AD1-Métodos Determinísticos 2 - 2022-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
2o Semestre de 2022
AD1
GABARITO
Questão 1: [4,0 pts] Encontre o domínio de cada uma das funções abaixo, apresentando todos os cálculos
efetuados.
a) [1,5 pts] f (x) = l n
(
ln
(
7−2x −x2
3−4x2
))
b) [1,5 pts] g (x) = logx (x2 −2x −15)
c) [1,0 pto] h(x) =
√
3−px
Solução:
a) Como estamos lidando com um logaritmo dentro de outro logaritmo, devemos ter, simultaneamente:
l n
(
7−2x −x2
3−4x2
)
> 0 e 7−2x −x
2
3−4x2 > 0.
Mas observe que
l n
(
7−2x −x2
3−4x2
)
> 0 ⇐⇒ 7−2x −x
2
3−4x2 > 1 > 0.
Portanto, para encontrar o domínio da função f , basta resolver a inequação
7−2x −x2
3−4x2 > 1.
Dessa forma,
7−2x −x2
3−4x2 > 1 ⇐⇒
7−2x −x2
3−4x2 −1 > 0 ⇐⇒
7−2x −x2 −3+4x2
3−4x2 > 0 ⇐⇒
3x2 −2x +4
3−4x2 > 0.
Analisando a inequação
3x2 −2x +4
3−4x2 > 0, observamos que o numerador 3x
2−2x+4 é sempre positivo
para todo x ∈ R, pois seu discriminante ∆ = (−2)2 − 4 · 3 · 4 = −44 < 0 e a concavidade da parábola
y = 3x2 −2x +4 é voltada para cima. Logo, o sinal do quociente 3x
2 −2x +4
3−4x2 depende apenas do sinal
de seu denominador.
Assim,
3x2 −2x +4
3−4x2 > 0 ⇐⇒ 3−4x
2 > 0 ⇐⇒−
p
3
2
< x <
p
3
2
.
Portanto, Dom( f )=
{
x ∈R;−
p
3
2
< x <
p
3
2
}
.
b) Como função g é um logaritmo, devemos encontrar os valores de x que satisfaçam a condição de
existência da base e a condição de existência do logaritmando, simultaneamente.
Assim, como x é a base do logaritmo, devemos ter
x > 0 e x 6= 1. (1)
Além disso, como x2 − 2x − 15 é o logaritmando, devemos ter x2 −2x − 15 > 0 para que o logaritmo
esteja bem definido.
Portanto,
x2 −2x −15 > 0 ⇐⇒ (x −5)(x +3) > 0 ⇐⇒ x <−3 e x > 5.
Logo, a segunda condição sobre x que devemos ter é dada por
x <−3 e x > 5. (2)
Fazendo a interseção entre o que obtivemos em (1) e (2), concluímos que Dom(g )= {x ∈R; x > 5}.
c) Para que a função h esteja bem definida, devemos ter, simultaneamente,
x ≥ 0 e 3−px ≥ 0.
Mas
3−px ≥ 0 ⇐⇒ 0 ≤px ≤ 3 ⇐= 0 ≤ x ≤ 9 (pois a função raiz quadrada é crescente e não-negativa).
Portanto, Dom(h)= {x ∈R;0 ≤ x ≤ 9}.
Questão 2: [2,0 pts] Resolva as equações abaixo e apresente todos os cálculos realizados. Informe também
o conjunto solução de cada equação.
a) [1,0 pto] (7x −2p10)(7x +2p10) = 9 b) [1,0 pto] 4
x +4
5
= 2x
Solução:
a) Observe que
(7x −2p10)(7x +2p10) = 9
(7x )2 − (2p10)2 = 9
72x −4×10 = 9
72x −40 = 9
72x = 49
72x = 72.
Portanto 2x = 2, donde x = 1. Logo, o conjunto solução da equação é dado por S = {1}.
2
b) Note que
4x +4
5
= 2x
4x +4 = 5×2x
22x +4 = 5×2x
22x −5×2x +4 = 0.
Fazendo y = 2x na última equação acima, temos:
y2 −5y +4 = 0
(y −4)(y −1) = 0 ⇐⇒ y = 1 ou y = 4.
Dessa forma, para y = 1, temos que 2x = 1, donde x = 0. Por outro lado, para y = 4, temos que 2x = 4,
donde x = 2.
Portanto, o conjunto solução da equação é dado por S = {0,2}.
Questão 3: [2,0 pts] Encontre o conjunto solução da inequação
32−x +32+x > 18
e apresente todos os cálculos efetuados.
Solução: Observe que podemos reescrever a inequação acima da seguinte forma:
32−x +32+x > 18 ⇐⇒ 32 ·3−x +32 ·3x −18 > 0 ⇐⇒ 32 ·3−x +32 ·3x −32 ·2 > 0.
Assim, basta resolver a desigualdade 32 ·3−x +32 ·3x −32 ·2 > 0 para encontrar o conjunto solução pedido.
Dessa forma,
32 ·3−x +32 ·3x −32 ·2 > 0
32 (3−x +3x −2) > 0
3−x +3x −2 > 0
1
3x
+3x −2 > 0
1+3x ·3x −2 ·3x
3x
> 0
1+ (3x )2 −2 ·3x
3x
> 0.
3
Como 3x > 0 para todo x ∈ R, segue que 1+ (3
x )2 −2 ·3x
3x
> 0 ⇐⇒ 1+ (3x )2 −2 ·3x > 0. Portanto, precisamos
resolver a desigualdade
1+ (3x)2 −2 ·3x > 0
para encontrar o conjunto solução pedido. Reordenando seus termos, obtém-se:
1+ (3x)2 −2 ·3x > 0 ⇐⇒ (3x)2 −2 ·3x +1 > 0.
Fazendo y = 3x acima, segue que:(
3x
)2 −2 ·3x +1 > 0 ⇐⇒ y2 −2y +1 > 0 ⇐⇒ (y −1)2 > 0 ⇐⇒ y 6= 1.
Portanto, y 6= 1 implica que devemos ter 3x 6= 1, donde x 6= 0.
Logo, o conjunto solução da inequação dada é S =R− {0} ou S = (−∞,0)∪ (0,+∞) ou S = {x ∈R; x 6= 0}.
Questão 4: [2,0 pts] São dados abaixo os gráficos das funções f e g , respectivamente. Utilize esses gráficos
para calcular cada um dos limites abaixo. Caso não seja possível calcular algum limite pedido, explique o
porquê.
a) [0,5 pt] lim
x→2[ f (x)+ g (x)] b) [0,5 pt] limx→1[ f (x)+ g (x)]
c) [0,5 pt] lim
x→2[x
3 f (x)] d) [0,5 pt] lim
x→1
√
3+ f (x)
Solução:
a) Observando os gráficos dados, vemos que lim
x→2 f (x) e limx→2 g (x) existem e, portanto, existe o limite da
soma f (x)+ g (x) quando x → 2. Logo, aplicando a propriedade do limite da soma de funções, obte-
mos:
lim
x→2[ f (x)+ g (x)] = limx→2 f (x)+ limx→2 g (x) = 2+0 = 2.
b) Note que não é possível calcular lim
x→1[ f (x)+ g (x)] devido à falta de unicidade do limite limx→1 g (x). De
fato, g (x) fica cada vez mais próximo de 2 à medida que x se aproxima de 1 por valores menores
que 1; mas por outro lado, g (x) se torna muito próximo de 1 quando x se aproxima de 1 por valores
maiores que 1. Pela falta de unicidade no limite lim
x→1 g (x), podemos dizer que não existe o limite
lim
x→1[ f (x)+ g (x)].
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c) Observe que lim
x→2 x
3 = 8 e lim
x→2 f (x) = 2. Dessa forma, o limite limx→2[x
3 f (x)] existe e através da proprie-
dade do produto de limites, obtemos:
lim
x→2[x
3 f (x)] = lim
x→2 x
3 · lim
x→2 f (x) = 8 ·2 = 16.
d) Como lim
x→1 f (x) = 1, temos que
lim
x→1
√
3+ f (x) =
√
3+ lim
x→1 f (x) =
p
3+1 =p4 = 2.
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