.4 Círculo de Mohr - Tensão no 
plano
 Permite a “visualização” das componentes de tensão de 
acordo com a orientação do plano em que agem.
3
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Dedução do Círculo de Mohr
 As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:
4
   
    (6.10)2sin2cos
22
(6.1)2sin2cos
22
'
'







 





 






xy
yxyx
x
xy
yxyx
x
   
    )11.6(2cos2sin
2
)2.6(2cos2sin
2
''
''







 




xy
yx
yx
xy
yx
yx
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 Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e 
somando-as, tem-se:
Dedução do Círculo de Mohr
5
    (6.10)2sin2cos
22
'  




 





 
 xy
yxyx
x
    )11.6(2cos2sin
2
''  




 
 xy
yx
yx
2
2
2
''
2
'
22
xy
yx
yx
yx
x 
 




 











 

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 A eq. anterior pode ser colocada em uma 
forma mais compacta:
Dedução do Círculo de Mohr
6
2
2
2
''
2
'
22
xy
yx
yx
yx
x 
 




 











 

  )12.6(22 ''
2
' Ryxmedx  





 

2
yx
med


2
2
2
xy
yx
R 






 

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Se definirmos eixos coordenados com σ positiva para
a direita e τ positiva para baixo e então construirmos
o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa equação
representa um círculo de raio R e centro no eixo σ no
ponto C(σmed,0).
Dedução do Círculo de Mohr
7
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Dedução do Círculo de Mohr
8
Qual a orientação 
dos eixos 
positivos???
σ positiva 
para a direita e 
τ positiva para 
baixo
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Dedução do Círculo de Mohr
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  )12.6(22 ''
2
' Ryxmedx  
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Construção do Círculo de Mohr
1. Estabelecer um sistema de coordenadas com σ positiva 
para a direita e τ positiva para baixo
2. Utilizar a convenção mostrada 
ao lado para os valores positivos 
de σ e de τ
3. Marcar o centro do círculo C, que está 
localizado no eixo σ a uma distância de 
σméd=(σx+ σy)/2 da origem
4. Marcar o ponto de referência A cujas coordenadas são
A(σx, τxy), referente ao ângulo θ=0º, ou seja, alinhado
com o eixo σx do estado de tensões dado
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Construção do Círculo de Mohr
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med
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Construção do Círculo de Mohr
5. Unir o ponto A ao centro 
C, determinando a 
hipotenusa CA, que 
representa o raio R do 
círculo. Um ponto G de 
coordenadas (σy, -τxy), 
diametralmente oposto 
ao ponto A também pode 
ser marcado
6. Traçar o círculo 
utilizando o raio 
encontrado
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Análise com o Círculo de Mohr
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 As tensões principais σ1 e σ2 são apresentadas pelos dois pontos B e D, 
onde o círculo intercepta o eixo σ
 As tensões principais agem nos planos definidos por 2θp1 e 2θp2 (sentido 
anti-horário neste caso) da linha CA até a linha do CB
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Análise com o Círculo de Mohr
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 As componentes de tensão de cisalhamento máxima e
de tensão normal média são determinadas pelo círculo
com as coordenadas dos pontos E e F
 O ângulo 2θs1 é determinado por trigonometria. Aqui a
rotação é em sentido horário (ver figura)
 As componentes σx’ e τx’y’ num ponto qualquer P
atuantes em um plano definido por um ângulo θ, medido
no sentido anti-horário, são obtidos por trigonometria
 Para localizar P, o ângulo θ de um plano (no sentido
anti-horário) é medido no círculo como 2θ (no mesmo
sentido anti-horário) da linha CA para CP
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Análise com o Círculo de Mohr
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Análise com o Círculo de Mohr
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 Exemplo 9.7 (Hibbeler)
 A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra 
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.18
Pela Figura:
00  xyyx 
Centro do círculo:
22
0
2
  yxmed
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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 Exemplo 9.7 (Hibbeler)
 A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra 
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
00  xyyx 
Centro do círculo:
22
0
2
  yxmed
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R = σ/2.
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 Exemplo 9.7 (Hibbeler)
 A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra 
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos A e D):
021  
Tensão de cisalhamento máxima 
e Tensão normal média:
2
max

 
Dadas pelo ponto E na figura:
2

 med
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 Exemplo 9.7 (Hibbeler)
 A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra 
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Por observação, o ângulo em sentido horário 
2θs1 = 90º. Portanto, θs1 = 45º, de modo que o 
eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário 
em relação ao eixo x.
Como E tem coordenadas positivas,então σmed
e τmax agem nas direções x’ e y’ positivas, 
respectivamente.
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 Exemplo 9.8 (Hibbeler)
 A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra 
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.19
Pela Figura:
  xyyx 00
Centro do círculo:
0
2
00
2





yx
med

As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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 Exemplo 9.8 (Hibbeler)
 A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra 
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
  xyyx 00
Centro do círculo:
0
2
00
2





yx
med

As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(0,-τ).
O Raio do Círculo CA é R = τ.
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 Exemplo 9.8 (Hibbeler)
 A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra 
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos B e D):




2
1
Tensão de cisalhamento máxima 
e Tensão normal média:
 max
Dadas pelo ponto A na figura:
0med
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 Exemplo 9.9 (Hibbeler)
 As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Figura 9.20a
Pela Figura:
MPa6
0MPa12


xy
yx


Centro do círculo:
MPa6
2
012
2





yx
med

As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa49,82 ''
2
'  yxmedxR 
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 Exemplo 9.9 (Hibbeler)
 As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Pela Figura:
MPa6
0MPa12


xy
yx


Centro do círculo:
MPa6med
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa49,82 ''
2
'  yxmedxR 
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Tensões principais (Pontos B e D):
MPa49,1449,86
MPa49,2649,8
2
1




Orientação das tensões principais:
º45
612
6
tan2 12 

 p º5,222 p
 Exemplo 9.9 (Hibbeler)
 As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
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 Exemplo 9.10 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Figura 9.21a
Centro do círculo:
MPa35
2
9020


med
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa4,812 ''
2
'  yxmedxR 
Pela Figura:
MPa60
MPa90MPa20


xy
yx


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 Exemplo 9.10 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Centro do círculo:
MPa35
2
9020


med
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa4,812 ''
2
'  yxmedxR 
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 Exemplo 9.10 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Orientação do elemento:
º3,211 s
Tensão de cisalhamento máxima 
e Tensão normal média:
MPa4,81max 
Dadas pelos pontos E e F na figura:
MPa35med
º5,42
60
3520
tan2 11 




 
 s
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 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Figura 9.22a
Centro do círculo:
MPa2
2
128


med
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa66,112 ''
2
'  yxmedxR 
Pela Figura:
MPa6
MPa12MPa8


xy
yx


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 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Centro do círculo:
MPa2
2
128


med
As coordenadas do ponto de 
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
  MPa66,112 ''
2
'  yxmedxR 
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32
 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Como o elemento deve sofrer 
rotação de 30º em sentido anti-
horário, deve-se traçar a linha 
radial CP, 2(30º) = 60º em 
sentido anti-horário, medida 
em relação a CA (θ = 0º).
Tensões no elemento a 30º
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 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
Coordenadas do Ponto P:
º96,30
10
6
tan 1  
º04,29º96,30º60 
MPa20,804,29cos66,112' x
MPa66,504,29sin66,11'' yx
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 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
MPa20,8' x
MPa66,5'' yx
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 Exemplo 9.11 (Hibbeler)
 Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido anti-
horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a -60º
Coordenadas 
do Ponto Q:
MPa2,1204,29cos66,112' x
MPa66,504,29sin66,11'' yx