Lista 1 - Sequências (Prof.ª Janete - UnB)

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Ca´lculo 2
Exerc´ıcios de Fixac¸a˜o – Semana 1
Temas abordados : Limite de Sequeˆncias
1) Determine se o limite de cada uma das sequeˆncias abaixo existe ou na˜o. No caso de
existeˆncia, determine o limite da sequeˆncia.
(a) an =
2n
3n+1
(b) an = (−1)n n
n2 + 1
(c) an =
2n + 1
1− 3√n (d) an =
cos2 n
2n
(e) an = n sen(1/n) (f) an =
1
(0, 9)n
2) Lembrando que lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
= e, verifique as afirmac¸o˜es abaixo:
(a) lim
n→∞
(
1 +
1
n2
)n2
= e (b) lim
n→∞
(
1 +
1
n2
)n
= 1
3) Mostre que se {an} for limitada e lim
n→∞
bn = 0, enta˜o lim
n→∞
(anbn) = 0.
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 2
RESPOSTAS
1) (a) O limite existe e e´ 0
(b) existe e e´ 0
(c) na˜o existe
(d) existe e e´ 0
(e) an =
sen(1/n)
1/n
tem limite e e´ 1
(f) an =
10n
9n
na˜o tem limite
2) (a) Basta fazer k = n2 e observar que k → +∞ quando n→∞.
(b) Se an = (1 +
1
n
)n
2
e´ a sequeˆncia do item anterior enta˜o, como an → e, temos que
e − 1 < an < e + 1, para todo n ≥ n0. Para esses valores de n temos que n
√
e− 1 <
n
√
an <
n
√
e + 1 e o resultado segue do Teorema do Confronto.
3) Use o Teorema do Confronto para mostrar que lim
n→∞
|anbn| = 0
Lista de Fixac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 2