MecSol_12_Estado_Plano_de_Tensoes

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Estado Plano de Tensões
Universidade Federal do ABC
Mecânica dos Sólidos
São Paulo
Prof. Ricardo Gaspar
Estado Plano de Tensões
O estado plano de tensão em um ponto é representado por
três componentes σx σy τxy .
Transformação de tensão
Estado de tensão definido por σx σy τxy orientado pelos eixos x e y
Estado de tensão definido por σx’ σy’ τxy’ orientado pelos eixos x’ e y’
Estado Plano de Tensões
Convenção de Sinais
Estado Plano de Tensões
xy
yσ
xσ
τxy
σ
τ
y
τxy
τxy
xσ
Sinais positivos para os 
sentidos das setas 
indicados na figura.
Outros autores, como o 
Hibbeler, consideram a 
tensão de cisalhamento 
positiva quando a seta 
da direita estiver voltada 
para cima.
Convenção de sinais
Positivos
Outros autores, como o 
Hibbeler, consideram a 
tensão de cisalhamento 
positiva quando a seta 
da direita estiver voltada 
para cima.
Círculo de Mohr
Estado Plano de Tensões
yσ
xy
xσ
τxy
τ
σy
τxy
τxy
θ
xσ x
Equações transformação de Tensão para o Estado Plano
σyσ
xy
xσ
τ xy
τ
σy
τ xy
τ xy
θ
xσ x
σ
τ
xyτ
xyτ
y
θ
σx
y
x
Estado Plano de Tensões
0=∑ xF
0=∑ yF
Determinar as tensões inclinadas σσσσ e ττττ
Tensões em um plano qualquer
Estado Plano de Tensões
( ) ( ) θτθσσσσσ 22cos5,05,0 senxyyxyx +−−+=
σ
σ
τ
xyτ
xyτ
y
θ
σx
y
x
Cálculo das tensões inclinadas pelo 
método gráfico do Círculo de Mohr
( ) 2
2
1
2
5,0 xy
yx
yx τ
σσ
σσσ +




 −
++=
( ) 2
2
2
2
5,0 xy
yx
yx τ
σσ
σσσ +




 −
−+=
Tensões em um plano qualquer
Estado Plano de Tensões
( ) θτθσστ 2cos25,0 xyyx sen +−=
σ
σ
τ
xyτ
xyτ
y
θ
σx
y
x
Cálculo das tensões inclinadas pelo 
método gráfico do Círculo de Mohr
2
2
2
xy
yx
máx τ
σσ
τ +




 −
±=
Centro do
Círculo de Mohr
2
yx
C
σσ +
=
Círculo de Mohr
Estado Plano de Tensões
σ2
σ
0
máxτ
yσ
m
2θi
σ
xyτ
x
τ
máxτ
2θ j
σ1
τxy
σ
Método gráfico
Dados do problema σx σy τxy
Estado Plano de Tensões
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
=
Círculo de Mohr
Raio do
Círculo de Mohr σ2
σ
0
máxτ
yσ
m
2θi
σ
xyτ
x
τ
máxτ
2θ j
σ1
τxy
σ
Método gráfico
Dados do problema σx σy τxy
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
Método gráfico
Raio do Círculo de Mohr
Tensões principais
Estado Plano de Tensões
σ2
σ
0
máxτ
yσ
m
2θi
σ
xyτ
x
τ
máxτ
2θ j
σ1
τxy
σ
Método gráfico
As tensões principais 
podem ser calculadas 
simplesmente pela adição 
ou subtração do valor da 
tensão que define o centro 
do círculo de Mohr com o 
seu raio.
RC +=1σ
RC −=2σ
Tensões principais
Estado Plano de Tensões
( ) 2
2
1
2
5,0 xy
yx
yx τ
σσ
σσσ +




 −
++=
( ) 2
2
2
2
5,0 xy
yx
yx τ
σσ
σσσ +




 −
−+=
σ2
σ
0
máxτ
yσ
m
2θi
σ
xyτ
x
τ
máxτ
2θ j
σ1
τxy
σ
Método analítico Método gráfico
Estado Plano de Tensões
Tensões máxima de cisalhamento
2
2
2
xy
yx
máx τ
σσ
τ +




 −
±=
σ2
σ
0
máxτ
yσ
m
2θi
σ
xyτ
x
τ
máxτ
2θ j
σ1
τxy
σ
Método gráficoMétodo analítico
Estado Plano de Tensões
Direção das tensões principais ou
Ângulo de inclinação
das tensões principais 1σ
θ
1σ
σ2
2σ
i
θi + 90º
yx
xy
itg
σσ
τ
θ
−
−=
2
2
Estado Plano de Deformações
Círculo de Mohr
Centro do
Círculo de Mohr
2
yx
C
εε +
=
ε2
ε
0
máxγ
yε
m
2θ i
ε
γ
xy
x
γ
máxγ
j2θ
ε1
γxy
ε
Método gráfico
Estado Plano de Deformações
Círculo de Mohr
Ex. Para um elemento plano submetido da 
figura, pede-se:
a) determinar as tensões principais e o 
plano onde elas atuam;
b) determinar a tensão máxima de 
cisalhamento;
c) desenhar o Círculo de Mohr.
Centro do Círculo de Mohr
2
yx
C
σσ +
= MPaC 76,12
2
60,1892,6
=
+
=
σ
τ xy
σx
xy
y
= 6,92 MPa
= 4,9 MPaτ
σx
= 18,6 MPaσy
Estado Plano de Deformações
Círculo de Mohr
Raio ou tensão máxima de cisalhamento
Tensões principais
2
2
2
xy
yx
R τ
σσ
+




 −
=
MPaR 62,790,4
2
60,1892,6 2
2
=+




 −
=
RC +=1σ MPa38,2062,776,121 =+=σ
RC −=2σ MPa14,562,776,122 =−=σ
σ
τ xy
σx
xy
y
= 6,92 MPa
= 4,9 MPaτ
σx
= 18,6 MPaσy
Estado Plano de Deformações
Círculo de Mohr
Plano onde atuam as tensões principais
e
Tensão principal referente ao ângulo 20º
σ
τ xy
σx
xy
y
= 6,92 MPa
= 4,9 MPaτ
σx
= 18,6 MPaσy
yx
xy
itg
σσ
τ
θ
−
−=
2
2
839,0
6,1892,6
9,42
2 =
−
×
−=itg θ
º40)839,0(2 == arctgiθ º20=iθ °=+ 110º90º20
110°
1σ
= 20,38 MPa1σ
= 5,14 MPa2σ
σ2
= 20°θ i
( ) ( ) MPasen 38,20º409,4º40cos6,1892,65,06,1892,65,0 =⋅+⋅−⋅−+⋅=σ
Estado Plano de Deformações
Círculo de Mohr
.
= 7,6
= 4,9
y
= 12,76m
σ
σ
σ = 5,142
σ1= 20,38
= 18,6
xy40° τ
σx = 6,9
xyτ = 4,9
τ (MPa)
maxτ
σ(MPa)
σ
τ xy
σx
xy
y
= 6,92 MPa
= 4,9 MPaτ
σx
= 18,6 MPaσy
Círculo de Mohr
Atividades
Recomenda-se a leitura do Capítulo 15 do Livro Willian 
NASH Resistência dos Materiais (pode ser baixado da 
internet ou do site da disciplina)
Fazer a lista de exercícios propostos
Interagir com o programa MDSolids
O código de registro é D93C8ADC
Link para download: https://web.mst.edu/~mdsolids/
Círculo de Mohr
FIM